S GIÁO DO TNH YÊN BÁI
TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN NHẬT DUẬT













MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC










H và tên: Hồ Hải Hà
Chc v: Giáo viên

T chuyên môn: Toán – Tin
: THPT Trần Nhật Duật









NC 2012 - 2013





MỤC LỤC



Trang



PHẦN I
MỞ ĐẦU
1
1.
Lý do ch tài

1
2.
Mu
1
3.
ng nghiên cu
1
4.
Gii hn và phm vi nghiên cu
1
5.
Nhim v nghiên cu
2
6.
u
2
7.
Thi gian nghiên cu
2
PHẦN II
NỘI DUNG CỦA ĐỀ TI
3

 lí lun c tài
3
1.








3
2.







3

Thc trng c tài
4

Gii quyt v
5
A
MT S 
GII NG GIÁC
6
B
BÀI TP GING GIÁC
 THI TUYI HC
21
C
BÀI TP T LUYN
31

D
KT QU CA QUÁ TRÌNH VN DNG
32
PHẦN III
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
34










PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
THPT, ng giác là m

 






. Trong các kì thi tuyn sinh i hc
ng thì 


 luôn luôn  cp ti, chim trong
m ca bài thi,   i quen thuc trong nhiu
sách tham kho b môn toán bc trung hc ph   ôn và luyn thi. Vi
mong mun mang kin thc mt cách có h thng và sâu sc v bài toán " Gii
ng giác" n vi hgiúp các em hc sinh có mt
 và chc chn, giúp hc sinh t c vào các kì thi
tuyn sinh t thành tích cao tôi la ch tài:

" MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC "

2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cu mt s kin thn ni dung c tài.
 Nghiên cu mt s ng giác
ng gp.
 Nghiên cu mt s ng pháp ging giác s dng trong
 c n, nâng cao và  mt s kì thi tuyi hc
khi A; B; D.
 Thông qua vic nghiên cu nhm nâng cao nghip v chuyên môn và rút
kinh nghim trong quá trình ging dng dn hc sinh gii quyt bài
toán này mt cách rõ ràng và chc chn v kin thng thi nhm nâng
cao chng hiu qu ca quá trình ging dy và hc tp ca hc sinh lp
11, 12 m rng kin thc cho hc sinh nhm phát huy tinh thn t giác hc
tp c o trong hc tp ca h các em t tin
t thành tích cao trong các kì thi tuyn sinh.

3. Đối tƣợng nghiên cứu:
 Bài toán Ging giác.
 Hc sinh khi 11, 12, hi hc.
 Nán THPT.


4. Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu
 Các bài báo và các tài liu n bài toán Ging
giác. Sách giáo khoa môn Toán bc PTTH và bi s
và Gii tích - Lp 10i tích lp 11. Sách 

 n và
nâng cao lp 10. Sách gin lp 11. Tài liu ôn thi
. Sách tham kho b môn Toán lp 10;11.
 Ni dung nghiên cu: Tp trung nghiên c lý lun và thc ti
rút kinh nghing dy và trình bày bài toán Gi


ng giác  c sinh nm vng các khái
ni  nh lí, các         
 ng gp t t phân tích và s dng chúng trong tng
ng hp c th mt cách linh hot sáng to. Giúp các em nâng cao nhn
thc lp sáng to, kiên trì trong hc tp nói chung và môn
 khác i sng sinh hot.
 Áp d tài: Khi 11, hc sinh ôn thi tuyn si hc -
ng THPT Trn Nht Dut.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
 Trình bày mt s ng giác.
 Trình bày mt s   ng giác  kì thi
tuyng , i hc khi A; B; D.
 Trình bày mt s kin th

n ni dung c 













.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu
 u lý thuyt.
 , tng hp.

7. Thời gian nghiên cứu và kế hoạch thực hiện
 Thi gian nghiên c c phân công ging dy ban
KHTN và ln A bc THPT t n nay.
 K hoch thc hi tài:
1) Thu thc hi kinh nghim t tài liu và t ng nghip.
2) Hè 2011 c 2011- 2012, trình bày lý thuyt tng quan v bài
toán ging giác.
3) Trình bày mt s bài toán ging giác vn dng trong
 c nâng cao và  mt s kì thi tuyi hc khi A;
B; D.   ánh giá và rút kinh nghi  tài sau quá trình vn
dng. Áp dng trong nhc tip theo.














PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1. Cơ sở pháp lý
i my hc th ch hóa trong lut
giáo dc c th hóa trong các ch th ca B giáo d
tn công nghip hóa hii hóa vi mc
t nam t mc nông nghip v n tr thành mt
c công nghip, hi nhp vi cng quc t. Nhân t quynh thng
li ca công cuc công nghip hóa hic là hi nhi, là
ngun lc phát trin v s ng và chng toàn ding
nhu cu y mi giáo viên phi xây dng và hình thành mt nn tng kin th
n và trên chun.
c mà th ng chính ph tip tng công
cuc vng " Mi thy giáo, cô giáo là mt tc t hc và sáng
to", " Xây dng hc thân thin, hc sinh tích c ng ng và thc
hin cuc v Toán-ng THPT Trn Nht Dun
 gng vn dng và áp dng công ngh o
trong vic xây dng và thc hin k hoch làm dng c hc tng dn hc

sinh cùng tham gia làm dng c hc tp, làm tiu lun. Giúp hc sinh gi
môn Toán, to s t tin chin thc b môn.

2. Cơ sở thực tiễn
Trong thc t thi tuyi hc luôn có bài
toán ging giác và nó chim ca bài thi.
Mc dù kin th gic trang b  1 ci s
và Gii tích lp 11 ri hc sinh thì không phi là bài toán
d bài thì 

không phi là nh dng trc tip
ng g



 , 



















 . 
















. Nguyên nhân có th c s có cái nhìn
tng quan và bn cht ca vic gia th trình bày lý
thuyt và thi gian vn dng gii quyt bài toán này theo phân ph
không nhiu. i quyt nó
cn nhi. Qua thc t kho sát kt qu thi, và qua quá trình dy hc tôi
thy hnh, phân lo
cho v nh có cách gii vào mc tiêu và nhim v giáo
dc, nhm nâng cao hiu qu ca vic dy và hc, rèn luyn kin th
hc kt qu cao nha ch trình bày

 tài này.




CHƢƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

u tài liu trình bày n tài này trong các sách tham kho
b môn Toán, và tài liu ôn luyn thi môn toán cùng vi các n
i vi các em hc sinh lp 11, 12 c bit hc sinh không phi lp chn ca nhà
ng thì vic tìm tài liu và xây dng cho mình kin thc v n
 c thu kin khác. Ngay t
nh p và
trang b tài liu cho mình và mt b phn hc sinh có nim say mê có s 
cho vic h ng dn các em tng hp và trình bày tiu lun v
  o sát và nm bt nhng v 
các em gp phi, cùng vi nhng v mà các em hc sinh ng mc khi hc
 t  này. Lúc mng dn thì có ít em hc
sinh gii quyt tri bài toán nàyc bi 
  ng có tâm lí ngi
c nên b quang dn thì nhng hc
sinh có lc hc b môn Toán t Trung bình tr i và gii quyc
 thi mt cách nhanh chóng và d i s hc sinh
còn lt phân loi và có li gii tt.
C th: Khi kho sát 






"
" 







  








45  



 2010-2011; 2011-
2012 kt qu  sau:

m kho sát 










 ca hc sinh


2010-2011
Bảng 1


m kho sát 









 ca hc sinh


2011-2012
Bảng 2


Gii

Khá
TB
Yu
Kém
TB
↑

Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
217
7
3,2
15
6,9
51
23,5
95
43,8
49
22,6

73
33,6

Gii
Khá
TB
Yu
Kém
TB
↑

Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
Sl
Tl %
205
5
2,4
15
7,3
56
27,3

86
42,0
43
21
76
37,1


CHƢƠNG 3: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Xut phát t thc t, hng quên kin th
b qua bài toán khi gp các bài toán l 















 mà
không ch  thành bài toán quen 


t cách làm.





 
.Tôi thy cn phng dng, giúp các em làm ch kin thc t
 tin vào kh c tp ca mình. T  
gii quyt các yêu cu và hoàn thành mc tiêu hc tp ca bn thân.

 thc hi c hic:
c 1:
- Thu thp và nghiên cu tài liu, tham kho ý kin cng nghip.
- Kho sát chng hc sinh.
- Trang b tài ling dn hc sinh làm tiu lun v ni dung c
tài.
c 2:
- Thc hin ni dung nghiên cu
- Trang b mt s kin thc chun b cho ni dung c tài mà h
c hc t  (1).
- Trang b mt s 







 , 









, ph











 (2).
-  c hc
 








(





).
- Vn dng các ng ng
ng gp trong thc hành gii toán.
c 3:
- Kho sát kt qu vn dng ca hc sinh.
- Rút kinh nghim cho nh













A. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

 gii m 
 u ki nh.
  mt trong các d

có các gii, và tin hành git.
 So sánh các nghi  c v u ki    loi b  
nghim ngoi lai.
 
















.













. 













- 

tan 









:

;.
2
x k k


  

- 

cot 









:
;.x k k




Ngoài mt s d  ng giác 











  pháp t
gii tt c các dng giác vì chúng rng li
chung là s dng các phép bi



  c gi
v vic gii mt hay mt s   ng giác  n hoc dng quen
thuc.Vi mng giác c th ta phi tìm  nhng cách
bii thích hc nh các công thng giác và kh i
thành tho các công th














 t
vai trò quan trng trong khi gii ng giác. Ngoài ra chúng ta còn
s dt n ph  gi
ng giác.   t s     gi 
ng giác và mt s ví d minh ha.

1. Phƣơng pháp dùng các phép biến đổi











 
.

Ví dụ 1. Gi
cos3 sin2 sin4x x x
(3.1)
Giải
cos3 sin2 sin4x x x

cos3 sin2 sin4 0
cos3 2cos3 sin 0
x x x

x x x
   
  

cos3 (1 2sin ) 0xx  



63
cos3 0
63
2 ;( ).
1
5
6
sin
2
2
5
6
2
6
xk
x
xk
x k k
x
xk
xk




















     

















V (3.1) có nghim:
63
xk


;
5
2
6
xk



;
k 
.

















 










b
















.

Ví dụ 2. Gi:
sin5 cos3 sin6 cos2 0x x x x
(3.2)
Giải:
S dng công thc bii tích thành tng chúng ta có

11
sin5 cos3 sin6 cos2 0 (sin8 sin2 ) (sin8 sin4 ) 0
22
x x x x x x x x      


sin4 sin2 0 sin4 sin2 ;
63
xk
x x x x k
xk





      






Vm:
;;
63
x k x k k


   















































.






























, 


































i




. :

Ví dụ 3. Gi
1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x    
(3.3)

Giải:
Chúng ta có:
1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x    

1 sin cos3 cos sin2 cos2 0x x x x x      

sin (1 cos2 ) (cos3 cos ) sin2 0x x x x x      

2
sin 2sin 2sin2 sin sin2 0x x x x x    

sin (1 2sin ) 2sin2 (2sin 1) 0x x x x    
sin (1 2sin )(1 2cos ) 0x x x   



sin 0
2
6

1
sin ; .
7
2
2
6
1
cos
2
2
3
xk
x
xk
xk
xk
x
xk















  




    









  




V (3.3) có nghim:
7
; 2 ; ; 2 ( )
6 6 3
x k x k x k x k k
  
   
         



Ví dụ 4. Gi
2 2 2
cos 2 cos cos 3 1x x x  
(3.4)
Giải:
S dng công thc h b   (3.4)

  vi
2
cos2 cos4 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0
2
cos 0
4cos cos2 cos3 0 cos2 0 ( ).
42
cos3 0
63
x x x x x x
xk
x
x x x x x k k
x
xk




     









       












V (3.4) có nghim:
; ; ; .
2 4 2 6 3
x k x k x k k
    

      


Ví dụ 5. Gi:

33
cos3 cos sin3 sin 0x x x x
(3.5)
Giải:
S dng công thc góc nhân ba chúng ta có:
3
cos3 3cos 3sin sin3
cos ;sin3
44
x x x x
xx




3
(3.3) cos3 (cos3 3cos ) sin3 (3sin sin3 ) 0
3(cos3 cos sin3 sin ) cos6 0
3cos2 cos6 0 4cos 2 0
cos2 0 , .
2
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x k k


    
   
    

     

V (3.5) có nghim:
,
2
x k k


  

Ví dụ 6. Tìm tt c các giá tr c m
 
6 6 4 4
sin cos sin cosx x a x x  
(3.6)


Giải:
S dng các công thng giác chúng ta có
6 6 2 2 2
3
sin cos 1 3sin cos 1 sin 2
4
x x x x x    

4 4 2 2 2
1
sin cos 1 2sin cos 1 sin 2
4
x x x x x    


rình (3.6) tr thành:
2
4( 1)
sin 2
23
a
x
a



, 
nghim khi và ch khi:
4( 1) 1
0 1 1
2 3 2
a
a
a

    

.

Qua vic gii các Ví d 4, Ví d 5, Ví d 6 ã s dng công thc
h b gi ng giác. Trong Ví d 4  bc tng
nhân t(


















 "h b"), Ví d 5
    bc biu thc có dng
33
cos3 cos sin3 sinA x x x x
bng cách
trên hoc h bc bng cách sau( kiu h bc này mt s sách tham kho
gi là "h bi xng")

3 3 2 2
cos3 cos sin3 sin cos3 cos (1 sin ) sin3 sin (1 cos )A x x x x x x x x x x     
.
Áp dng vn hp cha
sin ;cos
nn
xx

(Ví d 6) chúng
 dng kiu h bc  c 





gi là "h bc toàn cc".

Ví dụ 7. Vi giá tr ca
a
 sau có duy nht mt nghim nm trong
khong
;
2





:
 
33
(sin cos )sin2 sin cosx x x a x x  
(3.7)
Giải:
S dng công thng giác chúng ta có:
33
1
sin cos (sin cos )(1 sin2 )

2
x x x x x   

(3.7) i:
 
sin cos 0 (1)
(sin cos ) ( 2)sin2 2 0
( 2)sin2 2 0 (2)
xx
x x a x a
a x a


    

  


Trong khong
;
2





 (1) có nghim duy nht
3
4
x



. Vy
các giá tr
a

cn tìm là nhng giá tr
a
 (2) không có nghim nm
trong khong
;
2





hoc ch có nghim
3
4
x


.
+) Vi
2a 

(2) vô nghim nên giá tr
2a 
th bài.



+) Vi
2a 

chúng ta có
2
(2) sin2
2
a
x
a


. Vì
; 1 sin2 0
2
xx



    



(2) vô nghim khi và ch khi
2
0
2
2

2
1
3
2
a
a
a
a
a
a


















(2) có nghim
3

4
x


thì:
32
sin2.
42
a
a




22
1
23
a
a
a
     


c li khi
2
3
a 
(2) tr thành
sin2 1x 
và có nghim

3
4
x


trong khong
;
2





. 
2
3
a 
tha mãn bài toán.
Vy các giá tr cn tìm ca
a
là
2
0;
3
a




.


Ví dụ 8. Giải phƣơng trình:
4cos 2sin 3 cos2x x x  
(3.8)

Giải:

 
.8 (cos sin ) 3(cos sin ) 3 (cos sin )(cos sin )x x x x x x x x       3

S dng thc:
( )( ) 0au bv ab uv u b a v      
, nên
(3.8) (cos sin 3)(cos sin 1) 0 cos sin 1x x x x x x        

2
2cos 1 ; .
4
2
2
xk
xk
xk









    


  




Vy (3.8) có nghim:
2 ; 2 ;
2
x k x k k


    
.
























 , 














 







.  



Ví dụ 6 :

Bi toán 1. 

















:

6 6 4 4
22

()
1
x y a x y
xy

  








:
Bi toán 2. , 




a)
33
22
1
x y x y
xy

  






b)
33
sin cos sin cosx x x x  
(*)



Giải:
a) 
3 3 3 3 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) 2 0 0
1
1 1 1
x y x y x y x y x y y yx xy y
x
x y x y x y
  
          

  
  
   

     
  


  










11
;
00
xx
yy
  





b)
3 3 3 3 2 2
sin cos sin cos sin cos (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x       

3 2 2 2 2
2cos sin cos sin cos 0 cos (2cos sin sin cos ) 0x x x x x x x x x x       

+) 



cos 0x 

,
2
x k k


  

+) 


cos 0x 
, 




3
cos 0x 




2
tan tan 2 0xx  
(






)






(*) :
,
2
x k k


  























  . 












. 











, 



 



.
Trong  





 








.


3.2 Phƣơng pháp đổi biến
Bt n
()t f x
thích h 
vic gii mng giác v gii mi s n
t
(gi là
:
( ) 0Ft 
(*)
  ng dùng các n ph  
sin ; cos ;t ax t ax

tanx; cot ;t t x
sinx+cos ; sinx+cost x t x

Chú ý r  t
sin ; cos ;t ax t ax
  u kin
1t 
  t
sin cost x x
hay
sin cost x x
u kin
2t 
.
   c các nghim c  trình trung gian (*), vic gii
 quy v vic gin hoc
c nhi vi sinx và cosx dng hay

sin cosx x t
(Xem thêm 
mc 2.3 và 2.5  2).  

 ví d minh ha 


:
Ví dụ 9: Gi
2
sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3x x x x x   
(3.9)
Giải:
u kin :
cos 0x 
,




:


2
sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3x x x x x   

22
sin (tan 1) 3(sinxcos sin )x x x x   

22

tan (tan 1) 3(tan tan )x x x x   
2
(tan 1)(tan 3) 0xx   

tan 1
tan 3
tan 3
x
x
x








4
;( ).
3
3
xk
x k k
xk












   



  



( Thu kin)
V(3.9) có các nghim là :
; ; ;
4 3 3
x k x k x k k
  
  
       


(3.9), sau khi bi
cha mng giác(hàm tan x) chúng ta có th t t = tan x, chuyn thành
, chúng ta có th n là tan x mà
không cn ph trên.

Ví dụ 10: Gii :

2
2cos (2 sin ) sin 0
2
x
xx  
(3.10)
Giải:
Chúng ta có :
2
2cos (2 sin ) sin 0
2
x
xx  

2 2(sin cos ) sin cos 0x x x x     

t
sin cos , 2t x x t  
(3.10) tr thành
2
1(tmdk)
4 3 0
3( ktmdk)
t
tt
t


   





Vi
2
1 2cos 1 cos
4 4 2
t x x

   
         
   
   
2
;.
2
2
xk
k
xk













V(3.10) có nghim:
2 ; 2 ;
2
x k x k k

  
    


Ví dụ 11: Gi
3sin 2cos 1 1xx  
(3.11)
Giải:
+) 


sin 0
2
cos 1
x
xk
x



  








  (3.11), nên
2xk






.


+) 


2 cos 0
2
x
xk

   



2
22

21
tan sin ;cos
2 1 1
x t t
t x x
tt

   



:
(3.11) 



:
2
2
2 2 2 2
13
6 2 2 6
1 1 1
1 1 1 1
t
t t t
t t t t


     

   


2
22
2
22
1 3 0
0
6 1 3 1
3 13
1 3 0
2
6 1 3 1
t
t
t t t
t
t
t t t








   


















   




Suy ra:
2
tan 0
2
;
3 13
2arctan 2
3 13
tan

2
22
x
xk
k
xk
x






























(3.11) :
3 13
2 ; 2arctan 2 ;
2
x k x k k



   



.

Ví dụ 12: Gi
cos sin 1 cos sinx x x x  
(3.12)
Giải:


:
sin cos 0xx

cos 1 sin cos sin 0x x x x   


nên
cos 0x 
,
sin 0x 
. 
cos ; sin ( ; 0)u x v x u v  






:
2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 . 1 . 1 .
1 ( ) 2 1 (1 . ) 2 1
u v u v u v u v u v u v
u v u v u v u v u v
  
        
  

  
       
  
  

22

1.
0
u v u v
uv

  




. 

 
0
1
v
u





()









:
sin 0
2 , .
cos 1
x
x k k
x



  








: i vi nhng giác chng
giác mang tính cht phc tp chúng ta có th  gii
i này d g tránh
nhc chúng ta có th s dng i bin  


 u v a các cung
;2 ;3 ; ;t t t kt
ri s dng
công th. 






 

:
Ví dụ 13: Gi
3
8cos cos3
3
xx





(3.13)
Giải


t
33
3
t x x t


    
(3.13) tr thành


3 3 3 3
8cos cos(3 ) 8cos cos3 8cos (4cos 3cos )
cos 0
2
(1 2cos2 )cos 0
1
cos2
2
3
6
2
32
;.
3
33
t t t t t t t
t
tk
tt
t
tk
xk
xk
x k k
xk
xk















        






    




  









  


     



   









V(3.13) có nghim
2
; ; ;
63
x k x k x k k

  
      


Ví dụ 14: Gi

6
32cos sin6 1
4
xx


  


(3.14)
Giải
t
3
66
42
t x x t

    
(3.14) tr thành

3
6
3 1 cos2
32cos sin 6 1 32 cos6 1
22
t
t t t


   

     
   
   

2 3 3
4(1 3cos2 3cos 2 cos 2 ) (4cos 2 3cos2 ) 0t t t t t      

2
cos2 1
4cos 2 5cos2 1 0
2
11
cos2 ( cos2 )
44
t
tk
tt
t
tk








     

   

  


4 2 4
;.
44
x k x k
k
x k x k
  


   

    

  


       



( Vi :
1
cos2
4


)

V(3.14) có nghim:
;;
44
x k x k k

  
      
,

Ví dụ 15: Gi
2
4
cos cos
3
x
x 
(3.15)
Giải


Chúng ta có:
2
1 1 2
cos (1 cos2 ) 1 cos 3.
2 2 3
x
xx


   






t
2
3
x
t 
(3.15) tr thành:

32
32
1
(1 cos3 ) cos2 1 4cos 3cos 2(2cos 1)
2
4cos 4cos 3cos 3 0 (cos 1)(2cos2 1) 0
2
cos 1 2 3
2
3
;.
13
2
cos2
2 12 4 2
3 12
t t t t t
t t t t t

x
t t k x k
k
k
x
t t k x k
k


  



      
        

  

  

  
    

  
      

  
  





V(3.15) có nghim:
3
3 ; ;
42
x k x k k


    
.

Ví dụ 16: Gi
2
34
1 2cos 3cos
55
xx

(3.16)
Giải
Chúng ta có :
2
3 1 6 1 2
cos 1 cos 1 cos 3.
5 2 5 2 5
x x x
   
   
   


   


t
2
5
x
t 
(3.16) tr thành

32
1 1 cos3 3cos2 2 4cos 3cos 3(2cos 1)t t t t t       

2
cos 1
1 21 1 21
(cos 1)(4cos 2cos 5) 0 cos ; cos
44
1 21
cos
4
2
5
2
2
5
()
5
22

5
2
2
5
t
t t t t
t
x
xk
k
tk
k
t k x
xk
k
















       


















   



  
  


  










(3.16) :
5 1 21
5 ; 5 ;cos ;( ).
24
x k x k k

  

     

3.3 Phƣơng pháp đánh giá















 




, 



   , 








 








 .

c áp dng khi gii mt s ng giác thuc
loi "không mu mc" . Chúng ta a trên các dng:
 Tính cht ca các hàm  và biu thc
 ng giác dng Pitago
 S dng bng thc Trung bình cng  trung bình nhân
 S dng bng thc Bunhiacopski

Chúng ta  minh hmt s ví d sau:

Ví dụ 17: Gi
74
cos sin 1xx
(3.17)
Giải:
Chúng ta có:

42
72
4 7 2 2
sinx 1 sin sin
cos 1 cos cos
sin cos sin cos 1
xx
x x x
x x x x
  



  



    
.
Nên:
72
74
42
42
cos 0
cos cos
cos 1
cos sin 1
sin sin
sin sin
x
xx
x
xx
xx
xx








   









4 2 2
4 2 2
cos 0 cos 0
sin sin sin 1
,.
2
cos 1 cos 1
2
sin sin sin 0
xx
x x x
xk
k
xx
xk
x x x















   














V(3.17) có hai h nghim là:
2 ; ; .
2
x k x k k


   



Ví dụ 18 : Gi
20 20
sin cos 1xx
(3.18)
Giải:
Chúng ta có:
20 2
20 20 2 2
20 2
sin 1 sin sin
sin cos sin cos 1
cos 1 cos cos
x x x
x x x x
x x x
  


    

  





Nên:
20 2

20 20
2
20 2
20 2
sin 0
sin sin
sin cos 1
sin 1
cos cos
cos cos
x
xx
xx
x
xx
xx







   










2
2
sin 0
cos 1
;.
2
sin 1
cos 0
x
x
x k k
x
x









   












V(3.18) có nghim:
;
2
x k k


.
Ví dụ 19: Gi :
44
11
sin cos
23
xx
(3.19)
Giải :
S dng bng thc :
2
2 2 2
3
3
abc
abc



  


ng thc xy ra khi và ch
khi
abc
, chúng ta có :
 
22
2
4 4 2 2 2
222
1 1 1
sin cos sin cos cos
2 2 2
11
sin cos cos
1
22
3
33
x x x x x
xxx
   
   
   
   




  




Du " = " khi và ch khi

2
22
cos 1 1 1 1
sin sin cos2 arccos , .
2 3 3 2 3
x
x x x x k k

         

V(3.19) có nghim:
11
arccos , .
23
x k k

   

Ví dụ 20: Gi
2
22
sin 3

sin sin sin 3
4
x
x x x
(3.20)
Giải:
+) Áp dng bng thc trung bình cng-trung bình nhân chúng ta có:
22
22
sin 3 sin 3
sin 2 sin sin sin3 (*)
44
xx
x x x x  

Du bng xy ra khi và ch khi
2
2
sin 3
sin
4
x
x 

+) Vì
sin sinxx
và
2
sin3 sin 3xx
nên (*)



2
22
sin 3
sin sin sin 3
4
x
x x x

Du bng xy ra khi và ch khi:


22
22
2
sin 3 sin 3
sin sin
44
sin 0
sin sin sin sin 2 ; .
1
6
sin
2
sin3 sin 3 sin3 0
5
2
sin3 1
6

xx
xk
xx
x
x x x x x k k
x
x x x
xk
x






















       





















V(3.20) có nghim:
5
; 2 ; 2 ;
66
x k x k x k k

  
     

.

Ví dụ 21: Giải phƣơng trình :
28
8cot 2tan 10xx

(3.21)
Giải
Áp dng bng thc Cauchy cho 10 s hng không âm
2
cot x
chúng ta có:
2 8 2 2 2 8 8
16 16
10
8cot 2tan cot cot cot tan tan
10 cot .tan 10
x x x x x x x
xx
      


Du " = " xy ra khi và ch khi :
28
cot tan , .
42
x x x k k

    


 (3.21) ⇔
2 8 2 8
8cot 2tan 10 cot tan , .
42
x x x x x k k

       

V(3.21) có nghim
,
42
x k k

  
.

Ví dụ 22: Gi
2 2 2 2
cos 4 cos 8 sin 12 sin 16 2x x x x   
(3.22)
Giải
 
2 2 2 2
2 2 2 2
.22 1 sin 4 1 sin 8 sin 12 sin 16 2
sin 4 sin 8 sin 12 sin 16 0
sin4 0
sin8 0
sin4 0 , .
sin12 0

4
sin16 0
x x x x
x x x x
x
x
k
x x k
x
x

      
    





     






3


Vy (3.22) có nghim:
,

4
k
xk




Ví dụ 23: Gi
(sin 3cos )sin3 2x x x
(3.23)
Giải
:
 
 
 
2
2 2 2
sin 3cos sin cos 1 ( 3)x x x x   

sin 3cos 2xx  



:
sin 3cos 2
(sin 3cos )sin3 2
sin3 1
xx
x x x
x




  





(3.23) i:

sin 1
sin 3cos 2
3
sin3 1 sin3 1
sin 3cos 2
sin 1
3
sin3 1
sin3 1
x
xx
xx
xx
x
x
x








  




















  



  



















2
6
,.
5
6
2
6
xk
x k k
xk










    


  



.
Vy (3.23) có nghim:
,
6
x k k


  
.

Ví dụ 24: Gi
66
10 10
2
1 sin cos
(sin cos )

4 sin 2 4cos2
xx
xx
xx



(3.24)
Giải
Chúng ta có
6 6 2 2
3.24
2 2 2 2
2
22
22
sin cos 1 3sin cos
VP
sin 2 4cos2 4(cos 2 sin 2 ) 3sin 2
3
1 sin 2
1 3sin cos 1
4
.
4 3sin 2 4 3sin 2 4
x x x x
x x x x x
x
xx
xx



  


  



Mà :
10 2
10 2
sin 1
cos cos
cos 1
sin sin
x
xx
x
xx














10 10 2 2
3.24
1 1 1
VT (sin cos ) (sin cos )
4 4 4
x x x x     

(3.24) i
10 2
10 10
10 2
sin sin
11
(sin cos ) , .
4 4 2
cos cos
xx
k
x x x k
xx




     







V(3.24) có nghim:
,
2
k
xk


.




Ví dụ 25: Gi
22
sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x    
(3.25)
Giải:
Áp dng bng thc Bunhiacopxki chúng ta có


2
2 2 2
3.25
2 2 2 2
(VT ) 1.sin 2 sin .1 sin . 2 sin
1 (2 sin ) sin sin 1 (2 sin ) 3.3 9.

x x x x
x x x x
    
   
       
   

3.25
VT 3

"
3.25 3.25
VT VP
" xy ra khi và ch khi :
sin 1 2 , .
2
x x k k


    

V(3.25) có nghim:
2,
2
x k k


  
.


Ví dụ 26: , 




a)
55
22
1
x y y x
xy

  





b)
55
cos sin sin cosx x x x  
(3.26)
Giải:
a)
5 5 5 5
2 2 2 2
(1)
1 1 (2)
x y y x x x y y
x y x y


     



   



+) 


5 5 5 5
x y x y x x y y      
(1) 


+) 


5 5 5 5
x y x y x x y y      


(1) 







(1) suy ra x = y; 







:
2
;
2
xy



2
2
xy  
.
b)
5 5 5 5
cos sin sin cos cos cos sin sin (*)x x x x x x x x      

55
)cos sin cos cos sin sinx x x x x x     


(*) 



55
)cos sin cos cos sin sinx x x x x x     
suy ra 

(*) 






(3.26) 





:
sin cos tan 1 ; .
4
x x x x k k


      



 3 


 











nh




 

26  . 

















 




 

. 







 



" 

, 


", 
 














nay. 



















"

" 







.


B. MÔ
̣
T SÔ
́
DA
̣
NG BÀI TẬP "GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC"
TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC

Bài 1.Gi
2
sin cos 3cos 2

22
xx
x

  


(4.1)
Giải
2
sin cos 3cos 2 1 2sin cos 3cos 2
2 2 2 2
1 3 1
sin 3cos 1 sin cos cos cos
2 2 2 6 3
2
2
63
2
( ).
2
2
6
63
x x x x
xx
x x x x x
xk
xk
k

xk
xk










      



        








  





  
   






V(4.1) có nghim:
2 ; 2 ( ).
26
x k x k k


     

Bài 2. Gi
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
xx
xx



(4.2)
Giải
u kin:
1
sin

2
x 
và
sin 1x 
(*)
 
2
4.2 cos sin2 3(1 2sin 2sin sin )x x x x x     

cos sin2 3(cos2 sin )x x x x   

cos 3sin sin2 3cos2x x x x   

2
2
cos cos 2 ( )
2
36
18 3
xk
x x k
xk







   

     

   
   

  




Kiu kin (*) chúng ta có
2
2
xk



không tha mãn.
Vm:
2
()
18 3
x k k

   
.

Bài 3. Gi
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x x   

(4.3)
Giải


 
23
4.3 sin 2sin cos 3cos3 2cos4 2sinx x x x x x    

22
sin 2sin (cos sin ) 3cos3 2cos4x x x x x x    

sin 2sin cos2 3cos3 2cos4x x x x x   

sin sin3 sin 3cos3 2cos4x x x x x    

13
sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
22
x x x x x x     

2
42 7
cos 3 cos4 ( ).
6
6
xk
x x k
xk









    




  




Vm:
2
; ;( ).
42 7 6
x k x k k
  

     


Bài 4. Gi
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x  
(4.4)
Giải

 
4.4 3cos5 (sin5 sin ) sinx 0x x x    

31
3cos5 sin5 2sin cos5 sin5 sin
22
x x x x x x     

18 3
cos 5 cos ( ).
62
62
xk
x x k
xk






   
     

   
   

  





Vm
; ;( )
18 3 6 2
x k k k
   
      


Bài 5. Gi
44
4(sin cos ) 3sin4 2x x x  
(4.5)
Giải
Chúng ta có
4 4 2
1 3 1
sin cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
x x x x    
nên
31
(4.5) 4 cos4 3sin4 2
44
xx

   




1 3 1 2
cos4 sin4 cos 4 cos
2 2 2 3 3
x x x



     





42
( ).
12 2
xk
k
xk








  





Vm:
42
xk


;
;( ).
12 2
x k k

   


Bài 6. Gi
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x  
(4.6)
Giải

2
(4.6) 2 2sin cos 2 2cos 3 cos2x x x x   

2sin2 ( 2 1)cos2 3 2xx    

ng:
sin2 cos2a x b x c
vi
2; 2 1;ab  

32c 

Vì
2 2 2
5 2 2 7 6 2a b c     
nghim.

Bài 7. Gi
   
1 3 sin 1 3 cos 2xx   
(4.7)
Giải
Khi
cos 0
2
x

thì
sin 0
cos 1
x
x





nên (4.7) tr thành

3 1 2


x
không là nghim ca (4.7).
Vi
cos 0
2
x

t
tan
2
x
t 

thì chúng ta có:
2
22
21
sin ;cos
11
tt
xx
tt



. 
2
22
21

(4.7) (1 3) (1 3) 2
11
tt
tt

    


 
2
(3 3) 2 1 3 1 3 0tt      

1
( tan )
6
3
1 3 5
( tan tan )
3 4 12
13
t
t

  









     





1
* tan tan 2 , .
2 6 3
3
x
t x k k


      
1 3 5 5
* tan tan 2 , .
2 12 6
13
x
t x k k



       




Vm:
2
3
xk



;
5
2,
6
x k k


  
.