Luận văn thạc sĩ khoa học: Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (13.95 MB, 99 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. DANG ANH TUẦN

Hà Nội - Năm 2012

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

1P?{T) gian các hàm có lũy thừa bậc p của modun khả tích trong I

<small>T1.(1) khơng gian các hàm có lũy thừa bậc p của modun khả tích địa phương trong Ï</small>Varyu biến phân của hàm wu trong 7

BPV() không gian các hàm có biến phân bị chặn trong 7

BPV;„(T) khơng gian các hàm có biến phân bị chặn địa phương trong I

AC(1) không gian các hàm liên tục tuyệt đối trong J

AŒ,«(1) khơng gian các hàm liên tục tuyệt đối địa phương trong I

M*(T) tập các hàm đo được không âm h.k.n trong I

|_| kết thúc chứng minh hoặc ví du.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Mục lục

<small>LGi cam On...) -.... AIDanh mục các kíhiệu...Ặ 0004Lời nói đẫu ... Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q k k sV</small>

1 Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ do và tích phân Lebesgue ... .

1.3 Hàm có biến phân bị chặn ... 2... 0202020000000 00000081.4 Hàm liên tục tuyệt đối oe

2 Các bất dang thức kiểu Hardy một chiều

2.1 Bất dang thức Hardy gốc trong không gian một chiều...

2.2 Các bất dang thức kiểu Hardy một chiều ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Loi nói đầu 4

Lời nói đầu

Bất đẳng thức liên quan đến tích phân của một hàm và đạo hàm của hàm đó xuấthiện thường xuyên trong các ngành khác nhau của tốn học và đó có thể coi là một

cơng cụ hữu ích trong tốn học, ví dụ trong lý thuyết và bài tập của phương trình viphân, trong lý thuyết xấp xỉ, trong xác suất,... Trong những thập kỷ qua, chủ đề này

tiếp tục được mở rộng. Một trong những bất đẳng thức liên quan đến tích phân quantrọng đó là: Bất đẳng thức Hardy.

Năm 1920, G.H.Hardy đã chứng minh được bất đẳng thức Hardy ở dạng cơ bản

trong không gian một chiều. Nhưng chứng minh của ông chưa được đầy đủ vì chưa tìm

ra được hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức. Năm 1926, E.Landau đã chỉ ra được giátrị tốt nhất của hằng số trong bất đẳng thức.

Những năm sau đó nhiều nhà tốn học đã nghiên cứu độc lập và tìm cách mở rộng

bất đẳng thức Hardy cổ điển. Trong các hướng mở rộng có hướng mở rộng lớp hàm

trọng, nghĩa là các hàm đo được và dương hầu khắp nơi. Luận văn của tơi tìm hiểu vềbất đẳng thức Hardy trong khơng gian một chiều và một số bất đẳng thức kiểu Hardy

<small>khi mở rộng theo hướng thêm các “hàm trọng”. Luận văn được chia làm hai chương.</small>

Chương 1: Cơ sở lý thuyết.

Trong chương này, tơi trình bày các kết quả liên quan đến sự khả vi, khả tích Lebesgue<small>của các hàm đơn điệu dựa trên tài liệu tham khảo [1] của Hoàng Tuy, Định lý Funini</small>

về việc chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng dựa trên tài liệu [2] của Ralph Howard, hàm

có biến phân bị chặn va hàm liên tục tuyệt đối dựa trên tài liệu tham khảo [3] của

Giovanni Leoni. Phần cuối của chương này đã chứng minh được kết quả quan trọng,đó là định lý cơ bản của phép tính vi tích phân đối với tích phân Lebesgue.

Chương 2: Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều.

Trong chương này, tơi trình bày chứng minh bất đẳng thức Hardy gốc dựa trên tài liệu

tham khảo [5] của D.T.Shum. Sau đó trình bày sự mở rộng của bat đẳng thức Hardykhi bổ sung thêm các hàm trọng, và đã chứng minh được các điều kiện ràng buộc đểcác kiểu mở rộng là đúng dựa trên tài liệu tham khảo [4] của B Opic and A Kufner.

Vì trình độ cịn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót, tác giảhy vọng sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp từ các thầy cơ giáo và bạn đọc để luận

<small>văn được hoàn chỉnh hơn.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi sẽ đề cập đến một số tính chất của các hàm đơn điệu, các

hàm có biến phân bị chặn và các hàm liên tục tuyệt đối. Các hàm này có vai trị quan

trọng để chúng ta nghiên cứu về bất đẳng thức Hardy cũng như các bất đẳng thứckiểu Hardy.

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích

<small>được gọi la độ do ngoài Lebesgue trên R.</small>

Hàm tập p* là một độ do ngồi trên R như vậy ta có thể ấp dụng định lý

Caratheodory để xây dựng một độ đo trên R, đó chính là độ do Lebesgue.

<small>Định nghĩa 1.1.2. /1/(D6 do Lebesgue) Cho ham p* : £ —> [0,00] trong đó £ là lớp</small>tat cả các tập con A của R sao cho

<small>là độ do Lebesgue trên R, ky hiệu là yp va A được gọi là tập do được Lebesgue.</small>

Theo định lí Caratheodory thì lớp các tập đo được Lebesgue £ là một ø- đại số .

Chú ý 1.1.1. Định nghĩa 1.1.1 có thể thay bằng

<small>tÈ(A4) = inf{ > Ai]: U A; > A, A; là khoảng mở, i = 1,2,...}.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue 6

Khi đó với mọi e > 0 thì tồn tại các khoảng mở A;, i = 1,2,... sao cho UJ) A; D A và<small>¡=1</small>

<small>Dinh nghĩa 1.1.3. /1/(Tap mở) Một tập hop G trong không gian métric X được got</small>

là tập hợp mé nếu mỗi điểm a € Œ đều có một lân cận V của điểm a sao cho VC G,

điều nay tương đương vdi điều kiện: uới mọi a € G tồn tại r > 0 sao cho hành cầu mở

<small>Dinh nghĩa 1.1.4. /7/(Tập đóng) Tập F trong khơng gian métric X được gọi là tập</small>

đóng nếu F° = X\F là tập mở.

Định nghĩa 1.1.5. /1/(Phần trong) Cho một tập hợp A trong không gian métric X.

Diểm « € X được gọi là điểm trong của tập của tập hợp A nếu tồn tại một lân cận V

của x sao cho œ € V C A; điều nay tương đương uới điều kiện ton tại một số r > 0 sao

cho hành cầu B(œ,r) C A. Tập hợp tat cả các điểm trong của A ky hiệu A° hoặc intA.

Định nghĩa 1.1.6. /1j/(Tập compact): Một tập hop A C R” gọi là tập compact nếu

moi day điểm {x,}, C A đều có một day con {xz,}, hội tụ đến một giới hạn thuộc A.

Định nghĩa 1.1.7. /1/(Tap Borel) ơ— đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong

không gian R được gọi là øơ— đại số Borel của không gian R va những tập thuộc ơ— đạisố nay được gọi là tập Borel trong không gian R. Tập Borel là những tập xuất phát từtập mở va thực hiện một số hữu han hay đếm được phép toán hợp, giao trên các tập

Mệnh đề 1.1.1. /1/Moi tap Borel đều do được Lebesgue.

Chứng minh: xem [1].

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue ĩ

Dinh lý 1.1.1. /1/Cho pp : £ — [0,00] là độ do, A¿,¡ = 1,2,... là các tập do được,<small>AiC Ap Cc... va |J A; là tập do được. Khi đó</small>

(Qs) -moe

<small>Chứng minh: xem [1].</small>

Dinh lý 1.1.2. /7/Dối uới một tap A trên R ba điều kiện sau là tương đương :<small>i) A do được Lebesgue.</small>

it) Với mỗi e > 0 có thể tim được tap mở GD A sao cho p*(G\A) <e.

iti) Với mỗi e > 0 có thể tim được tập đóng F C A sao cho p*(A\F) <e.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue

Trong trường hợp đặc biệt A là các gian thì Ey = Ø và ta có thể viết như sau:

Va ER, Ey = {xe A:f(2)<a} € CL.

Định nghĩa 1.1.9. /1/(H6i tu hau khắp noi) Day ham {ƒ„} được gọi là hội tụ h.k.nvé ham số f(x) trên A € L nếu ton tại một tập B C A,B € L,u(B) = 0 sao cho

<small>Định nghĩa 1.1.10. /1/(Su hội tụ theo độ đo) Cho A € £ va fi, fo, fs,... là những</small>

hàm do được hữu hạn h.k.n trên A. Day {ƒ„} được gọi là hội tu theo độ do đến f(x)

va ky hiệu là ƒ„ “> f trên A nếu

lim ø({z€ A:|falx) — f(x)| > 2}) =0.

Nói cách khác uới mọi e > 0, vdi mọi ồ > 0, tồn tại nạ € N sao cho

Vn€Ñ:n > nạ thi wae A:|fz(z) — ƒ(+)| > e}) < Š.

<small>Định nghĩa 1.1.11. /7/(7ích phân của hàm đơn giản) Cho ham A là tập do được,Ƒ:A— [-s, +00] là ham don giản, do được trên A. Gọi fi, fo,...fn là các giá trị khác</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue 9

Định nghĩa 1.1.12. /7/(Tích phân của ham khơng âm) Cho A là tập do duoc Lebesgue,

ham f : A — [0,+oo] là hàm đo được. Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các ham đơn

giản do được f,(x) > 0 hội tụ h.k.n vé f(x) trên A. Tích phân của ham f(x) trờn Ai ui o p l

J,.ơ 1s.

A ‘A

Dinh nghĩa 1.1.13. /1/(Tích phan của ham có dấu bat ky) Cho A là tập do được

<small>Lebesgue, ham f : A —> R la ham do được trên A. Khi đó ta có</small>

f(a) = f* (a) — f(a) voi f(a), f(a) 2 0.

Các ham số ƒ*(#), f- (x) có tích phân tương ứng trên A với độ do p la

Dinh ly 1.1.4. /1/(Bo dé Fatou) Nếu ƒ„(z) > 0 trên A thi

/ lim f,(x)du < lim | fu(ø)dụ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue 10

Định nghĩa 1.1.14. /7/(Khơng gian L?(E), (1 < p < «))Cho khơng gian R, E là tập

do được Lebesgue va mét độ do u. Họ các hàm số f(x) có lũy thừa bậc p (1 < p < ®)

<small>của modun kha tích trên E, túc là sao cho</small>

| 1160104 <<

<small>gọi là không gian LP(E).</small>

Ham số f(x) đo được trên F gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại một tập hợp P cóđộ đo 0, sao cho f(x) bị chặn trên tap hợp E\P, tức là tồn tại số K sao cho

Cận dưới đúng của tập hợp tất cả các số thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là cận

trên đúng cốt yếu của ham f(x), được kí hiệu là esssup |ƒ(z)|.<small>E</small>

Định nghĩa 1.1.15. /1/(Xhơng gian L®S(E))Họ tat cả các ham f(x) bị chặn cốt yéu<small>trên E được gọi là khơng gian L®(E).</small>

Mệnh đề 1.1.2. /1/Néu ham f(x) € L*(F) thi

Định lý 1.1.7. /1/(Bat đẳng thúc Minkowski) Cho ham do được dương K(z,) xác

/ [cea] dx sf [wean “Wy

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue 11

Chứng minh: xem [1].

Chú ý 1.1.3.Bất đẳng thức Minkowski cịn có thể viết dưới dạng:

L/ f(z) [am] +) < [ow L/ lon] a

với f(x), y(y) là các hàm do được không âm h.k.n trên [ø, b|.

KT email fla) n Fy Ít te)fla)ea ñ

[oo frre) se Joti f mere

- [su L/ joa) a (1.1.2)

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue 12

Mệnh dé 1.1.3. /3/Cho E CR, E là tập do được Lebesgue va v € L?(E),1 < p< oo.

Khi đó 0 là kha tích đều (equi-integrable). Nếu chi giả sử € Li.(E) thà kết qua khong

Chứng minh. a) Cho v € LP(E),1 < p < oo, chứng minh rằng 0 là khả tích đều <small>integrable).</small>

(equi-Trước tiên ta chứng minh với p = 1. Ta có v € LI(E).

Giả sử v khơng khả tích đều, nghĩa là: Ton tại e > 0 để với mọi n > 0, tồn tại tập đođược Lebesgue „ C # mà /(Ƒ„) < sxz và f |o(z)| dư > e.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

1.1. Nhắc lại một vai kết quả trong độ do va tích phan Lebesgue 13

Vay v là khả tích đều trong trường hợp p = 1.

<small>Khi đó ta phải chứng minh với 1 < p < œ.</small>

Nếu v(x) = 0 h.k.n trên EF. Khi đó điều phải chứng minh ln đúng.Nếu # 0 h.k.n trên E.

<small>Ta chứng minh với 1 < p < oo.</small>

Lấy bất kì e > 0 và F C E với F là tap đo được. Theo bất dang thức Holder ta có:

Pp p q qJirellee < feo de Jul dv),

với p, q là hai số thực sao cho h + : =1.

Do v € J?(#) nên f |u(z)|“dz là hữu hạn.

Do J u(x )| da đương thi ton tại số K để 0 < K < J |v(x) )Pdx < œ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

< [ oto ae wiry)? s KS)" <e.

Vay có điều phải chứng minh v là khả tích đều với 1 < p< oo.

<small>Ta chứng minh với p = oo.</small>

Vậy có điều phải chứng minh v là khả tích đều với p = oo.

b) Nếu v € Lj,.(E) thì kết quả khơng cịn đúng.

Lay v(x) = + va E = (0,1) thì ta có v € Lj, (EZ).Đặt F, = [4,2] ta có

% š " 2

Vậy v khơng là khả tích đều.

1.2 Ham đơn điệu

Trong giải tích thì lý thuyết về các hàm đơn điệu được nghiên cứu từ rất lâu và cáctính chất của nó khá nhiều và quan trọng trong giải tích. Sau đây tơi xin đưa ra mộtsố các tính chất liên quan đến tính khả vi và khả tích Lebesgue của các hàm đơn điệu.

Ư day tơi chỉ xét với các hàm đơn điệu tăng còn với các hàm đơn điệu giảm tương tự.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Dinh nghĩa 1.2.1. /1/Cho E CR. Một hamu: E > R được gọi là

i) tăng nếu u(x) > uly), Va,y € E với # > y,

ii) tang chặt nếu u(x) > uly), Va,y € E uới z > y,iti) giảm nếu u(x) < uly), Vr,y € E vdix > y,

iv) giảm chặt nếu u(x) < u(y), Vrz,y € E uới x > y,v) don điệu nếu bat kỳ một tính chat ở trên đúng.

Dinh lý 1.2.1. /1/Ham số u(x) đơn điệu tăng trong [a,b] thi có đạo ham hau khắp nơi

trên đoạn ấu.

Để chứng minh Định lý 1.2.1 ta đi chứng minh các bổ đề sau.

Bổ đề 1.2.1. ///Cho tập bat ki A C (a,b), Q là một lớp khoảng, sao cho mỗi điểm

x € A đều là đầu mút trái của ít nhất một khoảng A = (œ,z+h„) € Q. Khi đó cho trướce > 0 tay ú thì ta ray dung được một số hữu hạn khoảng rời nhau Ay, Ao, ..., As € Q

<small>Chứng minh. Dat</small>

An={a € A: dh, > + sao cho (x, 2 + hy) € ©}.

Khi đó A = U A„. Thật vậy.

Ta ln có A.c A,n = 1,2,... nên U An CA.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

p(B) = lim g(E,,).

lim (An) = lim H(En) — HE).

Nếu B; = Ø thi dừng lai. Nếu B; 4 Ø thì gọi ay = inf By.

có một khoảng Ag = (72,22 + hạ) € © có độ dài hạ > 4+. Cứ thé tiếp tục mãi thì ta sẽ

đạt tới bị sau một số s bước với s < mỉ + 1, vì đoạn [ay, bị] có độ dài là 7 mà mỗi bước

ta nhích lại gần b¡ một khoảng lớn hơn + nên sau s bước thì tap B, = @ và khi đó ta

<small>dừng lại. Khi đó ta có được các khoảng A¡,..., Ag.</small>

<small>Đặt A’ = A, LU Aj, có các khoảng Aj,..., A, phủ lên A’.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Bổ đề 1.2.2. /1/Cho tập bat ki A C (a,b) va Q là một lớp khoảng sao cho tới moi

số ị > 0 nhỏ tay ý, mỗi điểm + € A đều là đầu mit trái của it nhất một khoảng

A = (2,2 + h„) € Q tới h„ <n. Khi dy uới một tập mở bat kỳ GD A vac > 0 tùy

ú cho trước, ta có thể chọn được một số hữu hạn khoảng rời nhau Ay, As,....A, nằm

<small>tron trong G, va phủ lên một tập con A’ C A uới nÈ(4) > p*(A) —e.</small>

<small>Chitng minh. Goi</small>

Lay x € A bất kỳ. Do G là tập mở và G D A nên tồn tai 7, > 0 sao cho

(z—?n,z+m) CG.

Với c € A, m > 0 thì theo giả thiết về © tồn tai h„ € (0,7) sao cho (1,2 + h„) € 9.

Ap dụng Bổ đề 1.2.1 cho lớp Q, thì ta có điều phải chứng minh.

Tương tự như Bồ đề 1.2.2 ta cũng có bổ đề sau

Bổ đề 1.2.3. (1ÌCho tập bat ki A C (a,b) va Q là một lớp khoảng sao cho vdi mọi

s6n > 0 nhỏ tay ý, mỗi điểm x € A đều là đầu mút phải của ít nhất một khoảng

A =(œ— h„,z) € Q tới h„ <n. Khi dy uới một tập mở bất kỳ GD A vac > 0 tùy

ú cho trước, ta có thể chọn được một số hữu hạn khoảng rời nhau Ay, A¿,....A, nằm

<small>tron trong G, va phủ lên một tập con A'C A uới p*(A') > p*(A) —e.</small>

<small>Chứng minh Dinh ly 1.2.1.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

D, = lim int {MEO okt

= sup int {ME BME) 9 cecal,

tồn tại khi và chỉ khi D_(x) = D~(z).

Điều kiện cần va đủ để có đạo hàm +(z) tại điểm a là

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Do tính trù mật của tập Q nên tồn tại po € Q để Dy (x) < po < D†(z).Lại có po < D†(z) nên tồn tại qo € Q để po < qo < D†(#).

Khi đó tồn tại po, qo € Q để Dy(x) < po < qo < DT(z) nên # €

<small>Apgay-Dodóz€ U Apg, hay tacó AC U Apy.</small>

Do 4= U A,, là hợp đếm được của các tập A,, nên để chứng minh ø*(4) = 0 ta sẽ

<small>chứng minh p*(A,,) = 0 với mỗi p,q € Q.</small>

Giả sử ngược lại rằng có một tập Apg có [t*(Apg) = œ > 0.

Lấy một số e > 0 bat kỳ. Khi đó theo Chú ý 1.1.1 sẽ tồn tại một tập mở G A„„ sao

U(G) < p*(Apg) te =a+e.

Lay x € A„„ thì ta có D,(z) < p, hay

{ut +k) —u(z)

;0<k<h} <p

int {Me och cab <p

Khi đó với mỗi h > 0 đều có k = k(z,h) € (0,h) để

Ap dụng bổ đề 1.2.2 cho tập Q, tập mở G và e > 0 thi có một số hữu han khoảng

rời nhau (%;,¿ + k(a;,h;)) với i = 1,...,r nằm trọn trong G, và phủ lên một tập con<small>A’ C A„ với HÈ(A') > ae.</small>

S ` k (ai, hi) < u(G) <a+E,

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Uw (A") > (A) —€ > a 2e.

u (: (U (a;, 0; + k( aj, )) = » (u(x; + k(œ¡, hị)) — u(a;)). (1.2.5)

<small>Tương tự cũng do u(x) là hàm đơn điệu tăng và (1, ; + i(g;, h;)) là các khoảng rời</small>

ụ (: (U (U;. 1; + wn) = À (0w + Uys, hy) — 0(w))- (1.2.6)

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

cứ + 2q) < e(|p| + 2|a|) = œ(q ~ ?).

Điều này mâu thuẫn với a(q — p) < e(p + 2q) đúng với mọi e > 0 bất kỳ.Do đó điều giả sử là sai, nghĩa là y*(A,,) = 0 hay f(A) = 0.

Vậy D.(z) = D*(x) hầu khắp nơi.

Bằng cách lập luận tương tự và dùng Bổ đề 1.2.3 ta cũng chứng minh được D_(x) =

DF(z) hầu khắp nơi.

Mặt khác trong lập luận trên có thể thay D+(x) bằng D~(z): mỗi điểm x € A’ sẽ là

đầu mút phải của những khoảng nhỏ tùy ý (x — 1, x) với u(x) — u(œ — 1) > Iq, và cũng

theo cách trên ta có D,(x) > D~(z) hầu khắp nơi. Tương tự thé D_(z) > DT(ø).

Vậy D,(z) = DT(z) = D_(z) = D (z), tức là w'(z) tồn tại hầu khắp nơi trên đoạn

la, Ù].

Định lý 1.2.2. /1/Néu u(x) là hàm đơn điệu tăng trong [a,b] thà u'(x) là khả tích<small>Lebegues trên [a,b] va</small>

[eae < u(b) — u(a).

Chứng minh. Do u(x) là ham đơn điệu tăng nên

u(a + h) — u() > 0,Vz € [a,b]

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Dat u(x) = u(b) với > b. Vi u(x) khả tích Riemann nên tích phân ở về phải của

(1.2.9) có thể hiểu theo nghĩa Riemann. Đổi biến số, ta có thể viết tích phan dưới dang

| ula + _ =U) oy = : [wa - © Paya

= ; / u(t)dt + [wc — Paya

<small>Vay u’(x) là khả tích Lebesgue trong [a, b|.</small>

Dinh lý 1.2.3. /2/(Dinh ly Fubini trên từng số hang kha vi của chuỗi vdi các số hạng

đơn điệu) Cho ux : [a,b] + R là các hàm đơn điệu tăng, k = 1,2,... tà cho chuỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>Chứng minh. Dat</small>

<small>E={ x € [a,b] : u không kha vi tai x}</small>

<small>E,={ x € [a,b] : u„ không khả vi tai z} ,k = 1,2,...</small>

Do ứ¿ là các hàm đơn điệu tăng trong [a, b] nên uz kha vi hầu khắp nơi trong [a, b]. Do

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

u(r) = yu u,(x) h.k.n trong [a, b|.

<small>g(x) > 0 h.k.n trong [a,b] nên '(+) — g(x) = 0 h.k.n trong [a,b]. Vậy</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

1.38. Hàm có biến phân bi chặn 25

1.3 Ham có biến phân bị chặn

Cho một gian J C R. Tập tất cả các hàm đơn điệu % : J — R khơng là một khơng

gian vectơ, bởi vì nói chung hiệu của các hàm đơn điệu không đơn điệu. Trong phần

này chúng ta mô tả đặc điểm của không gian vectơ bé hơn của các hàm u: I > R có

chứa tất cả các hàm đơn điệu.

Định nghĩa 1.3.1. /3/Cho ham u(x) xác định trên đoạn [a,b|. Khi đó biến phân của

hàm u(x) trên đoạn [a,b| kí hiệu Varia yu hoặc V}(u) là cận trên đúng của các số

» |u(¡) — u(ai-1)|

lay theo tất cả các cách chia đoạn [a,b] bởi những điểm a = x < #\ <... < #„ = b (n

là số tự nhiên tay ú), hay

Varjapju = sup > |u(%¿) — M(#;¿_1)|: 6 = #o <4) <... < Uy = 7 .

Ham u(x) gọi là có biến phan bị chan nếu Varl,uiu < 00.

Khơng gian tất cả hàm có biến phân bị chặn trong đoạn [ø, b] kí hiệu là BPV ([a, b]).Cho khoảng J C R, và một hàm u: J > R được gọi là có có biến phân bị chặn địaphương nếu Wartz,iw < o với moi [a,b] C I. Không gian tất cả các hàm u: J + R cóbiến phân bị chặn địa phương kí hiệu là BPY,,.(J).

<small>Chú ý: BPVicc ((a, b)) = BPV ((a,b)).</small>

<small>Vi du 1.3.1. Cho u(x) là hàm xác định va đơn điệu trong [a,b]. Thi ta có u(x) €BPV ({a, 8]).</small>

Lay bat kỳ cách chia đoạn [a,b] bởi những điểm chia a = 7 < 41 <... < #„ = b.

Do u(a) là hàm xác định và đơn điệu trong [a, b] nên ta có

À2 |u(2i) — u(ai1)| = M(#a) — 8(#g) = u(b) — u(a) < 00

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

1.38. Hàm có biến phân bi chặn 26Dinh lý 1.3.1. /3/Ham số u(x) có biến phân bị chan trong đoạn [a,b| khi va chỉ khi

nó là hiệu của hai hàm số đơn điệu tăng.

Chứng minh. a. Diều kiện cần. Giả sử ham u(x) có biến phân bị chặn trong [a, b|.<small>Dat V(x) = Varla„ju < Varlaiw < © với x € [a,b] và</small>

(V(x) + u(a)),(V(x) — u(#)).

<small>Ta sé chứng minh w(x), ua(#) là các ham đơn điệu tăng trong [ø, b] vau(x) = u1(#) — uạ(#).</small>

Lay +,” bất kì sao cho ø <a! <a” <b.

Lay bất kì một cách chia đoạn [a, #] bởi những điểm chia a = x < 2 <... < #„ = #".Khi đó tập hợp {Zo,#:,...,#„,#”} là các điểm chia của [a, z”“] nên

3 }|u(0i) — 0ø 1)| + |u(#”) — ul2’)| < Varja anu = V(0").

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 27

Hệ quả 1.3.1. Nếu một ham u € BPV ([a,b|) thà u có đạo hàm h.k.n va u" khả tích

Lebesgue trong [a, b|.

Hệ quả 1.3.2. Nếu u € BPVio-((a,b)) thà u khả vi h.k.n trong (a,b) va ul khả tích

<small>Lebesgue địa phương trong (a,b).</small>

Chứng minh. Theo Chú ý 1.1.2 ta có thể viết (a,b) = Ù Ky, với lạ là các tập

compact. "

<small>Do đó u khả vi h.k.n và (+) khả tích Lebesgue trong K,, với = 1,2,...Vậy u khả vi h.k.n và (+) khả tích Lebesgue địa phương trong (a, Ù).</small>

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối

Hàm Cantor cho thấy rằng những hàm đơn điệu ở định lý cơ bản của phép tính vi

<small>tích phân khơng đúng cho tính phân Lebesgue. Thật vậy</small>

Teea =0< (1) — u(0) = 1.

Để định lý còn đúng trong trường hợp tích phân Lebesgue, ta cần han chế các ham

này tới một lớp hàm con của các hàm có biến phân bị chặn. Điều này dẫn tới khái

niệm liên tục tuyệt đối.

Định nghĩa 1.4.1. /3/Cho đoạn I Cc R. Một ham số u: I 4 R được gọi là liên tục

tuyệt đối trên I nếu uới mỗi e > 0 tồn tại ồ > 0 sao cho uới moi hệ hữu hạn các khoảng

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 28

liên tục tuyệt đối trong mọi đoạn [a,b] C J. Không gian của tất cả những hàm liên tụctuyệt đối địa phương u : J — R được kí hiệu là: ACj,<(J).

<small>Ví dụ 1.4.1. Các ham u(x) kha vi mọi nơi trong [a,b] va có dao ham bi chan trong</small>

[a,b] thà u(x) là ham liên tục tuyệt đối trong |a, b.

Lay e > 0 bất kỳ, va lấy một hệ hữu han các khoảng (ø,b),..., (œ,b¿) rời nhau,

lax, by] C Ijk = 1,..,1.

Do w'(x) bị chặn trong [a,b] nên tồn tại M > 0 để |'(z)| < M,Vz € [a,b].

Lại có u(x) khả vi trong [ag,bz},k = 1,...,/ nên theo định lý Lagtange thì tồn tại<small>Ck € (x, by) sao cho</small>

(by) — u(ag) = u! (cr) (dr — ax) < M (by — ay).

<small>Chon 6 = +. Khi đó với hệ hữu hạn các khoảng (a1, bị),..., (av, by) rời nhau, |az, by] C</small>

Mệnh đề 1.4.1. /3/Cho một khoảng I C R va hàm số u: I > R. Khi đó u € AC(T)

khi va chỉ khi uới mỗi ec > 0 ton tại 6 > 0 sao cho uới mọi hệ hữu hạn các khoảng<small>l</small>

Chứng minh. a. Diéu kiện cần: Giả sử hàm + : J > R là liên tục tuyệt đối.

Lay e > 0 bất kỳ, theo định nghĩa của hàm liên tục tuyệt đối thì tồn tại ổ > 0 sao cho<small>với mọi hệ hữu hạn các khoảng (ai, bị), ..., (a, bạ) rời nhau, [@z, by] C 7,k = 1,..,) và</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 29

Do đó tồn tại ổ > 0 sao cho với mọi hệ hữu hạn các khoảng (øi,Ðị),..., (a7, bị) rời nhau,

Ta cần chứng minh € AC(J), hay ta cần chứng minh với mỗi e > 0 tồn tai 6’ > 0 sao

cho với mọi hệ hữu han các khoảng (ay, b1),..., (ai, b¡) rời nhau, |ag,b„| C I,k = 1,..,1

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 30

<small>Do các khoảng (ax, by), k = 1,..,Í với u (bp) > w (ax) là rời nhau, và</small>

» (Ủy — ay) < À ` (bk — ax) )< by

S> (u(b¿)T— w(az)) <5 (1.4.2)

<small>Tương tự trong trường hợp với các khoảng (ag, by), k = 1,..,1 ma u (by) < u (az) ta có</small>

Chứng minh. Gia sử |u'(x)| < M,V+ € I.

Để chứng minh € AC(J) cần chứng minh: Với mỗi e > 0 tồn tại ổ > 0 sao cho

với mọi hệ hữu hạn các khoảng (ai, 61), ..., (a, b¿) rời nhau, [a,, by] C 7,k = 1,..,l và

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 31

Lay e > 0 bất kỳ, ta chọn 6 = # > 0. Khi đó với mọi hệ hữu hạn các khoảng

(iii) Nếu v(x) > 0,Vz € [a,b] thi * € AC ([a, |).

<small>Chứng minh. (i) Ta chứng minh u+v € AC ([a,6]). Trường hợp u — v € AC (a, b])</small>

<small>tương tự.</small>

Lay e > 0 bất kỳ, và lấy bất kỳ một hệ hữu hạn các khoảng (ay, bị),..., (a), bị) rời nhau

Dou € AC ({a, b]) nên tồn tại 6; > 0 sao cho với hệ hữu hạn các khoảng (a1, bị) , ..., (a1, bị)<small>1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 32

Do đó tồn tại 6 = min (ổi, 52) > 0 sao cho với hệ hữu hạn các khoảng (a1, 61) ;..., (ai, bị)

Lay e > 0 bất kỳ, và lấy bất kỳ một hệ hữu han các khoảng (ay, bị),..., (a), b:) rời nhau

Dou € AC ({ø, b|) nên tồn tai, > 0 sao cho với hệ hữu hạn các khoảng (a4, bị) ,..., (az, bz)

rời nhau, [ag, ¿| C [a,b], k = 1,..,Í và > (by — ay) < ổi thì

À ` |(we) (bx) — (we) (ax)|

= 2 lu 0 (by) — u(dg)-v (de) + 0(b¿).0 (ap) — 0(ax).0 (a) |

= Du U (be) — 0 (ag)) + 0 (ax) (0(by) — u(ax))|

< }_ lube). (0 (be) — 0 (ax) I+ 4 (ax) (u(b„) — u(ax))|

< M1 Ề ` |ø (bx) — 0 (ax) )|+ MS Jul by) — u(ag)|. (1.4.9)

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 33

Do đó tồn tại 6 = min (ổi, 52) > 0 sao cho với hệ hữu hạn các khoảng (a1, 61) ;..., (ai, bị)

[a, b], tức là tồn tại #o,#ạ € [a,b] sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 34

k=1 0(b¿) k=l U (by) .U (ax)

! 1

Do đó tồn tai 6 = min (6,52) > 0 sao cho với hệ hữu han các khoảng (ay, bq) , ..., (a1, bị)<small>I</small>

<small>Hệ quả 1.4.1. Cho u,v € ACioc ((a,b)). Khi đó:</small>

(iii) Nếu v(x) > 0,Va € (a,b) thà # € AC. ((a, b)).Chứng minh. Lay [c,d] C (a,b) bat kỳ.

<small>Do u,v € ACioc ((a, b)) nên u,v € AC ([c, d]).</small>

Theo mệnh đề ở trên ta có utv € AC ([e,đ]), wv € AC (|e, đ]) va * € AC ([e, đ]).

Do đó ta có được các tính chat (i) - (iii).

Ta có hàm hằng là một một hàm liên tục tuyệt đối, do đó nếu v(x) = c = const<small>và u € AŒI,¿(œ,b) thì cv € ACioc(a, b). Như vậy AŒi.(ø, b) lập thành một không gian</small>

Bổ đề 1.4.1. [3]Cho J CT là một khoảng con bị chặn va u : J + R là ham số liên

tục tuyệt đối trên J.

i) Khi đó có thể mở rộng u thành một hàm u : J > R.

ii) Nếu u € AC(J) thi ham mỏ rộng của nó thuộc AC(J).

Chứng minh. i) Dat J = (a,b), ham số u: J > R là hàm số liên tục tuyệt đối trên Jnên œ là liên tục đều trên (a,b). Ta chứng minh tồn tai hữu han các giới han:

x—>b-Ta đi chứng minh tồn tại lim u(z).

Theo nguyên lí hội tu Cauchy phải chứng minh: Với moi ¢ > 0 tồn tai ổ > 0 để với

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 35Lay e > 0 bất kì. Do u(x) liên tục đều trên khoảng (a,b) nên tồn tại 6, > 0 để với mọi

|u(#1) — u(aa)| < e.

Theo ngun lí hội tụ Cauchy thì điều đó chứng tỏ rằng tồn tại hữu hạn giới hạn

Tương tự, cũng tồn tại hữu hạn giới hạn: jim u(a).

Vậy có thể mở rộng u thành một hàm u: J > R.

ii) Dé chứng minh hàm mở rộng € AC ([a, b|) thì ta phải chứng minh: với mỗi e > 0

tồn tại 6 > 0 sao cho với mọi hệ khoảng (ay, 61) ,..., (a7, bị) rời nhan, [az, bg] C [a,b], k =

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối

Cứ tiếp tục quá trình như vậy ta sẽ được một dãy {a¿,} thỏa mãn điều kiện

Theo giả thiết u € AC ((a,b)) ta có:

»x ¬. <=, 1. 5.

< =,

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 37

Chon n = | và chia [a, b| thành n đoạn [2;_1, 2;] với #¿ = a+ Fay i=0,...,n và

độ dài mỗi đoạn là bea

Don= | nén

<small>2(b— 2(b—</small>ve 2 ene ˆ a)

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 38

và [f;—:, ty] Cc [#;_1. Lil C [a, b nên

Ta có u € AC (J) nên áp dung bước chứng minh ở trên (thay J cho vi trí của [a, b]

<small>Hệ quả 1.4.2. /3/Cho IC R là một khoảng bi chăn. Khi đó AC (I) C BPV (1). Đặc</small>

biệt, nếu u € AC (T) thà u là khả vi h.k.n trong I va ul là khả tích Lebesgue.

Dinh lý 1.4.1. /3/(Tinh chất Lusin (N)). Cho khoảng I CR vau: I > R. Khi đó

u € ACoc(I) khi va chỉ khi ba điều kiện sau đồng thời xay ra

(it) u là khả vi — h.k.n trong I va wu! € L}.(1),

(iti) u biến tập có độ do Lebesgue 0 thành tập có độ do Lebesgue 0.

Tính chất (iii) được gọi là tích chất Lusin (N). Dé chứng minh định lý trên ta chứng

minh các kết quả sau

Bổ đề 1.4.2. /2jCho gian I C R va hàm u : I > R. Giả sử tồn tại một tập E C I

(không nhất thiết phải do được) va M > 0 sao cho u khả vi uới moi x € E, |u'(x)| <

uw (u(E)) < Mp" (E).

Chứng minh. Ta có I và T9 sai khác nhau các điểm ở hai đầu mút.

Lại có E9 = In E nên p*(E°) = tÈ(E) và w*(u(E°)) = tÈ(u(E)).

Do đó khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử EC 10.

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

1.4. Hàm liên tục tuyệt đối 39

Cố định e > 0, cho n €Ñ. Gọi E, là tập hợp các điểm x € sao cho với mọi khoảngJ CI thỏa mãn z € J và 0 < |J| < 2 thì ta phải có

We (u(J)) < (M +e) a" (J).

Nếu ư(z) > 0 thì tồn tại ổ > 0 để với mọi € E thỏa mãn | — z| <6 thì

_- —u'(x)| < ymin (u'(x),€).

-5 min (w'(%),e) < _- — w() < „min (u'(x),€),

0< u(x) T— „min (u'(x),e) < mg <ư(z) + „min (u(z),e).

Khi đó u(y) là hàm đồng biến trong khoảng (# — ổ,# + ổ), và

Lay g,'€ J vay<a<y' thi

|u() — u(y’)| < Ju(y) — w(2)| + July’) — u(2)|

(M +e)(2—y) + (M + £)(w — 2)=(M +e)(y'—y) <(M +) |J|.

</div>