Chủ Đề 18 - Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay.doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (754.87 KB, 11 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCHVẬT THỂ TRONG XOAY

2. Dạng 2: Cho hình phẳng

 

H tạo bởi các đường yf x

 

, y g x

 

và các đường thẳng x a ,

x b . Khi quay hình phẳng

 

H quanh trục Ox thì được vật thể trịn xoay có thể tích tính theo cơngthức:

Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x0,x1 biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt

phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x



0 x 1



là một tam giác đều có cạnh là

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Diện tích một tam giác đều cạnh x được tính theo cơng thức 2 3.

Ví dụ 2: (Đề minh họa BGD)

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x 1 và x 1 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt

phẳng tùy ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x



1 x 3



thì được thiết diện là một hình chữnhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2

Diện tích thiết diện S S x

 

3x 3x2 2

Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi đều là:

 

Đây là 1 dạng toán lạ, xuất hiện trong sách giáo khoa nâng cao. Nếu học sinh chưa biết cách làm thì rấtkhó nhưng biết cách làm rồi thì lại đơn giản.

Ví dụ 3: (Sở GD – ĐT Phú Thọ)

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x 1 và x 4 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý

vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x



1 x 4



thì được thiết diện là một hình lục giác đều có

Có một vật hình trịn xoay có dạng giống như một cái ly dưới dây. Người ta đo được đường kính của

miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một

Parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

A. 12 B. 12C. 72

D. 72

Giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình bên tương ứng I là gốc tọa độ, IO là trục hồnh.

Gọi phương trình Parabol là 2

y ax bc cParabol qua I



0;0



 0 0   c 0 c0Parabol qua B



2;6



 4a2b6

Lấy M



0;y thuộc OI, mặt phẳng qua M và vng góc với Oy cắt hình theo thiết diện là một đường trịn



bán kính là MN với N là giao điểm của đường tròn và Parabol.

=> Chọn APhân tích:

Bài tốn này là bài mở rộng của dạng 1. Nếu thiết diện có diện tích S y thì thể tích vật thể sẽ là

  

Cho hình phẳng D giới hạn bởi y 2 sin x, trục hoành và các đường thẳng x0,x  . Khối trịn

xoay tạo thành khi D quay quanh trục hồnh có thể tích là bao nhiêu?

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Tính giá trị tích phân:



2 sin x dx8.28 2 1



Từ đó suy ra V 2 



1



=> Chọn BPhân tích:

Dù đề bài cho 2 cận sẵn rồi nhưng chúng ta vẫn cứ cẩn thận tìm xem có cận thứ 3 khơng. Nếu có cận thứ3 thì thể tích phải chia thành 2 thể tích nhỏ cộng lại với nhau.

Khi tính giá trị thể tích bằng máy tính casio ta chú ý không cần nhập giá trị  vào tránh rối mắt.Trong các đáp án của loại này phải có nhân tử  nếu khơng có thì sai ln. Ví dụ như đáp số D.

B. 4

C. 16

D. 12

Giải

Đồ thị của hàm bậc 2 có dạng ParabolGọi hàm yf x

 

có phường trình 2

y ax bx cĐồ thị đi qua gốc tọa độ  0a0b c  0 c0

V   => Chọn A

Phân tích:

Một bài toán hay, đề bài yêu cầu ta phải đi xây dựng hàm yf x

 

rồi mới lắp công thức để tính thể

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Ví dụ 7: (Sở GD – ĐT Hà Tĩnh).

Ta vẽ hai nửa đường trịn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường trịn lớn gấp đơi đường

kính của nửa đường trịn nhỏ. Biết rằng nửa đường trịn đường kính AB có diện tích là 8 và góc 300

BAC  . Tính thể tích của vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay hình

 

H quanh đường AB.

Gọi phương trình đường thẳng AC là y kx m  với k là hệ số góc của đường thẳng và giá trị của k được

tính theo cơng thức tan tan 300 13

   mà lại đi qua điểm



0;0



0 13

A  m  y x. Ta coi đây là m

Gọi C là giao điểm của AC và đường trịn lớn ta tìm được C



6;0



Gọi D là giao điểm của AC và đường trịn nhỏ ta tìm được D



3;0



</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

V   => Chọn B

Phân tích:

Bài tốn này nâng cao hơn nữa, để bài ẩn đi f x g x h x và ta phải gắn hệ trục tọa độ một cách

 

   

,phù hợp tìm ra chúng. Đường trịn lớn



x 4



2y2 16 sẽ tạo ra 2 nửa đường tròn là y 16



x 4



2

và y 16



x 4



2 và ta sẽ nhận nửa trên ứng với y 0

Dạng 3: Thể tích vật thể sinh ra khi quay hình phẳng quanh OyVí dụ 8: (Sách bài tập Nâng cao).

Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

D. 3

Vậy 2

V  => Chọn C

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Phân tích:

Bài tốn nhìn lạ nhưng ta nên làm quen để coi nó là bình thường vì vai trò của Ox và Oy là tương đương.

Khi làm quen rồi thì thấy nó cũng thật dễ dàng

Ví dụ 9: (Sách bài tập Nâng cao).

Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi hàm số

y x  x và đường thẳng y  ?0

D. 8

   

Ví dụ 10: (Sách bài tập Nâng cao).

Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm

   

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Phương trình tung độ: 2 1 2 2 1 2 1 2 0 11

Câu 1 (THPT Nguyễn Huệ - 2018).

Cho hình phẳng

 

H giới hạn bởi các đường y 4 x2, y  . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo0thành khi cho

 

H quay quanh trục Ox.

Câu 2 (Chuyên Lê Hồng Phong – 2018).

Cho

 

H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

C1 :y x,

 

d :y 2 x và trục hồnh. Tính thể tích

V của khối tròn xoay tạo thành khi cho

 

H quay quanh Ox.

3  

Câu 4 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – 2018).

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của mơt hình phẳng giới hạn

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Câu 6 (THPT Giao Thùy – 2018).

Gọi y là thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y e xx 1 x 2 và0

y  quanh trục Ox. Tính giá trị của V.

A. V 2e B. V 



e2 e



C. V e2 D. V 



e2e



Câu 7 (THPT Trung Giã – 2018).

Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi ysin 2 .cos ,xx y0, 0



 x 



xung

quanh trục Ox.

A.

B.

C.

D.

Câu 8 (Chuyên ĐH Vinh – 2018).

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 9 (THPT Bảo Lâm - 2018).

Cho hình

 

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

 , trục Ox và đường thẳng x 1. Thểtích của khối trịn xoay thu được khi quay hình

 

H xung quanh trục Ox bằng

Câu 10 (THPT Tuy Phước – 2018).

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường congytan ,x trục hoành và hai đường thẳng 0,4

Câu 11 (Chuyên Thái Ngun – 2018).

Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi cho hình Elip

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn các đường y 2 x y x y,  ,  xung0

quanh trục Ox được tính theo cơng thức nào sau đây?

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin , x trục hoành và các đường thẳng x0,x  .

Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. V 22 B. V 2 



1



C. V 2 D. V 2



 1



Câu 14 (Sở GD – ĐT Phú Thọ - 2018).

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi

mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x



1 x 4



thì được thiết diện là một hìnhlục giác đều có độ dài cạnh là 2x.

A. V 63 3 B. V 126 3 C. V 63 3 D. V 126 3

Câu 15 (Đề Minh Họa – 2018).

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi

mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x



1 x 3



thì được thiết diện là mộthình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2.

Câu 16 (SởGD&ĐT Bắc Giang – 2018).

Có một vật thể là hình trịn xoay có dạng giống nhu một có ly nhưhình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là4cm và chiều cao là 6cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởimặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích



3



V cm của vậtthể đã cho.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y e x, trục hoành và các đường thẳng x0,x1. Khối

tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Câu 19 (Chuyên Bến Tre - 2018).

Gọi V a là thể tích khối trịn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

Ta vẽ hai nửa đường trịn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường trịn lớn gấp đơi đường

kính của nửa đường trịn nhỏ. Biết rằng nửa hình trịn đường kính AB có diện tích là 8 và BAC 300.Tính thể tích của vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay hình

 

H (phần tô đậm) xung quanh đường

</div>

Chủ Đề 18 - Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay.doc

 

 

 

 









 

 

















  









 

 

 













 

   













 

 

 

 

 

 













 

 





















 

 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về