Luận văn thạc sĩ Toán học: Phân tích phổ toán tử Laplace đẳng biến trên nửa mặt phẳng Poincaré

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.22 MB, 44 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

<small>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</small>

TRINH NGỌC TIEN

PHAN TÍCH PHO TOÁN TỬ „LAPLACE

DANG BIEN TREN NỬA MAT PHANG POINCARE

<small>Chuyên nghành: TỐN GIẢI TÍCH</small>

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THAC SY TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS. TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

1 Kiến thức chuẩn bị

<small>1.1 Hình học và tốn tử viphân ...</small>

<small>1.2 Một nghiệm của phương trình l¿ = s(l—s)@...</small>

1.3 Giải của tốn tử Laplace trên nửa mặt phẳng Poincaré với ø > 1

1.4 Sự đối xứng của toán tử Laplace trên nửa mặt phẳng Poincaré

2 Mơ hình Whittaker cho phổ rời rac

<small>2.1 Hàm Green và phương trình Whittaker</small>

2.2 Phân tích của giải trên nửa mặt phẳngPoincaré với ơ > 3 ¬

2.3. Phương trình —“(y) = '4z2(w) trên [a,os) ...

2.4 Hàm riêng của Laplacian trên không gian Hilbert E = L?([\H)

3 Chuỗi Eisenstein và phổ liên tục

<small>3.1 Phương trình giải trên khoảng 0 < a <3.2 Toán tử Eisenstein và ham Eisenstein</small>

Kết luận

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Mở dau

Trong luận văn này, việc phân tích phổ tốn tử Laplace đẳng biến trên nửa

mặt phẳng Poincaré được sử dụng theo phương pháp phân tích từ lý thuyết nhiễuvà lý thuyết tán xa,ly thuyết phân tích phổ có thể được chứng minh nếu biết cácham Eisenstein tương ứng có cùng loại với thác triển giải tích,và sự liên quan với

SL(2,Z).Thác triển giải tích của họ các toán tử được thực hiện đồng thời cùng

với sự thác triển của nhân của chúng.

Nguồn gốc của phương trình hàm và thác triển giải tích nằm trong phương trình

R(s) — R(s) = [s(1— s) — s(1— s)]|P(s)R(s),

<small>với R(s) là giải của tốn tử Laplace. Thay vì nghiên cứu R(s) ta có cơng thức</small>

R(s) = Q(s) + (T + wQ(s)) C(s) (T + wQ(s)),

cơng thức nay có thể tim ra giải cho toán tử C(s).

<small>Toán tử Laplace Ù được mở rộng thành tốn tử tự liên hợp A trên khơng gian</small>

Hilbert = L?([\H). Chúng ta muốn mơ ta phân tích phổ của A bằng cách

<small>mô tả không gian riêng và tìm ra nhân 7(z,s) được gọi là hàm Eisentein.Hàm</small>

Eisentein thỏa mãn một phương trình hàm nhất định và được gắn với lý thuyết

Cau trúc luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày tóm tắt kiến thức chuẩn bị về tốn tử Laplace trên diện

Chương 2 trình bày mơ hình Whittaker cho phổ rời rạc;

Chương 3 trình bày chuỗi Eisenstein và phổ liên tục.

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức cịn hạn chế nên khi làm luận vănkhơng tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và ý kiến phản

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

biện của quý thầy cô và bạn đọc. Toi xin chân thành cảm ơn!

<small>Hà Nội, tháng 3 năm 2015.Học viên</small>

Trịnh Ngọc Tiến

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Lời cảm ơn

<small>Luận văn này được hoàn thành ngoài sự nỗ lực của bản thân cịn có sự hướng</small>

dẫn tận tình của GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp. Thầy đã dành nhiều thời gian quý

báu của mình để kiên trì hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tơi trong

suốt cả q trình làm luận văn. Tơi muốn bay tỏ lịng biết ơn chân thành và sâusắc nhất tới người thầy của mình.

Tơi cũng muốn gửi tới tồn thể các thầy cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường

Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận

giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia

giảng dạy nhóm giải tích 2012 - 2014 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy

dỗ trong suốt thời gian của khóa học.

Tơi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao<small>học Tốn 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp</small>

đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tỉnh thần để tơi có thể hồn thành khóa

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Trên nửa mặt phẳng H, metric Poincaré được định nghĩa

Dinh nghĩa 1.2. Ham khoảng cách ¢(z, z') bằng chiều dài của đường cong trắc

địa nối hai điểm z va z’.

Để x(t) + iy(t) là đường cong nối ¿ và iyo khi đó chiều dài của nó là

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Định nghĩa 1.3. Cho g là đại số Lie của G tới g là tập các ma trận có uết bằng

0. Cho X € g, toán tử vi phan Lx trên C®S(H) cho bởi

L= ee | am) =-1 “(Labs + Ess).

Dinh nghĩa 1.4. Todn tử L = —y? (& + mm) được gọi là toán tử Laplace trên

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>e Cho ý, € C?(H) và là những hàm thực khi đódxd</small>

với l@(u) = —(u? + u)@”(u) — (1+ 2u)y'(u).

1.2 Mot nghiệm của phương trình i¿ = s(1 — s)y

Ta trình bày một nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất cho toán tử

<small>Laplace trên hàm khoảng cách. Cho</small>

alu) = (us) = TC fe = "(t+ wat

tích phân hội tu tuyệt đối với s =o +77,Ø > Ú và > 0.

Định nghĩa 1.6. Cho hai ham f,g va g > 0 ta định nghĩa f < g nếu ton tạihằng số c sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

iit) @{u,s) = + +O(1) khí u,s > 0;

<small>Chứng minh.</small>

u — oo suy ra y(u,s) = O(u~?) là hiển nhiên.

Bằng tinh toán trực tiếp ta thấy rằng nếu

Mĩ, = (uw? 4 (oy + (14 2u). Eø(1— 5),

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

với 0 < t Su = A(t,u) = B(‡) = O(1). Cho nên

lậu — t)*'A(t, u)dt = O(1)

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>Cho BCTM(H) là khơng gian của các ham C® và bị chặn trên H.</small>

<small>Định nghĩa 1.7. Cho ƒ € BCTM(H). Toán tử tích phân được định nghĩa bởi</small>

y= fare du(z'),

được gọi là tốn tử tích phân có nhân uới hàm hat nhân k(z, 2’).

Định nghĩa 1.8. Cho ƒ € BCTM(H), A là tốn tử đóng cùng uới miền xác định

(4= s =5)1)R(s)ƒ =f

được gọi là giải của toán tử A, uới I là toán tử đồng nhất.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Tích phân về phải là không phụ thuộc vào z. Thật vậy,với g €G ta có

[les u(gz,2'))|du(z' )= f heat u(z,g 'z))|du(2)

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

rae} f f+ f [)=nen

Bo đề 1.2. Choa > 1, ƒ € CX(H). Dat

fi a(t (2!)dy( 2!)

Khi đó, h là C®. Dat M, = L — s(1 — s)1, khi đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Bồ đề 1.3. Nếu ƒ có giá compact ta có

[ie 2) Moe )dul2!) = f6)

<small>Trường hợp f khơng có giá compact, f € BC*(H). Goi w € C£(H) va wy thực.</small>

Xét ham Ey(y) uới Y là số thực dương xác định như sau:

® fy(y) = 1 nếu < Y va &y(y) =0 nếu <sup>> 2Y ;</sup>

© &(y) < g.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Gọi = SL(2,Z). Miền cơ bản F của được cho bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

ở đây ze = 0 với Vdz # 0 khi Y là số rất lớn. Vậy

<small>Dinh li 1.3. Cho f,g € BC(E\H) là những ham thực sao cho Lf va Lg cũng</small>

thuộc ào BCTM(T\H). Khi đó L là đối zứng,túc là

(Lf,9) = (f, Lạ):

Chứng minh. Cho a là một số dương, F, là miền co ban được xác định như sau

r= {ee Hilel> tol <Susat.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Mặt khác khi a + œ thi J, -> 0, vì nếu không tồn tại hằng số c > 0 sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Chương 2

Mơ hình Whittaker cho phổ rời rạc

2.1 Hàm Green và phương trình Whittaker

Định nghĩa 2.1. Cho (a,b) là khoảng thời gian mở có thể là (0,oo).Gọi

M,=-() +pu)

<small>trong đó p là hàm CTM trên (a,b), g(y,y’) trên (a,b) x (a,b) thỏa mãn</small>

My | s(u.v)/(0)4W <sup>= fly),</sup>

uới mọi f € C£°(a,b) được gọi là ham Green cho tốn tử vi phân M,.

<small>Ngồi ra hàm Green cịn thỏa mãn:</small>

GF1. g là ham liên tục,và là hàm CTM theo mỗi biến ngoại trừ trên đường chéo;GF2. g thỏa mãn phương trình vi phân thuần nhất cách xa đường chéo. Tức là,

nếu # # thì M,g(y,y’) = 0.

Bồ dé 2.1. g thỏa mãn GF1,GF2. Khi đó g là hàm Green cho toán tử vi phan

M, khi vd chỉ khi g thỏa mãn điều kiện bước nhay sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

AM, J g(0.)ƒ()d/ = (Dig. y+) — Dig(0.—)]| FY) +S Moy FyDdy’.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Gọi J, K là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất

J“+pJ =0,

Kk" + pK =0.

Khi đó tồn tại hàm Green

900,1) = { BU) N i) khỉ > ự.

<small>Trong đó A, B là hai hàm thỏa man</small>

{ A(y)J(y) — Bly) K(y) = 0.

—A(y)J"(y) + Bly) Ky) = 1.

Goi W = JK' — J'K, khi đó W7” = 0. Nên W là hang số khác 0<small>Khi đó,ta có</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Ví dụ 2.2. (phương trinh Whittaker) Cho s là số phúc, Re(s) >0, e> 1 làsố thực. Đặt :

Bang tính tốn trực tiếp ta có W,() thỏa mãn phương trình Whittaker

c0) =(- ®=”) <sup>ow.</sup>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

V;(y) = move’ Jereg — Đ)]* "at.

2.2_ Phân tích của giải trên nửa mặt phẳng Poincaré với

Cho a > 3 tổng trên I’ được chia thành hai tổng. Dat [9 là nhóm các ma trận

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

e Tổng ý > @(a(z, gz’; s)) được gọi là phần đỉnh;

e Tong 3 >2 œ(u(z, g2; s)) không là phần đỉnh.

Trước hết ta nghiên cứu phần đỉnh.

Cho a > 0,chia miền cơ bản F thành hai phan

R= {ee mlel> biel <5. Sa},

Fix {ee Hilal > 1 <5y2ah.

Khi đó,khơng gian Hilbert FE = L?([\H) = L?(Fo) @ L?(F;)

Dinh nghĩa 2.2. Cho ju là số thực, khi đó ta định nghĩa khơng gian

Pu) — B, (Fo) @® Pu().

e P„(Fq) là không gian của những hàm liên tục trên Fo uới chuẩn sup;

<small>e Đ„(Fl) là không gian của những hàm liên tục f trên Fy thỏa mãn tính chat:</small>

| +)| < U",

| I 2€F; yt

Khi đó B,(F) là không gian Banach.

<small>Định nghĩa 2.3. Cho k(z,z') là ham được định nghĩa trên tích F, x Fj. Ta kí</small>

hiệu k(z, z') = kụ(s, 2’) để hiểu rằng z € F; va z' € Fj.Tu định nghĩa k(z, Z!) là

nhân của loại BỊ, nếu thỏa mãn:

© [kz 2") < (0).

|ku(.z)| < 0)"|Eo(z,z)| < (y's

|kio(z, z')| < (y)".

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Phần đỉnhXét tổng

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

trên (0,00). Hơn nita, my là liên tục va thỏa man phương trinh vi phân thuần

nhất ngồi đường chéo.Do đó my thỏa mãn GF1, GF2 ,GE3.

<small>Chứng minh. Ta có M, = L — s(1 — s). Khi đó với ƒ, g € C(To\H),</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Điều này tương đương với

/ me(y,¥'s 5)lkyh(y)dy = h(y')

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

hay [ má0.:s)0(/)4y'= 000)

<small>Vậy m, là hàm Green cho toán tử z„ (đpem).</small>

Bổ đề 2.3. Cho Re(s) > 1,ta có

mo(usatss) = torus) = 5 | In! sy’ khi y! > y.

Hon nữa,nếu k > 0 thà mg(y, y'3 8) = 9:s2mk(U, y’)- O day Js,c là hàm Green cho

Bồ đề 2.5. Toán tử T(s) có nhân ty, y';s) bị chặn trên LẺ(F1) uới o > 5.

2.3 Phương trình —”(g) = ly) trên [a, 00)

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

A(y,s) = UŸ + e(s)°Š.

<small>Khi đó 0(u, s) là nghiệm của phương trình</small>

<small>Chúng được gọt là cơng thức Eisenstein.</small>

Ta có 1! và @(y, s) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình trên.

<small>Khi đó,ta có hàm Green</small>

<small>Định nghĩa 2.4. Cho f,g € ĐC®S(H). Tích chập của hai ham f(z, z') va g(z, 2’)</small>

uới z,z'C F`,được xác định theo công thúc

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Dinh nghĩa 2.5. Goi A là tốn tử đóng của Laplacian cùng uới miền xác định

DẠ trong không gian Hilbert E = L2(TV\H),Ù được gọi là uectơ riêng của A nếu

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<small>là compact.Khi đó</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

e Ngược lại, giả sử € FE vawRw = , ta chứng minh 3ƒ € Ư_ vawK(s)f = ƒ.

khi đó có hằng số by, cạ sao cho

(a + iy) = boy’ + coy’ * + O(e 7").

<small>Chứng minh. Với moi g € C?S(PXH) ta có</small>

((A— sĩ —3))0,ø) = (0, CA — sl — 3))0)

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Từ đó ta suy ra w là hàm giải tích.Tiếp theo ta có

<small>Khi đó, w có chuỗi Fourier mở rộng</small>

w(a + iy) = ao(y) + » an()c7mx

an(y) = [ve + iy)e "der.

<small>Khi đó, a,(y) thỏa mãn phương trình Whittaker</small>

a" (y) = Ca — =3) an(y). — (1)

Thật vậy,từ Ly) — s(1 — s)q = 0 điều này tương đương với

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Do đó,tồn tại by, Cp sao cho

an) = bnW (4a |r| y) + e„Vs(4m |r| 9).

<small>Trong đó W,, V, là nghiệm của phương trình Whitteker (1).Với W,(), Vs(y) được</small>

Trong đó W,(y) là nghiệm giảm theo cấp số nhan,V,(y) là nghiệm tăng theo cấp

số nhân.Vậy nếu € LÝ hoặc j € B, thì c, = 0. Khi đó,tồn tại y; sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

W(x + iy) = ag(0) + O(e*TM).

Tiếp theo, øo() là nghiệm của phương trình

ag(/) = —==.

Do đó,tồn tại bọ, co sao cho

ag(y) = bụyŸ + cu"

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Chương 3

Chuỗi Eisenstein và pho liên tục

3.1 Phương trình giải trên khoảng 0 < oa < 2

Cho k > 3,R= R(k),7 = T(k),V =V{(k),

<small>Ta có phân tích R= T+ V.Phương trình giải co bản là</small>

<small>Định nghĩa 3.1. Cho ánh ta s c> K(s) là họ các hàm giải tích của tốn tử</small>

<small>compact từ khoảng 0 < ø < 2,vao trong không gian của toán tử compact trên B +.</small>

Điểm s thỏa mãn s = 5 hoặc I —wK(s) là không kha nghịch, thà s được gọi là

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Điều này có nghĩa là J — w(s)R là khơng khả nghịch, hay s là điểm ki di (mau

thuẫn với giả thiết).

Bổ đề 3.2. Cho s là không ki dị trên < ơ < 3,toán tử

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

3.2 Tốn tử Eisenstein và ham Eisenstein

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

Kết luận

Luận văn dành cho việc phân tích phổ của toán tử Laplace trên nửa mặt phẳng

Poincaré.Dé tài nằm trong chương trình Langlands và có ứng dụng trong lý thuyết

số hiện daily thuyết biểu diễn,giải tích điều hịa.

<small>Nội dung chính của luận văn là:</small>

<small>e Trinh bày chuỗi rời rac đưa đến mơ hình Whittaker ( Dinh lý 2.2 của Maass,Dinh</small>

<small>e Trinh bày giải R(s) trên không gian # (Định lý 3.1) va phương trình ham cho</small>

tốn tử C(s) ( Dinh lý 3.2 );

<small>e Trình bày các hàm Eisenstein như hàm riêng của toán tử Laplace(Bài 3.2) và</small>

liên hệ với pho liên tục.Các chứng minh được dẫn giải chi tiết nhiều so với tài

Tuy nhiên dù đã rất cố gắng nhưng khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong

được sự góp ý của thầy cơ và bạn đọc.

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

Tài liệu tham khảo

<small>[1] S. Lang, SZ(2,R), Springer - Verlag, New York - Berlin - Heidelberg —</small>

<small>[2| T.Kubota, Elementary Theory of Eisenstein Series, Kodansha LTD Tokyo</small>

<small>John Wiley & Sons, New York - London - Sydney - Toronto, 1973.</small>

</div>