De 77THTT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.23 KB, 3 trang )
Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề ra kỳ này”
187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI
Đề toán:
Tìm các tam giác có độ dài ba cạnh là các số nguyên dương và đường tròn nội tiếp có bán
kính bằng 2.
Quy Nhơn, ngày 01 tháng 03 năm 2010
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Tp.Quy Nhơn, tỉnh Bình Định
ĐT: 0563828529
Email:
LƯỢC GIẢI :
Tìm độ dài các cạnh của tam giác
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác ABC là :
BC = a, CA = b, AB = c (a, b, c N
*
), đặt p =
a b c
2
+ +
.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O),
Ta có: AE = AF = x, BD = BF = y, CD = CE = z.
Khi đó: x =
b c a
2
+ −
= p – a,
y =
c a b
2
+ −
= p – b,
z =
a b c
2
+ −
= p – c
Suy ra: x + y + z = (p – a) + (p – b) + (p – c) = 3p – (a + b + c) = 3p – 2p = p.
Từ hai công thức về diện tích tam giác suy ra:
S = pr =
( ) ( ) ( )
p p a p b p c− − −
.
Thay r = 2 vào đẳng thức và rút gọn:
(p-a)(p-b)(p-c) = 4p xyz = 4(x+y+z) (1)
Do a, b, c N
*
nên từ các đẳng thức trên suy ra x, y, z đồng thời là các số nguyên dương hoặc
nửa nguyên dương.
Nhận thấy nếu x có dạng m +
1
2
(m N
*
) thì do x + y = c N
*
nên y có dạng n +
1
2
(n N
*
), x + z = b nên z có dạng k +
1
2
(k N
*
).
Ta chứng minh x, y, z là các số nguyên dương bằng phản chứng. Giả sử:
*
1
x m
2
2x = 2m +1
1
y n
2y =2n +1
2
1
2z 2k 1
z k
2
(m,n, k N )
= +
= +
⇔
= +
= +
∈
, suy ra 2x, 2y, 2z là các số lẻ.
A
B C
D
E
F
y
y
x
x
z
z
O
r
r
r
a
b
c
Biến đổi đẳng thức (1):
(1) 8xyz = 32(x + y + z) 2x.2y.2z = 16.2(x + y + z) = 16(a + b + c): điều này vô lý
vì vế trái là số lẻ còn vế phải là số chẵn.
Do đó x, y, z là các số nguyên dương.
Vì x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z 1.
Khi đó từ đẳng thức (1) ta có:
xyz = 4(x + y + z) 4.3x = 12x
⇒
yz 12.
Mặt khác, xyz = 4(x + y + z) > 4x
⇒
yz > 4, do đó 5 yz 12.
+) Trước tiên ta xét chi tiết trường hợp yz = 5:
Với yz = 5 suy ra y = 5, z = 1 (do y z), ta có:
(1) 4(x + 5 + 1) = 5x x = 24, khi đó p = x + y + z = 24 + 5 + 1 = 30, ta có:
x = p – a 24 = 30 – a a = 6
y = p – b 5 = 30 – b b = 25
z = p – c 1 = 30 – c c = 29
Dễ dàng thử lại bộ giá trị ba cạnh của tam giác là: 6; 25; 29 thỏa mãn các điều kiện bài toán.
+) Các trường hợp còn lại của tích yz, kết hợp đẳng thức (1), ta lập bảng giá trị để tính x, y, z
và a, b, c rồi chọn giá trị thích hợp:
yz 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 12 12 12
y 5 6 3 7 8 4 9 3 10 5 11 12 6 4
z 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 2 3
x 24 14 10
32
3
9 6 8
24
5
44
6
28
6
48
7
52
8
4
28
8
a 6 7 5 / 9 6 10 / / / / / 8 /
b 25 15 12 / 10 8 9 / / / / / 6 /
c 29 20 13 / 7 10 17 / / / / / 10 /
Kết
quả
Chọn Chọn Chọn Loại Chọn Chọn Chọn Loại Loại Loại Loại Loại Chọn Loại
Từ bảng trên, ta tìm được 5 bộ giá trị a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn các điều
kiện bài toán và chúng được liệt kê trong bảng sau:
a 6 5 7 9 6
b 25 12 15 10 8
c 29 13 20 17 10
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Tp.Quy Nhơn, tỉnh Bình Định
Email:
