Luận văn thạc sĩ Toán học: Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn dãy số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.51 MB, 92 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRAN THỊ THANH THỦY

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐVÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HỌC

Chuyên ngành:PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH.NGND. NGUYÊN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2013

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Lời nói đầu

Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chun tốn ở cáctrường THPT chun. Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài tốnkhó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp quốc gia, khu vực, quốctế, Olympic 30/04 và Olympic toán Sinh viên. Các dạng toán về dãy số rất phong phúvà đa dạng và cũng rất phức hợp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyênđề riêng biệt. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập tới một số vấn đề cơ bản của

dãy số liên quan đến chương trình tốn bậc trung học phổ thông. Nội dung của đề tai:"

Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn của dãy số" là hệ thống lại một sốphương pháp giải các bài toán về dãy số, ứng dụng dãy số trong giải một số bài toán

và một số cách xây dựng bài toán mới về dãy số. Để giải quyết được các bài toán này,ta cần những kiến thức tổng hợp về dãy số, tính chất của dãy số, giới hạn của dãy

số,...Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựng bài toán minh họa,

tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên.

Bố cục luận văn gồm 4 chương.

e Chương 1. Cơ sở lý thuyết.

Trong chương này, tơi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số địnhnghĩa và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán áp

e Chương 2. Một số phương pháp giải bài tốn tìm cơng thức số hạng

tổng qt của dãy số.

Mục đích của chương này trình bay các phương phấp tìm cơng thức số hạng tổng

qt của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác, phương

pháp sử dụng phương trình sai phân và tính chất của hàm số, kỹ thuật tuyếntính hóa một số phương trình sai phân.

e Chương 3. Một số phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn của dãy số.

Chương này hệ thống một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số như: phương

pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy, xác định số hạng tổng quát rồi

<small>tính giới hạn, phương pháp sử dụng tính đơn điệu, nguyên lý giới hạn kẹp, phương</small>

<small>pháp sai phân, phương phấp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro.</small>

e Chương 4. Một số ứng dụng của dãy số.

Chương này trình bày một số ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bấtphương trình hàm, dé chứng minh bất đẳng thức và một số phương pháp thiết

lập bài toán mới về dãy số.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tổ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.NGND.Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các

thắc mắc của học trị trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tác giả hoàn

<small>thành luận văn này.</small>

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cơ giáo KhoaTốn-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Dai hoc Khoa hocTự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này.

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã ln quan tâm, động viên cổ vũ và tạo điều

<small>kiện đề tác giả có thể hồn thành nhiệm vụ của mình.</small>

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa

học, song trong quá trình thực hiện khơng tránh khỏi những sơ suất. Vì vậy, tác giảrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng

nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn.

<small>Tác giả xin chân thành cảm ơn!</small>

<small>Hà Nội, ngàu 20 thang 12 năm 2013</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Bảng kí hiệu

Đ__ tập các số tự nhiên

N* tập các số tự nhiên khác khôngZ tap các số nguyên

Z, tập số nguyên không âmZÿ tap số nguyên dương

R tập số thực

R* tập số thực khác khôngR, tập số thực không âm

R? tập số thực dương

C tập số phức

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

2 Một số phương pháp giải bài tốn tìm cơng thức số hang tổng qt

của dãy số 16

<small>2.1 Phương phấp quy nạp ... 2.000.002 eee 16</small>

2.2 Phương pháp thế lượng giác .. 2... Q c. 20

2.2.1 Một số định lý bổ sung... co 20

2.2.2 Một số bài tốn được định hướng bởi các cơng thức lượng giác. 21

<small>2.3. Phương pháp saiphân ...0. 2.000. 28</small>

<small>2.3.1 Định nghĩa sa phân ... Qua 28</small>

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính ...- 28

<small>2.3.3 Nghiệm của phương trình sai phân ... 29</small>

2.3.4 Một số baitapvandung...004. 32

2.4 Tuyến tính hóa một số phương trình saiphân ... 36

3 Một số phương pháp giải bài tốn tìm giới han của dãy số 43

3.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy... 433.2 Phương pháp xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn ... 46

<small>3.2.1 Phuong phấp ... . . . va 46</small>

3.2.2 Một số bài toán... . . Quà. 46

<small>3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu... ol3.4 Phương pháp sử dung nguyên lý giới hạn kẹp ... 57</small>

<small>3.5 Phương phấp saiphan ... 0.2.0 00 000004 62</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<small>3.6 Phương phấp sử dụng định ly Stolz và định lý Cesaro... 68</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tơi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định nghĩavà các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng.

1.1 Dinh nghĩa và các định lý cơ bản

Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự

<small>nhiên Với M CN, thay cho ký hiệu</small>

ta thường dùng ký hiệu (un)nem, {Un}nem, (tn) hay {un}.

<small>Dinh nghĩa 1.2 ([1]-[3]). Cho dãy u„, nEN.</small>

e Day (u„) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu up < u„¿¡ Vn EN.e Day (u„) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu up, > „ạ¿i Vn EN.Nhận xét 1.1. se Nếu (z„) tăng, (yp) tăng thi (z„ + yn) tăng .

e Nếu (z„) giảm, (Yn) giảm thi (z„ + Yn) giảm.

e Nếu hai dãy dương (z„), (yn) cùng tăng (giảm) thì (z„„) tăng (giảm).

e Một dãy có thé khơng tăng, cũng khơng giảm. Ví dụ z, = (—1)" Vn EN.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Định nghĩa 1.3 ([1]-{3]). Cho dãy số (z„) n EN.

e Day (z„) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho

gọi là cận dưới của dãy số, số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng

Một dãy số vita bi chặn trên, vừa bi chặn dưới được goi là dãy bi chặn.

Định lý 1.1. Day (u„) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại hằng số e > 0 sao cho

<small>Until = —Un, Vn EN. (1.4)</small>

Số nguyên dương J nhỏ nhất để day {u„} thỏa man (1.4) được gọi là chu kì cơ sở của

Nhận xét 1.2. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng.

Định nghĩa 1.5 ((1]-[3]). Day {u„} được gọi là dãy tuần hồn nhân tính nếu tồn tạisố nguyên dương s(s > 1) sao cho

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {u„} thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kì cơ sở

của dãy tuần hồn nhân tính. Day {¿„} được gọi là dãy phản tuần hồn nhân tínhnếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Số nguyên dương s nhỏ nhất để day số {u„} thỏa mãn (1.6) được gọi là chu kì co sở

của dãy phan tuần hoàn nhân tinh.

Nhận xét 1.3. — e Day phan tuần hồn chu kì là dãy tuần hồn chu kì 21.

e Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kì s là dãy tuần hồn chu kì s2

Định nghĩa 1.6. Day số (u„) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim „ = a, nếu với mọi

Định lý 1.2 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

e Nếu a > / thì nọ€Đ: Vn > nọ > a > #„.e Nếu a< £ thi Ing CN: Vn > nạ > a< Zp.

Định lý 1.4 (Chuyển qua giới hạn trong bat đẳng thức). Cho lim #„ = £ và ø€ R.

e Nếu dng CN: Vn > nọ => tn > a thì £> a.e Nếu dng CN: Vn > nạ => tn < a thì £ <a.

Định ly 1.5 (Dinh lý giới hạn kẹp giữa). Cho ba dãy số (xn), (Ym), (z„) thỏa mãn

Định lý 1.6 (Tính chất đại số của dãy hội tụ). Cho hai dãy hội tu (an), (Yn) và

e Day (—z„) hội tu và lim (—z„) = —a.

e Day (|z„|) hội tụ và lim |a,| = |a|.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

im GC) =F

e Với b £0 thi day (—) được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ và

dm =

Định lý 1.7. Moi dãy hội tu đều bị chặn.

Định lý 1.8. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ.

<small>Dinh lý 1.9 (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn, luôn rút ra được dãy con hội</small>

Định lý 1.10 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy (z„) hội tụ khi và chỉ khi Ve > 0 cho trước

tùy ý, tim được chỉ số ng sao cho với mọi m,n > mạ đều có |#„ — #„| < £.

1.2. Một vài dãy số đặc biệt

1.2.1 Cấp số cộng

Định nghĩa 1.7. Day số ,uạ,u¿,... được gọi là một cấp số cộng với công sai d(d 40) nếu uy, = uạ ¡+d, Vn = 2,3,...

Tính chất 1.1. Day số {¿„} là cấp số cộng với cơng sai d thì:

<small>tUg—1 + +1</small>2 với mọi k = 2,3,...

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

® Un = tị.g"~! với mọi n = 2,3,...® Uz = tự quy¿i VỚI moi k = 2,3,...

ui(q” — 1)

® Sy = Uy tug tes tạ = ,(q # 1).

<small>Nhận xét 1.4. Theo định nghĩa ta có:</small>

i) Nếu {un} là một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {u„} với ø„ = a, Vn € Ñ lập thànhmột cấp số nhãn.

ii) Nếu {u„} là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a # 1 thì dãy {v,} vớiUn = log, Un, Vn € Ñ lập thành một cấp số cộng.

Nhận xét 1.5. Nếu |q < 1| thì {u„} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp

<small>được gọi la dãy Fibonacci.</small>

Day Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên trong

nhiều lĩnh vực khác nhau. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được cơng thức tổng

<small>Cơng thúc Binet.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

1.2.5 Day Farey

Dinh nghĩa 1.11. Day Farey F,, với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các phân số

tối giản dạng i với 0 <a<b<n và (a,b) = 1 sắp xếp theo thứ tự tăng dan.

Day là dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới han dãy số. Day số

này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban dau x. Do vậy sự hội tu của dãy số sẽ

phụ thuộc vào tinh chất của hàm số f(x) và 2. Một đặc điểm quan trong của dãy số

này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x = f(z).Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:

Định lý 1.11. Cho dãy số (%,) : #o = @, #n‡¡ = f (Xn). Khi đó, nếu hàm số y = f(z)đồng biến, thì dãy đã cho đơn điệu.

Khi đó, để biết day tăng hay giảm, cần xét dấu của biểu thức f(x) — #.

Dinh lý 1.12. Cho dãy số (a) : #o = Q,2n41 = ƒ(#„). Khi đó, nếu hàm số y = f(z)nghịch biến, thì dãy đã cho có hai day con (x94) và (T2441) đơn điệu ngược chiều.

Trong trường hợp này hai dãy con (an) và (%2n+1) là hai day con kề nhau. Để biết

dãy nào tăng, dãy nào giảm ta xét dấu của f(f(x)) — z.

Định nghĩa 1.12. Cho D là một tập đóng và bị chặn. Ánh xạ ƒ: D — D được gọi là

một ánh xạ co trên D nếu tồn tại số thực g, 0 < q < 1 sao cho |ƒ(z) — f(y)| < qg|z — 9|

<small>với mọi x,y thuộc D.</small>

Dinh lý 1.13. Nếu f(x) là một ánh xạ co trên D thì dãy số {z„} xác định bởi% =a€ D,Z„‡¡ = Ƒ(za) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của

<small>phương trình z = f(z).</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

1.3. Một số bai toán áp dung

Bài toán 1.1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số u, lập thành một cấp

số cộng là day đã cho phải thỏa mãn hệ thức

<small>QUmin = U2m + tan; Vm,n € Ñ. (1.7)</small>

Lời giải Diéu kiện cần. Giả sử day {u„} là cấp số cộng với công sai d. Khi đó

Ta có điều cần phải chứng minh.

Điều kiện đủ. Giả sử day up, thỏa mãn điều kiện (1.7). Ta chứng minh dãy uy là

một cấp số cộng với công sai d = trị — uo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Bài toán 1.2. Chứng minh rằng để 3 số a,b,c là những số hạng của cùng một cấp số

cộng, điều kiện cần và đủ là tồn tại 3 số nguyên khác không p, g,r sao cho:

ptq+r=0 `

Điều kiện cần. Giả sử a,b,c là các sô hạng thứ k + 1,l + 1,mn + 1 của một cấp số

cộng có số hạng đầu tiên up và cơng sai d. Từ hai đẳng thức đầu ta suy ra:

Sau đó mang các giá trị này thay vào dang thức thứ 3 thì được:

Vai trị của các a,b,c như nhau nên có thể coi rằng: a > b > e. Khi đó gq = —(p+r),

Vìia—b>0;b—e>0 nên các số nguyên p,r có cùng dấu.

Thay p,q,r bởi —p, —g, —r, nếu cần có thể xem p,r là hai số nguyên dương.

Đặt d= . thì ta cũng có d= ‹

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Các đẳng thức này chứng tỏ rằng a,b,c là các số hạng thứ p+r +Ï và p+Ï của cấp

số cộng có số hạng đầu tiên c và cơng sai d.

Bài tốn 1.3. Chứng minh rằng dãy số u, của những diện tích được xác định bởihình dưới đây là một cấp số cộng:

Loi giải. Goi uị là diện tích hình trịn được xác định đầu tiên:

Nói cách khác, (œ„) chính là một cấp số cộng mà cơng sai là <.

Bài tốn 1.4. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các dãy số dương up lập thành

một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức

Ur an = Uma, Vm,ncÑ. (1.11)

Loi giải. Dat Inun = bạ, Vn € Đ, khi đó uạ = e& và (1.11) có dang

c20m+n — clamtÙn Wm n EN.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Theo bài tốn (1.1) thi (1.12) chính là điều kiện cần va đủ dé day {b„} lập thành một

cấp số cộng với công sai d = bị — bp.

Theo nhận xét(1.4) ta có điều phải chứng minh.

<small>Bài tốn 1.5 (Thảm Sierpinki). Một hình vng đơn vị được chia thành 9 hình vng</small>

bằng nhau, hình vng ở giữa được tơ mau, 8 hình vng cịn lại sẽ được chia theo

cách trên. Nếu ta tiếp tục như thế đến vô tận thì giới hạn của phần diện tích được tơ

<small>màu là bao nhiêu?</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Bài toán 1.6. Người ta dựng một dãy các đường tròn liên tiếp tiếp xúc nhau A,,n > 1theo quy tắc sau:

<small>trên. Chứng minh rang: dãy A, giới hạn bằng 3 diện tích của hình tron ban dau Ao.</small>

Loi giải. Ta tạo một chuỗi hình trịn nội tiếp A,, n > 1.

1. Chứng minh rằng: mọi hình trịn A„ đều nằm trong Ao.

Có nghĩa là ta phải chứng minh tổng các bán kính từ # đến R, nhỏ hơn hoặc bằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Vậy tất cả các hình tron A„ đều nằm trong Ao.

2. Gọi A, là diện tích thu được là hợp tất cả các hình trịn Aj, Ag,..., A, trên. Chứng

<small>Bài tốn 1.7. Cho hình vng Cp có cạnh là a người ta xét một dãy các hình vng</small>

<small>Œì,Ca,C3,...,C„,... được dựng như hình vẽ dưới đây. Với quan hệ các khoảng cách</small>

AA, = SAC: A, Ag = saa we} An Any = ¬. "

1. Có phải tất cả các hình vng đều nằm trong hình vng Cp?

2. Xác định hình vng nhỏ nhất có đỉnh là A (kí hiệu AB’C’D’ trong đó B’ thuộc(AB); C’ thuộc (AC); D' thuộc (AD))chứa tất cả các hình vng C,,.

AA, = 21AC; Ai4a = 2. fA see gy AyAn+1 = 21 An-Ln; see

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Vậy từ hình vng thứ 4, các hình vng khơng cịn nằm trong hình vng ABCD

2) Để hình vng A4'Œ!D' có thể chứa hết các tam giác vng thì

AC'= lim Ũ Gà) Jav?= Te 2,

Hình vng AB’C’D’ có cạnh AB’ =

1Ị#-Bài tốn 1.8. Chứng minh rằng dãy số {un} (un, #0, Vn € Ñ) lập thành một cấp số

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

điều hòa khi và chỉ khi

tức là {u„} là một cấp số điều hịa.

Bài tốn 1.9 (VMO, 1994, Bảng B). Cho dãy số Fibonacci {u„}, (n = 1,2,3,...)

tị = tạ = 1, Unge = Und + Un

với moi n = 1,2,3,... Hãy tìm số nguyên dương m sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>Ugpyy 1 tay — 2U 944 1-tấy, = Ugpy 1 -Ugp + 2uag.ae+i + Ì.hay</small>

THNG + trậy = 3uậy vị -tây + 2uag.uag+i +1, Vk=1,2,3,...

Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Dé chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên dương n, ta

+ Bước 1:(Bước cơ sở). Kiểm tra A(n) đúng khi n = 1.

+Bước 2: (Bước quy nap hay bước di truyền). Với k € Z,k > 1, giả sử A(n) đúng khi

<small>m = k, ta chứng minh A(n) cũng đúng khi n =k + 1.</small>

+Bước 3: Kết luận A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài toán 2.1 (Đề thi OLYMPIC 30/4/1999). Xác định số hang tổng quát của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

=r 4 08 +3( ma)” “(07 +o") +a(‡" "+ 0")

+(3+v1 10)” |-( (Vì zi,z¿ là các nghiệm của phương

Bài toán 2.2. Cho dãy số {z,}7°5 xác định như sau:

%a=W2-+zs= J2 tieng) = [00° = 2.cos—.

oa l

<small>Theo nguyên lý quy nạp ta có #„ = 2. cos</small>

Bài toán 2.3 (Dé thi OLYMPIC 30/4/2001). Cho dãy số {z„} xác định bởi:

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

*n=k, (KEN). Gid sity =1+ CR9,

<small>ITuitanđễ 1_—tạn—.tan— 3.8</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Up+1 = ha. 2+1 Suy ra điều phải chứng minh.

<small>Bài toán 2.6 (Canada 1985). Cho 1 < 2, < 2. Với n = 1,2,3,... ta định nghĩa</small>

#n+i = L+#„— s Chứng minh rang với mọi n > 3 ta có rn — v2| < oe Trước hét

<small>hay chứng minh bang quy nap rang: 1 < #„ < 3</small>

Bài toán 2.7 (Vietnam TST 2006). Cho day số thực {a,},n = 0,1,2,... xác định

bởi ao = 1 và Gay = 1 (« + i): Ký hiệu A, = 3<sub>2 3an, 3.a2 —1</sub>

số chính phương và A, có ít nhất n ước nguyên tố khác nhau.

Chứng minh rằng A, là

2.2_ Phương pháp thế lượng giác

Mỗi một công thức lượng giác sẽ cho chúng ta một đẳng thức đại số và nhiều

dãy số có cơng thức phức tạp sẽ trở lên đơn giản hơn nếu như chúng ta khéo léo sử

dụng các phép thế lượng giác. Ỏ đây, chúng ta xét các bài toán được giải bằng cách

dựa trên các đặc trưng của một số đa thức đại số sinh bởi hàm số sin và cosin.

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

e sinnt được biểu diễn thành tích của sint với một đa thức của cost được gọi là

Kí hiệu Qa;¡(z) là đa thức đại số bậc 2k + 1 sinh bởi ?ạ;¡(+) bằng cách giữ nguyên

những hệ số ứng với lũy thừa chia 4 dư 1 và thay những lũy thừa chia 4 dư 3 bằng hệ

số đổi dấu. Khi đó:

Từ cơng thức truy hồi của dãy ta liên tưởng tới cơng thức góc nhân đơi. Ta có:

Uz = 2cos*p — 1 = cos2y, ug = cos(2”0),..., tạ = cos(2" 0),

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Nhận xét 2.1. Từ công thức cos 2x = 2cos?x — 1 gợi ý cho chúng ta cố gắng đưa dãy

số đã cho về dãy số {„}„ 7) thỏa mãn

Sau đó sử dụng kết quả của bài tốn 2.8.

Bài tốn 2.10. Tìm dãy số z„ biết:

2 ¡ YneN (2.8)

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

gun =y,- 2 Unt = 2a — 1

Sử dụng kết quả của bài toán 2.8 ta được

„=5 (8 tan): Vn = 1,2,3,..

m= =ƠƯ + get) Wma 128

Bài tốn 2.11. Tìm {u„}'^, biết

e Nếu |u;| < 1 thì tồn tại ¿ sao cho cosy = uy. Khi đó

U2 = Acos?p — 3cosy = cos 3y,..., Un = cos3”“y.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Bài tốn 2.12. Tìm {u,}*% , biết

cos 3# = 4cos*x — 3 cos x.

Ta cố gắng đưa công thức đưa công thức đã cho về công thức này. Giả sử un = b-yn +c,

thức biến đổi nhanh hon , đặt un = b„, sau đó tìm b.

Bài tốn 2.13. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {u„} biết rằng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Bài tốn 2.14. Tìm {u,}*% , biết

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Bài toán 2.15 (Đề đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999). Xác định số hạng tổng quát

của dãy số {u„} biết rằng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Bài toán 2.17. Cho dãy số {u„} như sau:

a . | Yn =1,2,3,..-.

Unt = Đu + 3uy,? — 3

Tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

1a = 8cos* (4.5) — 8cos? (4.5) +1= cos (2.5) .

Giả stt „ = cos (3). Khi đó

U„+¡ = 8cos* (5) — 8cos” (5) + 1= cos (“-5) .Theo nguyên lý quy nap suy ra Yn, = cos (5) , Vn =1,2,...

Vậy 2 = 2„ = 2cos (5) , Wn= 1,2,....

2.3 Phương pháp sai phần

2.3.1 Định nghĩa sai phân

Định nghĩa 2.1. Cho hàm số x(n) = #„,ø= € Ñ. Ta gọi

An = #n+1 — Ln

là sai phân cấp 1 của hàm số zx (n), kí hiệu Az,

Định nghĩa 2.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của ham số {z„} là sai phân của sai phân cấp

1 của {z„}, va nói chung, sai phân cấp k của dãy số {z„} là sai phân cấp k — 1 củadãy số đó.

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữasai phân các cấp:

F (tn, Atn, A2... Arey) =0

trong đó, z, hiểu là sai phân cấp 0 của ham số {z„{; cấp lớn nhất của sai phan (ở đây

là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.

Nhận xét 2.4. Do sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số,

<small>nên ta thường dùng định nghĩa sau tương đương với định nghĩa trên, nhưng thuận tiện</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

tìm được gọi là an. Phương trình (2.12) được gọi là phương trình sai phân tuyến tinhbậc k, vì dé tính được tất cả các giá trị z„, ta phải cho trước k giá trị của xp, rồi tính

các giá trị cịn lại của x, theo công thức truy hồi.

Định nghĩa 2.5. Nếu f, = 0 thì (2.12) được gọi là phương trình sai phân tuyến tinhthuần nhất.

Nếu ƒ„ # 0 thì (2.12) được gọi là phương trình sai phan tuyến tính khơng thuần nhất.

Nếu fn = 0 và øo,ứi,..., œ„ là các hằng số, ag # 0, ø;„ # 0 thì phương trình (2.12) trổ

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số hằng

2.3.3 Nghiệm của phương trình sai phan

Định nghĩa 2.6. Hàm số x, biến n, thỏa mãn (2.12) được gọi là nghiệm của phươngtrình sai phan tuyến tinh (2.12).

Hàm số #„, phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (2.13) được gọi là nghiệm tổng quát của

(2.13) nếu với mọi tập giá trị ban đầu #o,#,...,#,_¡ ta đều xác định được duy nhất

các tham số Cp, C¡,..., Œy để nghiệm #„ trở thành nghiệm riêng của (2.13), tức là vừa

thỏa mãn (2.13), vừa thỏa mãn % = #ọ, #1 = #1,...¿#g—1 =

#k—1-Dinh ly 2.3. Nghiệm tổng quát x, của (2.12) bằng tổng 7, và #„, với #„ là một

nghiệm riêng bấy kì của (2.12).

Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

<small>Xét phương trình</small>

Yntk + G1Un+k—t +. + dyUn = Ú, (2.14)

trong đó ay, d2,...,a% là các hằng số thực.

<small>Đặt „ = A”. Thay vào phương trình ta được</small>

M+ aR} +... + pA + ap =0 (2.15)

<small>e Trường hợp 1.</small>

<small>Giả sử phương trình (2.15) có k nghiệm thực phân biệt Ay, Àa,..., Àa.Khi đó À?,AZ,..., AZ là hệ nghiệm co bản của (2.14).</small>

Nghiệm tổng qt của phương trình (2.14) có dạng

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

trong đó Cy, Cạ,..., Cy là các số thực.

<small>e Trường hợp 2.</small>

Giả sử phương trình (2.15) có nghiệm A = Apo là nghiệm bội m.

Khi đó Àg,nAg,...,"1A# là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.14).

<small>e Trường hợp 3.</small>

<small>Giả sử phương trình (2.15) có nghiệm À = a + 7Ø là nghiệm phức đơn.</small>

Khi đó r* cosny,r” sin nạ là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.14). Trong đó

r= 2 + By = tan 2

<small>eTruéng hợp 4.</small>

<small>Giả sử phương trình (2.15) có nghiệm A = a + 28 là nghiệm bội m.</small>

Khi đó, phương trình (2.14) có 2m nghiệm độc lập tuyến tính là

+” cosny, nr” cos ny, ..., "Tp" cos ny

+" sinny, nr” sinny, .... nr" sinny

<small>trong đó r = \/a? + 8?,y = tan</small>

Nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất

<small>yx = M,(n) = Aon? + Ainf"+... + Again + Ag.</small>

Thế vào (2.16) để tìm 4o, Ai, ..., Ag.

Nếu A = 1 là nghiệm bội m của (2.17) thì đặt

y, =n”Mạ(n) =nTM (An! + Ain1f +... + Ayan + Aj) :

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Thế vào (2.16) để tìm Ap, 4,..., Ay,

<small>e Trường hợp 2. Nếu r # 1,y = 0 thì f (n) =r"P, (n).</small>

Nếu A =r khơng là nghiệm của (2.17) thì đặt

y, =r"M,(n) =r" (Aon! + Ain" +...4 Againt Ay) .

Thế vào (2.16) để tim 4o, At,..., Ay,

Nếu A =r là nghiệm bội m của (2.17) thì đặt

y, =n"r°M,(n) =nTMr" (Aon? + Ayn e+ Aq-in+ Aj) .

Thế vào (2.16) để tìm 4o, Aj,..., Ag.

e Trường hợp 3. Nếu y 4 0 thì

Nếu À = œ + khơng là nghiệm của (2.17) thì đặt<small>*</small>

<small>Uy =r”N (n) cos nộ + r"M, (n) sinnytrong đó WM¿(m), Mạ (n) là hai đa thức bậc q.</small>

Nếu À = œ +2 là nghiệm bội m của (2.17) thì đặt

<small>y, =nTMr" N, (n) cosn@ + nh r” M, (n) sinnytrong đó N, (n), Mạ (n) là hai đa thức bậc q.</small>

Phương pháp biến thiên hằng số

<small>Xét phương trình x41 = AX,» + f (n). (1)</small>

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 7, = CA”.

Dé tìm nghiệm riêng ta xem C biến thiên theo n, nghĩa là C là một hàm số theo n.

<small>Khi đó nghiệm riêng z* (n) = C (n) A”.</small>

Thế vào phương trình (1), ta được

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

2.3.4 Một số bài tập vận dung

Bài tốn 2.20. Tìm dãy {z„} thỏa mãn điều kiện

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Aj cos 5 + By sin 5 = 2| A; cos 5 + By sin 5 (20s 5 - sin 5

<= — A; sin > + By cos oT 2i cos > + 2B, sin 5 (2 cos nn + sin 7)

Như vậy t, = 32 | n(jn rik 5)? + COS 2°

Bai toán 2.22. (Dé thi Olympic 30/04/2002). Tim (u,) thỏa mãn điều kiện

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Phương trình đặc trưng A? — 2À — 3 = 0 có nghiệm À¡ = —1, Àạ =3.

Ta có Un, = u? + uf, + uặ„, trong đó u) = A(-1)" + B.3", uj, =a+bn, uh, = k.2",

<small>Thay uj, vào phương trình „+ — 2Un — 3ua_¡ = n, ta được</small>

Do đó uy = Tr (n+ 1). Thay u3,, vào phương trình

Suy rau, =u? + uf, + uặ„ = A(—1)” + B.3" — 1 (n+1)— ga (8.3)

<small>Ta thay u, = 1, uạ =0 vào (8.3) ta được hệ phương trình</small>

Vậy Un = .(-1)" 4 rs . + 1 greet,ay tin = Tag C1 + RB TMF 3

Bài toán 2.23. Tim tất cả các dãy số {z„} thỏa mãn

</div>