THI H0C SINH GIOI CAP TRUONG07-08
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.28 KB, 4 trang )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề).
Năm học: 2008-2009.
I. Phần trắc nghiệm: (20 phút) (5 điểm)
Câu 1:
x +
2 4
có nghĩa khi:
A. x ≥-4 B. x ≥-2 C.x < 2 D.x≤-2
Câu 2: Rút gọn
( )
−
2
5 7
được kết quả là:
A.
−
5 7
B.
− −
5 7
C.
+
5 7
D.
−
7 5
Câu 3: Rút gọn
−
12 6 3
được kết quả là
A.
−
3 3
B.
− −
3 3
C.
−
3 3
D.
+
3 3
Câu 4: Biết
2
4 6x =
thì x bằng:
A. 3 B. -3 C.
±
3 D.
6±
Câu 5: Kết quả phép tính :
(4 13)(4 13)− +
là
A. 3 B. -3 C.
±
3 D. -9
Câu 6: Rút gọn
4 2
27a b
được kết quả là:
A.
3 3
a
2
b B. -
3 3
a
2
b C. 3ab
2
D.
3 3
a
2
b
Câu 7: Kết quả của phép tính
1 1
2 3 2 3
+
− +
là:
A. 4 B. -4 C.
2 3
D. -
2 3
Câu 8: Khử mẫu của biểu thức
1
20
là :
A.
1
5
20
B.
1
20
20
C.
1
5
10
D. Cả câu B và C đều đúng
Câu 9: Tập nghiệm của phương trình x
2
– 7 = 0 là:
A.
{ }
7; 7S = −
B.
{ }
7; 7S = −
C.
{ }
7S =
D.
{ }
7S = −
Câu 10: Nếu x thỏa mãn điều kiện
3 3x+ =
thì x nhận giá trị là:
A. 0 B. 6 C. 9 D. 36
Câu 11: Biểu thức
2
1 3
1
x
x
−
+
có nghĩa khi:
A. x >
1
3
B. x <
1
3
C. x ≤
1
3
D. x ≥
1
3
Câu 12: tam giác ABC vuông tại A có
3
4
AB
AC
=
, đường cao AH = 12 cm
khi đó độ dài CH bằng :
A. 15cm B. 16cm C. 20cm D. 25cm
Câu 13: Trên hình vẽ :
A. x = 16/3 và y = 9
B. x = 4,8 và y = 10
C. x =5 và y = 9,6
D. Cả 3 trường hợp trên.
Câu 14: Cho cos
α
= 2/3 khi đó sin
α
bằng:
A.
5
9
B.
5
3
C.
1
3
D.
1
2
Câu 15: Giá trị của biểu thức: sin
4
α
+ cos
4
α
+ 2sin
2
α
.cos
2
α
bằng:
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 16: Cho góc nhọn
α
. Hãy điền vào số 0 hoặc số 1 vào chỗ trống(…) cho
đúng.
A. sin
2
α
+ cos
2
α
= … B. tg
α
.cotg
α
= …
C. …< sin
α
< … D. …< cos
α
<…
Câu 17: Trên hình bên ta có: x+ y bằng:
A.
4 3
C.
( )
4 2 3+
B.
( )
4 1 3+
D. 10
Câu 18: Tam giác ABC vuông tại C. Trung
tuyến CE vuông góc trung tuyến BF và
cạnh BC = x. Độ dài cạnh BF là:
A.
3
2
2
x
B.
2 2x
C.
5
2
x
D.
6
2
x
Câu 19: Tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho :
A. n B. n +1 C. n+2 D. n+3
Câu 20:
81
bằng:
A. 9 B. -9 C.3 D. -3
II. Phần tự luận : ( 15 điểm)
Câu 1: ( 5 điểm)
a/Chứng minh rằng: 4
2n+2
- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên.
b/ Chứng minh rằng:19
45
– 19
30
chia hết cho 20.
Câu 2: (3 điểm)
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, biết :
2
4 3
1
x
C
x
+
=
+
Câu 3: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức A, biết
A =
6 3
4 2 3. 1 3− +
Câu 4: (2,5 điểm)
y
x
8
6
6
2
y
x
x
D
E
F
C
A
B
Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K là hình chiếu
của B, C trên đường thẳng DE, Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC. Qua I vẽ
đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q. Chứng minh rằng:
S
BEC
+ S
BDC
= S
BHKC.
Câu 5:( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, độ dài cạnh BC = a , AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng:
a/
sin sin sin
a b c
A B C
= =
b/ S
ABC
=
1
2
bc.sina
ĐẤP ÁN
I. Phần trắc nghiệm:( 5 điểm) (mỗi câu đúng được 0,25điểm)
Câu 1:B
Câu 2:A
Câu 3:C
Câu 4:C
Câu 5:A
Câu 6:D
Câu 7:A
Câu 8:D
Câu 9:B
Câu 10:D
Câu 11:C
Câu 12:B
Câu 13:B
Câu 14:B
Câu 15:C
Câu 16: A: 1, B:1 , C: 0<……<1, D: 0<… <1
Câu 17:C
Câu 18:D
Câu 19:A
Câu 20:C
II. Phần tự luận:( 15 điểm)
Câu 1: (5 đ)
a/ + với n = 0 ta có: 4
2.0+2
-1 =15 chia hết cho 15
+ Giả sử(*) đúng với n = k (k thuộc N) nghĩa là :
4
2k+2
– 1chia hết cho 15
Ta phải chứng minh(*) đúng với n = k+1, nghĩa là
4
2k+2
– 1chia hết cho 15. Ta có:4
2(k+1) +2
-1 = 4
2
(4
2k+2
-1) + 15
Mà 4
2
(4
2k+2
-1) + 15 chia hết cho 15 . Vậy 4
2(k+1) +2
-1 chia hết cho 15
Vậy: 4
2n+2
- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên.
b/ Ta có: 19
45
– 19
30
= 19
30
.( 19
15
+1) chia hết cho 20
Câu 2:(3điểm)
Ta có:
( )
2 2
2 2
2
2
4 3 ( 1) ( 4 4)
1 1
x+2
= -1+ 1
1
x x x x
C
x x
x
+ − + + + +
= =
+ +
≥ −
+
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -1 khi x + 2 = 0↔ x = -2.
Câu 3: (2điểm)
A=
( ) ( ) ( )
6 3 3
3
6 3
4 2 3. 1 3 3 1 . 1 3 3 1 1 3 2− + = − + = − + =
Câu 4: (2,5 điểm)
Gọi I là trung điểm của ED
Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC.
Ta có: I I’ là đường trung bình của
hình thang EE’D’D nên: EE’+ DD’=2 I I’
Vậy:S
BEC
+ S
BDC
=
1
2
EE’.BC +
1
2
DD’.BC
=
1
2
BC(EE’+ DD’)
= BC. I I’(1)
Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q.
Ta có: BC. I I’ = S
BPQC
. Mặt khác ∆PIH = ∆QIK(c-g-c).
Suy ra: S
PIH
= S
QIK
. Do đó: S
BPQC
= S
BHKC
.Từ (1),(2),(3)
suy ra: S
BEC
+ S
BDC
= S
BHKC
.
Câu 5:(2,5 điểm)
a/ Dựng đường cao AH, ta có:
sinB = AH/AB; sinC = AH/AC
→ sinB/sinC=AH/AB:AH/AC = b/c
→ b/sinB = c/sinC (1).
Chứng minh tương tự ta có: a/sinA = b/sinB(2)
Từ (1),(2) suy ra: a/sinA = b/sinB = c/sinC
b/ Kẻ CH vuông góc AB, ta có:
CH = AC.sinA
Mà S
ABC
=
1
2
AB.CH =
1
2
AB.AC.sinA
Hay S
ABC
=
1
2
b.c.sinA
h
b
c
H
A
B
C
a
b
c
H
A
B
C
P
I'
I
D'
E'
K
H
D
E
A
B
C
Q
