Phần thứ nhất: Đại số
I. Biến đổi đồng nhất

*Bài 2: Cho a là nghiệm của phơng trình: x
2
-
5x
+ 1 = 0
Tính giá trị biểu thức:
A= a
4
+
3 2
4 3 2
1 1 1 1
2 3 4a a a
a
a a a

+ + + +
ữ ữ ữ

*Bài 3: Cho các số a, b R thoả mãn
(a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0
Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
( ) ( 3) ( 3)a b a b + +
*Bài 4: Cho x
2
+ y
2

= 1 và
4
x
a
+
4
1y
b a b
=
+
. Tính :
2006 2006
1003 1003
x y
a b
+
*Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn ab + ac + bc = 1 .
Tính giá trị biểu thức : A=
( )
2
2 2
2 2 2
( ) ( ) 2
(1 )(1 )(1 )
a b b c c a
a b c
+ + + +
+ + +
*Bài 6: Cho a + b + c = 0; a, b, c Q.
Chứng minh rằng: M=

2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
là bình phơng của một số hữu tỷ
Ta có:
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
=
( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
a b c
a b c ab bc ac a b c abc a b c
+ +

+ + + + = + + = + +
ữ ữ ữ ữ

Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ
*Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau đợc xác định.
Tính giá trị của biểu thức: P =
1 1 1
1 1 1ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +
Giải:

P =
1 1 1
1 1 1ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +

=
2
1
1
c ac
abc ac c ca c
abc abc ac
+ +
+ + + +
+ +
=
1 1
1
1 1 1 1
c ac ca c
ca c ca c ca c ca c
+ +
+ + = =
+ + + + + + + +
.
*Bài 5 : Cho x,y,z đôi một khác nhau . Tính giá trị của biểu thức :
M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xy yz xz

y z z x z x x y x y y z
+ +

(Đặt : a =
x
y z
; b =
y
z x
; c =
z
x y
ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 )
Bài 5 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a,b,c,d nào thoả mãn đẳng thức :
abcd - a = 1961 abcd - b = 961
abcd - c = 61 abcd - d = 1
Giải :
Bài 5 :
Giả sử ta có các số nguyên a,b,c,d thoả mãn các đẳng thức đã cho . Phân tích vế trái của đẳng
thức đã cho thành nhân tử , ta có
a(bcd-1) = 1961 (1)
b(acd -1 ) = 961 (2)
c(abd - 1) = 61 (3)
d(abc - 1) = 1 (4)
Vế trái của (1) là số lẻ vế trài của (1) là tích hai số lẻ a là số lẻ
Tơng tự ta có : b,c,d là số lẻ nên a,b,c,d, là số lẻ .
Hiệu (abcd - a ) là một số chẵn . Mâu thuẫn (1)
Bài 6 Chứng minh rằng đa thức x
10
y

10
+ 1 không thể viết đớc dời dạng f(x).g(y) với f(x) và g(y)
là các đa thức với hệ số đều là số nguyên .
Giải
Bài 6 : Giả sử
x
10
y
10
+ 1 = f(x).g(y) = (a
0
x
10
+ a
1
x
9
+ + a
10
)( b
0
y
10
+ b
1
y
9
+ + b
10
) (1)

Trong đó a
10
b
10
= 1 nên a
10
= b
10
= 1 hoặc a
10
= b
10
= -1 .
Giả sử a
10
= b
10
= 1 thì x
10
y
10
+ 1 = f(x).g(y) = (a
0
x
10
+ a
1
x
9
+ + 1)( b

0
y
10
+ b
1
y
9
+ + 1)
(2)
V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số

Bài 1: Cho x
2;2 y
Chứng minh rằng: (x + y) (x
2
+ y
2
)

x
5
+ y
5
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a

c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
2
3
111
222
Bài 3: Chứng minh rằng:
4006
2001
)20022001(4003
1

)43(7
1
)32(5

1
)21(3
1
<
+
++
+
+
+
+
+
Bài 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
512
72911
1
1
1
333







+







+






+
c
a
ba
Bài 5: Cho abc = 1; a
3
> 36,
Chứng minh rằng:
3
2
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
Bài 6 : Chứng minh rằng .
Nếu x, y, z 0 thì x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) 0
Bài 7: Cho a, b, c [0;2] có a + b + c = 3. CMR: a
2
+ b

2
+ c
2
< 5
Bài 8: Cho các số thực dơng a , b , c thoả mãn abc = 1.
Chứng minh rằng :
5 5 5 5 5 5 5
ab bc ca
a b c b c bc c a ac
+ +
+ + + + + +
< 1

Bài 9: CMR. nếu x, y
+
Â

thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai:

1
xy

2 2
1 1 1
5
x y

+
ữ


và
1
( )x x y+

1
5
( )
2 2
1 1
x
x y

ữ
+
ữ
+

Bài 10: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:
3+++
+
+
+
+
+
cba
c
ba
b
ac
a

ab
Bài 11: Chứng minh rằng: Mọi a, b, c, d, p, q > 0 ta có:
qapc
qp
qcpb
qp
qbpa
qp
cba +
+
+
+
+
+
+
+
++
'111
Bài 12 : Cho x, y thay đổi sao cho 0

x

3; 0

y

4
Tìm Max của P = (3 x) ( 4 y) (2x + 3y)
Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của xy với x, y là nghiệm của phơng trình:
x

4
+ y
4
3 = xy (1 2xy)
Bài 14: Giải bất phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 3 0x x x x+ + + +
H ớng dẫn giải
Bài 1: Vì x
2
; y
2
=> x
2
+ y
2


4 =>
2
2
22

+ yx
=> 2.
2
.
22
22
yxyxyx ++


+
=>
22
.2
33
yxyx +

+
=>
( )
( )
552233222
)()(.2 yxyxyxyxyx +++++
Bài 2: Ta có :
2
1
1
2

+ a
a
Tơng tự cho b , c ta đợc
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
a b c
+ +
+ + +

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
* Mặt khác :
3 1 1 1 9
( )
2 2
a b c
a b c
b c a c a b b c a c a b

+ + <=> + + + +
ữ
+ + + + + +

Đặt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta có
( )
0)()()(
2
9111
222
++<=>








++++ xzzyyx
zyx

zyx
( Đúng )
Bài 3: Xét
2
1 ( 1 ) 1 1 1 1
2
(2 1)( 1) 2 ( 1) 1
4 4 1
n n n n
n n n n n n n
n n
+ +

= < =
ữ
+ + + + +

+ +
Vậy
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 2
3 3 5 1
n
S
n n n

< + + + =
ữ ữ
+


)2(22
2
1
44
2
1
44
2
12
2
+
<=>
+
=
++
<
+
<
n
n
S
n
nn
n
S
nn
với n = 2001 ta có:
4006
2001

2003
2001
2003
2
12
20012001
<=>=< SS
Bài 4: Đặt A =






+






+






+
333

1
1
1
1
1
1
cba
Ta có A =
333333333333
1111111
1
cbacacbbacba
+






+++






+++
3
333222
1

1
133
1






+=+++
abc
cbacba
abc
A
( Bất đẳng thức Cosicho 3 số dơng )
Theo bất đẳng thức cosi:
3
1 1
8 8
3 8
a b c
abc abc
abc
+ +

= => =>
ữ

Vậy
512

729
8
1
1
3
=






+A
(Dấu bằng xảy ra: a = b = c = 2)
Bài 5 : Ta có :
3
2 2
3
a
b c ab bc ac+ + > + +
<=>
3
2
a
+ b
2
+ c
2
a(b+c) bc > 0
<=>

3
2
a
+ (b + c)
2
a(b+c) 3bc > 0 (*)
Thay bc =
a
1
ta đợc:
(*) <=>
3
2
a
+ (b + c)
2
a(b+c)
a
3
> 0
<=> a( b + c)
2
a
2
(b + c) +
3
3
a
- 3 > 0
Đặt b + c = x ta có: ax

2
a
2
x +
3
3
a
- 3 > 0 Với mọi x
Điều này tơng đơng:

= a
4
4a (
3
3
a
- 3) < 0
<=> a
4
-
012
3
4
4
<+ a
a
<=> 12a (36 a
3
) < 0 đúng vì a
3

> 36
Bài 6:- Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể giả sử z y x
Khi đó: x(x - y) (x - z) 0 (1)
Mặt khác: z (z - x) y(y - z)
Do vậy: z (z - x) (z - y) y(y - x) (z - y)
z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) 0 (2)
Từ (1) và (2) đpcm.
Bài 7: - Do a, b, c [0;2] nên (2 - a) (2 - b) (2 - c) 0
8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc 0
2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8
2 (ab + ac + bc) 4 + abc 4
(a + b + c)
2
- (a
2
+ b
2
+ c
2
) 4
(a
2
+ b
2
+ c
2
) < 5
Dấu "=" xảy ra khi a, b, c có một số bằng 2; một số bằng 0; một số bằng 1.
Bài 8 :Ta có: (a
3

- b
3
) (a
2
- b
2
) 0 (a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a + b)
Do đó :
2
5 5 2 2 2
( )
ab ab c c
a b ab a b a b ab c a b c
ì =
+ + + + + +
(1)
Tơng tự:
5 5
bc
a b ab+ +
<
a

a b c+ +
(2)

5 5
ca
c a ac+ +
<
b
a b c+ +
(3) . Từ (1) ; (2) và (3) ta có điều cần chứng minh
Bài 9 :- Giả sử cả hai bất đẳng thức đều đúng khi đó:
5
xy x
2
+ y
2
và
5
x(x + y) x
2
(x + y)
2

5
(x
2
+ 2xy) 3x
2
+ 2xy + 2y
2

2y
2
- 2(
5
- 1)xy + (3 -
5
)x
2
0
4y
2
- 4 (
5
- 1)xy + (6 - 3
5
)x
2
0
(2y)
2
- 2 . 2y (
5
- 1)x + [(
5
- 1)]
2
0
[2y - (
5
- 1)x]

2
0
Điều này không xảy ra vì (
5
- 1)x là số vô tỷ không thể bằng 2y khi x ,y
+
Â
.
Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:
2
b c c a a b bc ca ab
a b c
a b c

+ + +
+ + + +
ữ
ữ

b c c a a b ca ab ab bc bc ca
b c c a a b
a b c

+ + +
+ + + + + + +
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ

6
2( ) 3 3

b c c a a b
a b c a b c abc a b c
a b c
+ + +
+ + + + + + + = + + +
(Bất đẳng thức cosi cho 3 số)
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =1
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxi ta có:
Bài11:
( ) ( )
qbpa
b
q
a
p
qb
b
q
pa
a
p
qp +






+









+=+
2
2

Tơng tự
( )
)(
2
qcpb
c
q
b
p
qp +






++

( ) ( )

qapc
a
q
c
p
qp +






++
2
Do đó
( ) ( )






+++









+
+
+
+
+
+
cba
qp
qapcqcpbqbpa
qp
111111
2
qapc
qp
qcpb
qp
qbpa
qp
cba +
+
+
+
+
+
+
+
++=>
111
Bài 12: Ta có: P =

6
1
(6 2x) (12 3y) (2x + 3y)
3
3
6
3
3231226
6 =






+++

yxyx
P
P

36
P
max
= 6 <=>



=
=









+==
2
0
40
30
3231226
y
x
y
x
yxyx
Bài 13: Ta có: x
4
+ y
4
3 = xy ( 1- 2xy)
<=> xy + 3 = x
4
+ y
4
+ 2x
2

y
2
<=> xy + 3 = (x
2
+ y
2
)
2
Do (x
2
+ y
2
)
2


4x
2
y
2
do đó:
xy+ 3

4x
2
y
2
Đặt xy = t ta có: 4x
2
y

2
xy 3

0
hay 4t
2
t 3

0 <=>
1
4
3
t
Vậy (xy)
max
= 1 khi x = y =

1
(xy)
min
=
4
3

khi x = y =

2
3
Bài1 4: Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )
2 2
1 2 3 4 3 0 1 4 2 3 3 0
5 4 5 6 3 0
x x x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + +

+ + + +
Đặt x
2
+5x +4 = t thì x
2
+5x +6 = t +2
Bất phơng trình trở thành :
( ) ( )
2
1
t +2t -3 0 3 1 0
3
t
t t
t


+



Với t

3
ta có: x
2
+5x+8
2
5 7
0 0
2 4
x

+ +
ữ

Vô nghiệm
Với t

1 ta có:
2
2 2
5 13 5 13
5 13
2 2 2
5 4 1 5 3 0
2 4
5 13 5 13
2 2 2
x x
x x x x x
x x


+
+



+ + + + +
ữ


+
+


Bài tập chung của chơng bát đẳng thức
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) P =
1
15032004
2
+
+
x
x
b ) P =
2
2
20042
x
xx +
Bài 7: Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

)1(
14
2
2
xx
x

+
Bài 8: Cho 0

x, y, z

1
Tìm max và min của: P = x + y + z xy yz xz (P
max
= 1; P
min
= 0)
< P = (1 x) (1 y) ( z 1) xyz + 1

1)
Bài 9: Chứng minh rằng:
a)
0,2 >+ ba
c
b
b
a
b)
)1(

1
3
)1(
1
)1(
1
)1(
1
+

+
+
+
+
+ xyzxzzyyx
(x, y, z là các số dơng)
Bài 10: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng ít nhất có 1 bất đẳng thức sau là sai
2a ( 1- b) > 1
3b (1 c) > 2
8c ( 1- d) > 1
32d ( 1 a) > 3
(Chứng minh bằng phản chứng)
Bài 11: Chứng minh rằng:
a) Với mọi a, b dơng ta có:
baba +
+
411
b) Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi thì:







++

+

+
cbacpbpap
111
2
111
Bài 12: Cho 2 số dơng a, b, c thoả mãn (a + b) (a + c) = 1. Chứng minh rằng:
a) abc( a + b + c)
4
1

b) a( ab + bc + ca)
9
32

Bài 13: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng:
222242424
1 cbaccbbaa ++++++++
Bài 14: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
cabcababccabbca ++++++++ 1
Bài 15: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng: (a + bc) (b + ca) ( c + ab)
81
64

(ab + bc + ca)
2
H ớng dẫn giải:
Bài 9: a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dơng
2.2 =+
a
b
b
a
c
b
b
a
b) (1) <=>
3
)1(
1
)1(
1
)1(
1

+
+
+
+

+
+
+
+
xz
xyz
zy
xyz
yx
xyz
<=>
61
)1(
1
1
)1(
1
1
)1(
1









+

+
+
+








+
+
+
+








+
+
+
xz
xyz
zy
xyz

yx
xyz
<=>
6
)1(
1
)1(
1
)1(
1

+
+++
+
+
+++
+
+
+++
zz
zxzxyz
zy
yyzxyz
yx
xxyxyz
<=>
6
1
)1(
)1(

1
1
)1(
)1(
1
1
)1(
)1(
1

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
yx
xz

z
z
xz
zy
y
y
zy
yx
x
<=>
6
)1(
1
1
)1(
)1(
1
1
)1(
1
)1(
)1(
1








+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
xz

z
z
xz
zy
y
y
zy
x
yx
yx
x
áp dụng (a) cho mỗi cặp ta có điều phải chứng minh.
Bài 4: a) Bất đẳng thức Cosi cho 2 số a(a + b + c) + bc
)(2 cbaab ++
=> abc ( a + b + c)


4
1
b) Bất đẳng thức Cosi cho 3 số dơng: a
2
;
2
;
2
cabcabcabcab ++++
1= (a + b) ( a + c) = a
2
(ab + bc + ca)
= a

2
+
3
2
4
)(
22
cabcabacabcabcabcab ++

++
+
++
=> a
2
(ab + bc + ca)
2

27
1

=> a(ab + bc + ca)
9
32

Bài 5:
2
2
))(())(()1(
2
2222224

acaba
acaabacabaaaaaa
++
++=++=+=+
Bài 6:
)())(()( bcacababccbaabca +++=+++=+
(Bất đẳng thức Bunhiacopxki)
(Chú ý: (a + b) (a + c) = a
2
+ (ab + ac + bc)
Bài 17: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
a
4
+ b
4
+ c
4


a
3
+ b
3
+ c
3
(Bunhiacpxki cho 3 cặp số)
hớng dẫn: (a
3
+ b
3

+ c
3
)
2
= a.a
2
+ b.b
2
+ c.c
2


(a
2
+ b
2
+ c
2
) (a
4
+ b
4
+ c
4
)
=>
1
3
3
3

222
222
333
333
444
==
++

++
++

++
++

++
++ cba
cba
cba
cba
cba
cba
cba
Bài 18: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:
cb
c
ba
b
ac
a
cbb

ca
baa
bc
acc
ab
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+ )()()(