1
1
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
1. Khái niệm chung
-Trường điện từtónh làtrường điện từthỏa mãn các điều kiện
sau:
a. Các đại lượng điện từkhông thay đổi theo thời
gian các đạo hàm riêng của các đại lượng này bằng 0
b. Không cósựchuyển động của các điện tích, nghóa làkhông có
dòng điện mật độdòng
,,H,B,D,E σρ




⇒
.0
t






=
∂
∂
⇒
.0J =

t

D
JHrot
∂
∂
+=


t
B
Erot
∂
∂
−=


0Bdiv =

ρ=Ddiv

{
}
{}
{}
{}
Σ
Σ
Σ
Σ
=−×
=−

=−×
σ=−
S21
21
21
21
J)HH(n
0)BB.(n
0)EE(n
)DD.(n









HB
ED



µ=
ε=
-Hệphương trình Maxell vàcác điều kiện biên của các vectơ
trường:
2
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

1. Khái niệm chung
0Hrot =

0Erot =

0Bdiv =

ρ=Ddiv

{
}
{}
{}
{}
Σ
Σ
Σ
Σ
=−×
=−
=−×
σ=−
0)HH(n
0)BB.(n
0)EE(n
)DD.(n
21
21
21
21










-Phương trình vàđiều kiện biên của trường điện từtónh cóthể
tách thành 2 nhóm độc lập:





=
=
0Bdiv
0Hrot


{
}
{}






=−×
=−
Σ
Σ
0)HH(n
0)BB.(n
21
21





HB


µ=





ρ=
=
Ddiv
0Erot


{
}

{}





=−×
σ=−
Σ
Σ
0)EE(n
)DD.(n
21
21





ED


ε=
Trường
điện
tónh
Trường
từ
tónh
-Hệphương trình Maxell vàcác điều kiện biên của các vectơ

trường của trường điện từtónh:
2
3
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
2. Tính chất thếcủa trường điện tónh
a. Công của lực điện tónh
∫
=
C
dl.EA

-Ta cóvàáp dụng đònh lýStokes ta được:
0Erot =

0dS.Erotdl.EA
SC
===
∫∫


-Vậy công của lực điện tónh thực hiện theo đường cong kín thì
bằng 0: Trường điện tónh làtrường thế. Lấy đường kín C gồm 2
nhánh PaQ vàQbP:
a
b
P
Q
C
-Công của lực điện tónh khi dòch chuyển một đơn vò điện tích
dương theo đường kín C là:

∫∫∫∫∫∫∫
=⇒−=⇒=+=
PbQPaQQbPPaQQbPPaQPaQbP
dl.Edl.Edl.Edl.Edl.Edl.Edl.E







0
-Vậy công của lực điện tónh không phụthuộc vào đường dòch
chuyển, màchỉphụthuộc vào điểm đầu vàđiểm cuối của đường
dòch chuyển.
4
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
2. Tính chất thếcủa trường điện tónh
b. Thếđiện
ϕ
đóchính lànghiệm của phương trình: 0=Erot

-Hàm thếvô hướng còn gọi làthếđiện được đònh nghóa là:
ϕ
ϕ−= gradE

-Đểýlà:
dl.graddl.E ϕ−=

ϕ=

∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
= ddz
z
dy
y
dx
x
Cdl.Edl.Ed +−=ϕ⇒−=ϕ⇒
∫


()
zyxzyx
idzidyidxi
z
i
y
i
x
dl.grad


++








∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ
-Thếđiện không đơn trò, được xác đònh với 1 hằng sốcộng thêm
vào.
ϕ
-Nếu chọn trước giátrò thếđiện tại điểm nào đóthìthếđiện tại
tất cảcác điểm khác hoàn toàn xác đònh.
-Trong thực tếngười ta chọn thếđiện chuẩn của đất bằng 0.
Trong lýthuyết người ta chọn thếđiện chuẩn bằng 0 ởvô cùng
nếu điện tích phân bốtrong miền không gian hữu hạn.
3
5
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

2. Tính chất thếcủa trường điện tónh
b. Thếđiện
-Hiệu điện thếgiữa 2 điểm bằng công của lực điện dòch chuyển
một đơn vò điện tích dương giữa 2 điểm đó.
-Hiệu điện thếgiữa 2 điểm P vàQ là:
)V(dl.E)Q()P(
Q
P
∫
=ϕ−ϕ

-Nếu chọn thếđiện chuẩn bằng 0 ởvô cùng thì:
0
)
Q
(
=
ϕ
)V(dl.E)P(
P
∫
∞
=ϕ

-Vectơ cường độđiện trường của điện tích điểm q đối xứng cầu là:
r
q
r
q
dr.

r
q
dr.Edl.E)P(
m
V
i
r
q
E
r
PP
r
P
r
πε
=






−
πε
=
πε
===ϕ⇒







πε
=
∞
∞∞∞
∫∫∫
4
1
444
22



-Nếu cómột hệgồm n điện tích điểm q
1
, q
2
,…, q
n
thìthếđiện tại
điểm P nhận được theo nguyên lýchồng trường là:
n21
E EEE




+++=

n21
E, ,E,E



làcường độđiện trường do q
1
,
q
2
,…, q
n
gây ra.
6
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
2. Tính chất thếcủa trường điện tónh
b. Thếđiện
zyx
iziyixr




++=
với làvectơ vò tríxác đònh điểm P.
∫∫∫∫
∞∞∞∞
+++==ϕ⇒
P
n

P
2
P
1
P
dl.E dl.Edl.Edl.E)P(

∑∑
==
πε
=ϕ=ϕ++ϕ+ϕ=ϕ⇒
n
1k
k
k
n
1k
kn21
r
q
4
1
)P()P( )P()P()P(
∑
=
−πε
=ϕ⇒
n
k
k

k
'rr
q
)P(
1
4
1

zkykxkk
i'zi'yi'x'r




++=
làvectơ vò tríxác đònh điện tích q
k
.
x
y
z
)r(P

k
q
r

'r
k


0
k
r

4
7
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
2. Tính chất thếcủa trường điện tónh
b. Thếđiện
'
r

-Trường hợp điện tích phân bốliên tục trong thểtích V, trên mặt
S, trên đường L với mật độđiện tích khối mật độđiện tích mặt
∫
−πε
=ϕ
L,S,V
'rr
dq
)P(

4
1
trong đódq làyếu tốđiện tích điểm:






λ
σ
ρ
=
dl).'r(
dS).'r(
dV).'r(
dq



làvectơ vò tríxác đònh yếu tốthểtích dV, yếu tốdiện tích dS,
yếu tốdài dl.
,
ρ
mật độđiện tích dài , khi đóta có:
,
σ
λ
8
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
3. Phương trình Poisson -Laplace
-Ta có: mà
ρ=Ddiv

ϕ−=ε= gradE,ED



ρ−=ϕε⇒ρ=ϕ−ε⇒ρ=ε⇒ )grad(div))grad((div)E(div


-Nếu miền khảo sát làmôi trường đồng nhất thì= const vàta
có:
ε
ερ−=ϕ∆⇒
ε
ρ
−
=
ϕ
/
/
)
grad
(
div
làtoán tửLaplace, trong hệtọa độĐềcác:
∆
ερ−=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ∆ /
zyx
2

2
2
2
2
2
Phương trình Poisson
-Nếu trong miền khảo sát không cóđiện tích thì:
)
0
(
=
ρ
0
=
ϕ
∆
Phương trình Laplace
Phương trình Poisson cónghiệm riêng dạng tích phân:
dV
'rr
)
'
r
(
)P(
V
∫
−
ρ
πε

=ϕ


4
1
5
9
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
4. Vật dẫn trong trường điện tónh
-Vật dẫn hay môi trường dẫn làmôi trường cócác điện tích tựdo.
-Nếu trong môi trường dẫn ởthời điểm t tại miền nào đócóphân
bốđiện tích khối mật độthìmật độdòng vàmật độđiện
tích khối liên hệvới nhau theo phương trình liên tục:
0
t
Jdiv =
∂
ρ
∂
+

với môi trường đồng nhất phương trình liên tục
trởthành:
-Dưới tác dụng của lực điện các điện tích tựdo chuyển dời tạo
nên dòng điện dẫn.
-Môi trường dẫn cóđộdẫn điện , mật độdòng điện dẫn
liên hệvới vectơ cường độđiện trường theo đònh luật Ohm:
0
≠
γ

J

EJ


γ=
)
t
,
P
(
ρ
J

ρ
)E(divJdiv,)E(divDdiv




γ=ρ=ε⇒ρ=
const
,
const
=
ε
=
γ
0=ρ
ε

γ
+
∂
ρ
∂
⇒
t
-Phương trình này cónghiệm:
)m/C(e.e.
3T/t
0
t)/(
0
−εγ−
ρ=ρ=ρ
ρ
ε
γ
=γ=γ=ερ=⇒ρ=ε Ediv)E(divJdiv,/EdivEdiv





10
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
4. Vật dẫn trong trường điện tónh
làhằng sốthời gian.
)
s

(
/
T
γ
ε
=
-Nhưvậy nếu tại một điểm bất kỳtrong vật dẫn mật độđiện tích
khối ởthời điểm ban đầu bằng 0 thìsẽ bằng 0 ởmọi thời
điểm.
-Vìthếkhông cólượng điện tích nào suy giảm ởmột miền bên
trong vật dẫn đểrồi xuất hiện ởmột miền khác bên trong vật dẫn
này.
-Mặt khác điện tích phải bảo toàn sựsuy giảm điện tích bên trong
vật dẫn chỉcóthểdãn tới sựxuất hiện điện tích mặt trên vật dẫn.
Quátrình này diễn ra rất nhanh.
-Nhưvậy mật độđiện tích khối bên trong vật dẫn suy giảm rất
nhanh theo quy luật hàm mũ với hằng sốthời gian T.
)0(
0
=
ρ
6
11
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
4. Vật dẫn trong trường điện tónh
-Các điện tích cảm ứng này tạo ra một điện trường phụlàm triệt
tiêu điện trường bên trong vật dẫn vàlàm méo điện trường bên
ngoài vật dẫn.
-Điều kiện cân bằng tónh điện đòi hỏi mật độdòng
do (trong vật dẫn) = 0

-Khi đặt vật dẫn vào trường điện ngoài, dưới tác dụng của lực
điện sẽ cósựphân bốlại các điện tích tựdo trên mặt vật dẫn.
:J 0=

0EJ =γ=


E0

⇒≠γ
do (trong vật dẫn) =
E

0
grad
=
ϕ
−
ϕ
⇒
(vật dẫn) = const
-Thếđiện tại mọi điểm bên trong vật dẫn đều bằng nhau: vật dẫn
làvật đẳng thế.
12
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
4. Vật dẫn trong trường điện tónh
-Vậy các đường sức điện trường vuông góc với mặt vật dẫn. Tại
những điểm bên trong vật dẫn:
-Vậy điện tích chỉphân bốngoài mặt vật dẫn với mật độđiện tích
mặt

-Vìcường độđiện trường bên trong vật dẫn bằng 0 nên theo điều
kiện biên tại mặt vật dẫn ta có:
0Ddiv,0Ediv ==


n.n.DD
D.nD
n
n




σ==
==σ
(trong vật dẫn) = 0
ρ⇒ρ=Ddiv

).
m/C(
2
σ
0E =

0E =

q
n

+

+
+
−
−
7
13
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
a. Đònh lýtương hỗ
-Hệthống n vật dẫn, điện tích các vật dẫn lần lượt làq
1
, q
2
,…, q
k
,…,
q
n
vàthếđiện lần lượt là
., ,, ,,
nk21
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
-Khi điện tích các vật dẫn thay đổi nhận trò sốmới q
1
’, q
2
’,…, q

k
’,…,
q
n
’, thếđiện các vật dẫn thay đổi theo cógiátrò lần lượt là
.', ,', ,','
nk'21
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
-Giảsửcác vật dẫn phân bốtrong 1 miền giới nội đặt trong môi
trường tuyến tính đẳng hướng không cóphân bốđiện tích khối.
-Miền không gian cóđiện trường V làtoàn không gian trừđi thể
tích các vật dẫn. Tại điểm P trong miền V cảm ứng điện trước và
sau khi các vật dẫn thay đổi thỏa mãn phương trình Maxwell:
'grad'E,gradE
0'Ddiv,0Ddiv
ϕ−=ϕ−=
==



14
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
a. Đònh lýtương hỗ
- Mặt kín S bao gồm toàn không gian ởvô cùng vàcác mặt
vật dẫn . Tích phân lấy theo mặt bằng 0 vìcác vật dẫn
phân bốtrong miền giới nội, do đóta có:

∫∫∫∫
ϕ=ϕ⇒ϕ=ϕ⇒
ϕ=ϕ⇒
ε−=−=ϕ+ϕ=ϕ
ε−=−=ϕ+ϕ=ϕ
SSVV
dS)'D(dS)D'(dV).'D(divdV).D'(div
)'D(div)D'(div
'E.EE'.Dgrad'D'Ddiv)'D(div
'
E
.
E
'
E
.
D
'
grad
D
D
div
'
)
D
'
(
div











)
(
S
∞
∑
=
n
1k
k
S
)
(
S
∞
∑
ϕ
∑
=ϕ⇒ϕ=ϕ
==
∫∫∫∫
∑∑
==

n
k
S
n
k
S
SS
kk
n
k
k
n
k
k
dS)'D(dS)D'(dS)'D(dS)D'(
11
11




8
15
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
a. Đònh lýtương hỗ
-Trên vật dẫn k: , nên ta có:const',const
kk
=
ϕ

=
ϕ
∫∫
∑
ϕ=
∑
ϕ
==
kk
S
n
1k
k
S
n
1k
k
dS'DdSD'


-Áp dụng đònh luật Gauss ta có:
(*)'qq'
k
n
1k
kk
n
1k
k
∑

ϕ=
∑
ϕ
==
-Hệthức (*) làbiểu diễn toán học của đònh lýtương hỗ.
16
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
b. Hệsốthế
-Thếđiện vàđiện tích q của một vật dẫn cô lập liên hệnhau qua
thông sốC gọi làđiện dung của vật dẫn cô lập:
kpkk
qB
=
ϕ
-Điện dung C của vật dẫn cô lập phụthuộc vào hình dạng, kích
thước của vật dẫn vàmôi trường đặt vật dẫn, C đo bằng Farad (F).
ϕ
-Đối với hện vật dẫn mang điện, thếđiện của mỗi vật dẫn phụ
thuộc vào điện tích, hình dạng, vàsựphân bốcủa tất cảvật dẫn
đặt trong hệ. Thếđiện tại điểm P do điện tích q
k
gây ra:
C
q
=ϕ
với B
pk
làhệsốtỷlệ
-Thếđiện tại điểm P do cảhện vật dẫn mang điện q

1
, q
2
,…, q
n
gây
ra:
npnkpkppnpkpp
q
B

q
B

q
B


+
+
+
+
=
ϕ
+
+
ϕ
+
+
ϕ

=
ϕ
111
9
17
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
b. Hệsốthế
-Nếu điểm P chọn trên vật dẫn k thìthếđiện của vật dẫn k bằng:
∑
=
=++++=ϕ
n
1m
mkmnknkkk11kk
qBqB qB qB
-Các hệsốB
km
, với , gọi làhệsốthếtương hỗ giữa vật dẫn
k vàvật dẫn m.
m
k
≠
-Hệsốthếtương hỗ phụthuộc hình dạng, kích thước vàvò trí
tương hỗ giữa các vật dẫn vàmôi trường đặt vật dẫn.
-Khi vật dẫn m mang điện tích , các vật dẫn còn lại không
mang điện thì:
0q
m
≠

)0q qq(
n21
=
=
=
=
)
F
(
q
/
B
q
B
mkkmmkmk
1−
ϕ=⇒=ϕ
-Vật dẫn k đặt trong điện trường của vật dẫn m mang điện tích q
m
> 0 sẽ cóđiện thếdo đó:
0
k
>
ϕ
0B
km
>
18
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn

b. Hệsốthế
-Giảthiết ởtrạng thái ban đầu chỉcóvật dẫn k mang điện ,
các vật dẫn khác không mang điện
mkkmmkmkkmkm
kmkmmkmk
mmkk
BB'q.qBq.'qB
qB,'qB'
'
q
.
q
.
'
=⇒=⇒
=ϕ=ϕ
ϕ=ϕ
-Vậy các hệsốthếtương hỗ không độc lập đối với nhau.
0q
k
≠
).0q qq(
n21
=
=
=
=
-Ởtrạng thái mới chỉcóvật dẫn m mang điện các vật dẫn
khác không mang điện Theo đònh lýtương hỗ
ta có:

0'q
m
≠
).0'q 'q'q(
n21
=
=
=
=
-Các hệsốthếB
11
,…, B
kk
,…, B
nn
gọi làhệsốthếriêng.Hệsốthế
riêngphụthuộc vào hình dạng, kích thước của vật dẫn vàmôi
trường đặt vật dẫn.
10
19
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
b. Hệsốthế
-Khi vật dẫn k mang điện , các vật dẫn khác không mang
điện thì:
0q
k
≠
),0q qq(
n21

=
=
=
=
)F(q/B
1
kkkk
−
ϕ=
-Vật dẫn k điện tích q
k
> 0 sẽ cóđiện thếdo đó:
,0
k
>
ϕ
0B
kk
>
20
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
-Cóthểxác đònh điện tích của 1 vật dẫn theo thếđiện của các vật
dẫn trong hện vật dẫn bằng cách giải hện phương trình:
∑
=
ϕ=ϕ++ϕ++ϕ++ϕ=
n
1m
mkmnknkkkmkm11kk

AA A A Aq
-Các hệsốA
km
với , gọi làhệsốđiện dung tương hỗ giữa
vật dẫn k vàvật dẫn m, còn gọi làhệsốcảm ứng.
m
k
≠
-Các hệsốcùng chỉsốA
kk
gọi làhệsốđiện dung riêng.
-Các hệsốđiện dung tính qua hệsốthế:
∆
∆
=
/A
kmkm
với làđònh thức lập từcác hệsốthế, làphần phụđại sốcủa
phần tửB
km
trong đònh thức :
nnnm1n
knkm1k
n1m111
B B B

B B B

B B B
=∆

nnnm1n
knkm1k
n1m111
)mk(
km
B B B

B B B

B B B
)1(
+
−=∆
∆
∆
km
∆
c. Hệsốđiện dung -Hệsốcảm ứng
11
21
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
c. Hệsốđiện dung -Hệsốcảm ứng
-Ta có: B
km
= B
mk
,
mkkm
AA

=
⇒
-Nối tất cảcác vật dẫn với đất, trừvậ
t dẫn k
khi đó:
-Vìđiện tích nạp cho vật dẫn k làq
k
cùng dấu với điện thếnên:
)F(/qA,Aq
)F(/qA,Aq
kmmkkmkm
kkkkkkkk
ϕ=ϕ=
ϕ
=
ϕ
=
mkkm
∆=∆
)0 (
n21
=
ϕ
=
=
ϕ
=
ϕ
k
ϕ

0A
kk
>
-Sựcómặt của điện tích q
k
trên vật dẫn k làm xuất hiện điện tích
cảm ứng q
m
ngược dấu với q
k
, nghóa làngược dấu với do đó:
k
ϕ
0A
mk
<
-Các hệsốđiện dung phụthuộc hình dạng, kích thước, vò trítương
hỗ giữa các vật dẫn vàphụthuộc môi trường.
22
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
c. Hệsốđiện dung -Hệsốcảm ứng
-Hệ2 vật dẫn cảm ứng điện toàn phần (cóđiện tích bằng nhau và
trái dấu) làmột tụđiện. Ta có:
-Hệthức này nghiệm đúng với mọi giátrò của khi:
0)AA()AA(
qAAq
qAAq
2221212111
2221212

2121111
=ϕ++ϕ+⇒
−=ϕ+ϕ=
=ϕ+ϕ=
21
,
ϕ
ϕ
-C làđiện dung của tụđiện, đặc trưng cho khảnăng tích điện của
tụđiện:
CAAAA
0AA,0AA
22122111
22122111
==−=−=⇒
=
+
=
+
)F(
q
C
21
ϕ−ϕ
=
12
23
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
d. Điện dung bộphận

-Ta có:
với: hiệu điện thếgiữa vật dẫn k vàđất.
kko
U ϕ=
∑∑∑
∑∑
∑
∑
≠
=
≠
==
≠
=
≠
=
≠
=
=
+=⇒−+ϕ=⇒
ϕ−ϕ−+ϕ+ϕ=⇒
ϕ+ϕ−ϕ+ϕ=⇒
ϕ=ϕ++ϕ++ϕ++ϕ=
n
km
1m
kmkmkokkk
n
km
1m

kmkm
n
1m
kmkk
m
n
km
1m
kkmk
n
km
1m
kmkkkk
kk
n
km
1m
mkmkkkk
n
1m
mkmnknkkkmkm11kk
UCUCqU)A(Aq
))(A(AAq
)(AAq
AA A A Aq
∑
=
=
n
1m

kmkk
AC
điện dung bộphận riêng của vật dẫn k.
24
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
5. Sựphân bốthếđiện vàđiện tích trong hệthống vật dẫn
d. Điện dung bộphận
0U
mkkm
=ϕ−ϕ=
kmkm
A
C
−=
điện dung bộphận tương hỗ giữa vật dẫn k vàvật dẫn m.
-Điện dung bộphận phụthuộc hình dạng, kích thước, vò trítương
hỗ của các vật dẫn vàphụthuộc môi trường đặt các vật dẫn.
-Khi nối tất cảcác vật dẫn trong hệvới vật dẫn k:
rút ra:
kkkkokkk
CUCq
ϕ
=
=
-Vìđiện tích nạp cho vật dẫn k q
k
vàthếđiện của vật dẫn này
cùng dấu nên:
k
ϕ

0C
kk
>
-VìA
km
= A
mk
nên:
mkkmkm
CC,0C
=
>
-Điện tích q
k
của vật dẫn k làtổng các điện tích:
+ Điện tích bộphận (C
kk
U
ko
) gây nên hiệu thếgiữa vật dẫn k và
đất.
+ Điện tích bộphận (C
km
U
km
) gây nên hiệu thếgiữa vật dẫn k và
vật dẫn m.
13
25
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

6. Năng lượng trường điện
)m/C(
3
ρ
-Giảsửtrường điện được tạo nên bởi các điện tích phân bốkhối
mật độtrong thểtích V’vàđiện tích phân bốmặt mật độ
-Ta có:
-Năng lượng trường điện biểu diễn qua các vectơ đặc trưng cho
trường điện bởi hệthức:
)J(dVDE
2
1
W
V
e
∫
=


trên mặt S’. Ta có:
)m/C(
2
σ
∫∫
ϕ−ϕρ=⇒ϕ−ϕρ=⇒
ρ=ϕ−ϕ=ϕ−=
VV
e
dV)D(div
2

1
dV
2
1
W)D(divD.E
Ddiv),D(divDdivgradDD.E







∫∫∫
ϕ+ϕ=ϕ
S''SV
dSD''dSDdV)D(div



'
'
S
'
S
S
2
dS
1
dS

'dS
n

)
1
(
)
2
(
26
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
6. Năng lượng trường điện
-Tích phân lấy theo mặt S’’ởvô cùng bằng 0 nếu các điện tích
phân bốtrong một miền giới nội.
-Tích phân lấy theo mặt S’’bao toàn không gian cótrường điện
vàmặt S bao mặt S’cóphân bốđiện tích tựdo mặt.
'dSdSDdV)D(div
'dS)DD(n'dSD'dSDdSD
'SSV
'S
12
'S
1
'S
2
S
∫∫∫
∫∫∫∫
ϕσ−=ϕ=ϕ
−ϕ=ϕ−ϕ=ϕ








-Tích phân lấy theo mặt S khi đến giới hạn S co sát S’, được tách
thành 2 tích phân:
'dS
2
1
dV
2
1
W
'S'V
e
∫∫
ϕσ+ϕρ=⇒
-Nếu trường điện tạo bởi hệthống gồm n vật dẫn mang điện q
1
,
q
2
,…, q
n
thìnăng lượng của hệthống vật dẫn mang điện là:
k
n

k
S
kk
'S
e
dS'dSW
k
∑
∫∫
=
σϕ=ϕσ=
1
2
1
2
1
14
27
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
6. Năng lượng trường điện
mà
-Tích phân lấy theo mặt vật dẫn k (S
k
), trên mặt S
k
thì,
nên:
-Khi đónăng lượng của một vật dẫn cô lập mang điện tích q là:
làđiện dung của vật dẫn cô lập
∑∑

∫
==
ϕ=σϕ=
n
1k
kkk
n
1k
S
kke
q
2
1
dS
2
1
W
k
const
k
=
ϕ
∑
=
=ϕ
n
1m
mkmk
qB
m

n
1m,k
kkme
qqB
2
1
W
∑
=
=⇒
∑
=
ϕ=
n
1m
mkmk
Aq
m
n
1m,k
kkme
A
2
1
W ϕϕ=⇒
∑
=
C
q
2

1
C
2
1
q
2
1
W
2
2
e
=ϕ=ϕ=
)F(
q
C
ϕ
=
28
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
6. Năng lượng trường điện
-Năng lượng của tụđiện lànăng lượng của hệhai vật dẫn mang
điện bằng nhau trái dấu:
C
q
CUqU)(qqqW
e
2
2
212211
2

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
===ϕ−ϕ=ϕ+ϕ=
C làđiện dung của tụđiện:
)F(
U
qq
C
21
=
ϕ−ϕ
=
15
29
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
7. Bài tập
1. Thếđiện của trường điện tónh phân bốnhưsau:
ϕ




>
<
=ϕ
Rr,)r/aR(
Rr,a
a. Tọa độcầu:



>
<
=ϕ
Rr,)r/dln(a
Rr,)R/dln(a
b. Tọa độtrụ:
a, d, R lànhững hằng số. Hãy tính cường độtrường điện trong 2
trường hợp trên.
2. Cường độđiện trường bên trong quảcầu bán kính R =
0.01m códạng:
)3(
01
ε
=
ε
.Rr,rKE <<= 0
11


Tìm mật độđiện tích khối bên trong vàbên ngoài quảcầu, điện
tích Q phân bốtrong không gian.

Cường độđiện trường bên ngoài quảcầu códạng:
)(
02
ε
=
ε
Rr,r)r/K(E >=


3
22
với: )Vm(10.77,3K),m/V(56,12K
3
2
2
1
−
==
30
Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
7. Bài tập
3. Thếđiện của 1 trường điện tónh phân bốnhưsau:
Rr,
R
Q
;Rr,
r
Q
<
πε

=ϕ>
πε
=ϕ
2
2
1
1
44
Tìm phân bốcường độtrường điện vàphân bốđiện tích trong
không gian.
4. Trong hệtọa độĐềcác cường độtrường điện códạng:
zyx1
ixyizxiyzE




++=
Tìm hiệu điện thếgiữa 2 điểm A(0, 22.7, 99), B(1, 1, 1).