BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI - TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 48 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH 2

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI - TÍCHPHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT

NHĨM DL11_09

TP.HCM, 5-2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Ứng dụng của tích phân bội - tích phân đường - tích phân mặt

1. Giới thiệu sơ lượt về các loại tích phân sẽ có trong các ứng dụng bên dưới: kýhiệu, cách tính, các định lý (nếu sử dụng định lý nào thì nêu định lý đó).

2. Giới thiệu các ứng dụng, mỗi loại tích phân trình bày ít nhất 2 ứng dụng. Yêucầu nêu được tính thực tế của ứng dụng. Nêu cách tính thực tế của ứng dụng đãtrình bày. Cho ví dụ cụ thể từng loại ứng dụng (nếu có số liệu thực tế sẽ đượcđiểm cộng). Ví dụ: tích phân đường loại 1 dùng để tính diện tích mặt trụ đứng,có biên trên nằm trong mặt cong z = f(x, y), biên dưới nằm trên mặt phẳng Oxy.Ứng dụng này có thể dùng để tính diện tích tường không thẳng trong xây dựng(phần tường dưới gầm cầu thang xoắn). Về tính tốn có thể mơ phỏng hàm số fhoặc đo đạc để dùng tổng Riemann để ước tính diện tích.

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

CHƯƠNG 1. PHẦN MỞ ĐẦU . . . .6

2CHƯƠNG 2. PHẦN NỘI DUNG . . . .7

2.2.1.1 Tích phân đường loại một . . . . 25

2.2.1.2 Tích phân đường loại hai . . . . 26

4TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . .47

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . .47

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Hình 2.1Đồ thị . . . . 7

Hình 2.2Chia R thành các hình chữ nhật con . . . . 8

Hình 2.3Thể tích khối hộp chữ nhật mỏng . . . . 8

Hình 2.4Thể tích được xấp xỉ bằng cách tính tổng thể tích các hình hộp mỏng . 9Hình 2.5Miền D bất kỳ tổng quát và miền hình chữ nhật R . . . . 12

Hình 2.6Miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}. . . . . 14

Hình 2.7Miền Ω = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, y1(x, y) ≤ y ≤ y2(x, y)}. . . . . 15

Hình 2.8Miền Ω = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z)}. . . . . 15

Hình 2.9Độ sâu của hồ tại các vị trí . . . . 16

Hình 2.18 Các đường cong trong mặt phẳng . . . . 27

Hình 2.19 Miền đơn liên, miền đa liên . . . . 28

Hình 2.20 Chiều dương, chiều âm của đường cong C . . . . 28

Hình 2.26 Pháp véc tơ của mặt cong kín S . . . . 40

Hình 2.27 Code Mathlab Tính thơng lượng điện trường . . . . 45

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

CHƯƠNG 1. PHẦN MỞ ĐẦU

Tích phân là một trong những cơng cụ quan trọng nhất trong tốn học, khơng chỉtrong việc giải quyết các bài tốn lý thuyết mà cịn trong nhiều ứng dụng thực tiễn củađời sống. Bằng cách sử dụng tích phân, chúng ta có thể tính tốn các đại lượng nhưdiện tích, thể tích, cơng, và nhiều đại lượng khác mà khơng thể tính được bằng cácphương pháp thơng thường.

Bài báo cáo này sẽ giới thiệu về các loại tích phân khác nhau và các ứng dụngthực tiễn của chúng. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các ký hiệu, cách tính, và các định lýquan trọng liên quan đến từng loại tích phân. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét các ứngdụng cụ thể của từng loại tích phân trong các lĩnh vực khác nhau, từ kỹ thuật, vật lý,đến các lĩnh vực đời sống thường ngày.

Mỗi loại tích phân sẽ được trình bày với ít nhất hai ứng dụng thực tiễn. Các ứngdụng này không chỉ giúp minh họa cách mà tích phân được sử dụng mà cịn cho thấytính thực tế và tầm quan trọng của tích phân trong việc giải quyết các vấn đề cụ thể.Các ví dụ và số liệu thực tế sẽ được đưa ra để làm rõ hơn các phương pháp tính tốnvà ứng dụng đã trình bày.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

CHƯƠNG 2. PHẦN NỘI DUNG

2.1TÍCH PHÂN BỘI2.1.1Lý thuyết

các điểm cuối của các khoảng con này, như trong Hình 2.2, ta tạo thành các hình chữ

nhật con, mỗi hình đều có diện tích ∆A = ∆x∆y

Ri j = [xi−1, xi]x[yj−1, yj] = {(x, y)|xi−1≤ x ≤ xi, yj−1 ≤ y ≤ yj}

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Hình 2.2: Chia R thành các hình chữ nhật con

Nếu chúng ta chọn một điểm mẫu (x∗i j, y∗i j) trong mỗi Ri j thì chúng ta có thể tínhgần đúng phần S nằm phía trên mỗi Ri j bằng một hộp hình chữ nhật mỏng (hoặc“cột”) có đáy Ri j và chiều cao f (x, y) như trong Hình 2.3. Thể tích của hộp này bằng

chiều cao của hộp nhân với diện tích của hình chữ nhật đáy:f(x∗i j, y∗i j)∆A

Hình 2.3: Thể tích khối hộp chữ nhật mỏng

Nếu chúng ta làm theo quy trình này cho tất cả các hình chữ nhật và cộng thể tíchcủa các hình tương ứng, chúng ta sẽ xấp xỉ được tổng thể tích của S:

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

V ≈

a. Định nghĩa Tích phân kép của hàm số f(x,y) trên min D lă

f(x, y)dxdy =ă

f(x, y)dA = lim

f(xi j, yi j)∆A

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Được gọi là tổng Reimann kép và được dùng để tính giá trị gần đúng của tíchphân kép

c. Quy tắc trung điểm

Các phương pháp mà chúng ta đã sử dụng để tính gần đúng tích phân đơn đều cócác phương pháp tương ứng cho tích phân kép. Ở đây chúng ta chỉ xét Quy tắc trungđiểm cho tích phân kép. Điều này có nghĩa là chúng ta sử dụng tổng Riemann kép đểtính gần đúng tích phân kép, trong đó điểm mẫu (x∗i j, y∗i j) trong Ri j được chọn làm tâm( ¯xi, ¯yj) của Ri j. Nói cách khác, ¯xi là trung điểm của [xi−1, xi] và ¯yj là trung điểm của[yj−1, yj]

Quy tắc trung im cho tớch phõn kộp:ă

f(x, y)dxdy =ă

f(x, y)dxdy +ă

f(x, y)dxdy

| f (x, y)| dxdy

3. Nếu f(x, y) và g(x, y) l nhng hm kh tớch trờn D thỡă

( f (x, y) g(x, y))dxdy =ă

f(x, y)dxdy ă

g(x, y)dxdy

4. Nu f(x, y) l hm kh tớch trờn D thỡă

( f (x, y))dxdy = ă

f(x, y)dxdy, R

5. Nu f(x, y) và g(x, y) là những hàm khả tích trên D và f (x, y) ≤ g(x, y),∀(x, y) ∈ D thỡ

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

f(x, y)dxdy ă

g(x, y)dxdy

6. Nu D là miền đóng, bị chặn thìSD=

"ˆ dc

f(x, y)dy#

dx =ˆ d

"ˆ ba

f(x, y)dx#

d. Tích phân kép trên miền bất kỳ tổng qt

Đối với tích phân kép, miền D khơng chỉ là hình chữ nhật mà có thể là một miềnD bất kỳ tổng quát. Giả sử D là miền bị chặn, có nghĩa là D bị đóng bởi hình chữ nhậtR. Khi đó, ta định nghĩa hàm mới F trên miền R như sau:

F(x, y) =

f(x, y), (x, y) ∈ D0, (x, y) ∈ R\DNếu F(x, y) là hàm khả tớch trờn R thỡ

F(x, y)dxdy =ă

F(x, y)dxdy +ă

F(x, y)dxdy

f(x, y)dxdy +ă

0dxdy =ă

f(x, y)dxdy

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Hỡnh 2.5: Min D bất kỳ tổng quát và miền hình chữ nhật R

"ˆ y2(x)y1(x)

f(x, y)dy#

"ˆ x2(y)x1(y)

f(x, y)dx#

e. Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

• Định lý 1.4: (Tích phân kép trong hệ tọa độ cực).

Nếu f(x, y) là hàm liên tục trên miền D = {(r, ϕ) : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ ϕ ≤ β }, ở đây0 ≤ β − α ≤ 2π, thì

f(x, y)dxdy =ˆ β

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

a. Định nghĩa ˚Tích phân bội ba của hàm số f (x, y, z) trên miền ω là

f(x, y, z)dxdydz =˚

f(x∗i jk, y∗i jk, z∗i jk)∆x∆y∆znếu giới hạn này tồn tại. Lúc này f (x, y, z) được gọi là hàm khả tích trên Ω.

b. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

• Định lý 1.5 (Định lý Fubini)Cho f(x,y,z) là hàm liên tục trên miền

Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r z s}, khi ú:ă

f(x, y, z)dxdydz = b

ˆ dc

ˆ sr

f(x, y, z)dxdydz =ˆ b

"ˆ dc

ˆ s

f(x, y, z)dz

Chú ý. Theo định lý Fubini, khi lấy tích phân theo z theo ta xem z là biến số, cònx, y là hằng số. Sau đó lấy tích phân theo y thì ta xem y là biến số, cịn x là hằng số.Cuối cùng, ta sẽ lấy tích phân theo x. Vì vai trị của x, y, z như nhau nên ta có 3! = 6cách lấy tích phân khác nhau theo thứ tự của các biến x, y, z.

c. Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω

Cho Ω là miền bị chặn bất kỳ, ta có thể lấy hình hộp chữ nhật E chứa miền Ω, sauđó, chúng ta xây dựng một hàm mới

F(x, y, z) =

f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω0, (x, y, z) ∈ E \ ΩKhi đó, nếu F khả tích trên E thì ta định nghĩa

f(x, y, z)dxdydz =˚

F(x, y, z)dxdydz

Như vậy, chúng ta sẽ có định lý sau:• Định lý 1.6

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Cho miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}, trong đó D là hình chiếucủa miền Ω xuống mặt phẳng Oxy. Khi đó

I =˚

f(x, y, z)dxdydz =ă

" z2(x,y)z1(x,y)

f(x, y, z)dz#

Chỳ ý. Khi tớnh tớch phõn bội ba, chúng ta phải xác định được hình chiếu D củavật thể V và chuyển về tính tích phân kép. Khi tính tích phân của f (x, y, z) theo biến zthì ta xem z là biến số, cịn x, y l hng s.

f(x, y, z)dxdydz =ă

" y2(x,z)y1(x,z)

f(x, y, z)dy#

dxdz

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

f(x, y, z)dxdydz =ă

" x2(y,z)x1(y,z)

f(x, y, z)dx#

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

a. Tích phân kép

Ω giới hạn trên bởi mặt S1: z = f1(x, y) giới hạn dưới bởi mặt S2: z = f2(x, y) vàgiới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz cú ng chun l biờn minD c tớnh bi:

V() =ă

( f1(x, y) − f2(x, y))dxdy( f2(x, y) ≤ f1(x, y), ∀(x, y) ∈ D)

VD: Một hồ nước có kích thước 20 ft x 30 ft chứa đầy nước. Độ sâu được đo ởcác khoảng cách 5 ft, bắt đầu từ một góc của hồ , và các giá trị được ghi vào bảng 1.Hãy ước lượng thể tich nước trong hồ.

Hình 2.9: Độ sâu của hồ tại các vị trí

Bài làm

Đặt điểm gốc tại tọa độ (0;0), 0 ≤ x ≤ 20, 0 ≤ y ≤ 30 và f (x, y) và A lần lượt làhàm mô tả độ sâu và diện tích của hồ. Khi đó , thể tích nước trong hồ được tính bằngđộ sâu x diện tích hồ nhưng do độ sâu thay đổi nên tổng quát hơn ta dùng:

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

được ∆A = 600

2x3 = 100 f t2Khi đó

f( ¯xi, ¯yj)∆A ≈ ∆A(3 + 7 + 10 + 3 + 5 + 8)= 100.36 = 3600 f t3

Vậy thể tích nước trong hồ xấp xỉ 3600 f t3.

b. Tích phân bội ba

Thể tích của vt tựy ý l:

V =

V =ă

(25 x2 y2)dxdy =ˆ 2π

ˆ 5

(25 − r2)drdθ = 2πˆ 5

(25r − r3)dr =625

2 π

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

VD: Sử dụng tích phân bơi 3 tính thể tích của khối tứ diện T được giới hạn bởicác mặt phẳng x +2y + z = 2, x = 2y, x = 0 và z = 0

Hình 2.11: Đồ thị của tứ diện T

Bài làmChiếu khối tứ diện T xuống mặt phẳng Oxy

Hình 2.12: Hình chiếu của T lên mặt Oxy

Ta có:V(T ) =˝

2.1.2.2Tính khối lượng và tìm khối tâm

Tính khối lượng của các vật thể có hình dạng khơng đều như linh kiện máy móc,hịn đá,. . .

Tìm vị trí của khối tâm giúp kỹ sư thiết kế cấu trúc sao cho cân bằng và ổn định.Điều này đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các cơng trình lớn như cầu, tịa nhà,và máy bay.

a. Tích phân kép

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Xét một mặt cong S bất kỳ có diện tích là S, có khối lượng riêng phụ thuộc vàođiểm M(x,y) nằm trên S là ρ = ρ(M) = ρ(x, y). Bằng cách chia mặt S thành n mặtnhỏ không dẫm lên nhau và qua giới hạn ta cũng được cơng thức tính khối lượng củamặt S là:

ρ (x, y)dS

Trong đó dS là yếu tố diện tích. Nếu mặt S đồng chất ρ = const thì m = ρ.S.Tọa độ (x, y) của khối tâm của mặt phẳng được giới hạn bởi miền D và có hàmmật độ ρ(x, y) :

x= 1m

xρ(x, y)dV y= 1m

yρ(x, y)dV z= 1m

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Bài làmKhối lượng của tam giác là:

ρ (x, y)dS =ˆ 1

(1 − x2)dx = 83Khối tâm của tam giác là:

¯x= 1

xρ(x, y)dS = 38

ˆ 1

(x − x3)dx= 3

2 −x

10= 3

y= 1m

yρ(x, y)dS = 38

y=0 dx= 14

ˆ 1

(7 − 9x − 3x2− 5x3)dx= 1

⇒ Khối tâm của tam giác tại điểm 38,1116

VD:Tìm khối tâm của vật rắn E có khối lượng riêng khơng đổi và được giới hạnbởi hình trụ parabolic x = y2 và các mặt phẳng x = z, z =0 và x = 1

Hình 2.14: Đồ thị vật rắn E

Bài làmChiếu vật rắn E xuống mặt phẳng Oxy:

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Hình 2.15: Hình chiếu của E xuống mặt phẳng Oxy

Khi đó vật rắn E được mơ tả:

E= {(x, y, z)| − 1 ≤ y ≤ 1, y2≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x}Hàm mật độ khối lượng là ρ(x, y, z) = ρ

Khối lượng của vật rắn là:m=

ρ dV =ˆ 1

ˆ 1

ˆ x0

ρ dzdxdy = ρˆ 1

ˆ 1

xdxdy= ρˆ 1

x2

= ρ/2ˆ 1

(1 − y4)dy = ρˆ 1

(1 − y4)dy = ρ

= 4ρ5Do vật rắn đối xứng qua mặt phẳng Oxz, nên ¯y= 0

¯x= 1

xρdV = 54ρ

xρdzdxdy =54

ˆ 1

x3

= 56

ˆ 1

(1 − y6)dy = 56

= 57¯z = 1

zρdV = 54ρ

zρdzdxdy = 54

= 58

ˆ 1

(1 − y6)dy = 514Khối tâm của vật rắn là: ( ¯x, ¯y, ¯z) = 57, 0,145.

2.1.2.3Tính xác suất

Giúp phân tích khả năng biến động giá cả, lợi nhuận hoặc rủi ro trong lĩnh vựctài chính hay trong lĩnh vực cơng nghệ có thể dùng để tính hiệu suất cũng như độ ổnđịnh của mạch.

Giả sử chúng ta có một cặp biến ngẫu nhiên liên tục X và Y, chẳng hạn như tuổithọ của hai bộ phận một chiếc máy hay là chiều cao và cân nặng của một người trưởngthành được chọn ngẫu nhiên. Hàm mật độ chung của X và Y là hàm f của hai biến

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

sao cho xác suất nằm trong miền D là:P((X ,Y ) ∈ D) =

ˆ dc

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

f(x, y) = f1(x) f2(y)

Ta có thể lập mơ hình thời gian chờ đợi bằng cách sử dụng các hàm mật độ mũ:

f(t) =

0 với t <0µ−1e−t/u với t ≥0

(µ là thời gian tiêu tốn)

VD: Cho hàm mật độ chung của X và Y là

f(x, y) =

ˆ 10

C(x + 2y)dydx = 1⇔ C

ˆ 10

xy + y2y=10

y=0 dx= 1 ⇔ Cˆ 10

(10x + 100)dx = 1⇔ 1500C = 1 ⇔ C = 1

1500P(X ≤ 7,Y ≥ 2) =

1500 ≈ 0.5787

VD:Người quản lí rạp chiếu phim xác đinh rằng thời gian trung bình để ngườixem phim xếp hàng chờ mua vé xem phim tuần này là 10 phút và thời gian trung bìnhhọ đợi mua bỏng ngo là 5 phút. Giả sử thời gian chờ là độc lập. Tìm xác suất để mộtngười xem phim đợi tổng cộng ít hơn 20 phút trước khi vào chỗ ngồi của mình.

Bài làm

Giả sử rằng cả thời gian chờ X để mua vé và thời gian chờ Y để mua bỏng ngơđều được mơ hình hóa bằng hàm mật độ xác suất mũ, chúng ta có thể viết các hàmmật độ riêng lẻ như sau:

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

f1(x) =

0 với y < 0

5e−y/5 với y ≥ 0Vì X và Y là độc lập, nên hàm mật độ chung là tích của hai hàm:

f(x, y) = f1(x) f2(y) =

f(x, y)dA =ˆ 20

ˆ 20−x

−10x e−5ydydx

= 150

10ˆ 20

Vậy có khoảng 75% người xem phim chờ ít hơn 20 phút trước khi vào chỗ ngồi.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

2.2TÍCH PHÂN ĐƯỜNG2.2.1Lý thuyết

2.2.1.1Tích phân đường loại một

f(xi, yi).∆li

Nếu giới hạn này tồn tại

Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I khơng phụ thuộc hướng củađường cong C vì việc chọn hướng của C không ảnh hưởng đến tổng Riemann.

f(x, y)dl =ˆ

f(x, y)dl

b. Tính chất của tích phân đường loại một

1dl = L.

α f (x, y)dl = αˆ

x= r(ϕ)cosϕy= r(ϕ)sinϕα ≤ ϕ ≤ β

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

f(r(ϕ)cosϕ, r(ϕ)sinϕ)q

(r(ϕ))2+ (r′(ϕ))2dϕ

2.2.1.2Tích phân đường loại hai

a. Định nghĩa Cho −→F (x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) là hàm véc tơ xác định trên đườngcong trơn

AB. Khi đó tích phân đường loại hai của−→F dọc theo

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =ˆ

P(x, y)dx +ˆ

Ai−1Ai nên khi đổi hướng của véc tơ−−−−→Ai−1Aithì sẽ đổi dấu của tổng Riemann.Như vậy, đối với tích phân đường loại hai thì

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = −ˆ

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

x= x(t)y= y(t)

t ∈ [a, b]

được gọi là điểm bội hay điểm tự cắt của đường cong C nếu tọa độ của M thỏamãn phương trình đường cong C ít nhất tại hai giá trị t ∈ [a, b].

- Đường cong C không chứa điểm bội được gọi là đường cong đơn giản.

- Đường cong AB⌢ được gọi là đường cong khép kín, nếu điểm đầu A và điểmcuối B trùng nhau.

Hình 2.18: Các đường cong trong mặt phẳng

- Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu như với hai điểm bất kỳ A, B∈ D thì tồn tại một đường cong nối A, B cũng thuộc D.

- Miền phẳng D được gọi là miền đơn liên khi thỏa mãn tính chất:1. Miền phẳng D là miền liên thơng

2. Nếu đường cong đơn giản khép kín C nằm trọn trong miền D thì miền D’ có biênlà đường cong C sẽ nằm trọn trong D.

- Miền phẳng D không phải là miền đơn liên, được gọi là miền đa liên

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Hình 2.19: Miền đơn liên, miền đa liên

- Chiều dương của đường cong C là biên của miền D được quy ước là chiềungược chiều kim đồng hồ. Chiều âm của đường cong C được quy ước là chiều cùngchiều kim đồng hồ

Hình 2.20: Chiều dương, chiều âm của đường cong C

- Đường cong C xác định bởi

x= x(t)y= y(t)

t ∈ [a, b]

được gọi là trơn từng khúc nếu C có thể chia thành nhiều đoạn nhỏ và trên mỗiđoạn nhỏ này x’(t), y’(t) là những hàm liên tục.

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

• Định lý 2.2 (Định lý Green)

Trong mặt phẳng xOy, cho D là miền đóng có biên là đường cong đơn giản, khép kín,trơn từng khúc C. Các hàm P(x, y), Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúngliên tục trong D. Khi đó

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ă

( Q x P

y)dxdy

Du "+" nu chiu ly tích phân trùng với chiều dương quy ước. Ngược lại, ta lấydấu "-".

Chú ý: Như vậy, khi đi theo đường cong C thì miền D sẽ nằm bên trái đường cong

C thì chiều lấy tích phân là chiều dương.

VD: Tính diện tích mặt trụ cong có đường sinh song song với trục Oz, biết rằngbiên dưới của trụ cong là đường cong (C) có phương trình:

Và biên trên nằm trong mặt z=10-x-y

Hình 2.21: Đồ thị đường cong C

f(x, y)ds =ˆ

(10 − x − y)ds

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">