G.A TS10-Chủ đề 5: Nâng cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (77 KB, 3 trang )
Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO
Hoạt động Nội dung
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất
của biểu thức sau:
P =
1xx
x
2
2
+−
+1
HD: Ta có: x
2
– x + 1 =
0
4
3
2
1
- x
2
>+
với mọi x
=> P =
( )
1x3
33x
2
2
+−
+
x
=
( )
( )
13
1212
2
22
+−
++++−
xx
xxxx
=
( )
( )
2
2
x 1
2
3
3 x x 1
+
+
− +
3
2
≥
Giá trò nhỏ nhất của P là
3
2
khi x + 1 = 0
⇒
x = -1
P =
2 2
2
2x -2x+2-x +2x-1
x -x+1
=
( )
( )
1
112
2
2
2
+−
−−+−
xx
xxx
=
( )
1
1
2
2
2
+−
−
−
xx
x
≤
2
Giá trò lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0
⇒
x = 1
Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y)
thoả mãn:
12x
2
+ 6xy + 3y
2
= 28(x + y)
HD: Ta có: 12x
2
+ 6xy + 3y
2
= 28(x + y)
<=> 3y
2
+ 2(3x – 14)y + 12x
2
– 28x = 0 (1)
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi
∆
’ là số chính phương.
Ta có:
∆
’ = (3x – 14)
2
–36x
2
+ 84x = k
2
≥
0
–27x
2
+ 196 = k
2
≥
0
⇒
27x
2
≤
196
⇒
x
2
≤
7
⇒
x
∈
{ }
0; 1 ; 2± ±
Nếu x = 0 thì y = 0; x = 1 thì y = 8; x = -1 thì y = 10;
x =
±
2 thì y
∉
Z
Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10)
Bài 3: Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn:
2
1
=+
b
1
a
1
. Chứng minh phương trình ẩn x
sau luôn có nghiệm
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0
HD: Xét phương trình (x
2
+ ax + b) = 0 (1) có
∆
1
= a
2
– 4b
Xét phương trình (x
2
+ bx + a) = 0 (2) có
∆
2
= b
2
– 4a
∆
1
+
∆
2
= a
2
+ b
2
– 4(a + b).
mà
2
1
=+
b
1
a
1
⇔
2(a + b) = ab
⇒
∆
1
+
∆
2
= a
2
+ b
2
– 4(a + b) = a
2
+ b
2
– 2ab
= (a – b)
2
≥
0
⇒
Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Do đó phương trình (x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0 luôn luôn có
nghiệm
Bài 4: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên
dương liên tiếp không thể là số chính phương
HD: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3
với x nguyên dương
Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k
2
<=> (x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = k
2
<=> (x
2
+ 3x + 1)
2
– 1 = k
2
(x
2
+ 3x + 1)
2
và k
2
là hai số chính phương hơn kém nhau 1 đơn vò
nên
(x
2
+ 3x + 1)
2
= 1 và k
2
= 0
⇒
x = 0; x = -3 trái với giả thiết
Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính
phương
Bài 5: Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y +
z = 1. C.minh:
HD: Từ x + y + z = 1 suy ra
(x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = 1
222
23
zyx
zxyzxy
++
+
++
> 14
2 2 2
3 3( ) 6( )x y z xy yz zx
xy yz zx xy yz zx
+ + + + +
=
+ + + +
=
( )
6
3
222
+
++
++
zxyzxy
zyx
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 4
2
x y z xy yz zx
x y z x y z
+ + + + +
=
+ + + +
= 2 +
( )
222
4
zyx
zxyzxy
++
++
Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cho hai số dương ta có:
222
23
zyx
zxyzxy
++
+
++
≥
6 + 2 +
( )
( )
222
222
43
2
zyx
zxyzxy
zxyzxy
zyx
++
++
⋅
++
++
= 8 + 2
12
> 8 + 2
9
= 14
Bài 6: Biết
(
)
(
)
2 2
x 5 x y 5 y 5+ + + + =
.
Tính x + y
HD: Ta có:
(
)
(
)
2 2
x 5 x y 5 y 5+ + + + =
(1)
Nhân cả hai vế của (1) với
2
x 5 x+ −
ta được:
5
( )
yy ++ 5
2
= 5
( )
xx −+ 5
2
hay x + y =
( )
5
2
+x
–
( )
5
2
+y
(2)
Nhân cả hai vế của (1) với
yy −+ 5
2
ta được:
5
(
)
2
x 5 x+ +
= 5
(
)
2
y +5-y
hay x + y =
( )
5
2
+y
–
( )
5
2
+x
(3)
Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được: 2(x + y) = 0
Vậy x + y = 0
Bài 8: Cho tam giác ABC cân có:
µ
A
= 108
0
.
Tính
AC
BC
HD: Lấy trên cạnh BC điểm D sao cho CD = AC = AB
∆
ABC
∆
DBA
⇒
BA
BD
BA
DCBD
BA
BC
DB
AB
+=
+
== 1
Đặt
DB
AB
= x > 0
⇒
x = 1 +
x
1
⇒
x
2
– x – 1 = 0
⇒
x =
2
51+
Vậy
AC
BC
=
2
51+
Bài 10 : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò
nhỏ nhất của y =
7x5x
x
2
2
+−
HD: Ta có: y =
7x5x
x
2
2
+−
⇔
(y – 1)x
2
– 5yx + 7y = 0 (1)
(1) có nghiệm khi
∆
= –3y
2
+ 28y
≥
0
⇔
0
≤
y
≤
3
28
Vậy GTNN của y là 0 kh x = 0;
GTLN của y là
28
3
khi x =
5
14
Bài tập về nhà
Bài 1: Tính:
33
2142021420 −++
HD: Đặt x =
33
2142021420 −++
36
0
36
0
0
36
D
CB
A
=> x
3
= 20 + 14
2
+ 20 – 14
2
+ 3x
3
21420 +
3
21420 −
= 40 + 6x
<=> x
3
– 6x – 40 = 0 <=> x
3
– 4x
2
+ 4x
2
– 16x + 10x – 40 = 0
<=> x
2
(x – 4) + 4x(x – 4) + 10(x – 4) = 0 <=> (x – 4)(x
2
+ 4x + 10) = 0
Vì x
2
+ 4x + 10 = (x + 2)
2
+ 6 > 0 nên x – 4 = 0
⇒
x = 4
Bài 2: Giải phương trình:
18549549 =
++
−
xx
Ta có:
549 +
=
1
9 4 5−
. Đặt
(
)
9 4 5
x
−
= t > 0
⇒
t +
t
1
= 18
⇒
t = 9
±
4
5
⇒
x =
±
2
Bài 3: Cho 2a + 3b = 5. Chứng minh: 2a
2
+ 3b
2
≥
5
HD: Ta có: 2a + 3b = 5
⇒
a =
2
3b-5
⇒
2a
2
+ 3b
2
=
15
2
(b – 1)
2
+ 5
≥
5
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1
Bài 4: Tìm các số nguyên x; y thoả mãn: x
2
y
2
– x
2
– 8y
2
= 2xy
HD: Ta có: x
2
y
2
– x
2
– 8y
2
= 2xy (1)
Ta có: x = y = 0 là một nghiệm của phương trình (1)
Xét x; y
≠
0 . Từ (1)
⇔
y
2
(x
2
– 7) = (x + y)
2
⇒
x
2
– 7 là số chính phương
⇒
x
2
– 7 = a
2
⇒
(x – a)(x + a) = 7
Kết quả: (x; y) = (0; 0) ; (4; -1) ; (4; 2) ; (-4; 1) ; (-4; -2)
Bài 5: Cho hai số dương x; y. Biết tổng của chúng bằng 6 lần trung bình nhân của chúng. Tính tỉ số
y
x
HD: Ta có: x + y = 6
xy
. Chia cả hai vế cho y ta được:
y
x
+ 1 = 6
x
y
. Đặt t =
y
x
> 0 ta có phương
trình:t
2
– 6t + 1 = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm t
1
= 3 + 2
2
và t
2
= 3 – 2
2
Vậy
y
x
= t
2
= 17
±
12
2
RÚT KINH NGHIỆM :
