<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM 1

HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH BS6002

<b>MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM;MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN CỦA</b>

<b>HÀM MỘT BIẾN SỐ</b>

Sinh viên thực hiện <b>: Vũ Duy Thanh Nguyễn Văn Thắng Vũ Tiến Thành</b>

<b> Phạm Thị Phương Thảo Trần Thị Phương Thảo Trần Thị Thu</b>

<b> Đoàn Văn Tiến Phạm Văn Tiến Phạm Tuấn Tiệp Phạm Văn Toán</b>

<b> Nguyễn Thị Thu Trang</b>

<b>Giáo viên hướng dẫn : Phùng Thị Anh Vũ</b>

<i><b>Hà Nam, tháng 11 năm 2022</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>Mục lục</b>

<b>I. PHẦN MỞ ĐẦUII. NỘI DUNG:</b>

<b>1. Một số ứng dụng của đạo hàm.1.1 Ứng dụng của đạo hàm.</b>

<b>1.2 Một số bài toán minh họa về ứng dụng của đạo hàm.2. Một số ứng dụng của tích phân của hàm một biến số.2.1 Ứng dụng của tích phân của hàm một biến số.</b>

<b>2.2 Một số ví dụ minh họa về tích phân của hàm một biến số.III. KẾT LUẬN</b>

<b>I. PHẦN MỞ ĐẦU:</b>

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lý thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tiễn cuộc sống. Đến với báo cáo này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các “ Ứng dụng cùa đạo hàm” và “ Ứng dụng của tích phân của hàm một biến số” khơng chỉ đối với các nhà tốn học mà cịn đối với các ngành khoa học kỹ thuật khác; bởi lẽ đạo hàm, tích phân khơng chỉ dành riêng cho các nhà Tốn học, mà đạo hàm và tích phân của hàm một biến số còn được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và các ngành khoa học khác, ví dụ có thể kể đến như:

<i>Một nhà Vật lí cần làm gì để muốn tính tốn vận tốc, gia tốc của một chuyển động ?</i>

<i>Một nhà kinh tế muốn tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết định đầu tư đúng đắn thì phải làm như thế nào ?...</i>

Và hơn thế nữa, trong thực tiễn đời sống ln có rất nhiều những bài tốn liên qua đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất... Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu, khám phá và mở mang thêm cho mình những hiểu biết về ứng dụng của đạo hàm vàtích phân của hàm một biến số thơng qua bài báo cáo này.

<b>II. NỘI DUNG:</b>

<b>1. Một số ứng dụng của đạo hàm:* Đạo hàm là gì?</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a;b) và x<small>0</small>∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn của tỉ số <i>^{f ( x )− f (x 0)}</i>

<i>x − x 0 (nếu có) khi x→x<small>0 </small></i>được gọi là đạo hàm của

<i>hàm số f(x) tại x<small>0</small>. Ký hiệu đạo hàm là f′(x<small>0</small>) hay y′(x<small>0</small></i>).Như vậy:

<i><small>x→ x 0</small></i>

<i>f ( x )− f ( x 0)x − x 0</i>

Đặt: x <i>−</i> x<small>0</small>= <i>∆ x</i>;<i>∆ y =</i>¿ f( x + x<small>0</small>) <i>−</i> f(x), ta có:F’(x)=lim

<i><small>x→ x 0</small></i>

<i>∆ y∆ x</i>

Trong đó: <i>∆ x :</i> số gia của đối số tại x<small>0</small>

<b> </b><i>∆</i>y: số gia tương ứng của hàm số

<b>1.1 Ứng dụng của đạo hàm</b>

<b>* Ý nghĩa hình học: Đạo hàm hỗ trợ việc tính tốn tiếp tuyến của đường cong </b>

phẳng, phương trình tiếp tuyến. Cụ thể:

<i><b>- Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm x<small>0</small></b></i> là hệsố góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0( x0; f( x0)). Chứng minh: Giả sử ta cóđiểm M( x0 + <small></small><i>^x</i>;f( x0 + <small></small><i>^x</i> )) là điểm di chuyển trên (C). Ta có M0H=<small></small><i>^x</i>, HM=

- Phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y= f(x) tạiM0( x0; f( x0)) là y- y0= f’( x0)( x- x0) trong đó y0 = f( x0). Điều này được rút ra từtiếp tuyến đường cong phẳng.

<b>* Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: Đạo hàm sẽ hỗ trợ trong việc giải thích sự biến</b>

thiên vận tốc tức thời, cường độ tức thời của dòng điện, gia tốc tức thời... Cụ thể:



</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

- Vận tốc tức thời: Một chuyển động thẳng có phương trình dạng s= s(t) là một hàmsố có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức v(t0)= s’(t0)=

<i><small>t →</small></i><small>¿</small>

¿<i>s(t )− s (</i>¿)

<i>t −</i>¿ ^¿ trong đó nếu t<i>→ t</i><small>0</small><i>↔</i>|<i>t −</i>¿| sẽ có độ chính xác càng cao.

- Cường độ tức thời của dòng điện: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàmsố thời gian của t hay Q = Q(t) với cường độ trung bình của dịng điện trong khoảngthời gian |<i>t −</i>¿| là I = <i>^Q(t)−Q(_{t −}</i> ^¿⁾

¿ ^¿ hoặc đơn giản chỉ là I(t0) = Q’(t0).

- Gia tốc tức thời: Với đạo hàm cấp hai ta có f’’(t) là gia tốc tức thời của chuyểnđộng s= f(t) tại thời điểm t.

<b>* Ý nghĩa hàm số của đạo hàm: </b>

- Xét tính đơn điệu của hàm số:

Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y= f(x) có đạo hàm trên K nếu f’(x)>0với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K, nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc Kthì hàm số f(x) nghịch biến trên K giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếuf’(x)<i>≥</i>0 ( f’(x) <i>≤</i>0) <i>∀</i>x<i>∈</i>K, f(x)= 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biếnhoặc nghịch biến trên K.

- Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên K= ( x0 - h; x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc K \{<i>xo</i>}, h >0. Nếu f’(x)>0 trên khoảng ( x0 - h; x0) vàf’(x)<0 trên khoảng ( x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). Nềuf’(x)<0 trên khoảng ( x0 - h; x0) và f’(x)>0 trên khoảng ( x0; x0 + h) thì x0 là mộtđiểm cực tiểu của hàm số f(x).

- Tìm cực trị:

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y= f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảngK kể trên và h>0 thì:

Nếu f’(x0) =0, f’’( x0)>0 => x0 minNếu f’(x0)=0, f’’(x0)<0 => x0 max

Ngồi ra cịn một số ứng dụng của đạo hàm trong thực tế như:- Để biết tốc độ tăng trưởng kinh tế

- Để biết được tốc độ phát triển và gia tăng dân số cửa từng vùng miền

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

- Tính tốn vận tốc, gia tốc của chuyển động

<b>1.2 Một số bài toán minh họa về ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.</b>

<i>* Ví dụ 1: Một thợ xây muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích 200m</i><small>3</small>. Đáy bể làm bằng bê tông, thành bể được làm bằng tôn, nắp bể làm bằng nhơm.Tính chi phí thấp nhất để chứa nước( làm trịn đến phần nghìn). Biết giá thành cácvật liệu như sau:

Lời giải: Gọi r,h( m) lần lượt là bán kính đường trịn đáy và chiều cao của hình trụ ( điều kiện r>0, h>0).

<i>−32000r</i><small>2</small> = 0<=> <i>r</i><small>3</small>= ³²⁰⁰⁰<i>_{420 π}</i>

<=> r= <small>3</small>

√

¹⁶⁰⁰<i>21 π</i> = aBảng biến thiên:

r 0 a +<i>∞</i>

f’(r) - 0 +

1m<small>2</small>( nghìnđồng)

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Vậy chi phí thấp nhất để làm bể chứa nước là: 19 405 160 đồng.

<i>* Ví dụ 2: Giả sử hàm sản xuất của một hãng là Q= L</i><small>2</small> +2L+5

√

<i>L</i> . Tính sản lượngcận biên của lao động tại L=100.

Lời giải: Mức sử dụng của lao động L= 100 đơn vị lao động( chẳng hạn 100 giờ laođộng một tuần), mức sản lượng tương ứng là Q= 100<small>2</small> +2.100+5

_√

100 = 10250 sảnphẩm.

Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm L= 100 là:Q’= 2L+2+ ⁵

Lúc này ta tính được x= 10h+ 6 phút thì f(x+a) sẽ bằng 30029 km.

Tính ra, quãng đường xe máy đi được sẽ là: f(x+a)- f(x)= 4 km, a= 6 phút.

Từ đó rút ra được kết luận f(x)/a= 40 km/h, Lúc này mọi người có thể quan sát kimtốc độ của xe máy sẽ đang chỉ tại 40 km/h.

Vậy nên, chiếc đồng hồ công tơ mét trên xe máy chính là một ứng dụng của đạohàm, giúp mọi người thấy được số km mà mình đang chạy. Trường hợp nếu kim chỉsố 0 nghĩa là quãng đường không giảm hay tăng lên, hoặc bạn ngừng chuyển động.

<b>2. Một số ứng dụng của tích phân của hàm một biến số.* Tích phân là gì?</b>

Tích phân là một khái niệm tốn học. Tích phân cùng với vi phân (differentiation) đóng vai trị là 2 phép tính cơ bản, chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng qt hóa. Giả sử cầntính diện tích một hình phẳng được giới hạn bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn như hình tam giác, hình vng, hình thang, hình chữ nhật... Nếu xét một hình phức tạp hơn được giới hạn bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng sẽ xuất hiện các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của các hình thang cong đó.

Cho hàm một số biến thực f(x) xác định trên miền giá trị thực [a, b]. Tích phân xác

định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng Oxy được giới hạn bởi đồ thị của hàm f(x), trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hồnh sẽ được tính vào tổng diện tích, cịn dưới trục hồnh sẽ bị trừ vào tổng diện tích.

cịn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào lý thuyết độ đo<i> (measure). Ví dụ, </i>tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan

<b>2.1 Ứng dụng của tích phân của hàm một biến số</b>

* Ứng dụng của tích phân trong việc đo chiều * Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích * Ứng dụng của tích phân trong việc tính thể tích

<b>2.3 Một số bài tốn minh họa cho ứng dụng của tích phân của hàm một biến số</b>

<i>* Ví dụ 1: Cho hai quả bóng A,B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. </i>

Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va

<i>chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy</i>

ngược lại với vận tốc <i>vB (t)</i> = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (Giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).

<i>(12 −4 t ) dt</i> = 18m

Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là: 16+18=34 cm.

<i>* Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đường parabol: y= x</i><small>2</small> + 4 và đường thẳng x - y+ 4= 0

Lời giải: Đường thẳng x-y+4=0 y= x+4Giải phương trình: x<small>2</small>+ 4= x+4 x(x-1)=0

Diện tích hình phẳng là: S=

∫

¿

(x

<small>2</small>

+ 4) - (x+4)|dx = ∫

¿

x

<small>2 </small>

- x|dx= ∫

¿ ¿

x - x

<small>2</small>

)dx

x= 1x= 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

=

¹₆

* Ví dụ 3: Trong cơng trình xây dựng một cây cầu bằng bê tơng như hình vẽ, ta cần tính thể tích bê tông để xây cây cầu nhằm tránh việc lãng phí hay thiếu vật liệu trong xây dựng

Để có thể tính thể tích của cây cầu, ta chọn hệ trục Oxy như hình vẽ và xác địnhđường cong trong hình vẽ là các đường parabol. Ta sẽ thiết lập các hàm số củaparabol như hình vẽ. Để tính được thể tích của phần bê tơng, ta sẽ tách ra thành tínhthể tích của 2 phần parabol hợp với đáy, sau đó lấy phần lớn trừ đi phần nhỏ, ta sẽcó được thể tích phần cầu được xây dựng 3 hay là thể tích bê tơng cần thiết.

Đầu tiên, ta tính diện tích của hai parabol hợp với đáy trong hình vẽ. Sau đó tínhthể tích bằng tích phân của từng phần diện tích trên. Cuối cùng là lấy phần thể tíchlớn trừ đi phần nhỏ hơn.

Bằng cách tính này, ta sẽ tìm được thể tích bê tơng cần thiết để xây cầu. Mặt khác,khi sử dụng ứng dụng tích phân về thể tích, các kĩ sư có thể thiết kế các cách xâydựng hiệu quả và an toàn hơn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Vậy thể tích của bê tơng là:V= 5.2.

[(

<i>−</i> ¹

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>III. Kết luận:</b>

Qua bài quá trình làm báo cáo chúng em nhận thấy rằng việc tìm hiểu về ứng dụng của đạo hàm và ứng dụng của tích phân của hàm một biến số đã giúp chúng em thu được nhiều kết quả khả quan. Sinh viên có thể khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài tốn thực tế về ứng dụng đạo hàm cũng như ứng dụng của tíchphân của hàm một biến số.

<i><b>Tài liệu tham khảo: </b></i>

- SGK đại số và giải tích 11, SGK đại số và giải tích 11 nâng cao( Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam).

- TS. Nguyễn Thành Nhân. Ứng dụng của tích phân. Khoa toán- tin học, đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

</div>