<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<small>1 </small>

<b>Lời nói đầu </b>

Như chúng ta đã biết, cuc cách mạng công nghiệp 4.0 đã chính thức nổ ra, đánh dấu mt kỷ nguyên mới – kỷ nguyên của công nghệ thông tin và dữ liệu lớn. Tại thời điểm này, những cỗ máy, với những cơng cụ tốn học cũng như cơng cụ từ những ngành khoa học phụ trợ, đã thực sự có thể đc lập “tư duy”, tự mình tìm kiếm những thơng tin có giá trị từ mt mớ thơng tin khổng lồ, hỗn đn. Những tư tưởng về học máy, về trí tuệ nhân tạo giờ đây đã len lỏi vào từng ngõ ngách trong cuc sống. Từ những thứ đơn giản như những cỗ máy bán nước, việc mua sắm gia đình tới những quy trình phức tạp như phẫu thuật ni soi, quản lý xuất nhập cảnh, … tất cả đều dần dần sử dụng trí tuệ nhân tạo như là mt cách thức để nâng cao tối đa tính hiệu quả cũng như đ chính xác.

Tuy vậy, đa số vẫn không chú ý rằng, ẩn sau những khái niệm tưởng như cao siêu ấy, đơn thuần chỉ là những cơng thức tốn học. Những mơ hình học máy phức tạp kia, thực chất chỉ là những lần lặp với mục tiêu tối giản hàm mục tiêu, … Sau cùng, mọi thứ chúng ta đang có ở đây cũng chỉ là những kiến thức toán học đã được xây dựng từ trước.

Tốn học cũng có nhiều lĩnh vực. Dù vậy, có thể khẳng định rằng, Đại số tuyến tính đóng mt vai trị quan trọng nhất trong Khoa học máy tính. Từ việc xử lý ảnh, dựng hình đến việc dựng các mơ hình tensors liên kết với nhau tạo thành mạng neuron, … tất cả chúng về bản chất đều là những thao tác trên ma trận số. Điều này càng được khẳng định, khi mà mọi chương trình đào tạo chính quy về các ngành liên quan đến tin học, Đại số tuyến tính luôn luôn là mt trong những học phần cơ bản mà sinh viên phải vượt qua đầu tiên.

Có thể khái quát được, việc nghiên cứu Đại số tuyến tính gói gọn trong việc xem xét những hệ phương trình tuyến tính. Những xem xét này đã có từ rất lâu đời: Những nhà toán học Trung Hoa đã nhắc đến nó trong tập Cửu chương về nghệ thuật

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

toán học (The Nine Chapters on the Mathematical Art). Hay toán học cận đại cũng ghi nhận những nghiên cứu của Decartes hay Leibniz về những hệ phương trình tuyến tính này.

Hiểu được t m quan tr ng c a c a vầ ọ ủ ủ ấn đề này, trong báo cáo l n này, nhóm 8-Hồng ầMinh Đức và Ph m Nh t Quang s ạ ậ ẽ đi tìm hiểu và trình bày vi c gi i h ệ ả ệ phương trình tuyến tính bằng việc s dử ụng phương pháp khử Gauss nh m gi i ra nghiằ ả ệm đúng của hệ phương trình.

Xin cảm ơn TS Hà Thị Ngọc Yến đã giúp chúng tôi chỉnh sửa và hoàn thành báo cáo lần này. Do hạn chế về thời gian cũng như về kiến thức nên báo cáo ắt hẳn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Quý bạn đọc có góp ý, xin vui lịng gửi đến địa chỉ Mọi đóng góp mang tính xây dựng đều được hoan nghênh!

<b>Chương I. Kiến Thức Cơ bản </b>

1.1. Hệ phương trình tuyến tính – Các khái niệm cơ bản1.1.1. Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính m phương trình n ẩn có dạng:

𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛= 𝑏1𝑎 𝑥<small>21 1</small>+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛= 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛= 𝑏𝑚(1.1)

Trong đó, các hệ số 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖 thuc trường K. Trong phạm vi báo cáo ta coi K ≡R Từ đây ta có các định nghĩa sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

…𝑎<small>𝑛1 𝑎𝑛2</small>… 𝑎<small>𝑛𝑛</small>

…𝑎<small>𝑛1 𝑎𝑛2</small>… 𝑎<small>𝑛𝑛 𝑏𝑛</small>

]

c. Ma trận B thu được từ ct hệ số tự do, gọi là ma trận hệ số tự do của hệ.

𝐵 = [𝑏1𝑏₂…𝑏𝑛]

Như vậy, nếu gọi X là ma trận ct biểu diễn các ẩn của hệ phương trình, thì hệ phương trính từ đây có thể viết được dưới dạng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Mt hệ phương trình có thể có duy nhất nghiệm, vơ số nghiệm hoặc khơng có nghiệm.

1.1.3. Biến đổi tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu hai hệ phương trình đó có cùng không gian nghiệm.

Các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình là các phép biến đổi:a. Nhân mt phương trình nào đó của hệ với mt số khác 0

b. Cng vào mt phương trình nào đó của hệ với mt phương trình khác đã nhân với mt số khác 0

c. Đổi chỗ hai phương trình của hệ

Từ đây, ta có thể rút ra mt số nhận xét sau:

- Các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình tương ứng với các phép biến

đổi trên hàng của ma trận mở rng của hệ

- Khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp, ta thu được mt hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình ban đầu

1.1.4. Các kết quả quan trọng

a. Hệ phương trình Cramer Định lý <b>- Cramer </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<small>5 </small>

Mt hệ phương trình Cramer là mt hệ phương trình mà số ẩn bằng số phương trình và định thức của ma trận hệ số khác không.

Từ đây, ta có thể phát biểu định lý Cramer.

Định lý 1.1 (Cramer): Hệ phương trình Cramer ln có duy nhất nghiệm. Chứng minh:

Xét hệ phương trình Cramer: AX=B

Do đây là hệ phương trình Cramer nên ta có: det(A) ≠ 0

Như vậy tồn tại ma trận nghịch đảo của A là 𝐴<small>−1</small>_.Nhân cả hai vế của hệ phương trình ban đầu với 𝐴<small>−1</small>ta được:

𝑎 𝑥<small>𝑚1 1</small>+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛= 𝑏𝑚

Có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rng Từ đây, ta rút ra hai hệ quả quan trọng sau:

Hệ quả 1.2.1:Nếu hệ phương trình (1.1) với n ẩn có 𝑟_𝐴= 𝑟_A󰋀= 𝑛 thì hệ có nghiệm duy nhất.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chứng minh:

Giả sử hệ có 𝑟<small>𝐴</small>= 𝑟A󰋀= 𝑛 . Khi đó tồn tại định thức con cơ sở của của M(định thức con khác 0), cả A <small></small>và . A󰋀 Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi dòng của A󰋀 khác với n dịng đầu tiên là tổ hợp tuyến tính của n dịng này.Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛= 𝑏₁𝑎 𝑥_{21 1}+ 𝑎₂₂𝑥 + ⋯ + 𝑎₂ _2𝑛𝑥_𝑛= 𝑏₂

…𝑎_𝑟1 𝑎_𝑟2 … 𝑎_𝑟𝑟^|

Bởi vì mỗi dòng thứ i của , là tổ hợp tuyến tính của r dịng đầu tiên nên hệ đã A󰋀cho tương đương với:

𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛= 𝑏1− 𝑎1 𝑟+1<small>()𝑥(𝑟+1)</small>− ⋯ − 𝑎1𝑛 𝑛𝑥𝑎 𝑥_{21 1}+ 𝑎₂₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛= 𝑏₂− 𝑎_2(𝑟+1)𝑥_(𝑟+1)− ⋯ − 𝑎_{2𝑛 𝑛}𝑥

𝑎 𝑥<small>𝑟1 1</small>+ 𝑎𝑟2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑟𝑥𝑟= 𝑏𝑟− 𝑎𝑟(𝑟+1)𝑥(𝑟+1)− ⋯ − 𝑎𝑟𝑛𝑥𝑛 (1.3)

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<small>7 </small>

Đây là mt hệ phương trình Cramer r phương trình r ẩn 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥 , … , 𝑥₃ _𝑟.Với mỗi b giá trị (𝑐𝑟+1, … , 𝑐𝑛) của các ẩn (𝑥𝑟+1, … , 𝑥𝑛) ta được mt nghiệm của (1.3) là (𝑐1, … , 𝑐𝑟).Khi đó (𝑐<small>1, 𝑐2, … , 𝑐𝑟, 𝑐𝑟+1, … , 𝑐𝑛) là nghiệm của (1.1) </small>

*Nhận xét: Những hệ quả của định lý Kronecker Capelli rất qua trọng, nó là cơ sở giúp cho chúng ta thực hiện phương pháp khử Gauss khi cài đặt phương pháp giải quyết những trường hợp phương trình vơ nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

<b>Chương II. Phương pháp Gauss (Sử dụng cho ma tr n vuông) </b>ậ

<b>2.1. Ý tưởng phương pháp </b>

Phương pháp Gauss (Gauss Elimination) là mt phương pháp giải đúng hệ phương trình tuy n tính. Nó s dế ử ụng những phép biến đổi cơ bản, biến ma tr n m rậ ở ng của hệ phương trình tuyến tính về dạng ma tr n hình thang (Row echelon form), ậsau đó sẽ giải lần lượ ừng phương trình của hệ theo thứ tự từ dưới lên, khi mà các t tphương trình ở dưới sẽ đơn giản hơn (ít ẩn hơn), và khi đó việc tìm từng giá tr cị ủa ẩn thỏa mãn hệ phương trình sẽ dễ dàng hơn.

<b>2.2. Nội dung phương pháp </b>

Như đã nói ở trên, phương pháp Gauss là việc thực hiện những phép biến đổi tương đương trên ma trận mở rng c a h ủ ệ phương trình tuyến tính, hoặc phép th ếđể ả gi i hệ phương trình này. Và ở đây, nhóm em xin được phép trình bày phương pháp Gauss cho ma tr n vuông cậ ấp n (n phương trình – n ẩn):

*Cho ma trận:

𝐸1: 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛<small>2</small> = 𝑏1𝐸₂: 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥 + ⋯ + 𝑎₂ _2𝑛𝑥_𝑛= 𝑏₂

𝐸𝑛: 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛= 𝑏1 (1)

- Ta tách h ệ phương trình trên thành dạng ma trận: AX = B

trong đó:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

A =[

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛

𝑎<small>𝑛1</small> 𝑎<small>𝑛2</small> ⋯ 𝑎𝑛𝑛 ]

; 𝑋 = [𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] ; 𝐵 = [𝑏₁𝑏₂⋮𝑏_𝑛

] - Từ các ma tr n trên, ta xây d ng ma tr n b sung: ậ ự ậ ổ

𝐴 = [^

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛 𝑏2

𝑎<small>𝑛1</small> 𝑎<small>𝑛2</small> ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛]

- Tiếp theo, chúng ta s ẽ thực hiện phương pháp Gauss theo 2 quá trình +) Quá trình thuận:

Giả s ử𝑎₁₁≠ 0, ta sẽ thực hi n thao tác sau: ệ

((𝐸_𝑗) − _𝑎𝑖𝑖^𝑎𝑗𝑖 × (𝐸_𝑖)) → (𝐸_𝑗) với m i j = i + 1, i + 2, ... , nỗCác thao tác này s ẽ khử ệ ố ủ h s c a biến 𝑥𝑖 trong mỗi hàng dưới hàng th i v i ứ ớmỗi i = 1,2, ..., n − 1. Ma trận cu i cùng s có dố ẽ ạng như sau:

<small> </small>𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑎1.𝑛+1 𝑎₂₂𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥₂ _{2𝑛 𝑛}= 𝑎_2.𝑛+1

𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛= 𝑎𝑛.𝑛+1

Trong đó các phần tử ở ct n+1 tương ứng với 𝑏1 2, 𝑏 ,… , 𝑏𝑛. +) Quá trình ngh ch: ị

Bước 1: Giải phương trình hàng 𝐸_𝑛 ta được 𝑥_𝑛= ^{𝑎𝑛.𝑛+1}_{𝑎𝑛.𝑛}

(Lưu ý: Nếu hàng 𝐸𝑛 g m toàn nh ng s 0 thì b ồ ữ ố ỏ qua bước này và đặt 𝑥_𝑛= 𝑡 p t c gi i nhđể tiế ụ ả ững bước ti p theo) ế

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>9 </small>

Bước 2: S d ng nghiử ụ ệm đã thu đượ ừ việc t c giải phương trình hàng 𝐸_𝑛 ta giải phương trình ở hàng 𝐸_𝑛−1 và s có ẽ 𝑥_𝑛−1=^{𝑏𝑛−1− 𝑎}<small>𝑛−1.𝑛 </small>^{× 𝑥}<small>𝑛</small>

<small>𝑎𝑛−1.𝑛−1</small>Bước 3: Tương tự như trên, ta lần lượt giải ngược t ừ dưới lên các 𝑥_𝑛−2, 𝑥 , … _𝑛−3 và có cơng th c tứ ổng quát như sau:

𝑥_𝑖= ^{𝑎𝑖,𝑛+1− ∑}^𝑛<small>𝑗= 𝑖+1</small>^{𝑎𝑖𝑗×𝑥𝑗}

<small>𝑎𝑖𝑖</small> ^{với m}ỗi 𝑖 = 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 2, 1Đểhiểu rõ hơn, ta đến với mt số ví d ụ như sau:

Ví d ụ 1:

-2x + 3y + 3z = -9 3x - 4y + z = 5 -5x + 7y + 2z = -14

- Ta t o ra ma tr n b sung ạ ậ ổ 𝐴 (: ^{−2 3 3}_{3 4 1}−5 7 2^|

−95−14⁾- Biến đổi trên hàng để đưa về ma tr n b c thang ậ ậ 𝐴′:

(^{1 −1}0 −1 −11⁴0 0 0^|

0⁾- Lần lượt giải t ừ dưới lên ta s ẽ thu được {𝑦 = −11𝑡 − 17^{𝑥 = −15}^{𝑡 −}²¹

𝑧 = 𝑡 Ví d 2: ụ

x + y + z = 2 3x - - 2z = 4 y 5x + y - z = 10

- Ta t o ra ma tr n b sung ạ ậ ổ 𝐴 (: ^{1 1}3 −1 −2¹5 1 −1^|

2410⁾

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

- Biến đổi trên hàng để đưa về ma tr n b c thang ậ ậ 𝐴′: (0 4 5^{1 1 1}0 0 −1^|

222⁾

- Lần lượt giải t ừ dưới lên ta s ẽ thu được {𝑦 = 3^{𝑥 = 1}𝑧 = −2

<b>2.3. Thu t toán: </b>ậ

Input: Ma tr n m rậ ở ng của hệ phương trình tuyến tính n ẩn n phương trình Output: Nghi m c a h ệ ủ ệ phương trình tuyến tính (ho c h ặ ệ phương trình khơng có nghiệm duy nhất)

Phần 1: Đưa về ma tr n b c thang ậ ậVới i=1:

B1: Ch n s p nhọ ố ỏ nhất th a mãn iỏ ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 và 𝑎 ≠ 0,<small>𝑝𝑖</small> 𝑛ế𝑢 khơng có p thỏa mãn thì tăng i lên 1 đơn vị

B2: N u pế ≠ 𝑖 thì đổi ch hàng p và hàng i ỗB3: Với j = i + 1, i + 2,….n

Xét 𝑚𝑖𝑗=^𝑎𝑖𝑗_𝑎𝑖𝑖 𝑡ℎự𝑐 n phép gán (hiệ 𝐸<small>𝑗</small>− 𝐸𝑖. 𝑀𝑖𝑗) → 𝐸<small>𝑗</small>

B4: K t thúc vòng lế ặp và tăng i lên 1 đơn vị, nếu i nhỏ hơn n và lặ ại bướp l c 1 Phần 2: Kiểm tra các hàng

B5: Nếu 𝑎 ≠ 0<small>𝑛𝑛</small> : 𝑥𝑛=^{𝑎𝑛,𝑛+1}_𝑎𝑛𝑛

B6: V i m i i= n 1, n ớ ỗ – – 2,… 1 thì: 𝑥𝑖=^{𝑎𝑛,𝑛+1−}^∑^𝑛<small>𝑗=𝑛+1</small>^{𝑎𝑖𝑗 𝑗}^.𝑥

Xuất output: nghi m c a h ệ ủ ệ phương trình (𝑥1, … 𝑥𝑛) B7: Nếu {𝑎<small>𝑛𝑗</small>= 0 𝑗 = 1, 𝑛 ∀ ^{}

𝑎𝑛,𝑛+1≠ 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<small>11 </small>Xuất output: “hệ phương trình vơ nghiệm” Xét hàng 𝐸𝑛

B8: Nếu 𝑎 = 0 ∀𝑗 = 1,𝑛 + 1<small>𝑛𝑗</small>  → 𝑋ó𝑎 hàng 𝐸<small>𝑛</small>

gán n = n 1 và th c hi– ự ện B9 đến khi các hàng có ít nh t 1 ph n t ấ ầ ử≠ 0. Phần 3: Trường hợp h có vơ s nghi m ệ ố ệ

B9: V i i = 1, j = i, ki m tra ớ ể i ≤ 𝑚. Nếu sai chuy n tể ới bước cuối B10: V i hàng i ch n s j nhớ ọ ố ỏ nhất sao cho 𝑎 ≠ 0<small>𝑖𝑗</small> , lưu j vào mảng 𝑎1[i]=j

và ti p tế ục tăng j thêm 1 đơn vị.

B11: Lưu vị trí j ng v i hàng i vào m ng a[i]=j ứ ớ ảB12: Tăng ij thêm 1 đơn vị.

<b>2.3. M t s ví d v i code: </b>ộ ố ụ ớ

1. Gi i h ả ệ phương trình: {3𝑥^𝑥1₁− 𝑥^{+ 𝑥2}₂− 2𝑥^{+ 𝑥3}₃^{= 2}= 45𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₃= 10K t quế ả:

Đánh giá ví dụ: Đây là mt ví dụ cơ bản, dễ thấy khi đưa về dạng ma trận thì (𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 ))  nên h có nghi m duy nhệ ệ ất. Điều đó chứng tỏ trong điều ki n t t code hoạt đng ổn. ệ ố

2. Gi i h ả ệ phương trình: {0𝑥1^𝑥¹+ 0𝑥2^{+ 𝑥}²^{+ 2𝑥}+ 0𝑥3³^{= 5}= 45𝑥1+ 𝑥 − 2𝑥3<small>2</small> = 7K t quế ả:

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Đánh giá ví dụ: Dễ thấy h trên vô nghiệ ệm, code đưa về ế k t qu ả đúng là do đã ểm tra như bướki c B7 của thu t toán. ậ

3. Gi i h ả ệ phương trình: {^−2𝑥3𝑥1¹− 4𝑥2^{+ 3𝑥}²+ 𝑥3^{+ 3𝑥}³= 5^{= −9}−5𝑥1+ 7𝑥2+ 2𝑥3= −14K t quế ả:

Đánh giá ví dụ: Hệ phương trình trên lấy từ Ví d 1ụ , và code cho k t qu ế ảtương tự khi ta gi i b ng tay. ả ằ

<b>*Phân công: </b>

Lí thuyết: Cả hai cùng tìm hiểu lí thuyết của phương pháp

Thuật toán: Đức là người chịu trách nhiệm nắm vững lí thuyết.Từ đó viết thuật tốn cho phương pháp.

Code: Quang kiểm tra phần thuật toán Đức viết và trình bày code theo thuật tốn. Thêm đó Quang sẽ chuẩn bị slide báo cáo.

<b>*Đánh giá: </b>

Ở đây ta nêu ra mt số đặc điểm của phương pháp gauss: -Là mt phương pháp giải đúng nghiệm của phương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<small>13 </small>-Chia ra làm hai bước:Bước thuận và bước nghịch

-Ý tưởng đơn giản, tuy nhiên việc cài đặt hơi phức tạp bởi các trường hợp đặc biệt có khá nhiều.

*So sánh với các phương pháp khác:

-Sai số tính tốn khuếch đại hơn so với phương pháp Gauss Jordan do phương pháp Gauss-Jordan có áp dụng kĩ thuật chọn phần tử tri.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<b>Lời kết </b>

Trên đây là phần trình bày về phương pháp Gauss mà nhóm mình đã tìm hiểu. Đây là mt phương pháp đơn giản nhưng khá hữu hiệu để giải đúng những hệ phương trình tuyến tính có kích thước nhỏ. Tuy vậy, nó cũng có mt số hạn chế về tốc đ, khả năng thực hiện song song, … Do vậy, nó thường được sử dụng ở những hệ có hàng ngàn phương trình. Với những hệ có hàng triệu phương trình, những phương pháp lặp như lặp Jacobi, lặp Gauss Seidel… thường được lựa chọn vì những lợi ích về tốc đ mà nó mang lại.

Do hạn chế về thời gian và kiến thức nên phần trình bày của chúng mình có thể mt vài kiến thức cịn bị thiếu sót. Rất mong q bạn đọc có thể thơng cảm, hoặc hơn nữa, có thể góp ý sửa đổi bổ sung giúp cho báo cáo hoàn chỉnh hơn.

Cảm ơn TS. Hà Thị Ngọc Yến đã giúp nhóm mình nhận xét, sửa đổi, đánh giá bài báo cáo lần này!

</div>