Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.43 MB, 45 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

NHI PHAN MU KHƠNG ĐỀU

LUẬN VAN THAC SĨ KHOA HOC

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

NHI PHAN MU KHƠNG ĐỀU

<small>Chun ngành: Tốn giải tích</small>

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Lê Huy Tiễn

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

1 Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều 5

1.2 Khái niệm nhị phan mũ không đều 6

<small>1.3 Quan hệ giữa nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều |... 7</small>

3.1.2 Cấu trúc của nghiệm bị chặn 19

3.1.3. Phép chiếu va tính bất biến của tốn tử tiến hóa 22

<small>3.1.4 Đặc trưng của nghiệm bị chặn 23</small>

3.1.5 Cac ước lượng bổ sung|... co. 25

¬ 27

<small>3.1.7 Chứng minh các định lý|... 29</small>

3.2_ Tính vững của nhị phân mũ khơng đều trên tồn truc| ... . 32

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

3.2.2 Tính vững của nhị phân mũ khơng đều trên tồn truc| . .

Kết luận

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những tinh chất quan trọng của nhị phân mũ là tinh ỡng. Tính

vững nghĩa là khơng bị thay đổi bởi nhiễu của ma trận hệ số. Nội dung chính

của luận văn nghiên cứu về tính vững của nhị phân mũ khơng đều. Nhị phânmũ không đều là trường hợp suy rộng rất mạnh của nhị phân mũ đều.

Gần đây, từ năm 2005 Luis Barreira và Claudia Valls đã nghiên cứu một cách

hệ thống khái niệm nhị phân mũ không đều (xem [5] và [10]).

<small>Luận văn được chia làm ba chương:</small>

Chương 1. Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều. Chương

này sẽ nêu ra định nghĩa của nhị phân mũ đều, nhị phân mũ không đều, mối

quan hệ giữa chúng và định nghĩa về tính vững của nhị phân mũ đều và nhịphân mũ khơng đều.

Chương 2. Tính vững của nhị phân mũ đều. Chương này trình bày

tính vững của nhị phân mũ đều trên nửa trục dương và tính vững của nhị phânmũ đều trên toàn trục số R.

Chương 3. Tính vững của nhị phân mũ khơng đều. Đây là nội dung

<small>chính của luận văn. Trong chương này trình bày tính vững của nhị phân mũ</small>

khơng đều trên từng nửa khoảng vơ hạn và tính vững trên tồn trục số R thông

qua việc chứng minh chi tiết các định lý về tính vững của nhị phân mũ khơngđều.

<small>Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2012.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chương 1

Nhị phân mũ đều và nhịphân mũ không đều

1.1 Khái niệm nhị phân mũ đều

<small>Trong không gian R”, xét một ánh xạ liên tục t A(t) sao cho A(t) là toán</small>

tử tuyến tính bị chặn trên R” với mỗi t > 0 và phương trình

Trong đó, Q = Id — P là phép chiếu bù của phép chiếu P.Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Mệnh đề 1.2. Phương trinh có nhi phân mũ đều khi va chỉ khi Ñ" = S@U

va tồn tại K, a > 0 sao cho:

i) ||X(Œ)X~†(s)z||< Ke~#ữ—=®)||z|| vit > s, z € S,

ii) ||X()X~†(s)w||< Ke~*(S—9||u|| uới s >t, y EU.

Mệnh đề 1.3. Phương trình có nhị phân mt đều khi va chỉ khi tồn tại

họ các phép chiếu P(t) thỏa mãn sup ||P(t)|| < co vdi P()X(t,s) = X(t, s)P(s)

Vt > s va ton tại các hệ số K, a oO sao cho

i) \|X(t,s)a|| < Ke~*—®)||z|| uới t > s, 2 € Im P(s),

ii) \|X(t,s)a|| < Ke~ữ—)||lz|| vdi s >t, z € Im Q(s),

<small>trong đó Q(t) = Id — P(t).</small>

1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều

<small>Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A: J > B(X) là một hàm liên</small>

tục trong khoảng mở J C R, và B(X) là tập các tốn tử tuyến tính bi chặn trên

X. Ta xét bài toán giá trị ban đầu:

Định nghĩa 1.4. Chúng ta nói phương trình (1.2) có nhị phân mũ khong đều

trên J nếu tồn tại phép chiếu P: J + B(X) với:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

lại không đúng. Để minh họa cho điều này, ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 1.6. Cho w > a> 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R?

uˆ = (—w — a‡sin t)u,

Mệnh đề 1.7. Hệ là một nhị phân mũ không đều trong R nhưng không là

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

V(s,t) < De~(0+4)(—s)+24|f| với t><sup> s,</sup>

Trước tiên chúng ta viết lai U(£, s) như sau:

Cuối cùng nếu s < f < 0 thi từ (1.10) suy ra

Từ việc thỏa mãn (1.8), (1.9) thì hệ (1.7) là hệ nhị phan mũ khơng đều. Lai

theo (1.11) va (1.12) thì khơng thể bỏ được e24!*! và e2“lfÌ bằng cách cho D hoặc

w —a đủ lớn, điều này suy ra hệ (1.7) không là nhị phân mũ đều. Như vay ta

hoàn toàn kết thúc chứng minh mệnh dé.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

định lý đồ thị đóng. Coppel (1967) đã đưa ra một cách chứng minh đầy đủ. Ơngchỉ ra rằng trường hợp tổng qt có thể được đưa về trường hợp riêng đơn giản

<small>hơn rất nhiều mà trong đó ma trận hệ số A(£) giao hoán với phép chiếu của</small>

nhị phân mũ với mỗi f. Đó là một kết quả rất hữu ích, tuy nhiên chứng minh là

không trực tiếp. Một chứng minh cơ bản và trực tiếp được đưa ra bởi Daleckii

va Krein (1970), nhưng dưới giả thiết A(t) là bị chặn. Ở đây, chúng ta sẽ chỉ ra

rằng giả thiết đó có thể được loại bỏ một cách dễ dàng.

2.1 Một số bổ đề kỹ thuật

Bổ đề 2.1. Cho o(t) là một hàm giá trị thục liên tục, bị chặn sao cho:

o(t) < Ke" + 0œ / c~#Ì!=*l#4(w)du Vt > 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<small>Chứng minh. Xét phương trình tích phân tương ứng</small>

w(t) = Ke + 0a feel" (u)du.

Bằng cách tách khoảng lấy tích phân [0,00) thành [0,] và [t,0o), chúng ta

thấy mọi nghiệm (£) liên tục, bị chặn là khả vi và

w(t) = Ce~! (với hằng số Ở nào đó).

Thay vào phương trình tích phân đầu tiên ta được Ở = øK. Vậy phươngtrình tích phân có nghiệm duy nhất:

w(t) = pKe

Dé thấy với mọi hằng số L > Ø~1K,

L> Keo“ + 0a fee báu Ví >0.

Nếu chọn 7 > sup ¢(t), bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp phương trình tích

<small>phân có một nghiệm w(t) sao cho:</small>

ó()<()<L — Vt30.

Do (£) xác định duy nhất nên ta suy ra điều phải chứng minh. L]

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Ap dụng Bổ đề |2.1|đói với j(s — t), chúng ta thu được Bổ đè |2.2]

Bổ đề 2.2. Cho g(t) là một hàm giá trị thực liên tục sao cho

bản của phương trình vi phân tuyến tính

\|X (t)(I — P)X~1(s)|| < Ke~*^(=Đ với s > t. 2.2)

Cho B(t) là ham ma trận liên tục, bi chặn, chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu

<small>ổ = sup|B(t)| đủ nhỏ thì phương trình nhiễu</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

ITY || < K +2a7! KO||Y ||.

<small>Tương tự ta thu được</small>

ITY — TY||< 2œ~1K8||Ÿ — Y]].

Do đó theo nguyên lý co nếu

(2.3). Do đó Yi (t)P cũng là một điểm bất động của 7, ta có Yi()P = Vi).

Trường hợp riêng nếu Q = Y¡(0) thì

Từ (2.4) thay t bởi s ta có

XŒ)PX~'(s)Yi(s) = X()P+ [ X@Px WB WY (wae (2.5)

Kết hợp với (2.4) ta thu được

Yi() = XŒ)PX~}!(s)Yi(s) + [ XIĐPX: `00)B(0)Yi(n)au

_ / X(t)(I — P)X~!(u) B(w)¥i(w)du.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Mặt khác, cho # = s = 0 trong (2.5) ta được

Suy ra Y¡()Q cũng là một điểm bat động của T, do đó

Yi(t)Q = Yi(t).

Cho t = 0 ta thấy Q là một phép chiếu.

Nếu Y¡()Q là một ma trận cơ bản của phương trình (2.3) sao cho Y(0) =I

Yi(t) =Y(0)9.

Y2) = Y(t) — Q)

vậy thi Y(t) = Y(t) + Yo(t). Theo công thức biến thién hằng số,

Y2(t) = X(t)(I — Q) + [xox ~†(w)B(u)Ya(u)du. (2.7)

Thay t bằng s và sử dung (I — P)(T— Q)= I- Q ta có

X)Œ = P)X"'(sJYa(s) = X(9Œ = Q) = [ XU = P)X”'(0)B(0)Y5(u)au

Kết hợp với đẳng thức trước ta thu được

Y(t) = X(t)(I — P)X Ya(s) + [ X(QPX u)B(u)Y›(u)du

IYa()£| < Ke~#6®=9|Y;(s)£| + da f °* |ys[u)6|du với s > £ > 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Thay € bằng Y1()£ trong (2.10) và, (2.11) với € tùy ý, ta được

Néu trong (2.9) ta thay € bằng Y~!(s)£ thì thu được nhị phan mũ:

IY()QY~†}(s)|< Le~?~®) với t > s > 0,ly (t)(I — Q)Y~}(s)| < he~#®=Đ với s > t > 0,

trong đó L = (1— 2)~1eK2.

Điều kiện 7 < 5 là thỏa mãn nêu Ø < TK: Do đó cần k > 1.

Mệnh dé 2.3. Giả sử phương trình vi phan có nhị phân mi trên

lY (t)(I — Q)Y~1(s)| < gi ta206-0 uới s > £ > 0,

trong đó Y(t) là ma trận cơ ban của (2.3 sao cho Y(0) =I va phép chiếu Q có

cùng khơng gian nhân uới phép chiếu P. Hơn nữa

IYŒ@)QY—(0)T— X(t{)PX(t)| < 4a! K°S Ví > 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

2.3. Tính vững của nhị phân mũ đều trên tồn

sup | (I< tp

thi phuong trinh nhiéu (2.3) có nhị phân mũ trên mỗi nửa đường thang R,, IR_

tương ứng với phép chiếu Q’, Q“”. Hơn nữa Q’ có cùng khơng gian nhân với P,

I — Q" có cùng khơng gian nhân với I — P (theo chứng minh Mệnh đè |2.3) và

Suy ra Q có cùng miền giá trị với Q’ và có cùng khơng gian nhân với Q”.

Kết quả là phương trình có nhị phân mũ trên mỗi nửa đường thang R„,

R_ với cùng phép chiếu Q và bởi vậy có nhị phân mũ trên R với phép chiếu Q

( và số mũ a — 2/3).

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Sau đây là những kết quả chính của tinh vững. Chúng ta xét tinh vững trong

<small>khoảng J = [ø,+o) với ø < 0.Dinh ly 3.1. (Xem /10])</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

1) phương trình có nhị phân mũ không đều trong khoảng J tới 0 < c,

D=D(14+-64+-0 +...) =D+— "(1+ [04 50+.) +5 0+ 5a +

<small>Cho A,B: J > B(X) là các hàm liên tục sao cho phương trinh có nhị</small>

phân mt không đều trong khoảng J uới 0 < c va giả sử rằng

lB()||< 6e"? »ới mỗi t € J.

Định Iý|3.1| được suy ra từ Định Iý|3.2| Ta sẽ phân chia chứng minh của Địnhlý |3.2|thành nhiều bước. Trước hết ta chứng minh một số kết quả phụ trợ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

3.1.2 Cau trúc của nghiệm bị chặn

<small>Đặt G = {(t,s)€ Jx J:t > s} và xét không gian</small>

với chuẩn

IIDII = sup {I|U(,.s)|Je—P: (ts) eG}, (3.8)

Bổ đề 3.3. Phương trình Z' = [A(t) + B()]Z có nghiệm duy nhất U € © sao

<small>Chứng minh. Giả sử ham U € @ thỏa mãn thì hàm £ — U(t, s) là khả vi</small>

(do hàm t+ T(t, s) là khả vi). Lay đạo hàm theo f trong dễ chỉ ra đượcrằng # —— U(t, s)€, t > s là một nghiệm của phương trình (1.13) với mỗi € € X.

Do đó, chúng ta phải chỉ ra rằng tốn tử L định nghĩa bởi:

có một điểm bat động trong khơng gian €. Ta có:

(LU) (t, s)|| < |T0. s)P(s)il+ [lft.z)P0)l -JBŒ)|| - |IUŒ. s)||dr

: (3.11)

+ | lIữ0.z)@(0)|lIIBt)ll- [WO s)llar

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Do vậy, ta có thé định nghĩa toán tử L : C > @. Sử dung đồng nhất thức

(3.10) với U;, U2 € © va tiễn hành tương tự như (3.11) ta thu duoc:

|| LU; — LU9|| < 8||U, — Val].

Theo (3.3), L là một phép co và tồn tai duy nhất U € € sao cho LU = U.

U(t,7)U (7, s) =T(t, s)P(s) + [Xu (us)du

+ | Xtt.)U( 2) s)du — [Y0,u)U(w.z)UŒ, s)du.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Sử dụng (3.9) một lan nữa suy ra

U(t,T)U(r,s) — U(t, s) = [X00 s)du

ta có thể viết lại đồng nhất thức trên dưới dang:

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

VW) (EIS D feel) B(u)| - ||W(u)||du

+ D feo orem B(u)| -||[W(u)||du < 6||W |

và do đó W(€) C €. Hơn nữa tiến hành một cách tương tự với Wy, We, ta có

|LNWI — NWa|| < 0||W¡ — Wall.

Theo giả thiết (3.3), N là phép co. Do đó có duy nhất hàm W € € thỏa mãn(3.13). Mặt khác 0 € € cũng thỏa mãn (3.13). Vậy W = 0.

Theo Bồ đề hàm Z trong (3.12) là trong €, do đó nó cũng thỏa mãn

(3.13). Chúng ta kết luận rằng với mọi t > 7 > s trong J,

3.1.3 Phép chiêu và tính bất biến của tốn tử tiễn hóa

Ta vẫn ký hiệu T(t, s) là tốn tử tiến hóa kết hợp của phương trình (1.13).

Với mỗi t € J ta định nghĩa tốn tử tuyến tính

P(t) = T(t,0)U(0,0)T(0,t) va Q(t) = Id — P(t). (3.16)

Chúng ta muốn chi ra rằng toán tử tiến hóa xác định một nhị phân mũ khong

đều với phép chiếu P(t). Ta bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng tốn tử tuyến tínhP(t) là một phép chiếu bất biến đối với T(t, s).

Bổ đề 3.5. Toán tử P(t) là một phép chiếu uới moit € J va dung.

Chứng minh. Dat R = U(0,0), theo Bo dé [3.4] có R? = R. Do T(t, t) = 1d,

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

3.1.4 Dac trưng của nghiệm bị chan

Bồ đề 3.6. Cho s € J, néuy : [s,+oo) > X là nghiệm bị chặn của phương

<small>trinh (??) uới y(s) = € thà:</small>

[ito BOM lutr)lidr < DIC fee -Odr = PE

Lấy giới hạn (3.19) khi t + +00, doa > ¥ ta thu được

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Q(t)y(t) = / T(t, r)Q(r)B(r)y(r)dr + / T(0.z)Q(z)B(z)y()dr

Cộng đồng nhất thức trên với (3.17) ta suy ra điều phải chứng minh. L]

Chứng minh. Theo Bo đề 3.3} ham £ ——>› U(t,0)€, £ > 0 là nghiệm của phương

trình (??) với điều kiện ban đầu tại thời gian 0 bằng U(0,0)£. Vì vậy

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

3.1.5 Các ước lượng bổ sung

Chứng minh. Chúng ta sé chỉ ra rằng x(t) < ¢(t) với ¢(t) là ham liên tục bị

<small>chặn thỏa mãn phương trình tích phân</small>

Chú ý rằng —¢ = —c\/1 — Ø là nghiệm âm của phương trình đặc trưng. Vì ó

là hàm bị chn khi Â = +00 nờn cú (#) = ú(s)e=đ) (khi ¢ < +00 ta lấy đơn

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Đặt z = supz(f). Do hàm z và ¢ là bị chặn, z là hữu han va lấy cận trên

Chứng minh. Tién hành tương tự như trong chứng minh Bo đề|3.8|ta có thể chỉ

ra rằng y(t) < w(t) trong đó w(t) là hàm bị chặn, liên tục thỏa mãn:

w(t) = Des H+ 9s, + sD | ee u(r)ar + sD | ee u(rjdr

với t < s. Chú ý rang w(t) cũng thỏa man phương trình vi phan (3.23). Thay

thế W(t) = W(s)e~°— trong đẳng thức trên và t = s ta thu được:

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Tiến hành một cách tương tự như trong Bồ đề |3.§|ta CĨ:

ult) <0) < Dye err

Bồ đề được chứng minh xong.

3.1.6 Ước lượng chuẩn cho tốn tử tiến hóa

Chúng ta sẽ ước lượng chuẩn của T(t, : ImP(s) vit > s va T(t, ø)|Im Q(s)

với t < s, các hằng số ¢ va D cho trong (3.2)

Bổ dé 3.10. Bat đẳng thúc đúng uới mọi t > s trong J.

Chứng minh. Cho £ € X, dat x(t) = ||P(t)T(t, s)£|| với t > s và + = ||P(s)El].

Từ Bổ đề và (1.4) suy ra rằng hàm x bị chặn và thỏa mãn bất đẳng thức

IIP)Ÿ@,s)£||< De MII P(s)E lI, £ > s.

Theo Bồ đè |3.5|ta có:

Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 3.11. Bat đẳng thúc đứng 0uới mọi t < s trong J.

Chứng minh. Dau tiên chúng ta chứng minh hệ thức cho Q(t). Theo công thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

y(t) = ||T(t, s)Q(s)é|| với t < s trong J

va + I|@(s)£ll. Từ (3.33) va (3.32) dễ dàng suy ra hàm y thỏa mãn bat đẳng

thức (3.24). Sử dụng Bồ đề |3.9| và tiến hành tương tự như Bồ đề ta thu

được bat dang thức cần chứng minh.

3.1.7 Chứng minh các định lý

Với các kết quả bổ trợ trên, chúng ta có thể chứng minh hai định lý chính.

Chứng minh định lý Chúng ta có thể chỉ ra tồn tại phép chiếu P(t)

(theo (3.16) rời bất biến tốn tử tiến hóa T(t,s) (theo Bổ dé b3. Các ước

lượng chuẩn cho T(t, s)|Im P(t) và T(t, s)|Im Q(t) tương ứng được cho trong Bổ

đè|3.10| và|3.11Ì Dinh lý được chứng minh.

Chứng minh Dinh lý Áp dụng Định vb. ta thu vn Bh chiéu

P(t) thoa man (3.4) cũng như các ước lượng chuẩn trong (3.5) va 3.6 . Chúng

ta cũng thu được các ước lượng chuẩn cho các phép chiếu. Chú ý rằng giả

thiết ||B(t)|| < äe~°!l trong Dinh lý |3.2| phải được thay thế bằng giả thiết mới

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Theo Bồ đề và Bồ đè|3.5| với T >t trong J có:

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

IIơ0)II < IIP@) = POM + QO

< PP (IIÊ9||+ llÔ0)l) + Der"

8 A 25DD /,~ ^

|LP()|| + |Il@()1| < chev (IPO + (1) + Dell,

c+ế-0 2

<small>chúng ta thu được:</small>

IIP@)II+ IIÔ(0|| < 4De”"

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Bồ đề được chứng minh xong.

Kết hợp va với 7 > f trong J có:

IIÊ(z)Ÿ(.9)||< Der BHI] < 4ÐÕe~8ữ~9*29i,

Tương tự kết hợp (3.39) và (3.34) với r < f trong J có:

lƠ()Ÿ(z.1)J|< Õe-ứ~?)+?!l||Ơ()||< 4DÕe-ứ~z)+20M),

Dinh lý được chứng minh xong.

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

3.2 Tính vững của nhị phân mũ khơng đều trên

tồn trục

Dé phát biểu tính vững của nhị phân mũ khơng đều trên R, đầu tiên chúng

ta cần xem xét các trường hợp riêng biệt của nhị phân mũ trên các khoảng

J = [o,+o) với 0 < 0, và J = (—oe,€] với > 0. Các khoảng có dạng thứ nhất

ta đã xét trong Định ly [3.1] Bây giờ chúng ta nghiên cứu các khoảng có dang

thứ hai đơn giản bằng cách đảo ngược thời gian trong chứng minh của định lý

này. Chúng ta tiếp tục sử dụng các hằng số ế và D trong (3.2).

3.2.1 Tính vững của nhị phân mũ khơng đều trên nửa trục

Định lý 3.13. Các phát biểu trong Định lý |3. Í đứng uới khoảng J = (—œ,€|

<small>Chứng minh. Cách chứng mình tương tự như chứng minh của Dinh lý</small>

và vì vậy chúng ta sẽ chỉ chỉ ra những điểm khác biệt chính. Đặt

<small>va xét không gian Banach</small>

với chuẩn

|IVII = sup{||V (. s)||e~”!°!: (t, 8) € HY.

Lập luận tương tự như trong chứng minh của Bồ đề |3.3|và Bo đề [3.4] thành

lập kết quả dưới đây.

</div>

Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

NHI PHAN MU KHƠNG ĐỀU

LUẬN VAN THAC SĨ KHOA HOC

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

NHI PHAN MU KHƠNG ĐỀU

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

1 Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều 5

3.1.5 Cac ước lượng bổ sung|... co. 25

¬ 27

Kết luận

LỜI MỞ ĐẦU

vững nghĩa là khơng bị thay đổi bởi nhiễu của ma trận hệ số. Nội dung chính

Chương 1. Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều. Chương

Chương 2. Tính vững của nhị phân mũ đều. Chương này trình bày

Chương 3. Tính vững của nhị phân mũ khơng đều. Đây là nội dung

Chương 1

Nhị phân mũ đều và nhịphân mũ không đều

1.1 Khái niệm nhị phân mũ đều

Mệnh đề 1.2. Phương trinh có nhi phân mũ đều khi va chỉ khi Ñ" = S@U

i) ||X(Œ)X~†(s)z||< Ke~#ữ—=®)||z|| vit > s, z € S,

ii) ||X()X~†(s)w||< Ke~*(S—9||u|| uới s >t, y EU.

Mệnh đề 1.3. Phương trình có nhị phân mt đều khi va chỉ khi tồn tại

Vt > s va ton tại các hệ số K, a oO sao cho

i) \|X(t,s)a|| < Ke~*—®)||z|| uới t > s, 2 € Im P(s),

ii) \|X(t,s)a|| < Ke~*ữ—*)||lz|| vdi s >t, z € Im Q(s),

1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều

Định nghĩa 1.4. Chúng ta nói phương trình (1.2) có nhị phân mũ khong đều

lại không đúng. Để minh họa cho điều này, ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 1.6. Cho w > a> 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R?

Mệnh đề 1.7. Hệ là một nhị phân mũ không đều trong R nhưng không là

V(s,t) < De~(0+4)(—s)+24|f| với t><sup> s,</sup>

Cuối cùng nếu s < f < 0 thi từ (1.10) suy ra

Từ việc thỏa mãn (1.8), (1.9) thì hệ (1.7) là hệ nhị phan mũ khơng đều. Lai

theo (1.11) va (1.12) thì khơng thể bỏ được e24!*! và e2“lfÌ bằng cách cho D hoặc

w —a đủ lớn, điều này suy ra hệ (1.7) không là nhị phân mũ đều. Như vay ta

định lý đồ thị đóng. Coppel (1967) đã đưa ra một cách chứng minh đầy đủ. Ơngchỉ ra rằng trường hợp tổng qt có thể được đưa về trường hợp riêng đơn giản

không trực tiếp. Một chứng minh cơ bản và trực tiếp được đưa ra bởi Daleckii

va Krein (1970), nhưng dưới giả thiết A(t) là bị chặn. Ở đây, chúng ta sẽ chỉ ra

rằng giả thiết đó có thể được loại bỏ một cách dễ dàng.

2.1 Một số bổ đề kỹ thuật

Bổ đề 2.1. Cho o(t) là một hàm giá trị thục liên tục, bị chặn sao cho:

o(t) < Ke" + 0œ / c~#Ì!=*l#4(w)du Vt > 0.

w(t) = Ke + 0a feel" (u)du.

w(t) = Ce~! (với hằng số Ở nào đó).

w(t) = pKe

Dé thấy với mọi hằng số L > Ø~1K,

L> Keo“ + 0a fee báu Ví >0.

ó()<()<L — Vt30.

Ap dụng Bổ đề |2.1|đói với j(s — t), chúng ta thu được Bổ đè |2.2]

Bổ đề 2.2. Cho g(t) là một hàm giá trị thực liên tục sao cho

\|X (t)(I — P)X~1(s)|| < Ke~*^(=Đ với s > t. 2.2)

ITY || < K +2a7! KO||Y ||.

ITY — TY||< 2œ~1K8||Ÿ — Y]].

(2.3). Do đó Yi (t)P cũng là một điểm bất động của 7, ta có Yi()P = Vi).

Từ (2.4) thay t bởi s ta có

XŒ)PX~'(s)Yi(s) = X()P+ [ X@Px WB WY (wae (2.5)

Kết hợp với (2.4) ta thu được

Yi() = XŒ)PX~}!(s)Yi(s) + [ XIĐPX: `00)B(0)Yi(n)au

_ / X(t)(I — P)X~!(u) B(w)¥i(w)du.

Mặt khác, cho # = s = 0 trong (2.5) ta được

Suy ra Y¡()Q cũng là một điểm bat động của T, do đó

Yi(t)Q = Yi(t).

Nếu Y¡()Q là một ma trận cơ bản của phương trình (2.3) sao cho Y(0) =I

Yi(t) =Y(0)9.

Y2) = Y(t) — Q)

Y2(t) = X(t)(I — Q) + [xox ~†(w)B(u)Ya(u)du. (2.7)

X)Œ = P)X"'(sJYa(s) = X(9Œ = Q) = [ XU = P)X”'(0)B(0)Y5(u)au

Kết hợp với đẳng thức trước ta thu được

Y(t) = X(t)(I — P)X Ya(s) + [ X(QPX u)B(u)Y›(u)du

IYa()£| < Ke~#6®=9|Y;(s)£| + da f °* |ys[u)6|du với s > £ > 0.

Thay € bằng Y1()£ trong (2.10) và, (2.11) với € tùy ý, ta được

Néu trong (2.9) ta thay € bằng Y~!(s)£ thì thu được nhị phan mũ:

IY()QY~†}(s)|< Le~?~®) với t > s > 0,ly (t)(I — Q)Y~}(s)| < he~#®=Đ với s > t > 0,

trong đó L = (1— 2)~1eK2.

ii) \|X(t,s)a|| < Ke~ữ—)||lz|| vdi s >t, z € Im Q(s),

IYŒ@)QY—(0)T— X(t{)PX(t)| < 4a! K°S Ví > 0.