<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

<b>KHOA: TOÁN </b>

------

<b>NGUYỄN THỊ KIỀU OANH </b>

<b>ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG </b>

<i><b>KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b></i>

<i><b>Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN </b>

------

<b>KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<i><b> Tên đề tài: </b></i>

<b>ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG </b>

Sinh viên thực hiện

<b>NGUYỄN THỊ KIỀU OANH </b>

<i>Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>LỜI CẢM ƠN </b>

Để hồn thành khóa luận này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn ThS. Trần Anh Dũng, đã tận tình hướng dẫn trong suốt q trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cơ trong khoa Tốn, trường Đại học Quảng Nam đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những năm em học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu trong q trình học, khơng chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu mà còn là hành trang quý báu để em bước vào đời vững chắc và tự tin.

Mặc dù đã cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh, song do hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên em khơng thể tránh khỏi những sai sót trong khóa luận mà bản thân em chưa thấy được. Em rất mong có những ý kiến đóng góp của quý thầy cơ.

Em kính chúc q thầy, cơ dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người.

Trân trọng cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 4, năm 2017

<i> Sinh viên thực hiện </i>

<i> Nguyễn Thị Kiều Oanh </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>MỤC LỤC </b>

<b>MỞ ĐẦU ... 1 </b>

1. Lý do chọn đề tài ... 1 

2. Mục tiêu của đề tài ... 1 

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1 

4. Phương pháp nghiên cứu ... 1 

<b>CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐI ̣NH LÍ ROLLE ... 13 </b>

2.1. Ứng dụng định lí Rolle chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình ... 13 

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài </b>

Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle (định lí Cauchy, định lí Lagrange, định lí Rolle trên một khoảng khơng bị chặn) là các định lí về giá trị trung bình. Các định lí này có vai trị đặc biệt quan trọng trong giải tích tốn học. Nhờ có định lí này mà nhiều kết quả tốn học được chứng minh.

Trong mơn tốn trung học phổ thơng, đối với học sinh các định lí này chỉ mang tính lý thuyết mà vận dụng chưa được hệ thống một cách đầy đủ và chưa biết thực hành giải tốn. Bên cạnh đó công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi là rất cần thiết và được tiến hành thường xuyên liên tục trong suốt q trình dạy học nói chung và dạy học tốn nói riêng. Với đối tượng học sinh khá giỏi này, người giáo viên ngoài việc dạy cho học sinh cách giải một bài tốn, cịn phải hướng dẫn cho học sinh cách tìm tịi định hướng phương pháp giải, sáng tạo bài mới và đi tìm lời giải đẹp cho các bài tốn. Từ đó tạo cho học sinh sự hứng thú. Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle là một cơng cụ mạnh mẽ để giải các bài toán về: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức.

Thấy được vai trị định lí Rolle và một số mở rộng của định lí, nhằm giúp tôi cũng như học sinh, giáo viên tích lũy kiến thức cần thiết trong học tập, và những ai quan tâm định lí Rolle hiểu sâu sắc hơn, kĩ năng áp dụng của định lí vào việc giải các

<b>dạng tốn trung học phổ thơng. Trong q trình học tập, tơi chọn đề tài : ‘Định lí Rolle và ứng dụng giải một số bài toán trung học phổ thơng’ để làm bài khóa luận tốt </b>

nghiệp của mình.

<b>2. Mục tiêu của đề tài </b>

Giúp tơi nắm vững kiến thức định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle. Đề tài đưa ra các ví dụ và bài tập về định lí Rolle và một số mở rộng của định lí như: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức.

<b>3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu </b>

<i>Về đối tượng nghiên cứu : Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí. Nghiên </i>

cứu ứng dụng của định lí Rolle vào các dạng tốn và ví dụ cụ thể.

<i>Về phạm vi nghiên cứu : Nghiên cứu Rolle và ứng dụng giải một số bài toán </i>

trung học phổ thơng.

<b>4. Phương pháp nghiên cứu </b>

Để hồn thành bài khóa luận này tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp đọc tài liệu tham khảo kết hợp phân tích – tổng hợp tài liệu. - Hệ thống hóa, giải quyết vấn đề và sưu tầm giải quyết bài toán.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>CHƯƠNG 1. ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 1.1. Định lý Rolle </b>

Vì <i>f x</i>( )liên tục trên đoạn

 

<i>a b</i>; _{nên nó nhận giá trị lớn nhất và bé nhất tại}

những điểm nào đó của đoạn

 

<i>a b</i>; .

Giả sử <i>M</i> max ( ),<i>f x m</i>min ( )<i>f x</i> Khi đó

( )

Nếu <i>m M</i> thì <i>M</i>  <i>f x</i>( )<i>M</i>  <i>x</i>

 

<i>a b</i>; và <i>f</i> là hằng số và do đó <i>f</i> ' 0 trên

 

<i>a b</i>; <i>và c là điểm bất kì trên </i>

 

<i>a b</i>; .

<i>Giả sử m M</i> Khi đó vì điều kiện <i>f a</i>( ) <i>f b</i>( )_{suy ra hai điểm mà tại đó hàm}

đạt giá trị max hoặc min khơng thể là các đầu mút của

 

<i>a b</i>; . Thật vậy, nếu chúng là các đầu mút của

 

<i>a b</i>; thì

<small>[ , ][ , ]</small>

<i>phương tại c . Vì hàm fcó đạo hàm tại c nên theo định lí Fermatf c</i>'( ) 0 . Vậy định lí đã được chứng minh

Ta có <i>f</i>(0) <i>f</i>(1) nhưng hàm số không liên tục trên

 

0;1 (vì <i>x  là điểm gián </i>0đoa ̣n) nên khơng áp dụng định lí Rolle được.

ii) Giả thiết hàm <i>f x</i>( ) có đạo hàm trong khoảng

 

<i>a b</i>; cũng là một giả thiết khơng thể bỏ qua được. Ví dụ xét hàm số <i>f x</i>( ) 1  <small>3</small> <i>x x</i><small>2</small>,  



1;1



.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Ta có hàm số <i>f x</i>( ) liên tục trên

 

1;1 và <i>f</i>( 1)  <i>f</i>(1). Nhưng _{'( )} ₃2

<i>f x</i>

 mà <i>x</i>  0 ( 1;1) không tồn tại. Suy ra điều này mâu thuẫn với định lí Rolle.

iii) Định lí Rolle tương đương với điều kiện khẳng định: Nếu hàm liên tục trên

 

<i>a b</i>; nào đó và triệt tiêu tại hai đầu mút <i>a và b , khả vi tại mọi điểm của </i>

 

<i>a b</i>; thì tồn tại <i>c</i>( ; )<i>a b</i> sao cho <i>f c</i>'( ) 0 .

Nói cách khác: Giữa hai khơng điểm của hàm khả vi bao giờ cũng có khơng điểm của đạo hàm của nó. Để chứng minh điều này ta đặt <i>F x</i>( ) <i>f x</i>( ) <i>f a</i>( ).

iv) Về mặt hình học: Nếu các điều kiện của định lí Rolle thỏa mãn thì trên đồ thị của hàm số <i>y</i> <i>f x x</i>( ); 

 

<i>a b</i>; tồn tại điểm ( ; ( ));<i>c f c c</i>

 

<i>a b</i>; mà tiếp tuyến tại đó song song với trục <i>Ox . </i>

<b>Ta xét ví dụ sau: Vı́ du ̣ 1.1. </b>

Xét hàm

 

sin khi 0( )

0 khi 0

<i>f x_xx</i>

xác định trên

 

0;1 Ta chứng minh rằng định lí Rolle áp dụng được cho hàm <i>f x</i>( ).

Thật vậy vì

lim sin 0

<i><small>x</small>xx</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<i>n</i>

nghiệm phân biệt trên

 

<i>a b</i>; ( phương trình <i>f<small>k</small></i>( ) 0<i>x</i>  có ít nhất <i>n</i>  nghiệm 1 <i>k</i>

phân biệt trên

 

<i>a b</i>; ).

Vâ ̣y phương trı̀nh <i>f x </i>( ) 0_{có không quá}<i>n  nghiê ̣m phân biê ̣t trên </i>1 ( ; )<i>a b</i>

<b>Hệ quả 3:</b> Nếu hàm số <i>f x</i>( ) liên tục trên

 

<i>a b</i>; và có đạo trên

 

<i>a b</i>; và

'( ) 0

<i>f x</i>  vô nghiệm trên

 

<i>a b</i>; thì <i>f x</i>( ) 0 có nhiều nhất một nghiệm trên

 

<i>a b</i>; .

<b>Hệ quả 4: </b><i>Nếu a , b là hai không điểm kề nhau của hàm f x</i>( ) (tức là

( ) ( ) 0; ( ) 0; ( ; )

<i>f a</i>  <i>f b</i>  <i>f x</i>   <i>xa b</i> ) thì trong

 

<i>a b</i>; hàm <i>f x</i>'( ) có một số lẻ các không điểm.

<b>Hệ quả 5</b>: Cho hàm số <i>f x</i>( )<b> thỏa mãn đồng thời các tính chất sau đây: </b>

i) <i>f x</i>( )_{xác định và có đạo hàm cấp}<i>n n</i>( 1) liên tục trên đoạn

 

<i>a b</i>; . ii) <i>f x</i>( )_{có đạo hàm cấp}<i>n</i> trong khoảng 1

 

<i>a b</i>; .

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

iii) ( )<i>f a</i>  <i>f a</i>'( ) ...  <i>f a<small>n</small></i>( ) 0, ( ) 0 <i>f b</i> 

Khi đó tồn tại dãy điểm phân biệt <i>b b</i>₁, ,...,₂ <i>b_n</i>_₁ thuộc khoảng

 

<i>a b</i>; sao cho:

( ) 0; 1,2,..., 1

<small>1</small>( ) 0

<i>f c</i>

<i>b a</i>

 ⁽ <i>x</i>

 

<i>a b</i>; ) Ta thấy rằng <i>F</i> thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle

+ <i>F</i> liên tục trên

 

<i>a b</i>;

+ <i>F</i> có đạo hàm trên

 

<i>a b</i>;

( ) ( )'( ) '( ) <i>^{f b}^{f a}</i>

Theo đi ̣nh lı́ Rolle tồn tại ít nhất một điểm <i>c</i>

 

<i>a b</i>; sao cho <i>F c</i>'( ) 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Suy ra ( ) ( )'( ) '( ) <i>^{f b}^{f a}</i> 0

ii) Định lí Lagrange cũng là định lí về số gia hữu hạn. Bởi vì<i>c</i>( ; )<i>a b</i>

<i>nên ta đặt b a h  thì c a</i> <i>h</i> với  là một số thuộc

 

0;1 .

Khi đó định lí Lagrange có thể viết dưới dạng <i>f a h</i>(  ) <i>f a</i>( ) <i>f a</i>'( 



<i>h h</i>) . Gọi công thức này là số gia hữu hạn. Sở dĩ có tên này vì đây là cơng thức chính xác và đúng với mọi số gia hữu hạn (có thể lớn) khác với cơng thức xấp xỉ bằng vi phân <i>f a</i>(   <i>x</i>) <i>f a</i>( ) <i>f a</i>'( ).<i>x</i>

<i>Chỉ có giá trị số gia x</i> khá bé.

iii) Định lí Lagrange như là một hệ quả của định lí Rolle. Thế nhưng chính định lí Rolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lí Lagrange (ứng với giả thiết <i>f a</i>( ) <i>f b</i>( ))

iv) Về mặt hình học, định lí Lagrange chứng tỏ rằng trên đồ thị của hàm số <i>f x</i>( ) (thỏa mãn các điều kiện của định lí Lagrange) tồn tại điểm tại tiếp tuyến với đồ thị song song với dây cung nối điểm <i>A</i>( ; ( ))<i>a f a</i> với điểm <i>B</i>( ; ( ))<i>b f b</i> .

Thật vậy; đại lượng <i>f b</i>( ) <i>f a</i>( )

<b>Vı́ du ̣ 1.2. Ta xét hàm </b> <i>f x</i>( )<i>arc</i>sin( )<i>x</i> trên

 

1;1

Ta có hàm <i>f x</i>( ) xác định và liên tục

 

<i>a b</i>; . Tiếp theo ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

 

<b>Ví dụ 1.3.</b> Chứng minh rằng

sin<i>x</i>₁sin<i>x</i>₂  <i>x</i>₁ <i>x</i>₂ (1) Và <i>arctgx arctgx</i><small>1</small> <small>2</small>  <i>x</i><small>1</small> <i>x</i><small>2</small> (2)

Để chứng minh (1) ta áp dụng định lí Lagrange cho hàm <i>f x</i>( ) sin <i>x</i> trên đoạn



<i>x x</i><small>1</small>; <small>2</small>



. Ta có sin<i>x</i>₁sin<i>x</i>₂  <i>f</i> '( )( <i>x</i>₂<i>x x</i>₁), ₁   <i>x</i>₂

Mà <i>f</i> '( ) cos







và cos



  1, <i>x</i> ( ; )<i>x x</i>₁ ₂ . Vậy từ hệ thức trên ta có sin<i>x</i>₁sin<i>x</i>₂  <i>x x</i>₁ ₂

Tương tự với (2) ta áp dụng định lí Lagrange cho hàm <i>f x</i>( )<i>arctg x</i>( )trên đoạn

Đẳng thức này khẳng định rằng giá trị của hàm <i>f x</i>( )_{tại điểm bất kì} <i>x</i>( ; )<i>a b</i>

ln bằng giá trị của hàm tại một điểm cố định. Do đó <i>f</i> <i>const</i> trên

 

<i>a b</i>; .

<b>Hệ quả 2:</b> Nếu hai hàm <i>f x</i>( )và <i>g x</i>( )có đạo hàm đồng nhất bằng nhau trên một khoảng thì chúng chỉ sai khác nhau bởi hằng số cộng.

<b>Chứng minh. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Thật vậy ta có



<i>f x</i>( )<i>g x</i>( ) '



 <i>f x</i>'( )<i>g x</i>'( ) 0

Áp dụng hệ quả 1 ta có <i>f x</i>( )<i>g x</i>( )<i>c c const</i>(  ) hay <i>f x</i>( )<i>g x</i>( )<i>c</i>(đpcm)

<b>Hệ quả 3:</b> Giả sử <i>f x</i>( ) liên tục trên

 

<i>a b</i>; , khả vi trong ( ; )<i>a b</i> . i) Nếu <i>f x</i>'( ) 0,  <i>x</i> ( ; )<i>a b</i> thì <i>f x</i>( ) tăng (chặt) trên ( ; )<i>a b</i> .

Nếu <i>f x</i>'( ) 0,  <i>x</i> ( ; )<i>a b</i> thì <i>f x</i>( ) không giảm trên ( ; )<i>a b</i> . ii) Nếu <i>f x</i>'( ) 0,  <i>x</i> ( ; )<i>a b</i> thì <i>f x</i>( )giảm (chặt) trên ( ; )<i>a b</i> .

Nếu <i>f x</i>'( ) 0,  <i>x</i> ( ; )<i>a b</i> thì <i>f x</i>( ) không tăng trên ( ; )<i>a b</i> .

<b>Chứng minh. </b>

Giả sử <i>x</i>₁ <i>x</i>₂ là hai điểm bất kì thuộc ( ; )<i>a b</i> theo định lí Lagrange  <i>c</i> ( ; )<i>x x</i>₁ ₂

để <i>f x</i>( )₂  <i>f x</i>( )₁  <i>f c x</i>'( )( ₂<i>x</i>₁) vì <i>x</i>₂  nên <i>x</i>₁ 0 <i>f x</i>( )₂  <i>f x</i>( )₁ cùng dấu với <i>f c</i>'( )

và bằng 0. Nếu <i>f c</i>'( ) 0 <b> từ đây ta suy ra được kết luận của hệ quả. </b>

<b>Hệ quả 4:</b> Giả sử <i>f</i> là hàm khả vi trên ( ; )<i>a b</i> . Khi đó nếu <i>f</i> tăng (giảm) trên

<i>f bf af cg bg ag c</i>

<b>Chứng minh. </b>

<i>Ta có hàm số g thỏa mãn các giả thiết của định lí Lagrange. Do đó tồn tại một </i>

điểm <i>c</i>

 

<i>a b</i>; _{sao cho} <i>g b</i>( )<i>g a</i>( )<i>g c b a</i>'( ).(  ). Vì <i>g c</i>'( ) 0 nên từ đó suy ra

 ⁽<i>x</i>

 

<i>a b</i>; ) Hàm số <i>F</i> thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle:

<i>g bg a</i>

+ <i>F a</i>( )<i>F b</i>( ) 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Do đó tồn tại ít nhất một điểm <i>c</i>

 

<i>a b</i>; sao cho <i>F c</i>'( ) 0

Suy ra _{'( )} _{'( )} ( ) ( )_{. '( ) 0}( ) ( )

<i>f bf aF cf cg c</i>

<i>g bg a</i>

Hay ( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( )

<i>f bf ag cg bg af c</i>

<i>a và liên tục trái tại b (f g</i>; đã liên tục trên

 

<i>a b</i>; _{do giả thiết về tính khả vi. Giả thiết}

này cũng như giả thiết <i>f g</i>; khả vi trên khoảng

 

<i>a b</i>; bị vi phạm thì kết luận của định lí cauchy khơng cịn đúng (với các định lí Rolle, Lagrange cũng vậy)

<b>Ta xét ví dụ sau: </b>

<b>Ví dụ 1.3.</b> Cho hàm số <i>f x</i>( ) <i>x</i><small>2</small>2<i>x</i>3 và <i>g x</i>( ) <i>x</i><small>3</small>7<i>x</i><small>2</small>20<i>x</i>5 trên

 

1;4 . Ta chứng minh <i>f g</i>; <i> thỏa mãn định lí Cauchy và tìm điểm c . </i>

Thật vậy các hàm <i>f g</i>; thỏa mãn điều kiện liên tục, khả vi tại mọi điểm của

 

1;4 Ta lại có <i>g x</i>'( ) 3 <i>x</i><small>2</small>14<i>x</i>20 0;   <i>x</i> do đó <i>g x</i>'( ) 0;  <i>x</i> . Như vậy <i>f</i>

<i>và g thỏa mãn định lí Cauchy. Ta có </i>

(4) (1) '( )(4) g(1) '( )

 

i) <i>f x</i>( )và <i>g x</i>( ) liên tục trên

 

<i>a b</i>;

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

ii) <i>f x</i>( )và <i>g x</i>( )có đạo hàm hữu hạn trong

 

<i>a b</i>; . iii) <i>g a</i>( )<i>g b</i>( )

<i>f bf af cg bg ag</i>

Nếu <i>f x</i>( ) <i>f a</i>( ) với mọi <i>x a thì lấy c là một số bất kì lớn hơn a . </i>

<i>Giả sử tồn tại b a</i> sao cho<i>f b</i>( ) <i>f a</i>( ) (Chẳng hạn <i>f b</i>( ) <i>f a</i>( )).Gọi γ là một số thực bất kì thuộc ( ( ); ( ))<i>f a f b</i> . Theo định lí Bolzano-cauchy tồn tại



( ; )<i>a b</i> sao cho <i>f</i>( )







. Vì lim ( ) ( )

<i><small>x</small>f xf a</i> 

<small></small>  <i> nên tồn tại d b</i> sao cho <i>f d</i>( )



.

Do <i>f x</i>( ) liên tục trên



<i>a</i>;



nên theo định lí Bolzano-cauchy tồn tại



( ; )<i>b d</i>

sao cho <i>f</i>( )



 



<i>f</i>( )



Do đó theo định lí rolle, tồn tại <i>c</i>( ; )

 

sao cho <i>f c</i>'( ) 0 .

 

 ^;<i>x</i>

 

<i>a b</i>; .

Chứng tỏ rằng tồn tại <i>c</i> (0; ),



(0;1) sao cho <i>f c</i>'( ). '( )

 

 <i>b a</i> ( * )

<b>Thật vậy, xét </b> <i>f</i><small>0</small>



: 0;1

 

<i>R</i>. Dễ thấy rằng <i>f</i>₀ liên tục trên

 

0;1 và khả vi trên

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<i>Khi đó g liên tục trên </i>

 

0;1 và khả vi trên

 

0;1

Theo định lí Lagrange tồn tại





 

<i>a b</i>; sao cho (1) (0)

'( ) '( ( )). '( )1 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐI ̣NH LÍ ROLLE 2.1. Ứng dụng định lí Rolle chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

trên



<i>x x</i><small>1</small>; <small>2</small>



suy ra <i>F x</i>( )₁ <i>F x</i>( )₂ . Vậy ²

<i>f x</i> liên tục trên



<i>x x</i><small>1</small>; <small>2</small>



và khả vi trong



<i>x x</i><small>1</small>; <small>2</small>



.

Phương pháp: Để áp dụng được định lí Rolle, một số định lí mở rộng của định lí Rolle vào việc giải bài tốn, điều quan trọng nhất nhận ra hàm <i>F x</i>( ) (thực chất đó là nguyên hàm của hàm <i>f x</i>( )). Cụ thể được thực hiện ở bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số <i>F x</i>( ) khả vi, liên tục trên



<i>x x</i><small>1</small>; <small>2</small>



và thỏa mãn i) <i>F x</i>'( ) <i>f x</i>( ) ( tức <i>F x</i>( )



<i>f x d x</i>( ) ( ) )

<b>Bài toán 1.</b> Chứng minh rằng với <i>a b c</i>, , <b> tùy ý, phương trình </b>

cos3 cos 2 cos sin 0

<i>ax b</i> <i>x c</i> <i>x</i> <i>x</i> ln có nghiệm thuộc đoạn



0;2

 

. (Đề thi tuyển sinh khối A- ĐHQG- năm 1999)

<i><b>Cách 1.</b></i> Sử dụng định lí Rolle

<i>Phân tích </i>

Đặt <i>f x</i>( )<i>a</i>cos3<i>x b</i> cos2<i>x c</i> cos<i>x</i>sin<i>x</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Ta có hàm số <i>f x</i>( ) liên tục



0;2

 

và khả vi trên



0;2



Để sử dụng định lí Rolle đầu tiên tìm ngun hàm của <i>f x</i>( ) ta được

Ta có <i>F x</i>( ) khả vi và liên tục trên đoạn



0;2

 

và <i>F</i>(0)<i>F</i>(2 )



 1 Theo định lí Rolle tồn tại <i>x</i>₀(0;2 ) sao cho <i>F x</i>'( )₀  <i>f x</i>( ) 0₀ 

Vậy cos3<i>ax b</i> cos 2<i>x c</i> cos<i>x</i>sin<i>x</i> ln có nghiệm thuộc đoạn0



0;2

 

.

<i>f</i>



 , tức là phương trình <i>f x</i>( ) 0 ln có nghiệm nằm trong khoảng (0;2 )



Vậy trong 2 trường hợp phương trình <i>f x</i>( ) 0 ln có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2 )



.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<b>Nhận xét:</b> Qua 2 cách giải trên ta thấy cách giải dùng định lí Rolle ngắn gọn hơn so với các phương pháp giải khác mà phải dùng đến tính tốn.

<b>Bài tốn 2. </b>Cho các số thực <i>a b c</i>, , và số nguyên dương <i>n</i><b> thỏa hệ thức </b>

2( )3 5( 2)

<i>ca bn</i>

 

Nhân 2 vế phương trình cho 2 sin cos<i>xx</i>0 ta được:

2sin cos ( cos<i>xx a<small>n</small>x b</i> sin<i><small>n</small>x c</i> cos<i>x c</i> )Đặt ( ) 2sin cos ( cos<i>h x</i>  <i>xx a<small>n</small>x b</i> sin<i><small>n</small>x c</i> cos<i>x c</i> )

Lấy nguyên hàm của hàm số <i>h x</i>( ) ta có

Ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

2 6 4( )

<i>x</i> _ 

nên sin 2<i>x</i>₀  suy ra 0 <i>a</i>cos<i><small>n</small>x</i>₀<i>b</i>sin<i><small>n</small>x</i>₀<i>c</i>cos<i><small>n</small>x</i>₀ <i>c</i> 0 Vậy phương trình <i>a</i>cos<i><small>n</small>x b</i> sin<i><small>n</small>x c</i> cos<i>x c</i> 0 có nghiệm trong khoảng 0;

Chứng minh rằng phương trình 3<i>ax</i><small>2</small>2<i>bx c</i> 0 có nghiệm thuộc khoảng

 

0;1 .

<i>Phân tích </i>

Ta có phương trình 3<i>ax</i><small>2</small>2<i>bx c</i> 0 liên tục và khả vi trên

 

0;1 .

Chứng minh phương trình 3<i>ax</i><small>2</small>2<i>bx c</i> 0 có nghiệm thuộc khoảng

 

0;1 ta sử dụng định lí Rolle.

Điều kiện bài toán 3 2

<i>abcn</i> <i>n</i>  <i>n</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Rõ ràng hàm số <i>F x</i>( ) liên tục trên

 

0;1 và khả vi trên

 

0;1 và theo giả thiết

Suy ra <i>x</i>₀(0;1) là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình 3<i>ax</i><small>2</small>2<i>bx c</i> 0 có nghiệm thuộc khoảng

 

0;1 .

<b>Bài toán 4.</b> Chứng minh rằng với 2<i>a b c</i>   (0 <i>a b c</i>, ,  ) phương trình 8<i>a x b</i> 8<i>x</i> 1 4<i>cx x x</i>(8   1) 0

ln có ít nhất 1 nghiệm thuộc

 

0;1 .

<b>Giải.</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Áp dụng định lí Rolle cho hàm <i>g x</i>( ) trên



<i>x x</i><small>1</small>; <small>2</small>



, tồn tại ( ; )<i>x x</i>₁ ₂ (0;2)sao cho

<i>f</i> _  _{ ;} ₍₂₎ 1462 ₀3

<i>f</i>   Như vậy ta có <i>f x</i>( ) liên tục và <i>f</i>(0). (1) 0<i>f</i>  , <i>f</i>(1). (2) 0<i>f</i>  Theo định lí Bolzano-Cauchy tồn tại <i>x</i>₁(0;1), <i>x</i>₂(1;2) sao cho

( ) ( ) 0

<i>f x</i>  <i>f x</i>  Vậy <i>f x</i>( ) 0 ln có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2)

<b>Nhận xét:</b> Cách 2 của bài toán trên cho ta kết quả mạnh hơn yêu cầu của bài cho. Vì vậy, khơng nên vận dụng một cách máy móc phương pháp ứng dụng định lí Rolle cho loạt bài tốn, vì phương pháp này hay với bài này nhưng chưa phải hay với bài khác.

<b>Bài toán 6.</b><i> Chứng minh phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt với mọi m</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>2017</small> 4 <small>3</small> ( <small>2</small> 1) 15 7 0

<i>x</i>  <i>x</i> <i>m x</i>   <i>x</i> 

<b>Giải. </b>

Xét hàm số <i>f x</i>( )<i>x</i><small>2017</small>4<i>x</i><small>3</small><i>m x</i>( <small>2</small> 1) 15<i>x</i> 7Hàm số <i>f x</i>( ) liên tục và ta có

'( ) 2017. 12 2 15''( ) 2017.2016. 24 2

Vậy phương trình <i>x</i><small>2017</small>4<i>x</i><small>3</small><i>m x</i>( <small>2</small> 1) 15<i>x</i>  có đúng 3 nghiệm phân biệt. 7 0

<b>Bài toán 7. </b>Chứng minh rằng nếu <i>a</i><b> thỏa mãn đẳng thức </b>0

<i>c ann</i>

<i>F xxxc xnn</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<b>Bài tốn 8.</b> Chứng minh rằng phương trình

( ) (4 3)log

ln 3

<i>xxf xxx</i>

ln 3

<i>xF x</i>  <i>x</i>  <i>xx</i> Ta có <i>F x</i>( ) liên tục và có đạo hàm trên 1

( ;1)2 ^và

( ) (1) 02

<i>F</i> <i>F</i>  . Theo định lí Rolle tồn tại ₀ 1

( ;1)2

<i>x</i>  sao cho <i>F x</i>'( )₀  <i>f x</i>( ) 0₀  Vậy phương trình

 ^.Chứng minh rằng ( ) ln<i><small>n</small></i> ... ₂ln² ₁ln ₀

2(<i>x</i>  <i>x</i> 2)cos 2<i>x</i> (1 2 )sin 2<i>xx</i> có ít nhất 3 nghiệm trong



1;2



.

<b>Gợi ý.</b> Xét hàm số<i>F x</i>( ) ( <i>x</i><small>2</small> <i>x</i> 2)sin 2<i>x</i>. Áp dụng định lí Rolle trong các khoảng



1;0 , 0;



, ;2

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>1</small>cos <small>2</small>cos 2 ... <i>_n</i>cos 0

<b>Gợi ý.</b> Áp dụng định lí Rolle cho hàm số ( ) (3<i>F x</i>  <i><small>x</small></i> 2<i><small>x</small></i> 5 ) tan<i><small>x</small>x</i>

<b>Bài tập 6.</b> Cho <i>a b c</i>   chứng minh rằng phương trình 0sin 9 sin 3 25 sin 5 0

<i>ax</i> <i>bx</i> <i>cx</i> có ít nhất 4 nghiệm

 

0;



.

<b>Gợi ý.</b> Áp dụng định lí Rolle cho hàm số

( ) cos 3 cos3 5 cos5

<b>Bài tập 7.</b> Cho <i>a b c</i>   chứng minh phương trình 0

<i>ax</i>  <i>b x</i>  <i>cx x x</i> ln có ít nhất một nghiệm thuộc

 

0;1 .

<b>Gợi ý.</b> Áp dụng định lí Rolle với hàm số <i>F x</i>( )<i>a x b x</i> 3  1 <i>cx</i><small>2</small>

<b>Bài tập 8.</b> Cho <i>n</i> nguyên dương ;<i>a b_k_k</i> <i>k</i>1,2,...,<i>n</i>). Chứng minh rằng

+ Đối với định lí Rolle

- Xét hàm số <i>f x</i>( ) tìm số nghiệm của phương trình <i>f x</i>'( ) 0 .

Giả sử phương trình <i>f x</i>'( ) 0 có <i>n</i> nghiệm. Khi đó theo định lí Rolle phương trình <i>f x</i>( ) 0 có khơng q <i>n</i>1 nghiệm.

- Chỉ ra nghiệm của phương trình. + Đối với định lí Lagrange

</div>