Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n
CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT
CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:
1/ LOẠI 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC
CÓ NGHĨA:
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm
điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có
trong bài toán và suất hiện trong quá trình biến
đổi.
Khi làm câu hỏi này cần chú ý:
+ Đối với phân thức
B
A
có nghĩa
⇔
B
≠
0
+ Đối với căn thức
A
có nghĩa
⇔
A
≥
0
2/ LOAI 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ:
Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện
cho sự tồn tại của biểu thức
Sử dụng thành thạo , linh hoạt các phép biến đổi
Chú ý một số phương pháp :

* Thông thường một biểu thức cần rút
gọn ở dạng
M = (
F
E
D
C
B
A
:)+
- Trước hết cần rút gọn từng phân thức
F
E
D
C
B
A
;;
( nếu có thể)
- Biến đổi , quy đồng , thực hiện phép
tính.
* Nếu a x
2
+ b x + c = 0 có 2 nghiệm x
1
,
x
2
thì
a x

2
+ b x + c = a ( x – x
1
)( x- x
2
)
Ví dụ : CMR giá trị của biểu thức
2 5 1 10
( 0)
3 2 4 3 5 6
x x x
M x
x x x x x x
+ +
= + + ≥
+ + + + + +
kh
ông phụ thuộc vào biến số x
Bài làm
2 5 1 10
( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3)
2 ( 3) (5 1)( 2) ( 10)( 1)
( 1)( 2)( 3)
2 6 5 11 2 11 10
5 5 6 6
2( 6 11 6)
2
6 11 6
x x x
M

x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
+ +
= + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
=
+ + +
+ + + + + + +
=
+ + + + +
+ + +
= =
+ + +

Vậy M không phụ thuộc vào x.
* Biến đổi biểu thức bên trong căn về
dạng bình phương để khai phương.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức :
2 2A a b c ac bc a b c ac bc= + + + + + + + − +

(a;b;c
≥
0 )
Bài làm

2 2
2 ( ) 2 ( )
( ) ( )
A a b a b c c a b a b c c
a b c a b c
= + + + + + + − + +
= + + + + −

a b c a b c= + + + + −

2
2
a b khi a b c
c khi a b c

+ + ≥

=

+ <


* Trong quá trình biến đổi biểu thức ta hay
sử dụng các hằng đẳng thức sau: a - b =
(
a
-
b
) (
a

+
b
)

a
3

±

b
3
= (
a

±

b
) ( a


ab
+ b)
(
a

±

b
)
2

= a
±
2
ab
+ b
3/ LOẠI 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
ĐẠI SỐ.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số:
Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A
±
2
B
Trong
đó A = a+b và B = a.b Thì A
±
2
B
= (
a

±

b
)
2
Ví dụ :
324 −
=
13)13(
2

−=−
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 1
Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n

245 +
=
23)23(625
2
+=+=+
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá
trị cho trước của biến (tính A(x) tại x = a)
+) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể
+) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã
rút gọn rồi thực hiện phép tính.
+) Bước 3: Kết luận.
4/ LOẠI 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN SỐ x
ĐỂ BIỂU THỨC A(x) THOẢ MÃN MỘT
ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ.
VD: +) Tìm x để A(x) = m (m
R∈
) (1)
+) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m… (2)
Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2)
Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x)
….
+) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện
khác như:
Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên.
Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất:
Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần

kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức để
kết luận.
+ Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị
nguyên của biểu thức:
VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A =
3
2
2
−
−
x
x
đạt giá trị nguyên.
⇒∈
−
−
Z
x
x
3
2
2
Z
x
xx
∈
−
+−
3
)2)(2(

2

Z
x
Z
x
x
∈
−
⇔∈
−
−
⇔
3
1
3
4
22
2
∈−⇔ 3
2
x
Ư (1)
x =
2;2 ±±
Với x = 2 thì A = 0
Với x = -2 thì A = - 4
5/ LOẠI 5: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA
BIẾN SỐ X

C/m giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc
vào biến sốx nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết
quả sau khi rút gọn không chứa biến.
6/ LOẠI 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
A(X)= B(X)
Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế
đơn giản.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Một số các câu hỏi trắc nghiệm về chương căn
Câu 1: Căn bậc hai của (a-b)
2
là:
A. a- b B. b- a C.
ba −
D. a- b và
b -a Câu 2: Căn bậc hai số học của (a+ b)
2
là:
A. a + b B. – (a + b) C.
ba +
D. (a +
b) và - (a+ b)
Câu 3: a/ Giá trị của x để 5 = 70 là
A. x= 980 B. x = 14 C. x= 196 D. – 196
b/ Giá trị của x để
35 =+ x
là :
A. x=2 B. x= 16 C. x = 1 D. 8
c/ Giá trị của x để
x

<
3
là
A. x<3 B. 0
3
<≤
x
C. x>3 D. x=3
d/ Giá trị của x để -
105 −<x
là
A. x< 20 B. x>20 C. 0 < x< 20D. x
> 4
Câu 4: Điều hệ thức hoặc cụm từ thích hợp vào
chỗ trống.
a/
2
a
có nghĩa khi …
b/
a3−
có nghĩa khi …
c/
144
2
+− aa
có nghĩa …
d/
b−2
3

có nghĩa khi…
e/
x35 −
có nghĩa khi…
f/
4
2
−a
xác định khi…
g/
1
2
+a
xác định…
h/
2
4 a−
xác định khi…
Câu 5: Kết quả của phép khai căn :
2
)5( −a
là
A. a-5B. 5-aC.
a−5
D. cả 3 điều sai
Câu 6: Kết quả của phép tính
549 −
là
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 2
Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n

A. 3-
52
B.
52 −
C.
25 −
D. cả 3
điều sai
Câu 7: Kết quả của phép tính : x-3 +
96
2
+− xx

với x< 3
A. 2x – 6 B. 0 C. 2x – 6 hoặc 0 D. Cả 3
đều sai
Câu 8: Giá trị của x để
xx −=− 4)4(
2
là:
A. x = 4 B. x< 4 C. x
4≤
D. x
4≥
Câu 9: Điền số thích hợp vào ô trống :
a/
+
2
12
 =

2
15
b/  +
2)32(
2
=−
c/
1528 −
=  - 
Câu 10.Điền dấu (>,<,=) vào
a/
1625 −

1625 −
b/
916
+

916 +
c/
20062004
+
 2
2005
d/
2
ba +

ab
(a

0;0 ≥≥ b
)
e/
2
ba +

2
ba +
(a
0;0 ≥≥ b
)
g/
3
2
2
1

2
1
3
2
h/ -
27
3
1
 -
12
2
1
f/ 5

10
 6
9
i/
3
3
20.2
 2
3
5
k/
3
3
2
200
 3
3
3
Câu 11. Giá trị của biểu thức
223
2
223
2
−
+
+

bằng
A. - 8
2

B. 8
2
C. 12 D.
-12
Câu 12: Giá trị của biểu thức
32
−
-
32
+
là
A. -
2
B.
2
C.
±
2
D. Một kết quả
khác.
Câu 13: Giá trị của x để
4459
3
1
9
5
3204 =−−
−
+− x
x

x
là:
A. 5 B. 9 C. 6 D. Cả A,B,C đều sai
Câu 14: Giá trị của biểu thức:
+
−
+
57
57
57
57
+
−
=
A. 1 B. 12 C. 2 D.
12
Câu 15: Giá trị của biểu thức:
66156615 ++−

A.
30
B.12
6
C.6 D.3
Câu 16: Giá trị của biểu thức:
3232
3232
−−+
−++
bằng:

C. BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a/
53
2
53
2
−
+
+
b/
15
55
53
1
53
1
−
−
÷








+
−

−
c/
( )
610154)154( −−+
d/
26
324
−
−
e/
( )
336623 −+
h/
( ) ( )
53535353 −+++−
Bài 2 : Thực hiên phép tính
) 14 6 5 14 6 5
) 13 30 2 5 4 2
2 3 2 3
)
2 2 3 2 2 3
2 3 2 3
)
2 3 2 3
) 6 2 2 3 2 12 18 128
a
b
c
d
e

+ + −
+ + +
+ −
+
+ + − −
− +
+
+ −
+ − + + −
Bài 3 : Rút gọn biểu thức .
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 2005
2 3 6 8 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 2002 2003
A
B
C
= + + + +
+ + + +
+ + + +
=
+ +
= + + + + + + + + + + + +
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 3

Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n
A =
a
x
xa
a
x
xa
22
22
+
+
+−
+
(x > 0; a > 0)
Bài 5: Cho biểu thức
B = (
4
4
2
2
2
2
−
−
+
−
−
−
+

x
x
x
x
x
x
) :
42
3
−
−
x
x
a/ Tìm điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn biểu thức A
Bài 6: Cho biểu thức A = (1 -
1
2
+x
x
) : (
1
2
1
1
+++
−
+ xxxx
x
x

)
a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tính giá trị của A
biết x = 2000 - 2
1999
Bài 7: Cho biểu thức P =
x
x
xxyxx
x
yxy
x
−
−
×
−−+
−
− 1
1
22
2
2
a/ Rút gọn P với x > 0; y > 0; x
≠
1; x
≠
4y
b/ Tính giá trị của biểu thức P biết 2x
2
+ y
2

–
4x – 2xy + 4 = 0
Bài 8: Cho biểu thức A = (
x
x
2
1
2
−
).(
11 −
+
−
+
−
x
xx
x
xx
)
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A > - 6
Bài 9: Cho biểu thức:
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
−

= + +
− − − + −
(đk: x>1)
a,Rút gọn biểu thức
A
b,Tìm x để
1A =
Bài 10 : Cho biểu thức:
2 1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
+ +
= + +
− + + −
a,Rút gọn biểu thức
A
b,C/m
0; 1x x
∀ ≥ ≠
thì
0A
≥
Bài 11: Cho biểu thức:
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x

A
x
x x x x
   
− − + −
= − − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a,C/m
5
3
A
x
=
+

0; 9; 25x x x
≥ ≠ ≠
b) Tìm
x Z
∈
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên
Bài 12: Cho biểu thức :
2
3

1 1 2
1
2(1 ) 2(1 )
x
A
x
x x
+
= + −
−
+ −
Rút gọn biểu thức A. b)Tìm x để biểu thức A
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài 13 : Cho biểu thức :
2
: ( )
a a b b b
A ab a b
a b a b
 
+
= − − +
 ÷
 ÷
+ +
 
C/m biểu thức Akhông phụ thuộc vào a và b.
Bài 14: Cho
: ( 0; 0; )
a a b b a a b b a b

A a b a b
a b a b a b
 
+ − −
= − ≥ ≥ ≠
 ÷
 ÷
+ − +
 
a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A khi
2 3; 2 3a b= − = +
Bài 15 : Cho biểu thức :
2 1 5 12
9
3 3
x x x x
B
x
x x
− + − −
= + +
−
− +
Tìm ĐK của x để B xác định b)Rút gọn B .
c)Tìm
x Z
∈
để biểu thức

B
nhận giá trị nguyên.
Bài 16 : Cho
1 1 ( 0; 1)
1 1
a a a a
P a a
a a
  
+ −
= + − ≥ ≠
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ − +
  
a. Rút gọn P
b. Tìm a để P >
2
Bài 17: Cho
2 1 1
1 1 1
x x
Q
x x x x x
+ +
= + −
− + + −
a. Rút gọnQ
b. Tính giá trị của Q khi
33 8 2x = −

c. CMR
1
3
Q <
.
Bài 18 : Cho
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
A
x x x x x
 
+ −
= + −
 ÷
 ÷
− + + −
 
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 4
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
a) CMR
0; 1x x
thỡ
0 2A
<
b) Tỡm x nguyờn A nhn giỏ tr nguyờn.
Bi 19 : Cho
2

:
y y xy
C
x y
x xy x xy

= +
ữ
ữ

+

a. Tỡm x , y C cú ngha
b. Rỳt gn C.
c. Tỡm x , y C = 1
Bi 20 : Cho
3 9 3 1 1 1
2 :
1
2 1 2
x x
P
x
x x x x

+
= + +
ữ
ữ


+ +

a. Rỳt gn P.
b. Tỡm s t nhiờn x
1
P
l s t nhiờn .
c. Tớnh P khi
4 2 3x =
Bi 21: Cho
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
P
x
x x x x


= +
ữ ữ
ữ ữ

+

a. Rỳt gn P.
b. Tỡm x P = -1
Tỡm m mi x > 9 ta cú
( 3) 1m x P x > +

Bi 22: Cho
a b a b
N
ab b ab a ab
+
= +
+
a. Rỳt gn N .
b. CMR nu
1
5
a a
b b
+
=
+
thỡ N cú giỏ tr khụng i .
Bi 23 Cho biu thc:
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
A
x x
+ +
=
+
a. Rỳt gn A .
b. Tỡm giỏ tr nguyờn ln nht ca x A cú giỏ

tr nguyờn .
D. BI TP T LM
Bi 1: Cho biu thc :
1 1
1 1
A
x y
=
+ +
Tớnh giỏ tr ca A khi
1 1
;
7 4 3 7 4 3
x y
= =
+
.
Bi 2 : Cho biu thc :
1
:
1
1 1 1 2
x x x
A
x
x x x

= +
ữ
ữ


+ +

a. Tỡm KX ca A.
b. Rỳt gn A.
c. Tớnh giỏ tr ca A khi
3 1
2
x

=
Bi 3 : Cho biu thc :
1 1
2 2 2 2
A
x x
=
+
a. Tỡm KX ca A.
b. Rỳt gn biu thc A.
c. Tớnh giỏ tr ca A bit
2
9 18 0x x
+ =
Bi 4 : Cho biu thc :
1 2 2 7 6 2A x x x x
= +
a. Tỡm KX ca A.
b. Tớnh giỏ tr ca A khi
2 3x


Bi 5 : Cho
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 1 3 3 1
x x x
A
x
x x x


= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a/ Rỳt gn biu thc A.
b/ Tỡm x
6
5
A =
.
Bi 6: Cho biu thc :
1 2
1 :
1
1 1
x x

A
x
x x x x x

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a/ Rỳt gn biu thc A.
b/ Tỡm x
0A
<
.
Bi 7: Cho biu thc :
1 3 2
1 1 1
A
x x x x x
= +
+ + +
a/ Rỳt gn biu thc A.
b/ C/m
0 1A
<
.
Bi 8:Cho biu thc
2
2 2 1

.
1
2 1 2
x x x
A
x
x x

+

=
ữ
ữ
ữ

+ +


a/ Rỳt gn biu thc A.
b/ C/m nu
0 1x
< <
thỡ
0A
>
c/ Tỡm giỏ tr ln nht ca A .
CC BI TON V BIN I CN THC,
PHN THC
Phn 1: Bin i cỏc biu thc cha s.
1) Rỳt gn cỏc biu thc sau:

Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 5
Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n

A 6 2 5 29 12 5= + − −
.

B 8 8 20 40= + + +
.

15 4 12
C ( 6 11)
6 1 6 2 3 6
 
= + − +
 ÷
+ − −
 
.
2) C/m đẳng thức:
3 3
1 1
2 2
1
3 3
1 1 1 1
2 2
+ −
+ =
+ + − −
.

3) C/m số
0
x 2 2 3 6 3 2 3= + + − − +
là
một nghiệm của phương trình:
4 2
x 16x 32 0− + =
.
4) Thu gọn
2 3 6 8 4
P
2 3 4
+ + + +
=
+ +
.
5) Tính giá trị của biểu thức
3 3
P x y 3(x y) 2004= + − + +
, trong đó
3 3 3 3
x 3 2 2 3 2 2 , y 17 12 2 17 12 2= + + − = + + −
6)
Rút gọn
1 1 1 1
P
1 5 5 9 9 14 2001 2005
= + + + +
+ + + +
7) Rút gọn biểu thức

1 1 1
A
2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005
= + + +
+ + +
8) Tính giá trị của biểu thức
1 1
A
a 1 b 1
= +
+ +
với
1 1
a ,b
2 3 2 3
= =
+ −
.
9) C/m
3 3
84 84
1 1
9 9
+ + −
là một số nguyên.
10) Rút gọn biểu thức
3 5 3 5
A
10 3 5 10 3 5
+ −

= −
+ + + −
.
11) Rút gọn biểu thức
A a b c 2 ac bc a b c 2 ac bc= + + + + + + + − +
12) Rút gọn các biểu thức:
2 3 2 3
A
2 2 3 2 2 3
+ −
= +
+ + − −
2 3 2 3 3 2 3
B 2 (24 8 6)
3 2
4 2 2 3 2 3 2 3
    
+
= + + − + +
 ÷ ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
+ + −
    
1 1 1 1 1 1
C 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 3 3 4 2002 2003
= + + + + + + + + +
13) Rút gọn các biểu thức:
A 4 7 4 7 2= + − − −

B 6 2 2 3 2 12 18 128= + − + + −
.
14) C/m
2 3 5 3 48
A
6 2
+ − +
=
+
là số nguyên.
15) Rút gọn biểu thức
3 6
A 2 3 4 2. 44 16 6= − +
.
16) Cho
3
10 6 3( 3 1)
x
6 2 5 5
+ −
=
+ −
. Tính
3 1997
P (x 4x 1)= − +
.
17) So sánh hai số
10 13+
và
7 17+

.
18) C/m
4 4
4
2
4 3 5 2 5 125
1 5
− + − =
+
.
19) Rút gọn biểu thức
2 3 4 5
A
2 3 5 6 8 10 16
+ + +
=
+ + + + + +
.
20) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 4
A 49 20 6 49 20 6= + + −
b)
B 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + − +
c)
C 4 15 4 15 2 3 5= + + − − −
21) C/m các số sau đây đều là các số nguyên:
a)
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
M

9 3 11 2
+ − −
=
−
b)
N 4 5 3 5 48 10 7 4 3= + + − +
.
22) Trục căn thức ở mẫu số:
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 6
Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n
a)
3 3
2
A
2 2 4 2
=
+ +
b)
3 3
6
B
2 2 2 4
=
− +
c)
3 3
2
C
2 4 2
=

+ +
.
23) Tính giá trị của biểu thức
3 2 2008
A (3x 8x 2)= + +
với
3
( 5 2) 17 5 38
x
5 14 6 5
+ −
=
+ −
.
24) C/m
3 3
x 9 4 5 9 4 5= + + −
là nghiệm của
phương trình
3
x 3x 18 0− − =
.
25) Rút gọn các biểu thức sau:
2
A ( 6 2 16 2 15 3)= − − +
.
B (3 10) 19 3 40= − +
2 10 30 2 2 6 2
C :
2 10 2 2 3 1

+ − −
=
− −
D 13 30 2 9 4 2= + + +
E m 2 m 1 m 2 m 1= + − + − −

F 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ( 2 10) 2008
= + + + − + − + +
Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến.
1) Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
A 1:
x 1
x x 1 x x 1
 
+ − −
= + −
 ÷
−
+ − +
 
a) Với điều kiện nào của x thì A xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) C/m A > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1.
2) Cho biểu thức
2
4a 10a 2 2a 20
A
(a 1)(a 2) (a 1)(a 3) (a 2)(a 3)
+ +

= + +
+ + + + + +
.
a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
3) Cho biểu thức
2
x 1 x 1 x 1
A
4
4 x x 1 x 1
   
− +
= − −
 ÷  ÷
+ −
   
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để
5
2A x
4
+ =
.
4) Cho biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
P
x x 2 x 2 x 1
+ − + −

= − −
+ − + −
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi
x 3 2 2= +
.
5) Cho biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
P
x x 2 x 2 1 x
+ − + −
= − +
+ − + −
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị
tương ứng của biểu thức A nguyên.
6) Cho biểu thức
1 x 2
M x 1
x 1 x x 1
 
+
 
= + −
 ÷
 ÷
+ + +
 

 
.
Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M.
7) Cho biểu thức
x x 1 x x 1 x 1
P
x x x x x
− + +
= − +
− +
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
9
P
2
=
.
8) Cho biểu thức
x x
A 1 x
x
+
= − −
.
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có
nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A + x - 8 = 0.
9) Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1

P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= + −
−
− + +
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) C/m
1
P
3
<
với x ≥ 0 và x ≠ 1.
10) Cho biểu thức
2x 1 x 2x x x x (x x )(1 x )
M 1 .
1 x
1 x x 2 x 1
− + + − − −
= − +
−
+ −
   
 ÷ ÷
   
a) Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó
hãy rút gọn M.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 7

Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2000 - M
khi x ≥ 4.
c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là
số nguyên.
11) Cho biểu thức
2x 2 x x 1 x x 1
P
x x x x x
+ − +
= + −
− +
.
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, C/m
biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng 1 giá trị nguyên.
12) Cho biểu thức
2
x 4 x 4 x 4 x 4
A
16 8
1
x
x
+ − + − −
=

− +
.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định.
b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị
nguyên.
13) Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P 2 :
x 1
x x 2 x 1 x 2
 
+ −
= + + −
 ÷
−
+ − − +
 
.
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy
rút gọn P.
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên.
c) Tính giá trị của P với
x 4 2 3= −
.
14) Cho biểu thức
x 2 x 3 x 2 x

P : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
   
+ + +
= − − −
 ÷  ÷
− + − − +
   
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
1 5
P 2
≤ −
.
15) Cho các biểu thức
2 2
5x 1 2 x 1
A :
1 2x 1 2x
4x 1 1 4x 4x
−
 
= + −
 ÷
− +
− + +
 

B 4 2 3 19 8 3= − + −
.

a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A và B.
c) Tìm những giá trị của x để A = B.
16) Cho biểu thức
x 1 x 2 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= − −
−
− + +
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
Q x
P
= +
.
17) Cho biểu thức
x 2 x 1 1
A
x x 1 x x 1 x 1
+ +
= + −
− + + −
.
a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
b) Tính A với

x 33 8 2= −
.
c) C/m
1
A
3
<
.
18) Cho biểu thức
2
x x 2x x 2(x 1)
P
x x 1 x x 1
− + −
= − +
+ + −
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị là số
nguyên.
19) C/m biểu thức sau có giá trị không phụ
thuộc vào x:
3 6
4

2 3. 7 4 3 x
A x
9 4 5. 2 5 x
− + −
= +
− + +
.
20) Cho biểu thức
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   
= − −
 ÷  ÷
+
− − + −
   
,
với x ≥0; x ≠ 1.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x sao cho P < 0.
21) Cho biểu thức
2x x x x x x x 1 x
M .
x 1
x x 1 2x x 1 2 x 1
+ − + −
= − +
−

− + − −
 
 ÷
 
a)
Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có
nghĩa, sau đó rút gọn M.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 8
Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n
b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá
trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M.
22) Cho biểu thức
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1
− −
=
− +
.
a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x).
b) C/m nếu x > 1 thì P(x). P(-x) <0.
23) Rút gọn biểu thức
2 2
x x x x
M x 1
x x 1 x x 1
− +
= − + +

+ + − +
với 0≤ x ≤ 1.
24) Cho biểu thức
2
x 1 x 1 1 x
P .
2
x 1 x 1 2 x
   
− +
= − −
 ÷ ÷
+ −
   
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
P
2
x
>
.
25) Cho biểu thức
x 2 x 1 1
M
x x 1 x x 1 1 x
+ +
= + +
− + + −
, với 0 ≤ x ≠ 1.

a) Rút gọn M.
b) C/m với 0 ≤ x ≠ 1, ta có M < 1/3.
26) Cho biểu thức
2 2 2 2
x y x y
P
(x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y)
= − −
+ − + + + −
.
a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P.
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
27) Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn
điều kiện x > 0, y < 0, x + y =1.
a) Rút gọn biểu thức
2 2 2
2 2 2 2 2 2
y x y 2x y x
M :
xy
(x y) (x y ) y x
 
−
= − +
 ÷
− − −
 
.
b) C/m A < -4.
28) Cho biểu thức

a 3 a 2 a a a a
P :
a 1
( a 2)( a 1) a 1 a 1
 
+ + +
 
= − +
 ÷
 ÷
−
+ − + −
 
 
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a để
1 a 1
1
P 8
+
− ≥
.
29) Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và
thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Đơn giản biểu
thức:
a b c b c c a a b
P
b c c a a b a b c
− − −

  
= + + + +
 ÷ ÷
− − −
  
.
30) Cho biểu thức
x 1 2 x
P 1 : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   
= + − −
 ÷  ÷
+
− + − −
   
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa
và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
Q P x= −
nhận giá trị nguyên.
31) Cho biểu thức
2 x 9 x 3 2 x 1
A
x 5 x 6 x 2 3 x
− + +
= − −
− + − −

.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A < 1.
c) Tính giá trị của biểu thức A với
x 29 12 5 29 12 5= + − −
.
d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng
là số nguyên.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 9
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
Chuyờn : t giỏc ni tip
I) Cỏc kin thc cn nh
1) Khỏi nim:

O
A
B
C
D
Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng
trũn c gi l t giỏc ni tip ng trũn (Gi
tt l t giỏc nt tip)
2) nh lớ
- Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc
i din bng 180
0
-Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i din
bng 180
0
thỡ t giỏc ú ni tip ng trũn.

3) Du hiu nhn bit (cỏc cỏch C/m ) t giỏc
ni tip
- T giỏc cú tng s do hai gúc i din bng
180
0
.
- T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc
trong ca nh i din.
- T giỏc cú bún nh cỏch u mt im(m ta
cú th xỏc nh c). im ú l tõm ng trũn
ngoi tip t giỏc.
- T giỏc cú hai nh k nhau cựng nhỡn cnh
cha hai nh cũn li di mt gúc a.
II) Bi tp
Bi 1: Cho

ABC vuụng A. Trờn AC ly dim
M v v ng trũn ng kớnh MC. K BM ct
ng trũn ti D. ng thng DA ct ng
trũn ti S. C/m :
a) T giỏc ABCD ni tip.
b)
ã
ã
A BD A CD=
c) CA l phõn giỏc ca
ã
SCB
Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tip na ng
trũn ng kớnh AD. Hai ng chộo AC v BD

ct nhau ti E. V EF vuụng gúc vi AD. C/m :
a) T giỏc ABEF, t giỏc DCEF ni tip .
b) CA l phõn giỏc ca ộBCF.
c) Gi M l trung im ca DE. C/m t giỏc
BCMF ni tip
Bi 3:T giỏc ABCD ni tip ng trũn ng
kớnh AD . Hai ng chộo AC , BD ct nhau ti
E . Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn AD l F .
ng thng CF ct ng trũn ti im th hai
l M . Giao im ca BD v CF l N . C/m :
a. CEFD l t giỏc ni tip .
b. Tia FA l tia phõn giỏc ca gúc BFM .
c. BE . DN = EN . BD
Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt
im D nm gia A v B . ng trũn ng
kớnh BD ct BC ti E . Cỏc ng thng CD ,
AE ln lt ct ng trũn ti cỏc im th hai F
, G . C/m :
a) Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD .
b) T giỏc ADEC v AFBC ni tip c trong
mt ng trũn .
c) AC song song vi FG .
d) Cỏc ng thng AC , DE v BF ng quy .
Bi 5: Cho tam giỏc vuụng ABC (
0
90A =
; AB
> AC) v mt im M nm trờn on AC (M
khụng trựng vi A v C). Gi N v D ln lt l
giao im th hai ca BC v MB vi ng trũn

ng kớnh MC; gi S l giao im th hai gia
AD vi ng trũn ng kớnh MC; T l giao
im ca MN v AB. C/m :
a. Bn im A, M, N v B cựng thuc mt
ng trũn.
b. CM l phõn giỏc ca gúc
BCS

.
c.
TA TC
TD TB
=
.
Bi 6:Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi
ng trũn. Qua A dng hai tip tuyn AM v
AN vi ng trũn (M, N l cỏc tip im) v
mt cỏt tuyn bt kỡ ct ng trũn ti P, Q. Gi
L l trung im ca PQ.
a/ C/m 5 im: O; L; M; A; N cựng thuc mt
ng trũn.
b/ C/m LA l phõn giỏc ca
ã
MLN
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 10
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
c/ Gi I l giao im ca MN v LA. C/m MA
2

= AI.AL

d/ Gi K l giao im ca ML vi (O). C/m
KN // AQ.
e/ C/m

KLN cõn.
Bi 7:Cho ng trn (O; R) tip xc vi ng
thng d ti A. Trờn d ly im H khụng trựng vi
im A v AH <R. Qua H k ng thng vuụng
gúc vi d, ng thng ny ct ng trn ti
hai im E v B ( E nm gia B v H)
a. C/m gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc
ABH ng dng vi tam giỏc EAH.
b. Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca
on AC, ng thng CE ct AB ti K. C/m
AHEK l t giỏc ni tip.
c. Xỏc nh v trớ im H AB= R .
Bi 8: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni
tip ng trũn (O). Cỏc ng cao AD, BE, CF
ct nhau ti H v ct ng trũn (O) ln lt ti
M,N,P. C/m :
a. Cỏc t giỏc AEHF, ni tip .
b.Bn im B,C,E,F cựng nm trờn mt ng
trũn.
c. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
d. H v M i xng nhau qua BC.
e. Xỏc nh tõm ng trũn ni tip tam giỏc
DEF
Bi 9: Cho DABC khụng cõn, ng cao AH,
ni tip trong ng trũn tõm O. Gi E, F th t
l hỡnh chiu ca B, C lờn ng kớnh AD ca

ng trũn (O) v M, N th t l trung im ca
BC, AB. C/m :
a. Bn im A,B, H, E cựng nm trờn ng trũn
tõm N v HE// CD.
b. M l tõm ng trũn ngoi tip DHEF.
Bi 10: Cho ng trũn tõm O v im A bờn
ngoi ng trũn. V cỏc tip tuyn AB, AC v
cỏt tuyn ADE vi ng trũn ( B v C l cỏc
tip im). Gi Hl trung im ca DE.
a. C/m A,B, H, O, C cựng thuc mt ng
trũn. Xỏc nh tõm ca ng trũn ny.
b. C/m : HA l tia phõn giỏc
ã
BHC
.
c. Gi I l giao im ca BC v DE. C/m : AB
2

= AI.AH
c. BH ct (O) ti K. C/m : AE // CK.
Bi 11:T mt im S ngoi ng trũn (O)
v hai tip tuyn SA, SB v cỏt tuyn SCD ca
ng trũn ú.
a.Gi E l trung im ca dõy CD. C/m 5 im
S,A,E,O,B cựng thuc mt ng trũn
b.Nu SA = AO thỡ SAOB l hỡnh gỡ? ti sao?
c. Chmg minh rng:
.
. .
2

AB CD
AC BD BC DA
= =
Bi 12:Cho na ng trũn (O; R) ng kớnh
AB. K tip tuyn Bx v ly hai im C v D
thuc na ng trũn. Cỏc tia AC v AD ct Bx
ln lt E, F (F gia B v E).
a. C/m AC. AE khụng i.
b. C/m ộ ABD = ộ DFB.
c.C/m CEFD l t giỏc ni tip.
Bi 13:Trờn ng thng d ly ba im A,B,C
theo th t ú. Trờn na mt phng b d k hai
tia Ax, By cựng vuụng gúc vi dt. Trờn tia Ax
ly I. Tia vuụng gúc vi CI ti C ct By ti K.
ng trũn ng kớnh IC ct IK ti P.
a) C/m t giỏc CBPK ni tip c ng trũn .
b) C/m AI.BK = AC.CB
c) Gi s A, B, I c nh hóy xỏc nh v trớ im
C sao cho din tớch hỡnh thang vuụng ABKI ln
nht.
Bi 14: Cho DABC vuụng ti A. K ng cao
AH, v ng trũn ng kớnh AH, ng trũn
ny ct AB ti E, ct AC ti F.
a) C/m AEHF l hỡnh ch nht.
b) C/m :BEFC l t giỏc ni tip .
c) C/m : AB.AE = AC.AF
d) Gi M l l giao im ca CE v BF. Hóy so
sỏnh din tớch ca t giỏc AEMF v din tớch ca
tam giỏc BMC.
Bi 15: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), cỏc

ng cao AD, BE, ct nhau ti H. Gi O l tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc AHE.
a. C/m t giỏc CEHD ni tip .
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 11
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
b. Bn im A, E, D, B cựng nm trờn mt
ng trũn.
c. C/m ED =
2
1
BC.
d. C/m DE l tip tuyn ca ng trũn (O).
e. Tớnh di DE bit DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bi 16:T im M ngoi ng trn (O) v 2
tip tuyn MA v MB. Trn cung nh AB ly 1
im C. V CD

AB; CE

MA; CF

MB. Gi
I l giao im ca AC v DE; K l giao im ca
BC v DF. C/m :
a) T giỏc AECD; BFCD ni tip c.
b) CD
2
= CE.CF
c) IK


CD
Bi 17 Cho tam giỏc u ABC ni tip ng
trũn (O). M l im di ng trờn cung nh BC.
Trờn on thng MA ly im D sao cho MD =
MC.
a) C/m
DMC

u.
b) C/m MB + MC = MA.
c) C/m t giỏc ADOC ni tip c.
d) Khi M Di ng trờn cung nh BC thỡ D di
ng trờn ng c nh no ?
Bi 18: Cho ng trũn (O; R), t mt im A
trờn (O) k tip tuyn d vi (O). Trờn ng
thng d ly im M bt kỡ ( M khỏc A) k cỏt
tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k
tip tuyn MB (B l tip im). K AC ^ MB,
BD ^ MA, gi H l giao im ca AC v BD, I
l giao im ca OM v AB.
a. C/m t giỏc AMBO ni tip.
b. C/m nm im O, K, A, M, B cựng nm trờn
mt ng trũn .
c. C/m OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
d. C/m OAHB l hỡnh thoi.
e. C/m ba im O, H, M thng hng.

f. Tỡm qu tớch ca im H khi M di chuyn trờn
ng thng d.
Bi 19:Cho 3 im A; B; C c nh thng hng
theo th t. V ng trũn (O) bt k i qua B
v C (BC khụng l ng kớnh ca (O). K t
cỏc tip tuyn AE v AF n (O) (E; F l cỏc tip
im). Gi I l trung im ca BC; K l trung
im ca EF, giao im ca FI vi (O) l D. C/m
:
a. AE
2
= AB.AC
b. T giỏc AEOF
c. Nm im A; E; O; I; F cựng nm trờn mt
ng trũn.
d. ED song song vi Ac.
e. Khi (O) thay i tõm ng trũn ngoi tip
tam giỏc OIK luụn thuc mt ng thng c
nh.
Bi 20:Cho DABC cú cỏc gúc u nhn v
à
0
45A =
. V ng cao BD v CE ca DABC.
Gi H l gia im ca BD v CE.
a. C/m t giỏc ADHE ni tip.
b. Tớnh t s
DE
BC
c) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip DABC.

C/m OA ^ DE
Bi 21:Cho tam giỏc nhn PBC. Gi A l chõn
ng cao k t P xung cnh BC. ng trũn
ng kớnh BC ct PB, PC ln lt M v N.
Ni N vi A ct ng trũn ng kớnh BC
im th hai E
a/ C/m : 4 im A, B, N, P cựng nm trờn mt
ng trũn. Hóy xỏc nh tõm v bỏn kớnh ng
trũn y.
b/ C/m : EM vuụng gúc vi BC
c/ Gi F l im i xng ca N qua BC. C/m
AM.AF = AN.AE
Bi 22 Cho tam giỏc vuụng ABC (
0
90A =
); trờn
on AC ly im D (D khụng trựng vi cỏc
im A v C). ng trũn ng kớnh DC ct
BC ti cỏc im th hai E; ng thng BD ct
ng trũn ng kớnh DC ti im F (F khụng
trựng vi D). C/m :
a. Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EDC.
b. T giỏc ABCF ni tip ng trũn.
c. AC l tia phõn giỏc ca gúc EAF.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 12
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
Bi 23:Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB>CD;
AB//CD) ni tip trong ng trũn (O). Tip
tuyn vi ng trũn (O) ti A v D ct nhau ti
E. Gi I l giao im ca hai ng chộo AC v

BD
a/ C/m : T giỏc AEDI ni tip
b/ C/m AB//EI
c/ ng thng EI ct cnh bờn AD v BC ca
hỡnh thang tng ng R v S. C/m :
* I l trung im ca RS
*
RSCDAB
211
=+
Bi 24:Cho ng trũn (O; R) cú hai ng kớnh
AOB v COD vuụng gúc vi nhau. Ly im E
bt kỡ trờn OA, ni CE ct ng trũn ti F. Qua
F dng tip tuyn Fx vi ]ng trũn, qua E dng
Ey vuụng gúc vi OA. Gi I l giao im ca Fx
v Ey
a/ C/m I; E; O; F cựng nm trờn mt ng trũn.
b/ T giỏc CEIO l hỡnh gỡ? vỡ sao?
c/ Khi E chuyn ng trờn AB thỡ I chuyn ng
trờn ng no?
Bi 25: Cho na ng trũn ng kớnh BC bỏn
kớnh R v im A trờn na ng trũn (A khỏc B
v C). T A h AH vuụng gúc vi BC. Trờn na
mt phng b BC cha im A v na ng
trũn ng kớnh BH ct AB ti E, na ng
trũn ng kớnh HC ct AC ti F.
a. T giỏc AFHE l hỡnh gỡ? Ti sao?
b. C/m BEFC l t giỏc ni tip.
c. Hóy xỏc nh v trớ ca im A sao cho t giỏc
AFHE cú din tớch ln nht. Tớnh din tớch ln

nht ú theo R.
Bi 26: Cho 3 im M, N, P thng hng theo th
t ú. Mt ng trũn (O) thay i i qua hai
im M, N. T P k cỏc tip tuyn PT, PT vi
ng trũn (O)
a. C/m : PT
2
= PM.PN. T ú suy ra khi (O) thay
i vn qua M, N thỡ T, T thuc mt ng trũn
c nh.
b. Gi giao im ca TT vi PO, PM l I v J.
K l trung im ca MN.
c. C/m : Cỏc t giỏc OKTP, OKIJ ni tip.
d. C/m : Khi ng trũn (O) thay i vn i qua
M, N thỡ TT luụn i qua im c nh.
e. Cho MN = NP = a. Tỡm v trớ ca tõm O
gúc

TPT = 60
0
.
Bi 27:Cho DABC vuụng A. Trờn AC ly
im M (MA v C). V ng trũn ng kớnh
MC. Gi T l giao im th hai ca cnh BC vi
ng trũn. Ni BM kộo di ct ng trũn ti
im th hai l D. ng thng AD ct ng
trũn (O) ti im th hai S. C/m :
a. T giỏc ABTM ni tip
b. Khi M chuyn ng trờn AC thỡ
ã

A DM
cú s
o khụng i.
c. AB//ST.
Bi 28:Cho hai ng trũn bng nhau (O) v
(O') ct nhau ti A, B. ng vuụng gúc vi AB
k qua B ct (O) v (O') ln lt ti cỏc im C,
D. Ly M trờn cung nh BC ca ng trũn (O).
Gi giao im th hai ca ng thng MB vi
ng trũn (O') l N v giao im ca hai ng
thng CM, DN l P.
a. Tam giỏc AMN l tam giỏc gỡ, ti sao?
b. C/m ACPD ni tip c ng trũn.
c. Gi giao im th hai ca AP vi ng trũn
(O') l Q, C/m BQ // CP.
Bi 29:Cho

ABC vuụng ti A (AB < AC). H
bt k nm gia A v C. ng trn (O) ng
kớnh HC ct BC ti I. BH ct (O) ti D.
a) C/m t gic ABCD ni tip.
b) AB ct CD ti M. C/m 3 im H; I; M thng
hng
c) AD ct (O) ti K. C/m CA l tia phõn giỏc
ca
ã
KCB
Bi 30:Cho ng trũn (O), ng kớnh AB c
nh, im I nm gia A v O sao cho AI = 2/3
AO. K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I, gi C

l im tu ý thuc cung ln MN sao cho C
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 13
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
khụng trựng vi M, N v B. Ni Ac ct MN ti
E.
a. C/m t giỏc IECB ni tip .
b. C/m tam giỏc AME ng dng vi tam giỏc
ACM.
c. C/m AM
2
= AE.AC.
d. C/m AE. AC - AI.IB = AI
2
.
e. Hóy xỏc nh v trớ ca C sao cho khong cỏch
t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc
CME l nh nht.
Bi 31:Cho na ng trn (O;R) ng kớnh
AB, dõy AC. Gi E l im chớnh gia cung AC
bỏn kớnh OE ct AC ti H, v CK song song vi
BE ct AE ti K.
a. C/m t giỏc CHEK ni tip.
b. C/m KH

AB
c. Cho BC = R. Tớnh PK
Bi 32:Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), I l
tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn
bng tip gúc A , O l trung im ca IK.
a. C/m B, C, I, K cựng nm trờn mt ng trũn.

b. C/m AC l tip tuyn ca ng trũn (O).
c. Tớnh bỏn kớnh ng trũn (O) Bit AB = AC
= 20, BC = 24
Bi 33:Cho im A bờn ngoi ng trũn (O ;
R). T A v tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn
ADE n ng trũn (O). Gi H l trung im
ca DE.
a) C/m nm im : A, B, H, O, C cựng nm trờn
mt ng trũn.
b) C/m HA l tia phõn giỏc ca
ã
BHC
.
c) DE ct BC ti I. C/m :
2
AB AI.AH=
.
d) Cho
AB=R 3
v
R
OH=
2
. Tớnh HI theo R.
Bi 34:Cho na ng trũn tõm O ng kớnh
AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn ( M
khỏc A,B). Trờn na mt phng b AB cha na
ng trũn k tip tuyn Ax. Tia BM ct Ax ti
I; tia phõn giỏc ca gúc IAM ct na ng trũn
ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct

AM ti K.
a) C/m : EFMK l t giỏc ni tip.
b) C/m : AI
2
= IM . IB.
c) C/m BAF l tam giỏc cõn.
d) C/m : T giỏc AKFH l hỡnh thoi.
e) Xỏc nh v trớ ca M t giỏc AKFI ni tip
c mt ng trũn.
Bi 35:Cho hai ng trũn (O
1
), (O
2
) cú bỏn
kớnh bng nhau v ct nhau A v B. V cỏt
tuyn qua B khụng vuụng gúc vi AB, nú ct hai
ng trn E v F. (E (O
1
); F (O
2
)).
a. C/m AE = AF.
b.V cỏt tuyn CBD vuụng gúc vi AB ( C
(O
1
); D (O
2
)). Gi P l giao im ca CE v
DF. C/m :
c. Cỏc t giỏc AEPF v ACPD ni tip c

ng trn.
d. Gi I l trung im ca EF C/m ba im A, I,
P thng hng.
e. Khi EF quay quanh B th I v P di chuyn
trn ng no?
Bi 36: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cnh BC,
CD ln lt ly im E, F sao cho
ã
0
45EAF
=
.
Bit BD ct AE, AF theo th t ti G, H. C/m :
a. ADFG, GHFE l cỏc t giỏc ni tip
b. DCGH v t giỏc GHFE cú din tớch bng
nhau
Bi 37:Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R, hai
im C v D thuc ng trũn, B l trung im
ca cung nh CD. K ng kớnh BA; trờn tia
úi ca tia AB ly im S, ni S vi C ct (O) ti
M; MD ct AB ti K; MB ct AC ti H.
a. C/m :
BMD
=
BAC

, t ú suy ra t giỏc
AMHK ni tip.
b. C/m : HK // CD.
c. C/m : OK.OS = R

2
.
Bi 38:Cho ng trũn (O), mt ng kớnh AB
c nh, mt im I nm gia A v O sao cho AI
= 2/3 AO. K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I.
Gi C l im tu ý thuc cung ln MN, sao cho
C khụng trựng vi M, N v B. Ni AC ct MN
ti E.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 14
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
a. C/m t giỏc IECB ni tip c trong mt
ng trũn.
b. C/m
V
AME ng dng vi
V
ACM v AM
2
=
AE.AC.
c. C/m AE.AC

AI.IB = AI
2
.
d. Hóy xỏc nh v trớ ca im C sao cho khong
cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam
giỏc CME l nh nht.
Bi 39Cho ba im A, B, C trờn mt ng
thng theo th t y v ng thng d vuụng gúc

vi AC ti A. V ng trũn ng kớnh BC v
trờn ú ly im M bt kỡ. Tia CM ct ng
thng d ti D; Tia AM ct ng trũn ti im
th hai N; Tia DB ct ng trũn ti im th
hai P.
a/ C/m : T giỏc ABMD ni tip c.
b/C/m : Tớch CM. CD khụng ph thuc vo v trớ
im M.
c/T giỏc APND l hỡnh gỡ? Ti sao?
d/C/m trng tõm G ca tam giỏc MAB chy trờn
mt ng trũn c nh.
Bi 40: Cho ng trũn (O) v im A nm
ngoi ng trũn. Cỏc tip tuyn vi ng trũn
k t A tip xỳc vi ng trũn B v C. Gi M
l im tu ý trờn ng trũn (M khỏc B v C).
Gi H; K; I ln lt l chõn cỏc ng vuụng
gúc k t M xung BC; CA; AB.
a/ C/m : T giỏc MHBI, MHCK ni tip.
b/ C/m :
ã
ã
MHI MK H=
.
c/ C/m : MH
2
= MI.MK.
Bi 41:Cho ng trũn (O) ng kớnh AB =
2R. ng thng (d) tip xỳc vi ng trũn (O)
ti A. M v Q l hai im trờn (d) sao cho MA,
MQ, QA. Cỏc ng thng BM v BQ ln l-

t ct ng trũn (O) ti cỏc im th hai l N
v P. C/m :
a. Tớch BN.BM khụng i.
b. T giỏc MNPQ ni tip.
c. Bt ng thc: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bi 42:Cho t giỏc ABCD ni tip trong ng
trũn tõm O v P l trung im ca cung AB
khụng cha C v D. Hai dõy PC v PD ln lt
ct dõy AB ti E v F. Cỏc dõy AD v PC kộo
di ct nhau ti I, cỏc dõy BC v PD kộo di ct
nhau ti K. C/m :
a. Gúc CID bng gúc CKD.
b. T giỏc CDFE ni tip c mt dng trũn.
c. IK // AB.
Bi 43:Trờn ng trũn (O; R) ng kớnh AB,
ly hai im M, E theo th t A, M, E, B (hai
im M, E khỏc hai im A, B). AM ct BE ti
C; AE ct BM ti D.
a. C/m MCED l mt t giỏc ni tip v CD
vuụng gúc vi AB.
b. Gi H l giao im ca CD v AB. C/m
BE.BC = BH.BA.
c. C/m cỏc tip tuyn ti M v E ca ng trũn
(O) ct nhau ti mt im nm trờn ng thng
CD.
d. Cho bit
0
45BAM =
v
0

30BAE =
. Tớnh din
tớch tam giỏc ABC theo R.
Bi 44:Cho ng trũn (O) ng kớnh AB. Mt
cỏt tuyn MN quay xung quanh trung im H
ca OB. Gii I l trung im ca MN. T A k
Ax vuụng gúc vi MN ti K. Gi C l giao im
ca Ax vi tia BI.
a/ C/m : BN// MC
b/ C/m : T giỏc OIKC l hỡnh ch nht
c/ Tip tuyn Bt vi ng trũn (O) ct tia AM
E, ct tia Ax F. Gi D l giao im th hai ca
tia Ax vi (O). C/m : t giỏc DMEF ni tip
Bi 45: Cho D ABC cõn (AB = AC) v gúc A
nh hn 60
0
; trờn tia i ca tia AC ly im D
sao cho AD = AC.
a. Tam giỏc BCD l tam giỏc gỡ? ti sao?
b. Kộo di ng cao CH ca D ABC ct BD ti
E. V ng trũn tõm E tip xỳc vi CD ti F.
Qua C v tip tuyn CG ca ng trũn ny.
C/m : Bn im B, E, C, G thuc mt ng
trũn.
d. Cỏc ng thng AB v CG ct nhau ti M, t
giỏc AFGM l hỡnh gỡ? Ti sao?
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 15
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
e. C/m : D MBG cõn.
Bi 46:Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R, ng

thng d khụng qua O v ct ng trũn ti hai
im A, B . T mt im C trờn d (C nm ngoi
ng trũn), k hai tip tuyn CM, CN vi
ng trũn (M, N thuc (O)). Gi H l trung
im ca AB, ng thng OH ct tia CN ti K.
a. C/m bn im C, O, H, N cựng nm trờn mt
ng trũn.
b. C/m KN.KC = KH.KO.
c. on thng CO ct ng trũn (O) ti I, C/m
I cỏch u CM, CN v MN.
d. Mt ng thng i qua O v song song vi
MN ct cỏc tia CM, CN ln lt ti E v F. Xỏc
nh v trớ ca C trờn d sao cho din tớch tam giỏc
CEF l nh nht.
Bi 47:Cho BC l dõy cung c nh ca ng
trũn (O; R) (0 < BC < 2R). A l mt im di
ng trờn cung ln BC sao cho

ABC nhn.
Cỏc ng cao AD; BE; CF ct nhau ti H (D

BC; E

CA; F

AB)
a. C/m : T giỏc BCEF ni tip. T ú suy ra
AE.AC = AF.AB
b. Gi A' l trung im ca BC. C/m : AH =
2OA'

c. K ng thng d tip xỳc vi ng trũn (O)
ti A. t S l din tớch

ABC, 2p l chu vi

DEF. C/m : d // EF
S = p.R
Bi 48:Cho hỡnh thang ABCD cú ỏy ln AD v
ỏy nh BC ni tip trong ng trũn tõm O; AB
v CD kộo di ct nhau ti I. Cỏc tip tuyn ca
ng trũn tõm O ti B v D ct nhau ti im
K.
a. C/m cỏc t giỏc OBID v OBKD l cỏc t
giỏc ni tip.
b. C/m IK song song vi BC.
c. Hỡnh thang ABCD phi tho món iu kin gỡ
t giỏc AIKD l hỡnh bỡnh hnh.
Bi 49:Cho ng trũn (O;R) v mt im A
nm trờn ng trũn. Mt gúc xAy = 90
0
quay
quanh A v luụn tho món Ax, Ay ct ng
trũn (O). Gi cỏc giao im th hai ca Ax, Ay
vi (O) tng ng l B, C. ng trũn ng
kớnh AO ct AB, AC ti cỏc im th hai tng
ng l M, N. Tia OM ct ng trũn ti P. Gi H
l trc tõm tam giỏc AOP. C/m
a. AMON l hỡnh ch nht
b. MN//BC
c. T giỏc PHOB ni tip

d. Xỏc nh v trớ ca gúc xAy sao cho tam giỏc
AMN cú din tớch ln nht.
Bi 50: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB.
im I nm gia A v O (I khỏc A v O). K dõy
MN vuụng gúc vi AB ti I. Gi C l im tu ý
thuc cung ln MN (C khỏc M, N khỏc B). Ni
AC ct MN ti E. C/m :
a) T giỏc IECB ni tip.
b) AM
2
= AE.AC
c) AE.AC AI.IB = AI
2
Bi 51:Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB
v hai im C, D thuc na ng trũn sao cho
cung AC nh hn 90
0
v gúc COD = 90
0
. Gi M
l mt im trờn na ng trũn sao cho C l
im chớnh gia cung AM. Cỏc dõy AM, BM ct
OC, OD ln lt ti E, F
a) T giỏc OEMF l hỡnh gỡ? Ti sao?
b) C/m : D l im chớnh gia cung MB.
c) Mt ng thng d tip xỳc vi na
ngtrũn ti M v ct cỏc tia OC, OD ln lt
ti I, K. C/m cỏc t giỏc OBKM v OAIM ni
tip c.
d) Gi s tia AM ct tia BD ti S. Hóy xỏc nh

v trớ ca C v D sao cho 5 im M, O, B, K, S
cựng thuc mt ng trũn.
Bi 52: Cho ng trũn (O) v hai im A, B
phõn bit thuc (O) sao cho ng thng AB
khụng i qua tõm O. Trờn tia i ca tia AB ly
im ly im M khỏc A, t M k hai tip tuyn
phõn bit ME, MF vi ng trũn (O) (E, F l
cỏc tip im). Gi H l trung im ca dõy cung
AB. Cỏc im K v I theo th t l giao im
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 16
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
ca ng thng EF vi cỏc ng thng OM v
OH.
a) C/m 5 im M, O, H, E, F cựng nm trờn mt
ng trũn.
b) C/m : OH.OI = OK. OM
c) C/m : IA, IB l cỏc tip tuyn ca ng trũn
(O)
Bi 53:Cho ng trũn (O) ng kớnh AC.
Trờn bỏn kớnh OC ly im B tu ý (B khỏc O, C
). Gi M l trung im ca on AB. Qua M k
dõy cung DE vuụng gúc vi AB. CD ct ng
trũn ng kớnh BC ti I.
a/ C/m t giỏc BMDI ni tip .
b/ C/m t giỏc ADBE l hỡnh thoi.
c/ C/m BI // AD.
d/C/m I, B, E thng hng.
e/C/m MI l tip tuyn ca ng trũn ng
kớnh BC.
Bi 54:Cho ng trũn (0) v mt im A nm

ngoi ng trũn. T A k hai tip tuyn AB,
AC v cỏt tuyn AMN vi ng trũn (B, C, M,
N thuc ng trũn v AM < AN). Gi E l
trung im ca dõy MN, I l giao im th hai
ca ng thng CE vi ng trũn.
a. C/m : Bn im A, 0, E, C cựng thuc mt
ng trũn.
b. C/m : gúc AOC bng gúc BIC
c. C/m : BI // MN
d. Xỏc nh v trớ cỏt tuyn AMN din tớch
tam giỏc AIN ln nht.
Bi 55:Cho ng trũn (O) cú tõm O, ng
kớnh AB. Trờn tip tuyn ca ng trũn O ti A
ly im M (M khụng trựng vi A). T M k cỏt
tuyn MCD (C nm gia M v D; tia MC nm
gia tia MA v tia MO) v tip tuyn th hai MI
(I l tip im) vi ng trũn (O). ng thng
BC v BD ct ng thng OM ln lt tai E v
F. C/m :
a. Bn im A, M, I v O nm trờn mt ng
trũn.
b.
IAB AMO
=
.
c. O l trung im ca FE
Bi 56:Cho na ng trũn (0) ng kớnh AB,
M thuc cung AB, C thuc OA. Trờn na mt
phng b AB cú cha M k tia Ax,By vuụng gúc
vi AB .ng thng qua M vuụng gúc vi MC

ct Ax, By ti P v Q .AM ct CP ti E, BM ct
CQ ti F.
a/ C/m : T giỏc APMC, EMFC ni tip
b/ C/m : EF//AB
c/ Tỡm v trớ ca im C t giỏc AEFC l hỡnh
bỡnh hnh
Bi 57: Cho ng trũn (O) v ng thng xy
ngoi ng trũn. ng thng i qua O vuụng
gúc vi xy ti H ct ng trũn (O) ti A v B.
M l im trờn (O), ng thng AM ct xy ti
E, ng thng BM ct xy ti F, tip tuyn ti M
ct xy ti I, ng thng AF ct (O) ti K. Ni E
vi K.
a. C/m : IM = IF
b. C/m : 4 im E, M, K, F cựng thuc mt
ng trũn.
c. C/m : IK l tip tuyn ca (O).
d. Tỡm hp tõm ng trũn ngoi tip

AMH
khi M di ng trờn (O)
Bi 58: Cho ng trũn (O; R) cú ng kớnh
AB; im I nm gia hai im A v O. K
ng thng vuụng gúc vi AB ti I, ng
thng ny ct ng trũn (O; R) ti M v N. Gi
S l giao im BM v AN. Qua S k ng
thng song song vi MN, ng thng ny ct
cỏc ng thng AB v AM ln lt K v H.
Hóy C/m :
a) T giỏc SKAM l t giỏc ni tip v

HS.HK=HA.HM.
b) KM l tip tuyn ca ng trũn (O; R)
c) Ba im H; N; B thng hng
Bi 59:Cho ng trũn (0; R), mt dõy CD cú
trung im M. Trờn tia i ca tia DC ly im
S, qua S k cỏc tip tuyn SA, SB vi ng
trũn. ng thng AB ct cỏc ng thng SO ;
OM ti P v Q.
a. C/m t giỏc SPMQ, t giỏc ABOM ni tip.
b. C/m SA
2
= SD. SC.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 17
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
c. C/m OM. OQ khụng ph thuc vo v trớ
im S.
d. Khi BC // SA. C/m tam giỏc ABC cõn ti A
e. Xỏc nh v im S trờn tia i ca tia DC
C, O, B thng hng v BC // SA.
Bi 60:Cho na ng trũn (0) ng kớnh AB,
M l mt im chớnh gia cung AB. K thuc
cung BM ( K khỏc M v B ). AK ct MO ti I.
a. C/m : T giỏc OIKB ni tip c trong mt
ng trũn.
b. Gi H l hỡnh chiu ca M lờn AK. C/m : T
giỏc AMHO ni tip .
c. Tam giỏc HMK l tam giỏc gỡ ?
d. C/m : OH l phõn giỏc ca gúc MOK.
e. Xỏc nh v trớ ca im K chu vi tam giỏc
OPK ln nht (P l hỡnh chiu ca K lờn AB)

Bi 61: Cho tam giỏc ABC vi ba gúc nhn ni
tip ng trũn (0). Tia phõn giỏc trong ca gúc
B, gúc C ct ng trũn ny th t ti D v E,
hai tia phõn giỏc ny ct nhau ti F. Gi I, K theo
th t l giao im ca dõy DE vi cỏc cnh AB,
AC.
a) C/m : cỏc tam giỏc EBF, DAF cõn.
b) C/m t giỏc DKFC ni tip v FK // AB
c) T giỏc AIFK l hỡnh gỡ ? Ti sao ?
d) Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC t giỏc
AEFD l hỡnh thoi ng thi cú din tớch gp 3
ln din tớch t giỏc AIFK.
Bi 62:Cho ng trũn (O), mt ng kớnh AB
c nh, trờn on OA ly im I sao cho
AI =2/3 OA. K dõy MN vuụng gúc vi AB ti
I. Gi C l im tu ý thuc cung ln MN ( C
khụng trựng vi M, N, B). Ni AC ct MN ti E.
a.C/m : T giỏc IECB ni tip.
b. C/m : Cỏc tam giỏc AME, ACM ng dng
v AM
2
= AE . AC
c. C/m : AE .AC - AI .IB = AI
2
.
d. Hóy xỏc nh v trớ ca im C sao cho khong
cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam
giỏc CME l nh nht.
Bi 63: Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn
(O;R)(AB < CD). Gi P l im chớnh gia ca

cung nh AB ; DP ct AB ti E v ct CB ti K ;
CP ct AB ti F v ct DA ti I.
a. C/m : T giỏc CKID ni tip c
b. C/m : IK // AB.
c. C/m : T giỏc CDFE ni tip c
d. C/m : AP
2
= PE .PD = PF . PC
e. C/m : AP l tip tuyn ca ng trũn ngoi
tip tam giỏc AED.
f. Gi R
1
, R
2
l cỏc bỏn kớnh ng trũn ngoi
tip cỏc tam giỏc AED v BED.C/m : R
1
+ R
2
=
2 2
PA4R
Bi 54:Cho hỡnh vuụng ABCD c nh , cú
di cnh l a. E l im i chuyn trờn on CD
(E khỏc D), ng thng AE ct ng thng
BC ti F, ng thng vuụng gúc vi AE ti A
ct ng thng CD ti K.
a. C/m DABF = DADK t ú suy ra DAFK
vuụng cõn .
b. Gi I l trung im ca FK, C/m I l tõm

ng trũn i qua A , C, F , K.
c. Tớnh s o gúc AIF, suy ra 4 im A, B, F, I
cựng nm trờn mt ng trũn .
Bi 65:Cho gúc vuụng xOy , trờn Ox, Oy ln
lt ly hai im A v B sao cho OA = OB . M
l mt im bt k trờn AB. Dng ng trũn
tõm O
1
i qua M v tip xỳc vi Ox ti A,
ng trũn tõm O
2
i qua M v tip xỳc vi Oy
ti B , (O
1
) ct (O
2
) ti im th hai N .
a. C/m t giỏc OANB l t giỏc ni tip v ON
l phõn giỏc ca gúc ANB .
b. C/m M nm trờn mt cung trũn c nh khi
M thay i .
c. Xỏc nh v trớ ca M khong cỏch O
1
O
2
l
ngn nht .
Bi 66:Cho im A bờn ngoi ng trn (O ;
R). T A v tip tuyn AB, AC v ct tuyn
ADE n ng trn (O). Gi H l trung im

ca DE.
a) C/m nm im : A, B, H, O, C cựng nm trờn
mt ng trn.
b) C/m HA l tia phừn gic ca
ã
BHC
.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 18
Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n
c) DE cắt BC tại I. C/m :
2
AB AI.AH=
.
Bài 67:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường
tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A ,
B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao
điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE
cắt CA, CB lần lượt tại M , N .
a. C/m tam giác AIE và tam giác BID là tam
giác cân .
b. C/m tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI //
BC .
c. Tứ giác CMIN là hình gì ?
Bài 68:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB <
AC). ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BC caột AB,
AC theo thửự tửù tái E vaứ F. Bieỏt BF caột CE
tái H vaứ AH caột BC tái D.
a) Chửựng minh tửự giaực BEFC noọi tieỏp vaứ
AH vuõng goực vụựi BC.
b) Chửựng minh AE.AB = AF.AC.

c) Gói O laứ tãm ủửụứng troứn ngóai tieỏp
tam giaực ABC vaứ K laứ trung ủieồm cuỷa BC.
Tớnh tổ soỏ
OK
BC
khi tửự giaực BHOC noọi
tieỏp.
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaứ
HC > HE. Tinh HC.
Bài 69:Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung
điểm của OA và dây MN vng góc với OA tại
C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là
giao điểm của AK và MM .
a. CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b. Tính AH.AK theo R.
c. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB)
đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Bài 70:Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau
tại A và B . Một đường thẳng đi qua A cắt đường
tròn (O
1
) , (O
2
) lần lượt tại C,D , gọi I , J là trung
điểm của AC và AD .
a. C/m tứ giác O

1
IJO
2
là hình thang vng .
b. Gọi M là giao diểm của CO
1
và DO
2
. C/m
O
1
, O
2
, M , B nằm trên một đường tròn
c. E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay
quanh A . Tìm hợp điểm E.
d. Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ
dài lớn nhất .
Bài 71:Cho tam giác ABC , góc B và góc C
nhọn . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt
nhau tại D . Một đường thẳng qua A cắt đường
tròn đường kính AB , AC lần lượt tại E và F .
a. C/m B , C , D thẳng hàng .
b. C/m B, C , E , F nằm trên một đường tròn .
c. Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF
có độ dài lớn nhất .
Bài 72: Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB
( C ở ngồi đường tròn ) . Từ điểm chính giữa
của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I
, CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng

AB tại F
a. C/m tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
b. C/m góc CAE bằng góc MEB .
c. C/m : CE . CM = CF . CI = CA . CB
Bài 73:Cho D ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội
tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B,
các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình
chiếu vng góc của O trên MC. CMR
a/ MAOH là tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM là phân giác của góc AHB
c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt
MA, MB lần lượt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P,
HF cắt BC tại Q. C/m QP // EF.
Bài 74:Cho tam giác ABC vng ở A và một
điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường
kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD ,
AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F
, G . C/m :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong
một đường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .
Bài 75:Cho đường tròn tâm O. Từ một điểm P ở
ngồi đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA,
PC (A, C là tiếp điểm) với đường tròn (O).
Chun đề luyện thi Tốn 9 Trang 19
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
a. C/m PAOC l t giỏc ni tip ng trũn.
b. Tia AO ct ng trũn (O) ti B; ng thng

qua P song song vi AB ct BC ti D. T giỏc
AODP l hỡnh gỡ?
c. Gi I l giao im ca OC v PD; J l giao
im ca PC v DO; K l trung im ca AD.
Chng t rng cỏc im I, J, K thng hng.
Bi 76:Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn
tõm O . M l mt im trờn cung AC ( khụng
cha B ) k MH vuụng gúc vi AC ; MK vuụng
gúc vi BC .
a) C/m t giỏc MHKC l t giỏc ni tip .
b) C/m
ã
ã
AMB HMK=
c) C/m D AMB ng dng vi D HMK .
Bi 77:Cho na ng trn ng kớnh AB. K
tip tuyn Bx vi na ng trn. Gi C l im
trờn na ng trn sao cho cung AC bng cung
CB. Trn cung CB ly im D khỏc C v B. Cỏc
tia AC, AD ct Bx ln lt ti E v F.
a, C/m ABE vuụng cõn
b, C/m ABF ~ BDF
c, C/m t giỏc CEFD ni tip
d, C/m AC.AE = AD.AF
Bi 78:Cho t giỏc ABCD cú hai nh B v C
trờn na ng trũn ng kớnh AD, tõm O. Hai
ng chộo AC v BD ct nhau ti E. Gi H l
hỡnh chiu vuụng gúc ca E xung AD v I l
trung im ca DE. C/m :
a. Cỏc t giỏc ABEH, DCEH ni tip c;

b. E l tõm ng trũn ni tip tam giỏc BCH;
c. Nm im B, C, I, O, H nm trờn mt ng
trũn
Bi 79: T giỏc ABCD ni tip ng trũn
ng kớnh AD . Hai ng chộo AC , BD ct
nhau ti E . Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn
AD l F . ng thng CF ct ng trũn ti
im th hai l M . Giao im ca BD v CF l
N. C/m :
a) CEFD l t giỏc ni tip .
b) Tia FA l tia phõn giỏc ca gúc BFM .
c) BE . DN = EN . BD
Bi 80:Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC;
0
45B >
), mt ng trũn (O) tip xỳc vi AB
v AC ln lt ti B v C. Trờn cung nh BC ly
mt im M (M khụng trựng vi B v C) ri h
cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc
cnh tng ng BC, CA, AB.
a. Ch ra cỏch dng ng trũn (O).
b. C/m t giỏc BIMK ni tip.
c. Gi P l giao im ca MB v IK; Q l giao
im ca MC v IH. C/m
PQ MI
.
Bi 81:Cho DABC cú ba gúc nhn ni tip trong
ng trũn tõm O, bỏn kớnh R. H cỏc ng cao
AD, BE ca tam giỏc. Cỏc tia AD, BE ln lt
ct (O) ti cỏc im th hai l M, N. C/m :

a. Bn im A,E,D,B nm trờn mt ng trũn.
Tỡm tõm I ca ng trũn ú.
b. MN// DE
c. Cho (O) v dõy AB c nh, im C di chuyn
trờn cung ln AB. C/m di bỏn kớnh ng
trũn ngoi tip DCDE khụng i.
Bi 82:Cho im A ngoi ng trũn tõm O .
K hai tip tuyn AB , AC vi ng trũn (B , C
l tip im ) . M l im bt k trờn cung nh
BC ( M B ; M C ) . Gi D , E , F tng ng l
hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn cỏc ng
thng AB , AC , BC ; H l giao im ca MB v
DF ; K l giao im ca MC v EF .
1) C/m a) MECF l t giỏc ni tip .
b) MF vuụng gúc vi HK .
2) Tỡm v trớ ca M trờn cung nh BC tớch
MD . ME ln nht .
Bi 83:Cho

ABC vung cừn ti A. AD l trung
tuyn thuc cnh BC. Ly M bt k thuc on
AD (M khụng trựng A, D). Gi I, K ln lt l
hnh chiu vung gỳc ca M trn AB, AC. H l
hnh chiu vung gỳc ca I trn on DK
a/T gic AIMK l hnh g?
b/ A, I, M, H, K thuc mt ng trn. Tm từm
ng trn ú.
c/ B, M, H thng hng.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 20
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân

Bi 84: Cho tam giỏc ABC (cú ba gúc nhn).
Hai ng cao AD v BF gp nhau ti H
a/ C/m t giỏc DHFC ni tip c ng trũn.
Xỏc nh tõm ca ng trũn ngoi tip t giỏc
b/ Gi CK l ng cao cũn li ca tam giỏc
ABC; KD ct ng trũn ngoi tip t giỏc
DHCF ti E. C/m gúcEFH = gúc KBH
c/ Gi s CH = AB. Tớnh s o ca gúc ACB
Bi 85:Cho t giỏc ABCD (AB // CD) ni tip
trong ng trũn (O). Tip tuyn ti A v tip
tuyn ti D ca ng trũn (O) ct nhau ti E.
Gi I l giao im ca AC v BD. C/m :
a.
1
2
CAB AOD =
.
b. T giỏc AEDO ni tip.
c. EI // AB.
Bi 86:Cho ng trn từm O ng kớnh AC.
Trờn AC ly im B , v ng trn từm O
ng kớnh BC. Gi M l trung im ca AB.
T M k ng thng vuụng gúc vi AB ct
ng trn từm O ti D v E. Ni DC ct ng
trn từm O ti I. C/m :
a/ AD // BI.
b/ BE // AD; I, B, E thng hng.
c/ MD = MI.
d/ DM
2

= AM.MC.
e/ T giỏcc DMBI ni tip.
Bi 87:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Trờn AC
ly mt im D, dng CE vuụng gúc vi BD.
a. C/m t giỏc ABCE ni tip ng trũn.
b. C/m AD.CD = ED.BD.
c. T D k DK vuụng gúc vi BC. C/m AB,
DK, EC ng quy ti mt im v
DKE ABE =
.
Bi 88:T mt im A ngoi ng trũn(O), ta
k cỏc tip tuyn AB, AC ti ng trũn (O) (B,
C l cỏc tip im). M l mt im trờn cung nh
BC,
( )
;M B M C
. T M h cỏc ng vuụng
gúc MI, MH, MK tng ng xung BC, AC, AB.
Gi P l giao ca MB v IK; Q l giao ca MC
v IH.
a. C/m cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip c
ng trũn.
b. C/m tia i ca tia MI l phõn giỏc ca gúc
KMH.
c. C/m PQ // BC
Bi 89:Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v hai
ng kớnh vuụng gúc AB v CD. Trờn AO ly
im E m OE = 1/3 AO, CE ct (O) M.
a. Tớnh CE theo R.
b. C/m t giỏc MEOD ni tip c. Xỏc nh

tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip t giỏc.
c. C/m hai tam giỏc CEO v CDM ng dng.
Tớnh di ng cao MH ca tam giỏc CDM.
Bi 90:Cho hai ng trũn (O
1
) v (O
2
) ct nhau
ti A v B, tip tuyn chung vi hai ng trũn
(O
1
) v (O
2
) v phớa na mt phng b O
1
O
2

cha im B, cú tip im th t l E v F. Qua
A k cỏt tuyn song song vi EF ct ng trũn
(O
1
), (O
2
) th t ti C, D. ng thng CE v
ng thng DF ct nhau ti I.
a. C/m IA vuụng gúc vi CD.
b. Chỳng minh t giỏc IEBF l t giỏc ni tip.
c. C/m ng thng AB i qua trung im ca
EF

Bi 91:Cho ng trn từm O v ct tuyn CAB
(C ngoi ng trn). T im chớnh gia ca
cung ln AB k ng kớnh MN ct AB ti I,
CM ct ng trn ti E, EN ct ng thng
AB ti F.
a. C/m t gic MEFI l t gic ni tip.
b. C/m gỳc CAE bng gỳc MEB.
c. C/m : CE.CM = CF.CI = CA.CB
Bi 92: Cho tam giỏc ABC vuụng A v cú AB
> AC, ng cao AH. Trờn na mt phng b
BC cha im A, v na ng trũn ng kớnh
BH ct AB ti E, v na ng trũn ng kớnh
HC ct AC ti F.
a. C/m t giỏc AEHF l hỡnh ch nht.
b. C/m AE.AB = AF.AC
c. C/m BEFC l t giỏc ni tip.
Bi 93:Cho ng trũn (O) ng kớnh BC.
im A thuc on OB (A khụng trựng vi O v
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 21
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
B), v ng trũn (O') ng kớnh AC. ng
trũn i qua trung im M ca on thng AB v
vuụng gúc vi AB ct ng trũn (O) ti D v E.
Gi F l giao im th hai ca CD vi ng
trũn (O'), K l giao im th hai ca CE vi
ng trũn (O'). C/m :
a. T giỏc ADBE l hỡnh thoi.
b. AF // BD.
c. Ba im E, A, F thng hng.
d. Bn im M, F, C v E cựng thuc mt ng

trũn.
e. Ba ng thng CM, DK, EF ng quy
Bi 94:Cho hai ng trũn (O) v (O') ct nhau
ti A v B. ng tip tuyn vi (O') v t A ct
(O) ti im M; ng tip tuyn vi (O) v t A
ct (O') ti N. ng trũn tõm I ngoi tip tam
giỏc MAN ct AB kộo di ti P.
a. C/m t giỏc OAO'I l hỡnh bỡnh hnh.
b. C/m bn im O, B, I, O' nm trờn mt ng
trũn.
c. C/m : BP = BA.
Bi 95:T im P nm ngoi ng trũn (O), k
hai tip tuyn PM v PN vi ng trũn (O) (M,
N l tip im). ng thng i qua im P ct
ng trũn (O) ti hai im E v F. ng thng
qua O song song vi PM ct PN ti Q. Gi H l
trung im ca on EF. C/m :
a. T giỏc PMON ni tip ng trũn.
b. Cỏc im P, N, O, H cựng nm trờn mt
ng trũn.
c. Tam giỏc PQO cõn.
d. PM
2
= PE.PF.
e.
PHM PHN
=
.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 22
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân

Chuyờn 5
: hm s v th
BI 1: HM S
A. KIN THC CN NM VNG
1. Khỏi nim hm s:
Nu i lng y ph thuc vo i lng x
thay i sao cho: vi mi giỏ tr ca x ta luụn
xỏc nh c ch mt giỏ tr tng ng ca y thỡ
y c gi l hm s ca x v x c gi l bin
s. Kớ hiu y = f(x)
Chỳ ý: Khi x thay i m y ch nhn mt giỏ
tr khụng i thỡ y c gi l hm hng
2. TX ca hm s:
L cỏc giỏ tr ca bin x lm cho hm s xỏc
nh (tc l biu thc f(x) ca hm s cú ngha)
3. Hm s ng bin, nghch bin:
Vi x
1
, x
2
(a;b) v x
1
< x
2
ta cú :
Hm s y=f(x) ng bin trong khong (a;b)
f(x
1
)<f(x
2

)
Hm s y=f(x) nghch bin trong khong (a;b)
f(x
1
)>f(x
2
)
Chỳ ý: Khi v th t trỏi sang phi, nu th
i lờn thỡ hm s ng bin, nu th i xung
thỡ hm s nghch bin
4. th ca hm s:
+ Khỏi nim: L hp cỏc im biu din cỏc cp
giỏ tr tng ng (x;y) trờn mt phng to
+ V th: L vic biu din cỏc cp giỏ tr
tng ng (x;y) trờn mt phng to
+ im thuc th: im M(x
0
;y
0
) thuc th
ca hm s f(x) y
0
= f(x
0
)
BI 2: HM S BC NHT
1. Dng tng quỏt : y = ax + b (a 0); a, b R
2. Tớnh cht:
TX: x R
Tớnh bin thiờn:

+ Nu a > 0 thỡ hm s luụn ng bin trờn
xỏc nh R
+ Nu a < 0 thỡ hm s luụn nghch bin trờn
xỏc nh R
3. th :
- L ng thng d ct trc tung ti im cú
tung b v song song vi ng thng y = ax
- d ct Ox ti
( ;0)
b
a

; Oy ti (0;b)
Cỏch v: Ta cn xỏc nh hai im thuc th
hm s v v ng thng i qua hai im ú.
Cỏch th nht:
Cỏch th hai:
Chỳ ý: im (x
0
;y
0
) d y
0
= ax
0
+ b
4. Quan h tng giao ca hai ng thng:
y = ax + b (d) v y = a
/
x + b

/
(d
/
)
- To giao im ca (d) v (d

) l nghim ca
h phong trỡnh:
/ /
y ax b
y a x b
= +


= +

(I)
- Phng trỡnh honh giao im ca (d) v
(d
/
) l :
ax + b = a
/
x + b
/
(*)
- (d) ì (d
/
) a a
/

h (I) v (*) cú nghim
duy nht
- (d)//(d
/
) a = a
/
v b b
/
h (I) v (*) vụ
nghim
- (d) (d
/
) a = a
/
v b = b
/
h (I) v (*) cú
vụ s nghim
1. Cho hm s
2
1
2
x

V th (P) ca hm s trờn
Trờn (P) ly hai im M v N ln lt cú honh
l -2 v 1. Vit phng trỡnh ng thng
MN
Xỏc nh hm s y = a.x +b bit rng th (d)
ca nú song song vi ng thng MN v ch ct

(P) ti 1 im
Lp phng trỡnh ng thng (D) i qua A(-2;-
2) v tip xỳc vi (P)
Bi 539
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 23
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
Cho hm s: y =
2
2
1
x
1) V th (P) ca hm s trờn
2) Trờn (P) ly hai im M v N ln lt cú
honh l -2; 1 Vit phng trỡnh ng thng
MN
3) Xỏc nh hm s y = ax + b bit rng th
(D) ca nú song song vi ng thng MN v
ch ct (P) ti 1 im.
Bi 540
Cho hm s: y =
2
2
1
x
1) Kho sỏt v v th (P) ca hm s trờn
2) Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A(-2;
-2) v tip xỳc vi (P)
Bi 541
Cho hm s: y = f(x) = 2 -
12

2
+ xx
a) V th ca hm s trờn
b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x sao cho f(x)

1
Bi 542
Cho hm s: y = x
2
v y = x + m ( m tham s)
1) Tỡm m sao cho th (P) ca y = x
2
v th
(D) ca y = x + m cú hai giao im phõn bit A
v B
2) Tỡm phng trỡnh ca ng thng (d) vuụng
gúc vi (D) v (d) tip xỳc vi (P).
3)a) Thit lp cụng thc tớnh khong cỏch gia
hai im theo ta ca hai im y.
b) p dng:Tỡm m sao cho khong cỏch gia hai
im A, B ( cõu 1) l 3
3
Bi 543
Trong cựng h trc ta gi (P) l th hm
s y = ax
2
v (D) l th hm s y = -x + m
1) Tỡm a bit rng (P) i qua A(2; -1) v v (P)
vi a tỡm c
2) Tỡm m sao cho (D) tip xỳc vi (P) ( cõu 1)

v tỡm ta tip im.
3) Gi B l giao im ca (D) ( cõu 2) vi trc
tung. C l im i xng ca A qua trc tung.
Chng t rng C nm trờn (P) v tam giỏm ABC
vuụng cõn.
Bi 544
Trong cựng mt mt phng ta cho hai ng
thng:
(D
1
): y = x + 1, (D
2
): x + 2y + 4 = 0
1) Tỡm ta giao im A ca (D
1
) v (D
2
) bng
th v kim tra li bng phộp toỏn
2) Tỡm a trong hm s y = ax
2
cú th (P) qua
A. Kho sỏt v v th (P) vi a va tỡm c.
3) Tỡm phng trỡnh ca ng thng tip xỳc
vi (P) ti A
Bi 545
Cho (P) l th ca hm s y =ax
2
v im A(-
2; -1) trong cựng h trc.

1) Tỡm a sao cho A thuc (P). V (P) vi a tỡm
c
2) Gi B l im thuc (P) cú honh l 4. Vit
phng trỡnh ng thng AB
3) Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi
(P) v song song vi AB
Bi 546
Cho Parabol (P): y =
2
4
1
x
v ng thng (D)
qua 2 im A v B trờn (P) cú honh ln lt
l -2 v 4
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (P) ca
hm s trờn.
2) Vit phng trỡnh ca (D)
3) Tỡm im M trờn cung AB ca (P) (tng ng
honh ) x

[-2; 4] sao cho tam giỏc MAB cú
din tớch ln nht
Bi 547
Trong cựng h trc vuụng gúc, cho Parabol (P):
y = -1/4x
2
v v ng thng (D): y = mx 2m
-1
1) V (P)

2) Tỡm m sao cho (D) tip xỳc vi (P)
3) Chng t rng (D) luụn luụn i qua mt im
c nh A thuc (P)
Bi 548
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 24
Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân
Trong cựng h trc vuụng gúc cú Parabol (P): y
=
4
2
x
v ng thng (D) qua im I






1;
2
3
cú
h s gúc m
1) V (P) v vit phng trỡnh ca (D)
2) Tỡm m sao cho (D) tip xỳc vi (P)
3) Tỡm m sao cho (D) v (P) cú hai im chung
phõn bit
Bi 549
Trong cựng h trc ta cho Parabol (P): y =
2

4
1
x
v ng thng (D):
y =
2
2
1
+ x
.
1) V (P) v (D)
2) Bng phộp toỏn, tỡm ta giao im ca (P)
v (D)
3) Tỡm ta ca im thuc (P) sao cho ti ú
ng tip tuyn ca (P) song song vi (D).
Bi 550
Cho h ng thng cú phng trỡnh: mx + (2m
1)y + 3 = 0 (1)
a) Vit phng trỡnh ng thng i qua A(2; 1)
b) C/m cỏc ng thng trờn luụn i qua mt
im c nh M vi mi m. Tỡm ta ca M.
Bi 551
Cho hm s ; y = f(x) =
4
8822
2
23

+
x

xxx
a) Tỡm xỏc nh ca hm s
b) V th (D) ca hm s
c) Qua im M(2;2) cú th v c my ng
thng khụng ct th (D) ca hm s ?
Bi 552
Cho Parabol (P): y = x
2
4x + 3
a) C/m ng thng y = 2x 6 tip xỳc vi
Parabol (P)
b) Gii bng th bt phng trỡnh : x
2
4x + 3
> 2X 4
Bi 553
a) Cho ng thng (d
1
) : y = kx +5. Tỡm k
ng thng (d
1
) song song vi ng thng
(d
2
); bit rng (d
2
) qua hai im A(1; 2) v B(-3;
-2)
b) Gii bng th bt phng trỡnh: x + 1


x
2

1
Bi 554
Cho (P) y =
2
2
1
x
(P) im I(0; 2) v im M(m,0)
vi m # 0
1) V (P)
2) Vit phng trỡnh ng thng (D) i qua hai
im M, I
3) C/m ng thng (D) luụn luụn ct (P) ti hai
im phõn bit A, B vi mi m # 0
4) Gi H v K l hỡnh chiu ca A v B lờn trc
honh. C/m tam giỏc IHK l tam giỏc vuụng.
5) Chng t rng di on AB > 4 vi m # 0
Bi 8:
Cho ng thng d cú phng trỡnh :
32
2
3
+

= mx
m
y

a, Xỏc nh M d i qua im a (2,-1)
b, Vi giỏ tr no ca m thỡ d song song vi
ng thng d
3
21
)2(
m
xmy

++=
c, chng t d luụn i qua mt im c nh I.
Xỏc nh to im I
Bi 9:
Trong mt mt phng to Oxy cho tam giỏc
ABC cú phng trỡnh cnh AB l:
2
1
2
+=
x
y
,
phng trỡnh cnh AC l 3x 4y +1=0.Hóy tỡm
phng trỡnh cnh BC bit trung im ca BC l
M (4,3)
Bi 10:
Cho hm s
xxy ++= 32

a, V th (T) ca hm s trờn

b, Dựng th bin lun theo m s nghim ca
phng trỡnh
mxx =++ 32
c, gi d l ng thng cú phng trỡnh y=m ct
thi (T) to thnh mt hỡnh thang. Tỡm m
dien tớch hỡnh thang bng 28
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 25