I / Đặt vấn đề.
Ngày nay cùng với sự phát triển của nền KH & CN đòi hỏi nguồn lực
lao động phải ngày càng sáng tạo, năng động để đáp ứng cho công cuộc xây
dựng đất nớc. Để thực hiện đợc công cuộc đổi mới trên thì đòi hỏi nghành
GD phải đổi mới về nội dung và phơng pháp học nói chung và môn toán nói
riêng, nhằm tạo ra những con ngời lao động giám nghĩ, giám làm. Vậy để
đáp ứng đợc yêu cầu trên đồi hỏi ngời GV cũng phải thờng xuyên học hỏi,
bồi dỡng nâng cao trình độ chuyên môn, tay nghề nghiệp vụ. Luôn làm tròn
nhiệm vụ là ngời định hớng, điều khiển HS tự tìm tòi, chiếm lĩnh những kiến
thức, kĩ năng.
Ta thấy đợc môn Toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong
kỹ thuật. Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học để phát huy đợc tính
tích cực học tập của học sinh, nhất là học sinh giỏi .
Theo nh yêu cầu của bộ môn Toán nói chung, môn Toán 7 nói riêng
mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài
tập và thực hành. Trong mỗi bài tập, ngời thầy phải giúp học sinh phân tích
từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó, thậm trí
phải lật ngợc lại vấn đề. Nếu làm đợc việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc
bài toán, dạng toán. Từ đó sẽ kích thích đợc tính tò mò, khơi dậy cho học
sinh tính sáng tạo, khai thác đợc tiềm năng về môn Toán của học sinh .
Với lý do đó tôi chọn và nghiên cứu chuyên đề Mở rộng một số bài
toán bài toán trong sách giáo khoa".Trớc tiên là nhằm nâng cao kiến thức
cho bản thân. Thứ hai là nhằm giúp các em HS khá - giỏi có khả năng khai
thác và mở rộng một số bài toán có sẵn trong sách giáo khoa, từ đó giúp các
em yêu thích bộ môn hơn.
II / giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lý luận:
Môn Toán là một môn khoa học, những tri thức, kỹ năng toán học
cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập
những môn khoa học khác, môn Toán là công cụ của nhiều ngành khoa
học .

Môn Toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng
pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực tế, thực
hiện và xây dựng thuật toán, phát hiện và giải quyết vấn đề . Những kỹ năng
này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới .
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách con ngời, ngoài việc cung
cấp những kiến thức, kỹ năng toán học, môn Toán góp phần phát triển năng
lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá.
Nội dung đề tài đợc trình bày trên cơ sở:
- Thông qua việc giải các bài tập trong sách giáo khoa hình thành các
bài tập có nội dung phong phú và đa dạng hơn.
- Bằng các thao tác t duy: phân tích, so sánh, tơng tự, khái quát hoá,
đặc biệt hoá, trừu tợng hoá hình thành các bài tập có nội dung tơng tự, tổng
quát, từ các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập.
- Thông qua việc phát triển các bài toán, hình thành chuỗi các bài tập
có nội dung liên quan, lấy bài tập này làm cơ sở để phát triển các bài kế tiếp.
- Ngoài ra bằng cách thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố trong đề bài
của các bài toán, hoặc thay đổi cách hỏi ta cũng có các bài toán thú vị và khá
độc đáo.
2. Cơ sở thực tiễn :
a. Đối với học sinh :
Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi cũng cha dành nhiều thời gian cho
việc học, sách tham khảo còn ít và khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với
kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng
túng, không tìm ra đợc lời giải
Trong thực tế nếu biết mở rộng và phát triển một bài toán thì ta thấy bài
toán rất hay, kích thích đợc sự tìm tòi khám phá kiến thức của học sinh.
b. Đối với bản thân :
Để nâng cao chất lợng bộ môn thì GV cần đa ra cách giải cụ thể đối
với từng dạng toán và yêu cầu HS thực hiện theo. Với HS khá giỏi còn cấn
yêu cầu các em mở rộng bài toán đó.

Năm học 2006 2007 và 2007 2008, tôi đợc phân công dạy Toán
khối 7. Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình trạng
thụ động tiếp thu kiến thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, cha có
tính sáng tạo, cha phát huy đợc năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân.
Qua thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi nhận thấy việc nghiên cứu và
viết chuyên đề là thật sự cần thiết cho mỗi GV trong việc tự học, để nâng cao
trình độ chuyên môn nhằm thích ứng với những thay đổi của điều kiện ngoại
cảnh. Đây cũng là yêu cầu mà Đảng và nhà nớc ta đang đặt ra cho ngành
giáo dục chúng ta.
3. quá trình nghiên cứu triển khai.
Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học, một trong các biện pháp thực hiện
tốt nhất là phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp logic. Ta phải khai thác bài
toán theo từng mảng, mỗi mảng ta lại chia thành từng phần, sao cho mỗi
phần có sự
liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phơng thức
giải toán .
Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và
hớng phát triển. Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm một
vài dữ kiện, hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc bài toán mới có nội dung phong
phú và phù hợp hơn. Xin đợc trình bày một số biện pháp triển khai đề tài vào
thực tiến giảng dạy:
- Trong mỗi giờ lên lớp giáo viên dành một thời gian nhỏ ( đặc biệt
trong các giờ luyện tập, ôn tập) cho học sinh làm bài tập ôn tập, củng cố kiến
thức và kỹ năng cơ bản từ đó hớng dẫn tự phát triển bài tập để có các bài tập
khác, hoặc cho các em luyện tập dới hình thức tự ra các đề toán từ các bài
toán đã làm.
- Sau mỗi bài giảng khi hớng dẫn học sinh học ở nhà ngoài việc yêu
cầu học, nghiên cứu bài, làm bài tập thì giáo viên cho học sinh làm các bài
tập tơng tự các bài trong sách giáo khoa hoặc yêu cầu các em phải tự tìm ra
các bài toán có liên quan đến các bài toán trong sách giáo khoa.

- Có thể triển khai đề tài dới hình thức chơi trò chơi: "Cho các nhóm ra
đề chéo và yêu cầu giải".
Ngoài ra việc triển khai chuyên đề này càng có hiệu quả trong việc
bồi dỡng học sinh khá giỏi, có thể cho các em tự hệ thống các bài toán dới
dạng các đề tài nhỏ. Sau đây ta vào phần nội dung chính của chuyên đề.

Nội dung:
Bài toán 1: (Bài 54 SGK tr 54)
Tìm hai số x và y biết
v x + y = 16
3 5
x y
=

Li gii:
p dng tớnh cht ca dóy t s bng nhau, ta cú:
x + y 16
= = = 2
3 5 3 + 5 8
x = 3. 2 = 6

y = 5. 2= 10
x y
=




V cng vì
5x = 3y nờn ta cú bi toỏn

3 5
x y
=
Bi 1.1 :
Tỡm hai s x v y bit 5x = 3y v x+ y = 16
Tỡm c x = 10, y = 6 nờn x y = 4, nờn ta xut c bi toỏn khỏc:
Bi 1. 2:
Tỡm hai s x v y bit
v x - y = 4
3 5
x y
=
Hn na ta cũn cú x.y = 60, nờn ta cú bi toỏn khú hn:
Bi 1.3:
Tỡm hai s x v y bit
v x.y = 60
3 5
x y
=
Vi bi toỏn ny hc sinh gii thng ỏp dng mt cỏch mỏy múc tớnh cht
ca dóy t s bng nhau
x.y 60
= =
3 5 3.5 15
x y
=
( sai ! HS dễ mắc sai lầm GV cần đặc biệt chú ý phần t/c
của dãy tỉ số bằng nhau)
Gii:
Cỏch 1:

t x = 3k, y = 5k . Thay vo ng thc, ta cú:
3k. 5k = 60
Hay 15 k
2
= 60
⇒k
2
= 4
⇒ k = ± 2
Với k = 2, ta có x = 3. 2 = 6, y= 5.2 = 10
Với k = - 2, ta có x = 3. ( - 2) = - 6, y = 5. ( -2) = -10
• Cách 2:
Từ
3 5
x y
=
Suy ra
2 2
. 60
4
3 5 3 5 3.5 15
x y x y x y
   
= = × = = =
 ÷  ÷
   
2
4
3
x

 
⇒ =
 ÷
 
2
3
6
x
x
⇒ = ±
⇒ = ±
Với x = 6 ⇒ y = 10
Với x = - 6 ⇒y = -10
Bài toán 2: ( Bài 63 – SGK tr 31)
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
( )
0, 0
a c
a b c d
b d
= − ≠ − ≠
, ta có thể suy ra tỉ
lệ thức
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
Lời giải:
• Cách 1:

Từ
d
c
b
a
=
a b a + b a - b
= =
c d c + d c - d
⇒ =
Do đó, ta có
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
• Cách 2:
Đặt
, ta có a = bm, c = dm
a c
m
b d
= =
Do đó
1
1
)1(
)1(
−
+

=
−
+
=
−
+
=
−
+
m
m
mb
mb
bbm
bbm
ba
ba
(1)

1
1
)1(
)1(
−
+
=
−
+
=
−

+
=
−
+
m
m
md
md
ddm
ddm
dc
dc
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
Lời giải trên gợi ý cho ta rất nhiều bài toán mới
Bài 2.1:
Cho tỉ lệ thức
( )
0, 0
a c
a b c d
b d
= − ≠ − ≠
Chứng minh rằng
a b c d

a b c d
− −
=
+ +
Bài 2.2:
Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
Chứng minh rằng

ax + by cx + dy

ax - by cx - dy
=
, với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.
Mặt khác, ta có
(a + b)(c - d) = (a - b)(c + d)
a b c d
a b c d
− −
= ⇒
+ +
Cho ta bài toán khó hơn:
Bài 2.3:
Cho tỉ lệ thức

( )
0, 0
a c

a b c d
b d
= − ≠ − ≠
Chứng tỏ rằng (a + b)(c - d) = (a - b) (c + d)
Bài toán 3: (Bài 57 – SGK tr 30)
Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên
bi của mỗi bạn, biết rằng cả ba bạn có tất cả 44 viên bi.
Lời giải:
Gọi số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là x, y, z ( viên )
Vì số viên bi của ba bạn lần lượt tỉ lệ với 2; 4; 5 nên ta có

x y z
= = và x + y + z = 44
2 4 5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số
b»
ng nhau, ta có:
x y z x + y + z 44
= = = = = 4
2 4 5 2 + 4 + 5 11
2.4 8
4.4 16
5.4 20
x
y
z
= =


⇒ = =



= =

Vậy số bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là 8; 16; 20 viên.
Bài toán này có thể phát biểu khác đi một chút:
Bài 3.1:
Chia số 44 thành 3 phần tỉ lệ với 2, 4, 5
Và từ
x y z
= = 4x = 2y; 5y = 4z
2 4 5
⇔
Nên ta có bài toán mới:
Bài 3.2:
Tìm x, y, z biết 4x = 2y; 5y = 4z và x + y + z = 44
Ta cũng có
x y z
20 = 20 = 20 10x = 5y = 4z
2 4 5
× × × ⇔
Nên ta có bài toán khó hơn:
Bài 3.3:
Cho x, y, z thỏa mãn 10x = 5y = 4z và x + y + z =44
Tìm x, y, z
Ở bài toán trên nếu thay x + y + z = 44 bởi 3x – 2y + z = 12 ta được bài toán
khó hơn nữa:
Bài 3.4:
Tìm x, y, z biết 4x = 2y; 5y = 4z và 3x – 2y + z = 12.
Bài toán 4: (Bài 78 – SBT tr14)

So sánh các số a, b, c biết rằng:

a b c
= =
b c a
Lời giải:
• Cách 1:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c
= = = = 1
b c a b + c + a
Do đó a = b = c
Cách 2:
Đặt
a b c
= = = m
b c a
, ta có
a = mb, b = mc, c = ma
Do đó a = mb = m(mc) =
( )
m m ma 
 
⇒ a = m
3
a ⇒ m
3
= 1 (vì a ≠ 0) ⇒ m = 1
Vậy
a b c

= = = 1
b c a
⇒ a = b = c
Cách 3:
Từ
a b c
= =
b c a
⇒
3
a b c a
=
b c a b
 
× ×
 ÷
 
Hay
3
a a
1 = 1
b b
 
= ⇒
 ÷
 
Ta có
a b c
= = = 1
b c a

⇒ a = b = c
Tiếp tục tìm kiếm, chắc chắn còn nhiều cách giải khác nữa.
Ta có bài toán tổng quát:
Bài 4. 1:
Cho
1 2 n-1 n
1 2 n
2 3 n 1
a a a a
= = và a + a + + a 0
a a a a
= ××× = ≠

Chứng tỏ rằng
1 2 n
a = a = = a
Từ
a b c
= = = 1
b c a
và a + b + c ≠ 0 ⇒ a = b = c
Điều này cho ta các bài toán hay và khó sau:
Bài 4.2:
Cho
a b c
= =
b c a
; a + b + c ≠ 0 và a = 2008.
Tớnh b, c ?
Bi 4.3:

Cho
a b c
= =
b c a
; a + b + c 0
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
3 2 1930
1935
a b c
M =
b
Bi 4.4:
Cho:
( )
( )
3
1 2 n-1 n
1 2 3 n
2 3 4 n 1
2 2 2
1 2 n
2
1 2 n
7 7 7
1 2 n
7
1 2 n
a
a a a a
; a a a a 0

a a a a a
Tớnh:
a a a
a)
a a a
a a a
b)
a a a
= = = ììì= = + + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
4. Hiệu quả đạt đợc.
a) Đối với Giáo viên:
Sau khi nghiên cứu và viết chuyên đề này bản thân tôi cảm thấy tự tin hơn
khi giảng bài trên lớp đặc biệt là các bài toán liên quan đến chuyên đề, kiến
thức của bản thân cũng đợc trau dồi và nâng cao hơn trong khi tham khảo
các tài liệu để viết chuyên đề.
b) Đối với Học sinh:
Sau khi đợc giải các bài toán trong chuyên đề này học sinh có kỹ năng làm
các bài toán một cách hợp lý, các em nhìn nhận mỗi bài toán dới nhiều khía
cạnh khác nhau. Từ đó kích thích đợc sự tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi,
khám phá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói riêng và các môn khoa học
khác nói chung . Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phơng pháp khai
thác bài toán một cách hợp lý nên đã taọ ra đợc nhiều bài toán hay, bài toán
khó và có những lời giải độc đáo. Các em có ý thức tự tin trong học tập, ý
thức tự học và vơn lên tốt hơn.
* So sánh chất lợng cụ thể trong hai năm học:
Khối

Năm học Tổng số Tỉ lệ trên TB
2006 - 2007 26
57%
7 2007 - 2008 80 78%
5. Một số bài học kinh nghiệm
Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy học môn Toán, giáo viên phải có ph-
ơng pháp dạy học phù hợp với từng đối tợng học sinh .Muốn có có đợc ph-
ơng pháp tốt đòi hỏi ngời thầy phải thờng xuyên học hỏi, tự bồi dỡng những
kiến thức cho mình .
Tự học, tự nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến bộ môn để tham khảo.
Sọan bài kĩ trớc khi lên lớp.
Thờng xuyên học hỏi các bạn đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên
môn.
Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tởng giải toán, sau đó mới
rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải .
Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự logic từ dễ đến
khó .
Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tòi lời giải, tự phân tích
và phát triển mỗi bài toán theo nhiều hớng khác nhau .
6. Hạn chế
Ngoài những kết quả đã đạt nh nêu ở trên thì trong quá trình thực hiện áp
dụng kinh nghiệm này vào việc hớng dẫn giảng dạy cho học sinh tôi thấy
những hạn chế sau :
- Số lợng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên
đề còn hạn chế .
- Do thời gian có hạn nên nội dung còn sơ sài .
- Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học sinh khá
,giỏi.
7. Hớng đề xuất
Để tăng thêm hiệu quả và khắc phục nhữngtồn tại khi áp dụng đề tài, tôi

tiếp tục đề ra cho mình hớng giải quyết tiếp theo :
- Tiếp tục nghiên cứu đề tài khai thác và phát triển các bài toán từ một
bài toán đơn giản và áp dụng trên lớp, đồng thời theo dõi kết quả của
học sinh để tìm ra biện pháp khắc phục nhợc điểm và hạn chế của đề
tài .
- Đa ra hội thảo chuyên đề trong tổ chuyên môn thảo luận để tìm ra biện
pháp tối u nhất .
8. Điều kiện áp dụng
Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau:
- Đối với học sinh :
+ Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán
khác .
+ Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ, đợc đầu t
thời gian, thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo .
- Đối với giáo viên :
+ Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tham khảo để nghiên cứu và áp
dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể.
+ Phải có trình độ chuyên môn vững vàng để không những có những lời
giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay
hơn, đa dạng hơn .
iII- kết luận
Trên đây là toàn bộ nội dung và các vấn đề có liên quan đến chuyên đề :
Mở rộng một số bài toán trong sách giáo khoa". Các bài tập mà tôi đa ra
trong chuyên đề này chỉ là một số bài tập có tính sàng lọc, đặc biệt các bài
tập trong chuyên đề này có tính chất nâng cao nhằm khơi dậy ở Học sinh khả
năng khám phá bộ môn toán.
Do thời gian nghiên cứu có hạn và phạm vi mở rộng chuyên đề còn hạn
chế. Hơn nữa kinh nghiệm và năng lực của bản thân tôi có hạn, nên chuyên
đề không tránh khỏi những thiếu sót. Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp để các năm học tiết theo tôi viết chuyên đề đợc

hoàn thiện hơn, tốt hơn và có khả năng áp dụng đạt kết quả tốt hơn.Tôi xin
chân thành cảm ơn.
Ngêi viÕt.