Chương 10

VẬT DẪN-NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG

10.1 Điều kiện cân bằng tĩnh điện-tính chất của vật dẫn mang điện
Trong chương này ta chỉ xét vật dẫn là kim loại. Điện tích tự do trong kim loại là
các êlectrôn và ta chỉ giới hạn nghiên cứu các hiện tượng tĩnh điện, nghĩa là những
hiện tượng trong đó các điện tích đã nằm cân bằng.
10.1.1 Điều kiện cân bằng tĩnh điện
- Véc tơ tại mọi điểm bên trong vật dẫn phải bằng 0
E
G

0E
tr
=
G
(10-1)
- Thành phần tiếp tuyến E
t
của véc tơ E
G
tại mọi điểm trên mặt vật dẫn phải bằng 0

nt
EE0E
G
G
=→=
(10-2)
10.1.2 Những tính chất của vật dẫn mang điện

a. Vật dẫn là một vật đẳng thế, mặt vật dẫn là một mặt đẳng thế.
b. Đối với vật dẫn rỗng đã ở trạng thái cân bằng, điện trường ở phần rỗng và trong
thành của vật dẫn rỗng cũng luôn bằng không.
c. Hiện tượng điện ở mũi nhọn:
Khi vật dẫn đã ở trạng thái cân bằng, thực nghiệm chứng tỏ điện tích phân bố ở
một lớp rất mỏng sát bề mặt vật dẫn và không đồng đều, nó tập trung ở những góc
nhọn, những nơi lõm hay bằng thì điện tích phân bố thưa thớt. Ở mũi nhọn cường độ
điện trường rất mạnh: nó hút các điện tích trái dấu và đẩy các điện tích cùng dấu: mũi
nhọn sẽ mất dần điện tích và gây ra luồn gió điện.
Ứng dụng: màn chắn điện.

10.2 Điện dung của một vật dẫn cô lập-hệ vật dẫn tích điện cân bằng-tụ điện
10.2.1 Điện dung của một vật dẫn cô lập
Điện tích Q của một vật dẫn tỉ lệ với điện thế của nó:
Q = CV (10-3)
C là hệ số tỉ lệ gọi là điện dung của một vật dẫn, nó phụ thuộc vào hình dạng kích
thước và môi trường cách điện xung quanh vật dẫn. Nếu V =1 đơn vị điện thế thì
Q = C.

Vậy: Điện dung của một vật dẫn cô lập là đại lượng về trị số bằng điện tích mà vật dẫn
tích được khi điện thế của nó bằng 1 đơn vị điện thế.
Ý nghĩa: Điện dung của một vật dẫn là đại lượng đặc trưng cho khả năng tích điện của
vật dẫn.

113
Trong hệ SI đơn vị của điện dung là Fara (F).
10.2.2 Hệ vật dẫn tích điện cân bằng-tụ điện
a. Điện dung và hệ số điện hưởng
Giả sử có 3 vật dẫn đã ở trạng thái cân bằng, giá trị q và V của chúng lần lượt
là: q

1
, q
2
, q
3
và V
1
, V
2
, V
3
liên hệ với nhau theo hệ thức:

q
1
= C
11
V
1
+ C
12
V
2
+ C
13
V
3
q
2
= C

21
V
1
+ C
22
V
2
+ C
23
V
3
(10-4)

q
3
= C
31
V
1
+ C
32
V
2
+ C
33
V
3

C
11

,

C
22
, C
33
gọi là điện dung của các vật dẫn, C
12
,

C
13
….gọi là hệ số điện hưởng.
Người ta đã chứng minh được:
C
ii
> 0 và

C
ij
= C
ji
Hệ thức (10-4) cũng được mở rộng cho trường hợp hệ gồm n vật dẫn.
b. Tụ điện
Định nghĩa: Tụ điện là một hệ gồm 2 vật dẫn A và B sao cho giữa chúng xảy ra hiện
tượng điện hưởng toàn phần (hình 10-1).

−
−


Tính chất 1 q
1
+ q
2
= 0
Tính chất 2 q
1
= C
11
V
1
+ C
12
V
2
q
2
+ q
2
'

= C
21
V
1
+ C
22
V
2
- Nếu nối B với đất thì q

2
' sẽ xuống đất và V
2
= điện thế đất (chọn V
đ
= 0) ta có:
q
1
= C
11
V
1


q
2


= C
21
V
1

Suy ra C
11
+ C
12
= 0
Tổng quát: 2 bản của tụ điện thường được nối với nguồn hoặc với vật dẫn khác, có
nghĩa là q

2
' không còn:

A
1
q
−
−
−
−
2
q
2
'q
Hình10- 1

114
q
1
= C
11
V
1
+ C
12
V
2
q
2
= C

21
V
1
+ C
22
V
2
Suy ra: C
12
+ C
22
= 0

kết hợp với tính chất đối xứng của hệ số điện hưởng ta có:
C
11
= C
22
= -C
12
= -C
21

Đặt C
11
= C
22
= C >0



C
12
= C
21
= -C<0
Suy ra: q
1
= C(V
1
- V
2
)
q
2
= -C(V
1
- V
2
)
C là điện dung của tụ điện.
Tính chất 3: V
1
> V
2

q = q
1
= -

q

2
gọi là điện tích của tụ điện.
q

= CU (10-5)
U = V
1
- V
2
= U
12
= U
AB
gọi là hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện.
10.2.3 Tính điện dung của tụ điện
a. Tụ điện phẳng (hình 10-2):
1
V
2
V
−
+
−
+
+
−
+
−
−
+

d

Hình 10-2
Ta có :
Sεε
dQ
εε
dσ
VV
00
21
==−

trong đó Q là điện tích của tụ điện, S là diện tích của một bản tụ,
S
Q
σ =
là mật độ
điện mặt. Suy ra:

d
εSε
VV
Q
C
0
21
=
−
=

(10-6)

b. Tụ điện cầu (hình 10-3):
Ta có :
)
R
1
R
1
(
4π
Q
VV
210
21
−=−
εε

Hay
120
12
21
.RR4π
)RQ(R
VV
εε
−
=−



115
Do đó điện dung của tụ điện bằng:

012
12 21
4πε εRR
Q
C
VV (R-R)
==
−
(10-7)
−

d. Tụ điện trụ (hình10-4):


Ta có:
1
2
0
21
R
R
ln
l2π
Q
VV
εε
=−


Do đó điện dung của tụ điện bằng:

0
2
12
1
2πε εl
Q
C
R
VV
ln
R
==
−
(10-8)


10.3 Năng lượng của điện trường
10.3.1 Năng lượng tương tác của một hệ điện tích điểm
Ta có:
12
21
0
2112
r
qq
4
1

WW
επε
==

là thế năng tương tác giữa q
1
và q
2
. Ta có thể viết:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
12
1
0

2
12
2
0
12112
r
q
4
1
q
2
1
r
q
4
1
q
2
1
WW
εεεπε

2
R
1
R
1
V
2
V

Hình 10- 4
l
+
+
1
R
2
R
−
+
−
+
−
−
Hình 10-3

116
r4π
q
0
2
εε
= V
1
là điện thế do q
2
gây ra tại điểm đặt q
1
.
r4π

q
0
1
εε
= V
2
là điện thế do q
1
gây ra tại điểm đặt q
2
.
Vậy: W
12
= W
21
=
2
1
(q
1
V
1
+ q
2
V
2
) (10-9)
Trường hợp hệ gồm n điện tích điểm thì:

∑

=
=
n
1i
ii
Vq
2
1
W
(10-10)
10.3.2 Năng lượng của một vật dẫn cô lập tích điện
Ta có thể xem vật dẫn như một hệ điện tích điểm, khi đó:
∫
===
C
q
2
1
CU
2
1
Vdq
2
1
W
2
2
(10-11)
10.3.3 Năng lượng của tụ điện
Tụ điện có hai bản, ta có:

W =
2
1
(q
1
V
1
+ q
2
V
2
)
vì q
1
= -q
2
= q suy ra:
W =
2
1
q(V
1
- V
2
) =
2
1
qU
hay:
2

2
CU
2
1
C
q
2
1
W ==
(10-12)
10.3.4 Năng lượng điện trường
Đối với tụ điện phẳng:
d
Sεε
C
0
=

suy ra:
20
U
d
Sεε
2
1
W =

Vì U = E.d nên
)(E.d)Eε(ε
2

1
W
2
0
=

S.d = ΔV là thể tích vùng không gian giữa hai bản tụ.
→ năng lượng điện trường tồn tại trong vùng không gian giữa hai bản tụ. Mật độ năng
lượng điện trường:
2
0e
Eεε
2
1
ΔV
W
w ==
(10-13)
Kết luận:

117
1. Điện trường mang năng lượng: năng lượng này định xứ trong không gian điện
trường.
2. Mật độ năng lượng điện trường tại một điểm là:
E
D
2
1
εε
D

2
1
εEε
2
1
w
0
2
2
0e
===
(10-14)
→ năng lượng điện trường trong thể tích hữu hạn là:
e
V
Wwd=
∫
V
(10-15)

Ví dụ1: Một quả cầu kim loại đặt trong chân không có bán kính bằng 50cm mang một
điện tích q = 5.10
-5
C. Xác định cường độ điện trường và điện thế tại một điểm:
a.
Nằm cách mặt quả cầu 100cm.
b.
Nằm sát mặt quả cầu.
c.
Ở tâm quả cầu.

Giải

o
R
N
M
H
ình 1

a. Cường độ điện trường và điện thế do một quả cầu kim loại mang điện gây ra tại một
điểm nằm ngoài quả cầu bằng cường độ điện trường và điện thế gây bởi một điện tích
điểm có điện tích bằng điện tích của quả cầu đặt tại tâm của quả cầu.
Gọi r là khoảng cách từ tâm O của quả cầu đến điểm M mà ta xét, ta có:
5
95
M
224
0
q5.10
E = 9.10 2.10 ( / )
4πε r (50 100) .10
Vm
−
−
==
+

5
95
M

2
0
q5.10
V = 9.10 3.10 ( )
4πε r (50 100).10
V
−
−
==
+

b. Cường độ điện trường ngay sát mặt quả cầu thì không xác định được nhưng tại điểm
nằm sát mặt quả cầu vẫn được tính gần đúng theo công thức trên:
5
96
N
224
0
q5.10
E = 9.10 1,8.10 ( / )
4πε r (50) .10
Vm
−
−
==

Và điện thế tại điểm N:
5
95
N

2
0
q5.10
V = 9.10 9.10 ( )
4πε r 50.10
V
−
−
==


118
c. Cường độ điện trường tại tâm quả cầu bằng 0 vì quả cầu kim loại cân bằng điện:
E
O
= 0
Điện thế tại tâm quả cầu bằng điện thế tại một điểm nằm trên mặt quả cầu vì quả cầu
kim loại là một vật đẳng thế:
5
95
N
2
0
q5.10
V= V = 9.10 9.10 ( )
4πε r 50.10
V
−
−
==



Ví dụ 2: Một tụ điện cầu bán kính hai bản lần lượt bằng r = 1cm và R = 4cm. Hiệu điện
thế giữa hai bản là 3000V. Tính cường độ điện trường tại một điểm cách tâm tụ
điện 3cm.
Giải
Ta có:
2
0
q
E=
4πε x

trong đó x là khoảng cách từ tâm tụ điện đến điểm ta xét, q là điện tích trên một bản tụ,
được tính như sau:
Áp dụng công thức:
0
4πε εRr
q
C= =
(R-r) U

0
4πε εRr.U
q
(R-r)
⇒=

Vậy:
2

R.r.U
E44,5(
(R-r).x
kV m==
/)


BÀI TẬP
10.1 Hai bản của một tụ điện phẳng có diện tích S, đặt cách nhau một khoảng là d. Tụ
điện được nạp một điện lượng là Q. Tính:
a.
Công cần thực hiện để tách hai bản ra xa nhau thêm một đoạn Δd.
b. Lực hút giữa hai bản.
Đáp số: a/ d
S
Q
A Δ=
0
2
2
1
εε


b/
S
Q
F
0
2

2
εε
=

10.2 Một quả cầu kim loại bán kính R = 1m mang điện tích q =10
-6
C. Tính:
a.
Điện dung của quả cầu.
b.
Điện thế của quả cầu.
c.
Năng lượng trường tĩnh điện của quả cầu.
Đáp số: a/ C=0,11.10
-9
F

119
b/ V=9000V
c/ W= 4,5.10
-3
J

10.3 Một quả cầu kim loại bán kính R = 6,85cm mang điện tích q =1,25
-9
C. Tính:
a.
Năng lượng của quả cầu.
b.
Mật độ năng lượng trên mặt của quả cầu.

Đáp số: a/ W= 1,03.10
-7
J

b/ w= 25,4.10
-6
J/m
3

10.4 Hai quả cầu kim loại A và B đồng tâm, bán kính lần lượt là R
1
và R
2
(trong đó R
1
<
R
2
). Quả cầu A được tích điện đến điện thế V.
a.
Nối hai quả cầu bằng một dây dẫn thì điện thế của quả cầu A thay đổi thế nào?
b.
Nối quả cầu B với đất bằng một dây dẫn thì điện thế của quả cầu A bằng bao nhiêu?
c.
Tính điện dung của hai quả cầu.
Đáp số: a/
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−=Δ
1
2
1
R
R
VV


b/
2
1
'
R
R
VVV −=

c/
12
210
4
RR
RR
C
−
=

π
ε
ε

10.5 Một tụ điện hình trụ hai bán kính lần lượt bằng r = 1,5cm và R = 3,5cm. Hiệu
điện thế giữa hai bản là U
0
= 2300V. Tính vận tốc của một êlectrôn chuyển động
theo đường sức điện trường từ khoảng cách 2,5cm đến 3cm, cho biết vận tốc ban
đầu của êlectrôn bằng không.
Đáp số: v = 1,46.10
7
m/s

10.6 Hai quả cầu kim loại A và B, bán kính lần lượt là R
1
=2,5cm và R
2
=7,5cm, chứa điện
tích q
1
=3.10
-8
C và q
2
=10
-8
C đặt cách xa nhau. Dùng một dây dẫn nối hai quả cầu.
a.
Hỏi êlectrôn sẽ dịch chuyển từ quả cầu nào sang quả cầu nào?

b.
Tính điện tích của mỗi quả cầu và số êlectrôn đã dịch chuyển qua dây nối.
Đáp số:
a/ êlectrôn dịch chuyển từ quả cầu B sang quả cầu A
b/ q
1
’ = 10
-8
C; q
2
’= 3.10
-8
C; êlectrôn
11
10.25,1=N


120