một số tiên đề tách trên siêu không gian pixley roy

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (19.58 MB, 76 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

I HÅC NNG

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

PHAN THỊ QUỲNH NHƯ

MËT SÈ TIN TCH TRNSIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY

LUN VN THC S TON HC

Nđng - 2023

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

I HÅC NNG

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

PHAN THỊ QUỲNH NHƯ

MËT SÈ TIN TCH TRNSIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY

Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵchMÂ số: 8.46.01.02

LUN VN THC S TON HC

GiÊng viản hữợng dăn:TS. Lữỡng Quốc Tuyn

N®ng - 2023

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

2.2. Mèi liản hằ giỳa cĂcT

i-khổng gian . . . 30

Chữỡng 3. Siảu khổng gian Pixley-Roy . . . 45

3.1. nh nghắa v tẵnh chĐt cừa siảu khổng gian Pixley-Roy . . . . 45

3.2. Mët sè ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khæng gian Pixley-Roy . . . 50

KT LUN . . . 58

TI LIU THAM KHO . . . 59

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Mé U1. Lỵ do chồn Ã ti

Nôm 1978, David J. Lutzer Â ữa ra khĂi niằm vÃ tổpổ Pixley-Roytrản têp PR[X]gỗm tĐt cÊ cĂc têp con khĂc rộng hỳu hÔn cừa mởt khổnggian tổpổX, sau ny ngữới ta gåi l si¶u khỉng gian Pixley-Roy PR[X](xem [8]). T¡c gi£ Â thu ữủc nhiÃu kát quÊ quan trồng vÃ giÊ-c trữngám ữủc, tẵnh hon chnh cừa siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]v mốiquan hằ cừa cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản khổng gian tổpổXvợi cĂc tẵnh chĐttổpổ trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]tữỡng ựng cừa nõ (xem [5]).Tứ õ, siảu khổng gian Pixley-Roy Â thỹc sỹ thu hút nhiÃu nh toĂn hồctrản thá giợi quan tƠm nghiản cựu, nhiÃu kát quÊ thú v Â thu ữủc vÃkhổng gian con, tẵnh khÊ metric, t½nh compact, t½nh paracompact, t½nhLindelof, t½nh di truy·n cõa tỉpỉ Pixley-Roy, . . . (xem [7], [8]).

Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, mởt trong nhỳng hữợng ữủc nhiÃu ngữớiquan tƠm l nghiản cựu vÃ mối liản hằ giỳa cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản khổnggian tổpổXvợi cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]tữỡng ựng cừa nõ. Nôm 2012, M. Sakai Â nghiản cựu vÃ tẵnh chĐt Frchet-Urysohn trản siảu khổng gian Pixley-Roy v Â chựng minh rơng PR[X]lk-khổng gian khi v ch¿ khi nâ l khỉng gian d¢y, khi v ch¿ khi nâl khỉng gian Fr²chet-Urysohn. Nhí â, t¡c giÊ Â thu ữủc kát quÊ csưc liản quan án khỉng gian Moore v khỉng gian kh£ metric r¬ng,Xl khỉng gian thọa mÂn tiản Ã ám ữủc thự nhĐt khi v ch¿ khi PR[X]cơng vªy, khi v ch¿ khi PR[X]l khæng gian Moore; PR[X]kh£ metric khiv ch¿ khi nâ l khổng gian Lasnev (xem [7]).

Mc dũ Â cõ rĐt nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu vÃ siảu khổng gian Roy PR[X]cừa khổng gian tổpổXnhững chữa cõ tĂc giÊ no Ã cêp ¸n

Pixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hop Pixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hop Pixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hop Pixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hopPixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hop Pixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hopPixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hop Pixley-luan van tot nghiep, Pixley-luan van thac si, Pixley-luan van cao hoc, Pixley-luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

vi»c nghi¶n cùu v· c¡c ti¶n Ã tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X].Vợi mong muốn tẳm hiu vÃ khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cừa si¶u khỉnggian Pixley-Roy, nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡c tiản Ã tĂch trảnXvợicĂc tiản Ã tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X], dữợi sỹ hữợng dăncừa thƯy giĂo TS. Lữỡng Quốc Tuyn, chúng tổi quyát nh chồn Ã tiMởt sè ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khỉng gian Pixley-Roy l m Ã ti luên vônthÔc sắ cho mẳnh.

2. ối tữủng nghiản cùu

Si¶u khỉng gian Pixley-Roy PR[X]cõa khỉng gian tỉpỉX, c¡c ti¶n ÃtĂch trản khổng gian tổpổ.

3. PhÔm vi nghiản cựu

Mối liản hằ giỳa cĂc tiản Ã tĂch trản khổng gian tổpổXvợi cĂc tiảnÃ tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]tữỡng ựng cừa nõ.

4. Mửc ẵch nghiản cựu cừa Ã ti

Trong Ã t i n y, chóng tỉi nghi¶n cùu si¶u khỉng gian Pixley-RoyPR[X]cõa khỉng gian tỉpỉX, mèi quan h» giúa c¡c ti¶n · tĂch cừakhổng gian tổpổXvợi cĂc tiản Ã tĂch trản siảu khỉng gian Pixley-RoyPR[X]t÷ìng ùng cõa nâ. ÷a ra mët sè kát quÊ mợi hoc m rởng mởt sốkát quÊ cừa cĂc tĂc giÊ i trữợc.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

ãPhƠn tẵch, Ănh giĂ, tờng hủp v trao ời vợi thƯy hữợng dăn kát quÊang nghiản cựu hon chnh Ã ti cừa mẳnh.

6. CĐu trúc luên vôn

Nởi dung luên vôn ữủc chúng tổi trẳnh by trong ba chữỡng. Ngoi ra,khõa luên câ Líi c£m ìn, Mưc lưc, ph¦n Mð ¦u, ph¦n Kát luên v Tiliằu tham khÊo.

ãChữỡng 1: Kián thực cỡ s. Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởtsố khĂi niằm v tẵnh chĐt quan trồng cừa khổng gian tổpổ nhơm phửcvử cho viằc chựng minh Chữỡng 2 v Chữỡng 3.

ãChữỡng 2: Mởt số tiản Ã tĂch. Chữỡng ny trẳnh b y c¡c kh¡i ni»m v·c¡cT

i-khỉng gian tr¶n khỉng gian tỉpỉ

Xv mối liản hằ giỳa chúng.ãChữỡng 3: Siảu khổng gian Pixley-Roy. Trong chữỡng ny, chúng tổitrẳnh by khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa tổpổ Pixley-Roy. ữa ramởt số tẵnh chĐt mợi vÃ tiản Ã tĂch trản siảu khổng gian PR[X].

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

MậT Sẩ QUY ìẻC V Kị HIU MẻI1) N= {1, 2, 3, . . . }.

2)ω = {0} ∪N.3) SU =S

{U : U ∈ U }.

4) Bao õng cừa têp hủpAtrản khổng gian tổpổXữủc kỵ hiằu lA.5) Bao õng cừa têp hủpAtrản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]ữủc

kỵ hiằu l Cl(A).

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

KIN THÙC Cè Sé

Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởt số kián thực vÃ tổpổ Ôi cữỡng.CĂc khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt trẳnh by trong chữỡng ny ữủc chúngtổi lĐy trong [2] nh¬m phưc vư cho vi»c chùng minh c¡c kát quÊ chẵnh cừacĂc chữỡng sau.

1.1. KhĂi niằm vÃ khổng gian tỉpỉ

ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sûτl mët hå n o â gỗm cĂc têp con cừa têphủpXthọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau:

(a), X ;

(b) Náu{U

}

, thẳ S

U

;(c) NáuU, V , thẳU V .Khi õ,

1)ữủc gồi l mởt tổpổ trảnX.2) Cp(X, )l mởt khổng gian tổpổ.

3) Mội phƯn tỷ cừaữủc gồi l mởt têp hủp m.4) Mội phƯn tỷ cừaXữủc gồi l mởt im cừa nõ.

Vẵ dử 1.1.2. 1) GiÊ sỷXl mởt têp hủp tũy ỵ, = {, X}. Khi õ,l mởt tổpổ trảnXv nõ ữủc gồi l tổpổ thổ trảnX,(X, )ữủcgồi l khæng gian tæpæ thæ.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

2) Gi£ sỷXl mởt têp hủp tũy ỵ, = P(X)(cĂc têp con cừaX). Khiõ,l mởt tổpổ trảnXv nõ ữủc gồi l tổpổ rới rÔc trảnX.3) ChoX = {a, b, c}v

1

=n, X, {a}, {a, b}, {c}o;

τ

2

=n∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}o;τ

3

=n{a, b}, {b, c}o.Khi â,τ

1

v τ

3

khæng l tæpæ,τ

2

l tổpổ.4) GiÊ sỷXl têp hủp vổ hÔn. Ta t

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Tr÷íng hđp 2. NáuA 6= vB 6= , thẳA = B = X. Do â,A ∩ B = X ∈ τ.

2) Ta cõ

(2.1) Bi vẳvXl cĂc têp con cừaXnản, X .

(2.2) GiÊ sỷ{U

i

}

iI

. Khi õ,U

i

l têp con cừaXvợi måii ∈ I.Ta suy ra[

{a} ∪ {c} = {a, c} /

1

.(3.2)

2

l tổpổ vẳ

ã , X

2

.

ãHủp tũy ỵ cĂc phƯn tỷ cừa

2

Ãu thuởc

2.

ãGiao hai phƯn tỷ cõaτ

2

·u thcτ

2

.

(3.3)τ

3

khỉng l tỉpỉ bði v¼∅, X /∈ τ

3

.4) Ta câ

(4.1) Tø ành ngh¾a cõaτta suy ra∅ ∈ . Mt khĂc, vẳX \ X = ltêp hỳu hÔn n¶nX ∈ τ.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

(4.2) Gi£ sû{U

i

: i ∈ I} ⊂ τv U =S

i∈I

U

i. Khi â, n¸u

U = , thẳ rórngU . BƠy giớ, giÊ sỷU 6= , khi õ tỗn tÔii

0

Isao choU

i0

6= . Bi vẳU

i0

nảnX \ U

i0

hỳu hÔn. Hỡn nỳa, vẳU

i0

Unản ta suy ra

X \ U X \ U

i0

.Do õ,X \ Uhỳu hÔn. Bi vêy,U =S

Chựng minh. Thªt vªy, gi£ sû R l tªp sè thüc vợi tổpổ thổng thữớng.Ta t

vợi mồin N.Khi õ,

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Nhữ vêy, nhên xt ữủc chựng minh.1.2. Cỡ s cõa tỉpỉ

ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû(X, τ )l mët khỉng gian tổpổ. Ta nõi,Blcỡ s cừanáu

1)B .

2) Mội phƯn tỷ cừal hủp no õ cĂc phƯn tỷ cừaB.

Nhên xt 1.2.2. Gi£ sû(X, τ )l mët khæng gian tæpæ v B . Khi õ,1) NáuBl cỡ s cừa, thẳ mội phƯn tỷ cừaBl mởt têp hủp m.

Tuy nhiản, mội têp hđp mð câ thº khỉng thcB.

2)Bl cì sð cõaτkhi v ch khi vợi mồiU v vợi mồix U,tỗn tÔiV Bsao chox V U.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Chựng minh. (1) Bi vẳB nản mội phƯn tỷ cừaBl têp hủp m.Tiáp theo, ch ra mội têp m trongXcõ th khổng thuởcB, ta xtphÊn vẵ dử sau Ơy:

GiÊ sỷX = {a, b, c}v =

nh lẵ 1.2.3. Gi£ sûBl mët cì sð cõaτ. Khi â,1) Vỵi måix X, tỗn tÔiU Bsao chox U.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

2) Vỵi måiU, V ∈ B,x ∈ U V, tỗn tÔiW Bsao chox W U ∩ V.

Chùng minh. (1) Gi£ sûx ∈ X, khi õ vẳx X vBl cỡ s cừanản tỗn tÔiU Bsao cho

Chựng minh. Gồil hồ cĂc phƯn tỷ thọa mÂn mội phƯn tỷ cừal hủpno õ cĂc phƯn tỷ cừaB. Khi õ,l mởt tổpổ trảnX. Thêt vêy,

(1) Bi vẳ hủp cừa hồ rộng l rộng nản . M°t kh¡c, tø i·u ki»n(1) cõa ành l½ 1.2.3 ta cõ: vợi mồix X, tỗn tÔiU

x

Bsao chox ∈ U

x

,k²o theo

(2) Gi£ sû{U

α

}

α∈Λ

⊂ τ. Khi â, vỵi mồi , tỗn tÔi{B

,

: I

} B

sao cho

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Nhữ vêy,

U

=[

B

,

.

(3) GiÊ sỷU, V . Khi õ, tỗn tÔi

{U

: α ∈ Λ} ⊂ B, {V

β

: β ∈ Γ} ⊂ Bsao choU =S

U

α

, V =S

β∈Γ

V

β

. Ta câ

U

α

∩ V

β

=[

x∈Uα∩Vβ

U

x

U

V

,ko theo

U

V

=[

xUV

U

x

.Nhữ vêy,U

V

.

1.3. LƠn cên

nh nghắa 1.3.1. ChoAl têp con khĂc réng cõa khỉng gian tỉpỉ(X, τ ). Khi â, tªp conUcừaXữủc gồi l mởt lƠn cên cừaAnáutỗn tÔiV sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Ngo i ra, náuU , thẳ ta nõi rơngUl lƠn cên m cừaA. c biằt,náuA = {x}, thẳ ta nõi rơngUl lƠn cªn cõax.

Nhªn x²t 1.3.2. Gi£ sû(X, τ )l mët khỉng gian tổpổ. Khi õ,

1) LƠn cên cừa mởt im khổng nhĐt thiát l mởt têp hủp m. Tuy nhiản,mội têp m l lƠn cên cừa mồi im thuởc nõ.

2) Giao hỳu hÔn cĂc lƠn cênAcụng l mởt lƠn cên cừaA. Tuy nhiản,giao tũy ỵ cĂc lƠn cên cừaAcõ th khổng l lƠn cên cừaA.

Chựng minh. 1) GiÊ sỷ R l têp số thỹc vợi tổpổ thổng thữớng. Ta lĐyU = [−1, 1]v V = (−1, 1).

Khi â,V ∈ τv Ul mët l¥n cên cừa imx = 0vẳx V UnhữngU / . Do õ, lƠn cên cừa mởt im khổng nhĐt thiát l mởt têp m.

Ngữủc lÔi, giÊ sỷUl têp m v x ∈ U. Khi â, n¸u ta °tV = U, thẳró rngV v

x V U.Nhữ vêy,Ul mởt lƠn cên cừax.

2) GiÊ sỷA

1

, A

2

, ..., A

n

l cĂc lƠn cên cừaA. Ta tA

0

=

Bi vẳA

i

l lƠn cên cừaAvợi mồii = 1, nnản vợi mộii = 1, n, tỗn tÔiV

i

sao cho

A V

i

A

i

,ko theo

A ⊂

n

\

i=1

V

i

⊂

n

\

i=1

A

i

.Ti¸p theo, ta °tV

0

=

V

i

, khi âT

ni=1

V

i

∈ τ, v A ⊂ V

0

⊂ A

0

.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Nhữ vêy,A

0

l lƠn cên cừaA.

BƠy giớ, giÊ sỷ R l têp số thỹc vợi tổpổ thổng thữớng. Ta t

2)Ul lƠn cên cừa mồi im thuởc nõ.

3) Vợi mồix U,tỗn tÔi lƠn cênV

x

cừaxsao chox V

x

U.Chựng minh. (1)(2). Suy ra tø (1) cõa Nhªn x²t 1.3.2 .

(2)⇒(3). Gi£ sỷUl lƠn cên cừa mồix U. Khi õ, vợi mồix U,náu ta tV

x

= U, thẳV

x

l lƠn cªn cõaxv

x ∈ V

x

= U ⊂ U.Do â, (3) thọa mÂn.

(3)(1) GiÊ sỷ vợi mồix U, tỗn tÔi lƠn cênV

x

cừaxsao chox V

x

U. Khi õ, vẳV

x

l lƠn cên cừaxnản tỗn tÔiW

x

sao chox W

x

⊂ V

x

⊂ U.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

k²o theoU =S

xU

W

x. Bi vẳ

W

x

vợi mồix Unản ta suy raU ,nghắa lUm trongX. Nhữ vêy, (1) thọa mÂn.

1.4. Têp hủp õng v bao õng cừa mởt têp hủp

nh nghắa 1.4.1. Têp conAcừa khổng gian tổpổ(X, )ữủc gồi ltêp hủp õng trongXnáuX \ A .

(2) GiÊ sûU, Vl hai tªp âng. Ta chùng minhU ∪ Vl tªp âng.Thªt vªy, theo cỉng thùc De Morgan ta câ

Bði vẳU, Vl hai têp õng nảnX \ U, X \ Vl hai tªp mð. Theo Nhªnx²t 1.1.3,(X \ U ) ∩ (X \ V )l tªp hđp mð. Do â, tø (1.1) ta suy raU ∪ Vâng.

(3) Gi£ sû{V

α

}

α∈I

l hồ tũy ỵ cĂc têp õng. Ta chựng minh rơng T

α∈I

V

α

l tªp hđp âng.

Thªt vªy, theo cỉng thùc De Morgan ta câ

V

α

=[

α∈I

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Vỵi måiα ∈ I, vẳV

l têp õng nảnX\V

l têp hủp m. Theo Nhên xt 1.1.3,S

(X \ V

α

)l tªp hđp mð. Do â, tø (1.2), T

I

V

l têp hủp õng.Nhên xt 1.4.3. Hủp tũy ỵ c¡c tªp âng câ thº khỉng âng trongX.Chùng minh. Gi£ sỷ R l têp số thỹc vợi tổpổ thổng thữớng. Ta t

A

n

="

0, 1 1n

vợi mồin N.Khi õ,

ã A

n

õng trong R vợi mồin N.

A

n

= [0, 1).Thêt vêy,

GiÊ sỷx S

nN

A

n. Khi õ, tỗn tÔi

n N sao chox A

n

=

0, 1 1n

0 x 1 1n.Nhữ vêy,

x ∈"

0, 1 −1n

◦ [0, 1)khæng âng trong R.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

A =\{F ⊂ X : Fâng, A ⊂ F }.Nhên xt 1.4.6. 1)Aluổn tỗn tÔi vA A.

2)Al têp hđp âng nhä nh§t chùaA.3)Aâng khi v ch¿ khiA = A.

4) NáuA B, thẳA B.

Chựng minh. (1) Bi vẳXl têp õng chựaAnảnX {F X : Fõng, A F }.Do õ,Atỗn tÔi v theo nh nghắa 1.4.5, ta câA ⊂ A.

(2) Bði v¼

A =\{F ⊂ X : Fõng, A F }nản theo Nhên xt 1.4.2 ta suy raAl têp õng chựaA.

BƠy giớ ta chựng minh rơngAl têp õng nhọ nhĐt chựaA. Thêt vêy,giÊ sỷGl têp âng nhä nh§t chùaA. Khi â,

G ∈ {F ⊂ X : Fâng, A ⊂ F },k²o theo

A =\{F ⊂ X : Fâng, A ⊂ F } ⊂ G.

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Hỡn nỳa, vẳAl têp õng chựaAvGl têp õng nhọ nhĐt chựaAnảnG A.Suy raA = G.

Nhữ vêy,Al têp õng nhọ nhĐt chựaA.

(3) GiÊ sỷA Xl têp con õng. Khi õ, vẳAl têp õng nhọ nhĐtchựaAvAcụng l têp õng chùaAn¶nA ⊂ A. M°t kh¡c, theokh¯ng ành (1), ta câA ⊂ A. Do â,A = A.

B¥y gií, gi£ sûA = A, theo kh¯ng ành (2) ta suy raAl tªp con õngcừaX.

(4) Ta cõA B BnảnBl têp õng chựaA. Mt khĂc, vẳAltêp õng nhọ nhĐt chựaAnảnA B.

Vẵ dử 1.4.7. ChoX = {a, b, c}, A ⊂ Xv mët tổpổ trảnXl =n, X, {a}, {a, b}, {a, c}, {b}o.

HÂy tẳmAtrong cĂc trữớng hủp sau:A = {a}, A = {a, b}, A = {b, c}.Bi giÊi.ãTrữớng hủp 1:A = {a}.

CĂc tªp âng trongXl :X, ∅, {b, c}, {c}, {b}, {a, c}.◦C¡c têp õng trongXchựaAl:X, {a, c}.

Nhữ vêy,A = X {a, c} = {a, c}.ãTrữớng hủp 2:A = {a, b}.

CĂc têp âng trongXl :X, ∅, {b, c}, {c}, {b}, {a, c}.◦C¡c tªp âng trongXchùaAl :X.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

1.5. PhƯn trong cừa têp hủp

nh nghắa 1.5.1. GiÊ sỷAl têp con cừa khổng gian tổpổ(X, ).Khi õ, hủp cừa tĐt cÊ cĂc têp con m nơm trongAữủc gồi l phƯn trongcừaAv kỵ hiằu IntA. Nhữ vêy,

Nhữ vêy, IntAl têp con m lợn nhĐt n¬m trongA.(2) Gi£ sûAmð, khi âA ∈ {V ∈ τ : V ⊂ A}. Suy ra

A ⊂[{V ∈ τ : V A} =IntA.Mt khĂc, vẳ IntA Anản IntA = A.

Ngữủc lÔi, náu IntA = A, thẳ theo (1) suy raAm.

(3)ãCĂch 1: Theo (1), IntAl têp m nơm trongA. M°t kh¡c, v¼

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

A ⊂ Bn¶n IntAl têp m nơm trongB. Hỡn nỳa, vẳ IntBl têp mlợn nhĐt nơm trongBnản IntA IntB.

ãCĂch 2: Bi vẳA Bnản

{V ∈ τ : V ⊂ A} ⊂ {V ∈ τ : V ⊂ B}.Do â, IntA ⊂IntB.

V½ dư 1.5.3. ChoX = {a, b, c},

τ =n∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}, {b}ovM X. HÂy tẳm IntMtrong cĂc trữớng hủp sau:

M = {b, c}, M = {a, b}.B i gi£i. (1) Tr÷íng hđp 1:M = {b, c}.Ta câ

{V ∈ τ : V ⊂ M } =n∅, {b}o.Suy ra

IntM = ∅ ∪ {b} = {b}.(2) Tr÷íng hđp 2:M = {a, b}.

C¡ch 1: Ta câ

{V ∈ τ : V ⊂ M } =n∅, {a}, {a, b}, {b}o.Suy ra

IntM = ∅ ∪ {a} ∪ {a, b} ∪ {b} = {a, b}.

C¡ch 2: Bði v¼M = {a, b} nản theo Nhên xt 1.5.2(2), ta suy raIntM = M = {a, b}.

ành l½ 1.5.4. Gi£ sû(X, τ )l khæng gian tæpæ. Khi â,IntA = X \ X \ A.

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Chùng minh. Bði vẳ

X \ A X \ Anản ta suy ra

X \ X \ A ⊂ X \ (X \ A) = A.Do õ,X \ X \ Al têp m nơm trongA, ko theo

Mt khĂc, vẳ IntA Anản

X \ A X \IntA.Hỡn nỳa, vẳX \IntAõng nản

X \ A X \IntA = X \IntA.Nhữ vêy,

Tứ (1.3) v (1.4) ta suy ra IntA = X \ X \ A.1.6. nh xÔ liản tửc

nh nghắa 1.6.1. GiÊ sỷf : (X, ) (Y, )l Ănh xÔ tứ khổng giantổpổ(X, )vo khổng gian(Y, ). Khi õ,

1)fữủc gồi l Ănh xÔ liản tửc tÔi imx

0

Xnáu vợi mội lƠn cên mVcừaf (x

0

)trongY, tỗn tÔi lƠn cên mUcừax

0

trongXsao chof (U ) V.

2)fữủc gồi l liản tửc trảnX(hay liản tửc) náufliản tửc tÔi mồi imcừaX.

nh lẵ 1.6.2. GiÊ sỷf : (X, ) (Y, )l Ănh xÔ tứ khổng gian tæpæ(X, τ )v o khæng gian(Y, δ). Khi â, c¡c khng nh sau l tữỡng ữỡng.

1)fliản tửc.

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

2) TÔo Ênh cừa mội têp hủp m trongYl mởt têp hủp m trongX.3) TÔo Ênh cừa mội têp hủp âng trongYl mët tªp hđp âng trongX.4)f (A) ⊂ f (A), vỵi måiA ⊂ X.

5)f

−1

(B) ⊂ f

−1

(B), vỵi måiB ⊂ Y.

6)f

−1

(IntB) ⊂Intf

−1

(B), vỵi måiB ⊂ Y.

Chùng minh. (1)⇒(2). Gi£ sûfl Ănh xÔ liản tửc vUm trongY.Ta chựng minh,f

1

(U )m trongX.

Thêt vêy, giÊ sỷx f

1

(U ). Khi õ,Ul lƠn cên m cừaf (x)trongY.Bi vẳfl Ănh xÔ liản tửc nản tỗn tÔi lƠn cên mVcừaxtrongXsao chof (V ) U.Nhữ vêy,

(3)(4). GiÊ sỷ (3) thọa mÂn vf (A)õng trongYnảnf

1

f (A)õng trongX. Mt khĂc, vẳ

A f

1

f (A) f

1

f (A)nản ta suy ra

A f

1

f (A)

= f

1

f (A)

.Nhữ vêy,f (A) f (A).

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

(4)⇒(5) Theo kh¯ng ành (4), vỵi måiB ⊂ Yta câff

−1

(B)⊂ ff

−1

(B)⊂ B.Suy raf

−1

(B) ⊂ f

−1

(B).

(5)⇒(6) Vỵi måiB ⊂ Y, ta câ

f

−1

(IntB) = f

−1

Y \ Y \ B= X \ f

−1

(Y \ B).(1.5)M°t kh¡c, v¼ (5) thäa mÂn nản

X \ f

1

(B) = f

1

(Y \ B) f

1

(Y \ B).(1.6)Nhữ vêy, tứ (1.5) v (1.6) ta suy ra

f

1

(IntB) ⊂ X \ f

−1

(Y \ B) ⊂ X \ X \ f

1

(B) =Intf

1

(B).(6)(1) GiÊ sỷx XvVl mởt lƠn cên mð cõaf (x)trongY.Khi â, IntV = V. Bði v¼ (6) thọa mÂn nản

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

1) NáuBlG

-têp thẳ

f

1

(B)cụng lG

-têp.

2) NáuBlF

-têp thẳf

1

(B)cụng lF

-têp.

Chựng minh. (1) Bi vẳBlG

-têp nản tỗn tÔi{U

n

: n N} sao choB =

U

n. Mt khĂc, vẳ

fl Ănh xÔ liản tửc nản{f

1

(U

n

) : n N} .Hỡn nỳa, vẳ

f

1

(B) = f

1

\

n=1

f

1

(U

n

)nản ta suy raf

1

(B)lG

-têp.

(2) Bi vẳBlF

-têp nản tỗn tÔi dÂy gỗm cĂc têp con õng

{F

n

: n N} Y

sao choB =

[

n=1

F

n. Mt khĂc, vẳ

fl Ănh xÔ liản tửc nảnf

1

(F

n

)ltêp õng trongXvợi mồin N. Hỡn nỳa, vẳ

f

1

(B) = f

1

[

n=1

f

1

(F

n

)nản ta suy raf

−1

(B)l F

σ-tªp.

1.7. Khỉng gian con

Bê · 1.7.1. Gi£ sû(X, τ )l khæng gian tæpæ,F ⊂ X. Khi â,τ

F

= {V ∩ F : V ∈ τ }

l mët tæpæ tr¶nF.Chùng minh. Ta câ

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

(1) Bði v¼τl mët tỉpỉ n¶n∅, X ∈ τ. Do â,∅ = ∅ ∩ F ∈ τ

F

, F = X ∩ F ∈

F

.

(2) GiÊ sỷ{W

i

}

iI

F

. Khi õ, tỗn tÔi{V

i

}

iI

sao choW

i

= V

i

Fvợi mồii I.

Bi vẳ{V

i

} ⊂ τn¶n[

i∈I

V

i

∈ τ. Do â,[

W

i

=[

i∈I

(V

i

∩ F ) = [

i∈I

ành ngh¾a 1.7.2. Gi£ sû(X, τ )l mët khỉng gian tæpæ,Y ⊂ Xv τ

Y

= {Y ∩ U : U ∈ τ }.

Khi â,τ

Y

l mët tỉpỉ tr¶nY. Ta nâi r¬ng(Y, τ

Y

)l mët khỉng gian concõa khỉng gian tỉpỉ(X, τ ).

Nhªn x²t 1.7.3. Gi£ sû(F, τ

F

)l khỉng gian con cõa(X, ),U F.Khi õ,Um trongFkhi v ch khi tỗn tÔiVm trongXsao cho

U = F V.Chựng minh. Suy ra trỹc tiáp tứ nh nghắa.

Nhên xt 1.7.4. GiÊ sỷ(X, )l mët khæng gian tæpæ,(Y, σ)l mëtkhæng gian con cõaXv A Y. Khi õ, bao õng cừaAtrongYtakỵ hiằu lA

Y

.

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

ành l½ 1.7.5. Gi£ sû(X, τ )l mët khæng gian tæpæ v (Y, τ

Y

)l mëtkhæng gian con cõaXv A ⊂ Y.Khi õ,

1)Al õng trongYkhi v ch khi tỗn tÔi têp con ângFtrongXsao choA = Y ∩ F.

2)A

Y

= A ∩ Y.Chùng minh. (1) Ta câ

Aâng trongY ⇔ Y \ A

Y

,

tỗn tÔiV sao choY \ A = V ∩ Y,

⇔ A = Y \ (Y \ A) = Y \ (V ∩ Y ) = Y \ V = (X \ V ) ∩ Y,trong âF = X \ Vâng trongX.

(2) Ta câ

A

Y

= ∩{E : Eâng trongY, A ⊂ E}= ∩{F ∩ Y : Fâng trongX, A ⊂ F }= Y ∩∩ {F : Fâng trongX, A ⊂ F }= Y ∩ A.

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

MËT Sẩ TIN TCH

Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐtcừa cĂc tiản Ã tĂch. Chựng minh mối liản hằ giỳa cĂcT

i-khổng gian

vợii

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,12, 3

.Kát quÊ chẵnh trong chữỡng ny ữủctham khÊo trong [2].

2.1. CĂc nh nghắa

nh nghắa 2.1.1. Gi£ sû(X, τ )l khỉng gian tỉpỉ. Khi â,

1)X÷đc gồi lT

0

-khổng gian náu vợi mồix, y Xmx 6= y, tỗn tÔicĂc lƠn cên mUcừaxsao choy / Uhoc tỗn tÔi lƠn cên mVcừaysao chox / V.

2)Xữủc gồi lT

1

-khổng gian náu vợi mồix, y Xmx 6= y, tỗn tÔicĂc lƠn cên mUcừaxvVcừaysao chox / Vvy / U.

3)Xữủc gồi lT

2

-khổng gian hay khổng gian Hausdorff náu vợi mồix, y Xmx 6= y, tỗn tÔi cĂc lƠn cên mUcừaxvVcừaysao choU V = .

4)Xữủc gồi l khổng gian chẵnh quy náu vợi mồiFõng,x / F,tỗn tÔi cĂc lƠn cên mUcừax,VcừaFsao choU V = .

5)Xữủc gồi lT

3

-khổng gian náuXlT

1-khổng gian v chẵnh quy.

6)Xữủc gồi l khổng gian hon ton chẵnh quy náu vợi mồiFõng,

x / F, tỗn tÔi hm liản töcf : X → [0, 1]sao chof (x) = 1v f (y) = 0vỵiy ∈ F.

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

9)X÷đc gåi lT

4

-khổng gian náuXlT

1-khổng gian v chuân tưc.

10)Xữủc gồi lT

5

-khổng gian n¸uXl T

1

-khỉng gian v méi khỉng gian con

cõaX·u l khỉng gian chuân tưc.

11)Xữủc gồi lT

6-khổng gian náu

XlT

4-khổng gian v mồi têp con õng

cừaXlG

-têp.

nh lẵ 2.1.2. ối vợi khổng gian tổpổ(X, ), c¡c kh¯ng ành sau l óng:

1)Xl T

1

-khỉng gian khi v ch¿ khi têp mởt im{x}l õng trongX,vợi mồix X.

2)Xl khổng gian chẵnh quy khi v ch khi vợi mồix V , tỗn tÔiW sao chox W ⊂ W ⊂ V.

Chựng minh. (1)ãiÃu kiằn cƯn. GiÊ sỷXlT

1

-khổng gian,x X.Ta chựng minh rơng{x}l õng.

Thêt vêy, giÊ sỷy X \{x}, ko theox 6= y. Khi õ, tỗn tÔi lƠn cên mVcừaysao chox /∈ V, k²o theoV ⊂ X \ {x}. Nh÷ vêy,X \ {x}m,nghắa l{x}õng.

ãiÃu kiằn ừ. GiÊ sỷ rơng têp mởt im bĐt ký cừaXl õng.Ta chựng minh rơngXlT

1-khổng gian.

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Thªt vªy, gi£ sûx, y ∈ Xsao chox 6= y. Khi õ, vẳ têp mởt im lõng nảnU = X \ {y}l lƠn cên m cừaxkhổng chựayvV = X \ {x}l lƠn cên m cừaykhổng chựax. Nhữ vêy,XlT

1-khổng gian.

(2)ãiÃu kiằn cƯn. GiÊ sỷXl khổng gian chẵnh quy v x ∈ V ∈ τ. Ta°tF = X \V. Khi õ,Fõng vx / F. Bi vẳXl khổng gian chẵnh quynản tỗn tÔi cĂc lƠn cên mWcừaxvUcừaFsao choW U = ,ko theoW X \ U. Nhữ vêy, ta cõ

x ∈ W ⊂ W ⊂ X \ U = X \ U ⊂ X \ F = V.

•i·u ki»n õ. GiÊ sỷ vợi mồix V , tỗn tÔiW ∈ τsao chox ∈ W ⊂ W ⊂ V.

Ta chùng minh rơngXl khổng gian chẵnh quy.

Thêt vêy, giÊ sỷFõng,x / F. Khi â, ta °tV = X \ F ∈ .Theo giÊ thiát, tỗn tÔiW sao cho

x W ⊂ W ⊂ V.Ta °tU = X \ W, khi õ,

Wl lƠn cên m cừax.Bi vẳ

F = X \ V X \ W = U nảnUl lƠn cªn mð cõaF.

◦ W ∩ U = W ∩ (X \ W ) ⊂ W ∩ (X \ W ) = .Nhữ vêy,Xl khổng gian chẵnh quy.

(3)ãiÃu kiằn cƯn. GiÊ sûXl khỉng gian chu©n tc v Fângsao choF ⊂ V ∈ τ. Ta °tE = X \ V. Khi â,Eâng v E F = .Bi vẳXl khổng gian chuân tưc nản tỗn tÔi cĂc lƠn cên mUcừaEv

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

WcõaFsao choU ∩ W = ∅, k²o theoW ⊂ X \ U. Nhữ vêy, ta cõF W W X \ U = X \ U ⊂ X \ E = V.

ãiÃu kiằn ừ. GiÊ sỷ rơng vợi mồiFõng trongXmF V ,tỗn tÔiW sao cho

Thªt vªy, gi£ sûE, F ⊂ Xl c¡c tªp âng trongXv E ∩ F = ∅.Khi â, ta °t

V = X \ E .Theo giÊ thiát, tỗn tÔiW thọa m¢n

F ⊂ W ⊂ W ⊂ V.Ta °tU = X \ W, khi õ,

Wl lƠn cên m cừaF.Bi vẳ

E = X \ V ⊂ X \ W = U nảnUl lƠn cên m cừaE.

W U = W ∩ (X \ W ) ⊂ W ∩ (X \ W ) = .Nhữ vêy,Xl khổng gian chuân tưc.

2.2. Mèi li¶n h» giúa c¡c T

i

-khỉng gian

Bê · 2.2.1 (Bê · Urysohn). Gi£ sûA, Bl hai tªp âng ríi nhautrong khổng gian chuân tưcX. Khi õ, tỗn tÔi hm liản tưcf : X → [0, 1]sao chof (x) = 0vỵi måix ∈ Av f (x) = 1vỵi måix ∈ B.

Chùng minh. Ta t¼m{V

r

: r ∈ [0, 1] ∩Q} ⊂ τthäa m¢n i·u ki»n sau

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

(1)V

r

⊂ V

r0

vỵi måir < r

0

;(2)A ⊂ V

0

, B ⊂ X \ V

1.

Thêt vêy, ta xƠy dỹng{V

r

}bơng quy nÔp. GiÊ sỷr

1

= 0, r

2

= 1v (0, 1) ∩Q= {r

3

, r

4

, ...}.

Bði v¼A X \ B vXchuân tưc nản tỗn tÔiU ∈ τsao choA ⊂ U ⊂ U ⊂ X \ B.

Ta l§yV

0

= U, V

1

= X \ B. Khi â,V

0

, V

1

∈ τv thäa m¢n c¡c i·u ki»n(1) v (2).

BƠy giớ, ta chựng minh iÃu kiằn sau bơng quy nÔp vợi mồik 2.V

ri

V

rj

vợi mồir

i

< r

j

vi, j k.(3

k)

Thêt vêy,

ãGiÊ sỷk = 2vi, j k. Khi õ, vẳr

i

< r

j

nảnr

i

= 0vr

j

= 1. Lócn y, ta câ

</div>

một số tiên đề tách trên siêu không gian pixley roy

I HÅC  NNG

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

PHAN THỊ QUỲNH NHƯ

MËT SÈ TIN  TCH TRNSIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY

LUN VN THC S TON HC

 Nđng - 2023

I HÅC  NNG

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

PHAN THỊ QUỲNH NHƯ

MËT SÈ TIN  TCH TRNSIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY

Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵchMÂ số: 8.46.01.02

LUN VN THC S TON HC

GiÊng viản hữợng dăn:TS. Lữỡng Quốc Tuyn

 N®ng - 2023

2.2. Mèi liản hằ giỳa cĂcT

Chữỡng 3. Siảu khổng gian Pixley-Roy . . . 45

3.1. nh nghắa v tẵnh chĐt cừa siảu khổng gian Pixley-Roy . . . . 45

3.2. Mët sè ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khæng gian Pixley-Roy . . . 50

KT LUN . . . 58

TI LIU THAM KHO . . . 59

Mé U1. Lỵ do chồn Ã ti

Mc dũ Â cõ rĐt nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu vÃ siảu khổng gian Roy PR[X]cừa khổng gian tổpổXnhững chữa cõ tĂc giÊ no Ã cêp ¸n

2. ối tữủng nghiản cùu

Si¶u khỉng gian Pixley-Roy PR[X]cõa khỉng gian tỉpỉX, c¡c ti¶n ÃtĂch trản khổng gian tổpổ.

3. PhÔm vi nghiản cựu

Mối liản hằ giỳa cĂc tiản Ã tĂch trản khổng gian tổpổXvợi cĂc tiảnÃ tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]tữỡng ựng cừa nõ.

4. Mửc ẵch nghiản cựu cừa Ã ti

ãPhƠn tẵch, Ănh giĂ, tờng hủp v trao ời vợi thƯy hữợng dăn kát quÊang nghiản cựu  hon chnh Ã ti cừa mẳnh.

6. CĐu trúc luên vôn

Nởi dung luên vôn ữủc chúng tổi trẳnh by trong ba chữỡng. Ngoi ra,khõa luên câ Líi c£m ìn, Mưc lưc, ph¦n Mð ¦u, ph¦n Kát luên v Tiliằu tham khÊo.

ãChữỡng 1: Kián thực cỡ s. Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởtsố khĂi niằm v tẵnh chĐt quan trồng cừa khổng gian tổpổ nhơm phửcvử cho viằc chựng minh Chữỡng 2 v Chữỡng 3.

ãChữỡng 2: Mởt số tiản Ã tĂch. Chữỡng ny trẳnh b y c¡c kh¡i ni»m v·c¡cT

Xv mối liản hằ giỳa chúng.ãChữỡng 3: Siảu khổng gian Pixley-Roy. Trong chữỡng ny, chúng tổitrẳnh by khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa tổpổ Pixley-Roy. ữa ramởt số tẵnh chĐt mợi vÃ tiản Ã tĂch trản siảu khổng gian PR[X].

MậT Sẩ QUY ìẻC V Kị HIU MẻI1) N= {1, 2, 3, . . . }.

2)ω = {0} ∪<sub>N.</sub>3) SU =S

{U : U ∈ U }.

4) Bao õng cừa têp hủpAtrản khổng gian tổpổXữủc kỵ hiằu lA.5) Bao õng cừa têp hủpAtrản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]ữủc

kỵ hiằu l Cl(A).

KIN THÙC Cè Sé

Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởt số kián thực vÃ tổpổ Ôi cữỡng.CĂc khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt trẳnh by trong chữỡng ny ữủc chúngtổi lĐy trong [2] nh¬m phưc vư cho vi»c chùng minh c¡c kát quÊ chẵnh cừacĂc chữỡng sau.

1.1. KhĂi niằm vÃ khổng gian tỉpỉ

ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sûτl mët hå n o â gỗm cĂc têp con cừa têphủpXthọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau:

(a), X ;

(b) Náu{U

}

, thẳ S

U

;(c) NáuU, V , thẳU V .Khi õ,

1)ữủc gồi l mởt tổpổ trảnX.2) Cp(X, )l mởt khổng gian tổpổ.

3) Mội phƯn tỷ cừaữủc gồi l mởt têp hủp m.4) Mội phƯn tỷ cừaXữủc gồi l mởt im cừa nõ.

Vẵ dử 1.1.2. 1) GiÊ sỷXl mởt têp hủp tũy ỵ, = {, X}. Khi õ,l mởt tổpổ trảnXv nõ ữủc gồi l tổpổ thổ trảnX,(X, )ữủcgồi l khæng gian tæpæ thæ.

2) Gi£ sỷXl mởt têp hủp tũy ỵ, = P(X)(cĂc têp con cừaX). Khiõ,l mởt tổpổ trảnXv nõ ữủc gồi l tổpổ rới rÔc trảnX.3) ChoX = {a, b, c}v

=<sup>n</sup>, X, {a}, {a, b}, {c}<sup>o</sup>;

τ

=<sup>n</sup>∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}<sup>o</sup>;τ

=<sup>n</sup>{a, b}, {b, c}<sup>o</sup>.Khi â,τ

v τ

khæng l tæpæ,τ

l tổpổ.4) GiÊ sỷXl têp hủp vổ hÔn. Ta t

Tr÷íng hđp 2. NáuA 6= vB 6= , thẳA = B = X. Do â,A ∩ B = X ∈ τ.

2) Ta cõ

(2.1) Bi vẳvXl cĂc têp con cừaXnản, X .

(2.2) GiÊ sỷ{U

}

. Khi õ,U

l têp con cừaXvợi måii ∈ I.Ta suy ra[

{a} ∪ {c} = {a, c} /

.(3.2)

l tổpổ vẳ

ã , X

.

ãHủp tũy ỵ cĂc phƯn tỷ cừa

Ãu thuởc

ãGiao hai phƯn tỷ cõaτ

·u thcτ

.

(3.3)τ

khỉng l tỉpỉ bði v¼∅, X /∈ τ

.4) Ta câ

I HÅC NNG

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

MËT SÈ TIN TCH TRNSIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY

Nđng - 2023

I HÅC NNG

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

MËT SÈ TIN TCH TRNSIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY

N®ng - 2023

3.1. nh nghắa v tẵnh chĐt cừa siảu khổng gian Pixley-Roy . . . . 45

3.2. Mët sè ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khæng gian Pixley-Roy . . . 50

KT LUN . . . 58

TI LIU THAM KHO . . . 59

Mé U1. Lỵ do chồn Ã ti

Mc dũ Â cõ rĐt nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu vÃ siảu khổng gian Roy PR[X]cừa khổng gian tổpổXnhững chữa cõ tĂc giÊ no Ã cêp ¸n

2. ối tữủng nghiản cùu

Si¶u khỉng gian Pixley-Roy PR[X]cõa khỉng gian tỉpỉX, c¡c ti¶n ÃtĂch trản khổng gian tổpổ.

Mối liản hằ giỳa cĂc tiản Ã tĂch trản khổng gian tổpổXvợi cĂc tiảnÃ tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]tữỡng ựng cừa nõ.

4. Mửc ẵch nghiản cựu cừa Ã ti

ãPhƠn tẵch, Ănh giĂ, tờng hủp v trao ời vợi thƯy hữợng dăn kát quÊang nghiản cựu hon chnh Ã ti cừa mẳnh.

Nởi dung luên vôn ữủc chúng tổi trẳnh by trong ba chữỡng. Ngoi ra,khõa luên câ Líi c£m ìn, Mưc lưc, ph¦n Mð ¦u, ph¦n Kát luên v Tiliằu tham khÊo.

ãChữỡng 2: Mởt số tiản Ã tĂch. Chữỡng ny trẳnh b y c¡c kh¡i ni»m v·c¡cT

Xv mối liản hằ giỳa chúng.ãChữỡng 3: Siảu khổng gian Pixley-Roy. Trong chữỡng ny, chúng tổitrẳnh by khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa tổpổ Pixley-Roy. ữa ramởt số tẵnh chĐt mợi vÃ tiản Ã tĂch trản siảu khổng gian PR[X].

4) Bao õng cừa têp hủpAtrản khổng gian tổpổXữủc kỵ hiằu lA.5) Bao õng cừa têp hủpAtrản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X]ữủc

KIN THÙC Cè Sé

Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởt số kián thực vÃ tổpổ Ôi cữỡng.CĂc khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt trẳnh by trong chữỡng ny ữủc chúngtổi lĐy trong [2] nh¬m phưc vư cho vi»c chùng minh c¡c kát quÊ chẵnh cừacĂc chữỡng sau.

ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sûτl mët hå n o â gỗm cĂc têp con cừa têphủpXthọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau:

;(c) NáuU, V , thẳU V .Khi õ,

1)ữủc gồi l mởt tổpổ trảnX.2) Cp(X, )l mởt khổng gian tổpổ.

3) Mội phƯn tỷ cừaữủc gồi l mởt têp hủp m.4) Mội phƯn tỷ cừaXữủc gồi l mởt im cừa nõ.

Vẵ dử 1.1.2. 1) GiÊ sỷXl mởt têp hủp tũy ỵ, = {, X}. Khi õ,l mởt tổpổ trảnXv nõ ữủc gồi l tổpổ thổ trảnX,(X, )ữủcgồi l khæng gian tæpæ thæ.

2) Gi£ sỷXl mởt têp hủp tũy ỵ, = P(X)(cĂc têp con cừaX). Khiõ,l mởt tổpổ trảnXv nõ ữủc gồi l tổpổ rới rÔc trảnX.3) ChoX = {a, b, c}v

=<sup>n</sup>{a, b}, {b, c}<sup>o</sup>.Khi â,τ

l tổpổ.4) GiÊ sỷXl têp hủp vổ hÔn. Ta t

Tr÷íng hđp 2. NáuA 6= vB 6= , thẳA = B = X. Do â,A ∩ B = X ∈ τ.

. Khi õ,U

Ãu thuởc

·u thcτ

(4.1) Tø ành ngh¾a cõaτta suy ra∅ ∈ . Mt khĂc, vẳX \ X = ltêp hỳu hÔn n¶nX ∈ τ.

U = , thẳ rórngU . BƠy giớ, giÊ sỷU 6= , khi õ tỗn tÔii

.Do õ,X \ Uhỳu hÔn. Bi vêy,U =S

Chựng minh. Thªt vªy, gi£ sû R l tªp sè thüc vợi tổpổ thổng thữớng.Ta t

vợi mồin <sub>N</sub>.Khi õ,

Nhữ vêy, nhên xt ữủc chựng minh.1.2. Cỡ s cõa tỉpỉ

ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû(X, τ )l mët khỉng gian tổpổ. Ta nõi,Blcỡ s cừanáu

2) Mội phƯn tỷ cừal hủp no õ cĂc phƯn tỷ cừaB.

Nhên xt 1.2.2. Gi£ sû(X, τ )l mët khæng gian tæpæ v B . Khi õ,1) NáuBl cỡ s cừa, thẳ mội phƯn tỷ cừaBl mởt têp hủp m.

Chựng minh. (1) Bi vẳB nản mội phƯn tỷ cừaBl têp hủp m.Tiáp theo, ch ra mội têp m trongXcõ th khổng thuởcB, ta xtphÊn vẵ dử sau Ơy:

nh lẵ 1.2.3. Gi£ sûBl mët cì sð cõaτ. Khi â,1) Vỵi måix X, tỗn tÔiU Bsao chox U.

Chùng minh. (1) Gi£ sûx ∈ X, khi õ vẳx X vBl cỡ s cừanản tỗn tÔiU Bsao cho

Chựng minh. Gồil hồ cĂc phƯn tỷ thọa mÂn mội phƯn tỷ cừal hủpno õ cĂc phƯn tỷ cừaB. Khi õ,l mởt tổpổ trảnX. Thêt vêy,

(1) Bi vẳ hủp cừa hồ rộng l rộng nản . M°t kh¡c, tø i·u ki»n(1) cõa ành l½ 1.2.3 ta cõ: vợi mồix X, tỗn tÔiU

⊂ τ. Khi â, vỵi mồi , tỗn tÔi{B

(3) GiÊ sỷU, V . Khi õ, tỗn tÔi

nh nghắa 1.3.1. ChoAl têp con khĂc réng cõa khỉng gian tỉpỉ(X, τ ). Khi â, tªp conUcừaXữủc gồi l mởt lƠn cên cừaAnáutỗn tÔiV sao cho