<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Kiều

LUẬN ÁN TIEN SĨ CO HOC

<small>Hà Nội - 2021</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Kiều

Chuyén nganh: Co hoc vat ran

Mã số: 9440109.02

LUẬN ÁN TIEN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

<small>1. GS. TS. Phạm Chí Vĩnh</small>

2. TS. Đỗ Xuân Tùng

<small>Hà Nội - 2021</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

LỜI CAM ĐOAN

<small>Tôi xin cam đoạn day là cong trình nghiên cứu của riêng tơi. o số liệu và,</small>kết quả. duoc trình bày trong luận ấn là trung thực và chua từng, được ai oông

bô trong. bất kỳ cơng trình nào khác.

<small>Hà Nội, ngày thang nam 2021</small>

<small>Nghiêu cứu sinh</small>

Nguyễn hi Kiều

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

LỜI CÁM ƠN

<small>Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng, dẫn khoa. hoe oúa,</small>

GS. T'S. Phạm Ohi Vĩnh và TS. Đỗ Xuân Tùng, những người Vhay tâm huyết

<small>da tau tình hướng dẫn và định hướng cho tơi trên con đường khoa học, Oáo</small>Thầy không chi tao ra những thứ thách giúp tơi tự hoo hỏi, tìm toi và sáng: bạomà von dạy tôi sự nghiệm tiv trong khoa họo., lồi xin bày bỏ long biết ơn vô

cùng, sâu sắc đến Thầy Phạm Ohi Vĩnh và Thay Đỗ Xuan Ling.

<small>Toi xin chân thành oắm ơn Thầy Trần Thanh Tuấn đã giúp đỡ toi trong</small>

việc lập trình tính tốn số của luận ấn.

Toi muốn bày tỏ sự biết ơn chan thành đến Ban giám hiệu Trường Dai họcKiên trúo Hà Nội, Ban chit nhiệm Khoa Xây dựng, Bộ môn Oa lý thuyết da dongviên, khuyên khích, tao mọi điều kiện cho bơi hồn thành luận ấn. Tơi xin châuthành vim Gu vio thay, trong BO môn Oc họo, Khoa Toần- Od- Lin học, Trường

<small>Đại hoo Khoa học ‘Lu nhiên, Dai hoe Quốo gia Hà Nội, áo anh chi trong nhómxơmina ola hay Vinh đã hướng dẫn, chia số kiến thức, kinh nghiệm cho toi.</small>

Ouối ving, tơi xin bày t6 lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình toi đã. ln luôn

giúp đỡ, doug viên va ủng hộ tôi trong suốt quá trình làm luận ấn.

<small>Hà Nội, ngày thang nam 2021</small>

<small>Nghiêu cứu sinh</small>

Nguyễn Thị Kiều

<small>iL</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Mục lục

MO DAU 1

Chương 1 LÔNG QUAN 6

<small>1.1L Biên, biên phan chia... ee ee 6</small>

1.2 Biên, biên phân chia v6 độ uh4m thấp ... 7

<small>1.3 Biên, biên phan chia có độ nhấm cao 2... ee 8</small>1.4 Thuần nhất hoa biên, biên phan chia độ nhấm ao ... 10

14.1 Ý tưởng giải quyết bài toán ... 10

1.4.2 Sự phát triển của bài toán trước luận ấn ... 10

1.5 Oáo vấn đề nghiên cứu trong luận ấn ... 13

<small>1.61.7</small>15.1 Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấm oao đối với lý<small>1.5.2 Phan xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độwham CAG. - da na... 15</small>

1.5.3 Su tương đồng giữa phương, trình cơ bắn dang ma tranvới điều kiện liên bụo trên biên phân chia ... 16

<small>Mục tiệu nghiện cứu của luận ấn... d6Nội dung chính olta luận ấn... . . . ee 16</small>

Chương 2 THUẦN NHAL HÓA BIEN PHAN CHIA ĐỘ

<small>2.1</small>

NHAM OAO GIỮA HAL MIỄN DAN HỘI XOP 19

Thuần nhất hóa biên phân chia độ uhém vao giữa hai miền đầuhồi xốp trong miền hai chiều theo mơ hình oủa Aurlanlt... 20

<small>2.1.1 Ode phương trình vd bau dạng ma trận ... 20</small>

2.1.2 — Oáo điều kiện liên tụo dạng ma trận ... 242.1.3 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dang ma trận . 26

<small>lil</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<small>2.1.4 Phan tích sự tương đồng giữa phương trình cơ bắn dạng</small>

ma trận và điều kiện liêu tuc dang ma trận... 402.1.5 Odo phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dang thành

phần cho vật liệu đàn hồi xốp true hướng... 412.2 Thuần nhất hoa biên phân chia độ nhấum vao giữa hai miền dan

hồi xốp trong miền ba chiều theo mơ hình oửa Bliot... 44

<small>2.2.1 Ode phương trình cơ ban dạng ma trận... 44</small>

<small>2.2.2 Odo điều kiện liên tue dạng ma trận ... 502.2.3 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận . 52</small>

2.2.4 Odo phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dạng thành

phan cho vật liệu đàn hồi xốp trực hướng... 62

Chương 3 THUAN NHẬT HOA BIEN PHAN CHIA ĐỘNHÁM OAO QUA LY THUYELT DAN HƠI

MIOROPOLAR. 67

<small>3.1 o phương trình vo ban dạng ma tran... ee ee G7</small>

3.2 Oáo điều kiện liên tuc dạng ma tran... ốc... 103.3 Phương trình thuần nhất hoa dạng wa tran ... 0.200. 713.4 Phương trình thuần nhất hóa dạng thành phan ... 76

Chương 4 UNG DUNG CỦA CÁO PHƯƠNG TRÌNH THUẦN

NHẬT HĨA DANG HIỆN OHO BÀI LOAN

PHAN XA, KHÚO XA 80

<small>4.1 Sóng ngang, sOug ỌU 2... 81</small>

4.2 Sự phan xa, khúo xa vita sóng SH đối với biên phân chia độ nhấu.

vao trong môi trudug đàn hồi đẳng hướng ... 83

<small>4.2.1 Dat bal toda... 83</small>

<small>4.2.2 — Oáo sóng tdi, phan xạ, khÚU xa... ee 86</small>

4.2.3 Oông thứo hiển của hệ số phan xạ, khúo xạ... SƠ<small>4.2.4 Su phụ thuộo của, vic hệ số phan xa, khúo xa vào góo tới</small>

<small>va dạng biện phần chia... ee g2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

4.2.5 Baud gap oúa sóng SH đối với biên phân chia độ nhém

<small>11... 96</small>

4.34 Sự phan xạ, khúo xạ vita sóng SH đối với biên phân chia độ nhấu.

vao trong môi trường đàn hồi xốp trực hướng... 103

<small>4.3.1. Dat bài OẤNH... . . 0.0. Q Q Q kg na 105</small>

4.3.2 Oông thứo hiển oúa hệ số phan xạ, khúu xạ... 105

4.3.3 Su phụ thuộc của. vac hệ số phan xạ, khúo xạ vào mot

<small>8 8... an HR 112</small>4.4 Sự phan xạ, khúo xạ của sóng 06 chuyển dịch deo đối với biên

phan chia độ nhấm cao trong môi trường đàn hồi mioropolar

<small>4.4.1 Đặt bài bOấUH... es 117</small>

<small>nơ... AT 119</small>

4.4.3 Biếu diễn Stroh via ốo bán khơng gian và lớp... 120

<small>44.5 — Oấu sóng khÚU xa... ee 124</small>

4.4.6 Ma trận chuyỂH... . . ee ee 125

4.4.7 Qáo hệ số phản xạ, khÚo xa... ee ee 12844.8 Khảo sát số sự phụ thuộc oủa hệ số phan xạ, khúo xa

vào một số bhaạ1h SỐ... .. . . c c ca 13145 Kétluan.. ẽ .. .e . ...Ơ.Ơ.ƠÍƠồỒ ee 134

KEL LUẬN 135

DANH MUO CƠNG TRÌNH KHOA HOC CỦA ‘LAC GIÁ

LIEN QUAN DEN LUAN AN 138

TÀI LIEU THAM KHAO 139

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Danh sách hình ve

<small>Biên, biên phan chia... . . Q HQ eeBiên phan chia... . . . co co HH nh ra</small>

Miền hai chiều QC?) và QCM) với biên phân chia độ nhấm cao L. .

Miền chứa. biên phan chia độ nhấm oao được thay, bằng lớp vật

liệu 06 biên là phẳng —A < z3<Ú... ee

Biên phan chia độ nhấn oao 7, giữa, hai bán không gian đàn hồi

xốp hai chiều NM và QC)... 22.2 Q0 ee

<small>Miền lẫy tích phan...</small>

Biên phân chia hình lược L giữa hai bán không gian đàn hồi xốp¡8n 8. .ốẮẮ.Ặa a. .Ẽ TỪ.

Oáo miền ba chiều QM) và QO) được phân chia bởi mat trụ oÓ

<small>s21? 15 ằŠ . HA . . . . .</small>

Biên phan chia hình luge L giữa hai bán không gian dan hồi xốp

<small>ba chiều... . . co</small>

Biên phan chia độ nhấm oao 7, giữa hai bán không gian đàn hồi

mioropolar hai chiều QM) và Q),,.,,... 22.2

<small>Biên phan chia độ nhấm vao hình luge giữa hai bán khong gian</small>

<small>Biên phan chia dang hình răng, cute (a) và hình sin (ib) 2... ..</small>

<small>SOuG UAUZ UP... .“a...:. Ha</small>

<small>SOug 1 Ta aaaaq.R HT.</small>

Su phan xạ, khúo xạ của sóng. SH đối với biên phan chia độ nhéimSự phan xạ, khúo xa vita sóng SH đối với lớp vật liệu khơngthuần nhất... ... ... 0. c c n ee

<small>yi</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>Ohia lớp vật liệu không thuần nhất thành n lớp cou thuần nhất, 88</small>

<small>Hình anh phóng to cla ba dang biên phân chia (ương tu với</small>

<small>hình nhỏ trong hình 4.3). 0.0 ee 92</small>

Sự phụ thuộc ota mô dun |R| và |T| cla cáo hệ số phan xạ, khúo

<small>xạ cho ba dang biên phan chĩa... . . . c c c . c 94</small>

Sự phụ thuộc dủa mô dun || và |T| oủa oáo hệ số phan xa, khúo

<small>xa vào độ oao không thứ nguyên oửa biên phân chia ... 95</small>

Sự phụ thuộo oủa. ốo mơ dun |R| và |T| cla áo hệ số phan xa,

<small>khúc xạ vào độ rộng. cua biện phân chia dạng hình lược ... 95</small>

<small>Biên phau chia độ nhấm cao hình luge độ rộng. ctta răng, lược</small>

biến thiên tuần hoàn. ... ee ee 96

Sự phụ thuộc của mô dun |7| cla hệ số khúo xạ vào tần số không:

<small>thứ nguyên wH/(276,) cho hai trường hợp: pe = 2 and jy = 20v. 8</small>

Miền band-gap phụ thuộc vào N với hai trường hợp po = 2 và

Miền band-gap phụ thuộc vào ti số độ cứng, olla hai bán không,

<small>00/12 18... ẮằốẮẲẮ.. 100</small>

Miền band-gap phụ thuộc vào biên độ không thứ nguyên. A/a

của độ rộng răng luge biến thiên. ... 100Miền band-gap phụ thuộo vào góo tới với hai trường hợp: =

<small>2Hạ và dạ = 2ì. Go phan xạ tới hạn tug với trường hợp dưới</small>

<small>[To| vào góo tới 0(0<0<900)... LH</small>

Sự phụ thuộo của mô dun hệ số phan xạ |R| vào e¡ € [0.1, 0.9]... 114

Sự phụ thuộo ola mô dun hệ số khúo xạ [7| vào eị € [0.1, 0.9]... 115

<small>Sự phụ thuộo cla m6 dun || va [7 vào eg € [0.1, 3] cla || va [7.115</small>

Sự phụ thuộc cla mô dun hệ số phấn xa, khúo xa |R|, [7| vào

Su phan xạ, khúo xạ dúa sóng tới chuyến dịch dọc. ... LIZ

<small>vil</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>f Sự phụ thuộc cla mô dun |7</small>

<small>Ohia lớp không thuần nhất v6 độ dày H thành N lớp con thuần</small>

<small>Su phụ thuộo cla m6 dun |R</small>

<small>Chia. 2 ee .</small>

<small>Sự phụ thuộo oủa mô dun |7'In. --(c( .Su phụ thude uủa m6 dun |?với ba dang biêu phan chia.</small>

<small>ba dạng biện phan chia. . .</small>

<small>Sự phụ thuộo cla mo dun</small>

<small>phần cha...</small>

<small>Rị và T| theo dao trưng cla biên</small>

<small>vill</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

MỞ ĐẦU

Tính thời sự của đề tài luận ấn

Trong thực tê xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến biên hay biên phânchia độ nhấm cao (biên độ ctia chúng lớn hơn nhiều chu kỳ trong trường, hợptuần hồn), như sự tan xạ a sóng điện-bừ trên bề mặt oó độ nhấm cao của, một

vật thé, sự udu a ốo bắn móng 06 độ dày thay đối nhanh, sự phan xạ và khúo

xa olla áo sóng phẳng, tai biên phan chia có độ nhấm cao giữa hai mơi trường,

đàn hồi, chuyển động của ốo dịng: chất long giữa cáo bức tường. độ nhấm cao,...

Oáo bài toán liên quan đến biên hay biên phân chia độ nhấm cao thường,

được giãi bằng cáo phương pháp sô. Luy nhiên, lời giái số thường khơng on định,độ chính xáo khong sao, do độ uhém öào vtta biên hay biên phân chia gây ra. Để

vượt qua khó khăn này; cao nhà, khoa hoc đã. đưa. ra ý tưởng thay, thé biên, biên

phan chia độ nhấm cao bởi cáo biên, biên phân chia phẳng, bằng oách thay miền

chứa biên hay biên phan chia độ nhấm cao bang mot lớp vật liệu mdi oó biện: là,

phẳng. Về phương diện toán học điều này v6 nghĩa; van tìm ra ốo phương trình.đạo hàm riêng mơ ta chuyến động. cia lớp vật liệu mới. OAc phương trình này.

được gọi là ốo phương trình thuần nhất hóa. Đó chính là ý tưởng, cia phương:pháp thuần nhất hóa biên, biên phan chia v6 độ nhấm cao.

Mục tiêu chính của. bài tốn thuần nhất hóa biên, biên phân chia vd độnhấm cao là thu ra cúc phương trành thuận thất hoa (chứ khơng, phải di giải oấophương, trình, như thơng thường). Nếu áo phương trình thuần nhất hoa đượotìm ra 06 dạng tường minh (dạng hiện), tito là áo hệ sO ctta chúng, là áo hàmhiện olta oáo tham sỐ vật liệu ctta vio môi trường và oấo tham số hình hoo đặo

<small>trưng, cho biên hay biên có phan chia độ nhấn cao, chúng, sẽ trổ thành mot cong</small>

ou quan trong để giải oáo bài toán thực tê kháo nhan. Do vậy, thuần nhất hoabiên, biên phân chia vd độ nhám cao để tìm ra sáo phương trình thuần nhật hoa

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

dạng hiện là một bài toán hết sức c6 ý. nghĩa về oA phương diện lý thuyẾt và ứng,dụng thực tiễn, đang đượo nhiều nhà khoa hoc quan tam. Luận ấn tiễn hành

thuần nhất hóa biên phan chia độ nhám vao để tìm ra ốo phương trình thuần.

nhất hoa dang hiện cho lý thuyết đàn hồi xốp và lý thuyết đàn hồi micropolar,nêu đề tài luận ấn có tính cấp thiết, thời sự, v6 ý nghĩa khoa. hoo và ứng, dụng:<small>thực tiễn.</small>

Mục tiêu của luận ấn

<small>1. Thiết lập cao phương trình thuần nhất hoa dang hiện của lý thuyết đàn hồi</small>xốp va lý thuyết đàn hồi micropolar trong oáo miền chứa biên phan chia độnhấm cao nằm giữa hai đường thang song: song.

2. Sử dung ốo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được, khảo sat sự

phan xạ, khúc xạ của cáo sóng phẳng đối với biên phân chia có độ nhám

Doi tượng va phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu:

<small>e Biên phân chia độ nhất cao giữa hai miền đàn hồi xốp,</small>

<small>e Biên phân chia độ nhấu cao giữa hai miền đàn hồi micropolar.</small>

e Sóng phẳng trong cáo mơi trường dau hồi, đàn hồi xốp và đàn hồi

<small>Pham vi nghiên cứu:</small>

<small>e Phương trình thuần nhất hoa dang hiện (dạng tường, minh).</small>

<small>s Sự phan xạ, khav xa cla song.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dung phương. phấp thuần nhất hóa kết hợp cách biếu diễn gấu

phương. trình oo ban, cáo điều kiện liên tuc của. lý thuyết đàn hồi xốp, đàn hồi

micropolar dưới dang ma trận và cách biểu diễn nghiệm vi mơ-vĩ mơ.

Những đóng góp mdi cua luận án

<small>1. Tìm ra áo phương, trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với biên phan</small>chia độ nhám cao nằm gitta hai đường thẳng song song cho cáo lý thuyết:

<small>e Lý thuyết đàn hồi xốp.</small>

<small>e Lý thuyét đàn hồi micropolar.</small>

Oáo phương trình thu được là ơng, cu quan trọng, để gidi oáo bài boán thực bô

<small>kháo nham liên quan đên biên phân chia độ nhấm cao.</small>

<small>2. Khao sát sự phan xạ, khúc xạ đối với biên phân chia độ nhấm vao năm</small>giữa hai đường thang song song: ota:

* Sóng SH trong mơi trường dan hồi.

e Sóng SH trong mơi trường đàn hồi xốp.

e Sóng chuyển dich dọo trong mơi trường đàn hồi micropolar.

o ơng thức dạng đóng cho hệ số phan xa và hệ số khúo xa đã. được tim

Sứ dung oáo cOng thứo này, luận án đã, chi ra rằng, biên phân chia độ nhém

oao tuần hồn dó khé năng ngăn can sóng đi qua trong một khoảng, tần số nào

<small>đó (dude gọi là band gaps).</small>

3. Phát hiện "dang tương, đồng” của. áo phương trình co bản dạng ma tranvới điều kiện liên tụo.

Dang tương đồng giúp việo giải bài tốn trên nhân tuần hồn đơn giản vakết q: ốo phương trình thuần nhất hóa thu được ngắn gọn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Cau trúc của luận án

Luận ấn gdm bốn hương, phần mở đầu và phan kết luận.

Chương 1: Tong quan

Trình bày tổng quan về sự phát triển cla bài tốn thuần nhất hóa biên, biên.

phân chia độ nhấm cao trước luận ấn. Tiên cơ sở đó, xáo định ốo vẫn đề đượo

<small>nghiên cứu trong luận ấn, các mục tiêu chính và nội dung chính cotta luận ấu.</small>

Chương 2: Thuần nhất hóa biên phan chia độ nhát cao giữa hai

miền đàn hồi xốp

Ohuong 2 tiên hành thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấm ao nằm giữa

hai đường, thắng song song đối với lý thuyết đàn hồi xốp theo mô hình củaAuriault (trong miền hai chiều) và mơ hình Biot (trong miền ba chiều). Dé tìm

được áo phương. trình thuần nhất hoa dang hiện, luận ấn đã. sử dung áo kỹthuật oo bắn của phương phấp thuần nhat hoa đưa ra bởi Vinh và Tùng.

Chương 3: Thuần nhất hóa biên phan chia độ nhám cao giữa hai

miền dan hồi micropolar

Ohương 3 nhằm thiết lập ốo phương trình thuần nhất hóa dang hiện cita lýthuyết đàn hồi micropolar trong oấo miền oó biện phân chia độ nhấm va. Gia

thiết vật liệu đàn hồi mocropolar là đẳng hướng tuyên tính. Phương pháp dude

sử dung là phương pháp thuần nhất hóa.

Chương 4: Ứng dụng của các phương trình thuần nhất hóa dạng

<small>hiện cho bài tốn phán xạ, khúc xạ</small>

Sử dung áo phương. trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được, luận ấn

<small>nghiên cứu oấo bài toán sau:</small>

1. Bài toán phan xạ, khúc xa vita sóng, SH đối với biên phân chia độ nhấmcao hình lược, hình răng cua, hình sin phân chia hai bán không gian đàn hồi

đẳng hướng kháo nhau. Khao sát số sự phụ thuộc cửa cáo hé số phan xa, khúu

Xa vào góo tới, tan sO sóng. và. ốo tham sỐ vật liệu,... Đã, chi ra rằng, biên phanchia (buần hồn) độ nhấm cao khá năng ngăn chặn sóng đi qua trong mộtkhoảng nào đó của, tần số (baud gaps).

2. Bai tốn phan xạ, khúo xa của sóng SH đối với biên phân chia độ nhấmoao 6ó dạng hình lượo trong môi trường đàn hồi xốp trực hướng. Luận ấn dathiết lập được cơng thức tính cáo hệ số phắn xạ, khúo xa olla sóng. và sử dung

vav ơng bhứo này để kháo sát số sự phụ thuộc oúa cáo hệ số phan xạ, khúo xa

<small>4</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

vào một số bhau so.

3. Bài toán phan xạ, khúo xa olta sóng phẳng, chuyển dịch deo đối với biênphan chia độ nhấm cao giữa hai bán không gian dan hồi micropolar đẳng hướng,

Đã tìm ra ốo cơng: thứo tính hệ số phản xạ, khúo xa và kháo sát sự phụ thuộoolla vio hộ số phan xa, khúo xạ vào một số tham sd.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>Hình 1.1; Biên, biên phân chia</small>

Xét vật thể Q dude giới han bởi mat S. Khi đó, mat S$ dude gọi là biên(boundary) vita vat thé © (hình 1.1).

Gia sử, vat thế Q gồm cáo vật liệu kháo nhan được phân vach bởi vo mat

<small>Tị, Fa và T3. Khi đó, cấo mặt Ty, [2 và đượo gọi là biên phân chia (interface)</small>

(hình 1.1). Mat Ty là biên phân chia phẳng, mặt Tạ là biên phan chia nhấm v6dạng bất ky và mặt Ts là biên phân chia nhấum tuần hoàn.

Trong luận du tru, ta cht rót cdo biên phéw chia phán tuần hồn.

Nếu biên độ A của biên, biên phân chia tuần hoàn nhỏ hơn nhiều so với chukỳ c thì chang đượo gọi là biên, biên phan chia vd độ nhấm thấp (xem Ty trong,

<small>hình 1.2).</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Ngược lại, nêu A lớn hơn nhiều so với ¢ thì biên, biên phan chia dude gọi là,</small>

<small>biên, biên phan chia v6 độ nhấm cao (xew Ts; trong hình 1.2).</small>

(a) Biên phân chia độ nhám thập (b) Biên phân chia độ nhám cao<small>Hình 1.2: Biên phan chia</small>

1.2 Biên, biên phân chia có độ nhám thấp

Trong cáo lĩnh vue kháo nhau của khoa học và cơng nghệ, xuất hiện nhiềubài tốn liên quan đến biên hay biên phân chia nhấm, như sự tấn xa olla oấosóng: trên biên nhấm, q, trình truyền ctta v4c sóng, đàn hồi, sóng âm, sóng điệu

<small>từ qua biên phan chia nhấm giữa hai mor trường... Khi biện phân chia có độ</small>

nhấm thấp (biên độ nhó hơn nhiều so với chu kì a nó), để giải quyết ốo bài

<small>tốn này, cáo nhà khoa họo thường sử dụng phương pháp nhiễu (perturbation.</small>

method) với tham số bé ctia lý thuyết là ti số ola độ cao biên nhấm: với độ dài

olla sóng. bới. Với ốch tiếp van này, cáo xấp xí tần số thấp vita nghiệm da dude

tìm ra. Đến năm 1981, Nayfeh |#9| đã. tống, kết phương, pháp nhiễu thành sáchchuyên kháão. la v6 thé kế đến một số nghiên ottu tiêu biểu áp dụng phương.pháp nhiễu, Năm 1996, Hawwa và Asfar [38] đã sử dụng, phương pháp nhiễu để

nghiên cứu bài tốn truyền sóng SH trong lớp mà hai mặt của, lớp dang hình

sin u. Odo báo gid đã thay biên coug bởi biên phẳng và biếu diễn trường sóng.

SH thành chuỗi lũy, thừa. của tham số bé đặo trưng, cho nhiễu nhỏ trên biên của,

lớp. Bài toán dẫn đên vido giải liên tiép áo phương trình ứng với cáo xấp xỉ

<small>kháo nhan, Nam 2008, Singh va Lomar 62] đã nghiên cttu sự phan xạ, khúo xạ</small>

của. sóng. quasi-P đối với biên phân chia nhấm giita hai bán khong gian đàn hồi

kháo nhan 06 ứng suất trước. Singh và Tomar sử dụng phương pháp nhiễu để

<small>7</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

tìm ra cáo hệ số phản xạ, khúc xạ cho xấp xi bậo nhất olla biên nhém. Nó v6dang đóng. nêu biên phân chia nhấm o6 cấu trúc tuần hoàn, Oc hộ số này phụ

thuộo vào g6c tới, tần số của sóng tới, ứng, suất trước, và gia sỐ ốo tính chất

dau hồi của hai bán khong gian.

Ta thấy rằng, cao phương pháp và vio kết qua đạt được của. bài tốn biênphau chia độ nhấn thấp đã. khá hồn chính nêu luận ấn khơng nghiên oứu vacbài tốn đối với biên phân chia độ nhấm thấp.

1.3 Biên, biên phan chia có độ nhấm cao

Hình 1.3: Miền hai chiều QM và QC) với biên phân chia độ nhấm cao

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

dày dao. Oáo táo giả da sử dung lý thuyết dau hồi tuyên tính ba chiều, phương:

pháp khai triển tiệm oận, thu được phương trình bac bốn đối với chuyến dich

olla mat gitta và oó xét một số ví dụ cu thé. Lalbot và ốo cộng, sự |ð0{ (1990) da

xét sự phan xạ và khúo xa vila một sóng phẳng. dién-tit đối với biên phan chia

<small>v6 độ nhấm cao giữa hai m6 trường kháo nhau. Biện phân chia là wot đường.</small>

cong buần hồn vd hình dang tùy ý. OAc phương trình tích phân trên biên phanchia được giải số nhưng khối lượng, tính tốn rất lớn do biên độ nhấm vao. Vivậy, họ đã thay thé miền chứa biên phân chia độ nhấm cao bởi một lớp vật liệu

06 tinh chất thay đối theo chiều dày, Odo kết quá oúa nghiên cttu v6 thé đượcấp dụng. để thiết kê oáo bề mặt nhám làm giảm hệ số phan xạ oửa sóng.

Ta thấy rằng, odo bài tốn liên quan đến biên hay biên phân chia độ nhậm.vao khơng. lời giải giải tích. o táo gia đã, sử dung phương pháp sơ |44,66,80],

... để gidi ốo bài tốn này, Tuy nhiên, vido mơ phóng số rất khó khăn vì 6 miền

gầu biên can nhiều nút lưới và. cau trúo lưới khong xáo định, nghiệm số v6 tính

on định khơng. cao.

Để vượt qua khó khăn này, cdo nhà khoa học đã. đưa ra ý tướng thay, thé

biên phân chia độ nhấm cao bởi oáo biên phẳng bằng cach thay, miền chứa, biênphan chia oó độ nhấm cao bằng một lớp vật liệu mới biên là phẳng, (xem hình

1.4). Đó chính là ý tướng, chính để giải quyết bài tốn thuần nhất hóa. biên phan

<small>chia độ nhấm cao.</small>

Hình 1.4: Miền chứa biên phân chia độ nhám ao được thay bằng lớp

vật liệu v6 biên là phẳng —A < 23 < 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

1.4 Thuần nhất hóa biên, biên phan chia

độ nhám cao

1.4.1 Ý tưởng giải quyết bài tốn

Ý tưởng giải quyết bài tốn thuần nhất hóa biên, biên phân chia độ nhấm

cao la: thay miền chứa, biên, biên phân chia độ nhấm cao được bởi một lớp vật

liệu mới 06 biên phẳng, (xem hình 1.4). V6 mặt tốn hoo điều này 06 nghĩa; gầntìm ra oấo phương trình đạo ham riêng mơ bá ohuyễn dong ota lớp vật liệu mới.

Oáo phương trình này được gọi là áo phương trình thuần nhất hóa. Mục tiêu

chính của bài tốn thuần nhất hóa. biên, biên phan chia v6 độ nhấm vao là. tim

ra cúc phương trành thuận nhất how (chứ khơng phải di giải ốo phương, trình,

như thơng thường), Nêu dáo phương trình thuần nhất hóa được tim ra v6 dạng,tường minh (dạng hiện), bức là cáo hệ số cla ching là áo hàm hiện olla vac

<small>thanh sỐ vật liệu của, cáo mơi trường, và ốo tham số hình học dae trưng cho biên:</small>

<small>hay biên có phân chia độ nhấn ao, chứng số trở thành mot ông cu quan trong</small>

để giải oáo bài toán thực tế kháo nhau.

1.4.2 Sự phát triển của bài toán trước luận án

Lịch sử phát triển olla bài boán thuần nhất hoa biên phan chia độ nhém oao06 thé chia thành hai giai đoạn: giai đoạn brướo năm 2010 và giai đoạn ti 2010

đến trước luận ấu.

e Thuậu what hóu biên phau chia độ nháuw coo trước trăn 2010.

Trong giai đoạn này, ta vd thế kế đến cong trình nghiên ottu cia Nevard và,

<small>Koller [BI| (1997). Nevard và Keller nghiên ottu thuần nhất hóa biên phan chia</small>

có độ nhấm cao cho mot bài tốn biên v6 nguồn gốo tit bài toán truyền nhiệt

dừng. và bài tốn truyền sóng. Nhóm táo giá đã sử dụng phương phấp thuần

nhất hóa cho trường hợp khi biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường

thẳng song, song, hai đường trou đồng tam. Ainirat và oáo cong sự [2| (2004) daphan tích dáng điệu tiệm can dúa áo nghiệm cho oáo bài toán phố với toán tử

Laplace trong oấo miền với biên dao động nhanh. Oáo số hạng chính trong khai

triển tiệm van cho oáo hàm riêng được xây dựng, sau đó đưa ra áo đánh giá

<small>10</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>tiệm van dứa nghiệm xấp xí so với nghiệm chính xáo. Déu năm 2005, De Maio</small>

và oấo cOng sự [46] đã xét bài tốn biên cho phương trình Poisson trong miền<small>với biên v6 độ nhám dao dang hình lược. Oáo rang lide dude chia làm hat whom</small>với hai độ dao kháo nhan, Điều kiện biên trên oáo oạnh bên vita cáo răng lược là,

điều kiện Robin. Sử dụng cáo kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hoa để tìm

được phương trình thuần nhất hoa và. thiết lap được ốo đánh giá sai số giữa,nghiệm chính xáo và nghiệm thuần nhất hóa. Nam 2007, Amirat va oấo oộng:

sự || nghiên ottu bài toán pho Dirichlet cho boán ttt Laplace trong miền hai chiều

06 biéu phan chia độ nhém cao hình ring lược. Tiếp đến nim 2009, Kazimerchuk

<small>va Melnyk |42| đã nghiên ottu bài tốn biên cho phương trình Poisson với biên</small>

phân chia hình răng lược và điều kiện biên trên oạnh béu oúa. oấo răng lược làđiều kiện biên Signorini. Odo tac giả đã tìm được phương, trình thuần nhất hoava điều kiện biện tương ứng nhờ sử dụng cáo kỹ thuật oửa phương phấp thuần

nhất hóa,

<small>drong vio cong trình nghiên cứu trên chủ yêu tập trung vào oấo bài toán</small>thuần nhất hoa biên hay, biên phâu chia độ nhấm: cao một phương trình, Những,

nghiên cứu về bài tốn biên phân chia độ nhấm cao với hai phương, trình trở lên

cịn rất hạn ohơ và áo phương trình thuần nhất hóa thu đượo vẫn ở dạng ấn.

Trong |B1|, Nevard va Keller (1997) đã, sử dụng phương pháp thuần nhất hoa

đối với biên phân chia ba chiều phân chia hai vật đàn hồi dị hướng, tổng, quất.Họ đã tìm được cáo phương trình thuần nhất hóa nhưng dưới dạng an vi ốo hệ

sỐ olla phương trình được xáo định bằng, vide giải 27 phương trình vi phan đạohầm riêng. Năm 2003, Gilbert và Ou |35[ nghiên cứu sự thuần nhất hoa đối với

biện phan chia độ nhấm cao ba chiều phan chia hai vật thé đàn hồi xốp và gấuphương trình thuần nhất hóa thu được ving ở dang ấn. Ohú ý rằng, Nevard và,

Koller [51], Gilbert và Ou [35] đều bắt đầu với ác phương trình oo bắn và điềukiện biên dạng thành phần tương tng của. lý thuyết đàn hồi và lý thuyét dau

hồi xốp để thu được oáo phương: trình thuần nhất hóa.

e Lhudu what how biêu phan chia độ nhá coo tt tăuẽ 2010) đếu trước luận én.

<small>Kháu với dáo tao gia trên, Vinh và Lung [72-74| da sử dung cáo phương trình</small>oG ban và điều kiện biên dang ma trận (không phái dạng thành phan) để tim

odo phương trình thuần nhất hóa. Với ốch tiệp oận này, cáo báo giả đã tìm dude

dáo phuong trinh thuận thất héa dang hiệu đối với bài toán biên phân chia vd

độ nhám cao dao động giữa hai đường, thang song song, hai đường, tron đồng,

<small>lãi</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

tầm olla cáo lý thuyết đàn hồi, đàn điện và dau nhiệt. OAc phương trình thuần

nhất hóa dang hiện nghĩa. là ốo hệ số olla chúng là áo hàm hiển cla áo thamsố vật liệu va dae trưng, hình học của biên phân chia. Vì vậy, cáo kết qua đạt

được là ng. cu để giải quyết vc bài toán thực tế kháo nhan. Ví dụ như nam

<small>2015, Qi-Ohang He, Le Quang Hung va cấo cong sự đã sử dung oách tiệm van</small>

nghiệm cla Vinh và Tung để nghiên cứu oáo tham số hiệu dụng của vật liệu

composite |30,52,08|. Hơn nữa, oáo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện von

được sử dụng: để kháo sát bài tốn phan xạ, khúo xa a sóng: đôi với biên phan

<small>chia 06 độ nhấm! cao g1ữa hai LIội trường,</small>

<small>e Su công bênh. cia phương trành thuần nhất bóu khả biên phan chia dav động</small>

giữu hat đường tron đồng tơm.

Trong khi véo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện ctta lý thuyết đàn

hồi, đàn-đện đối với biên phan chia dao động, nhanh giữa hai đường thang song,

song 06 dang ngắn gọn (bham khảo |76]) thi chúng rất cOug kềnh khi biên phanchia dao động, nhanh giữa hai đường, tron đồng, tâm (than kháo [74|). Oc hệ

số vita chúng. khơng. chi chứa ốo tốn ttt trung bình (như trường hợp biên phanchia dao động nhanh giữa hai đường thang song song) mà, n chứa, chính ốo

hằng số vật liệu ola từng môi trường. Nguyên nhân gây ra: điều kiện liên bụođối với véo tơ ứng, lực trên biên phân chia dao động nhanh giữa, hai đường, tron

đồng. tâm, ngoài oáo đạo hàm riêng bao nhất của chuyển dịch, còn chứa. chínhbắn thân chuyển dịch. Ohú ý rằng, điều kiện liên tuo đối với véo tơ ứng. luo trên

biên phan chia dao động nhanh giữa hai đường phẳng song, song, chi chứa đạohầm riêng. bậo nhất ota chuyến dich.

Vì ốo điều kiệu liên bụo đối với véo tơ ứng lực trên biên phân chia dao động.nhanh giữa hai đường thing song song, phan chia hai môi trường dan hồi xốp

hoặc hai mơi trường đàn hồi mioropolar, ngồi cáo đạo hàm riêng bac nhất cotta

chuyến dịch, con chứa chính bắn than chuyến dịch, nên ốo phương. trình thuần

nhất hóa dang hiện thu được sẽ rat oồng kềnh nêu luận ấn tiếp tuo sử dung kỹ

thuật dúa Vĩnh và Lung [72| mà không, v6 sự phát triển.

<small>12</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

1.5 Các vẫn dé nghiên cứu trong luận ấn

1.5.1 Thuan nhất hóa biên phân chia độ nhám cao

đối với lý thuyết đàn hồi xốp và đàn hồi

Nhu ta đã chi ra ở trên, viv phương trình thuần nhất hoa dạng hiện đối

với bài toán biên phân chia độ nhấm vao của lý thuyết đàn hồi, đàn điện, dannhiệt đã. dude tìm ra bởi Vinh và Lung [72-74, 76|. Tuy, nhiên, theo hiểu biết

olla nghiên cứu sinh, áo phương. trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với dáolý thuyết phức tap hon như: lý thuyết đàn hồi xốp (poroelastioity), dau hồi

<small>micropolar vẫn chưa được tìm ra, Day là hai vật liệu (mơi trường) dang được</small>

<small>sử dụng rộng rãi brong ông nghệ hiện đại.</small>

Vật liệu dau hồi xốp, được tao bởi chất rắn đàn hồi xốp với ốo lỗ rỗng: chứa.chất lơng. hoặo khí. Odo vật chat tự nhiên như đá trầm tích chứa nước hoặc dầu,đất sót, bùn, ốt chứa đầy nướo hoặo khí, bọt nhơm chtta đầy khí, đáy biển xốp,

nguồn chita dau mó,... hoặo vac vật liệu nhân bạo như ốo vật liệu thơng, mình v6

hằng số dan hồi âm, xi mang, đồ gơm,... thé voi là mơi trường, xốp |34|. Day.

là vật liệu nhận được rất nhiều sự quan tam của cáo nhà, khoa, hoo trong nhiềuthập kỷ qua vì vai trị quan trong cla nó trong việc thăm dị dau khí, nghiên

cứu về hiện tượng: động đất, âm hov dưới nước liên quan đến sự lan truyền trong

<small>nướo bão hịa. |35| và trong, quang, học,...</small>

o phương, trình của lý thuyết đàn hồi xốp thu được bởi Biot [14,15] ti

lau đã. đượo xem như là chuẩn trong vide gidi cáo bài tốn đàn hồi xốp. rong,

mơ hình của. Biot, cáo hộ số cla ốo phương, trình oo bắn (governing equations)

<small>là đã. biết trước. Luy nhiên, khi hệ số nhớt lớn oấo phương trình này khơng</small>

cịn chính xáo. Với lý do này, cáo báo giả kháo đã. xét mơ hình mà tính đến ấu

cu trio vi mơ cy thể của, dáo lỗ rỗng, (mơ hình oủa Auriault) [5,6] và sử dụng

phương, pháp thuần nhất hoa dé nhận lại oáo phương trình cơ bắn của. lý thuyết

đàn hồi xốp tun tính. Lrong mơ hình cotta Auriault, để xáo định vac hệ số của,

dấo phương, trình này ta phải giải số ốo bài tốn biên trên nhân tuần hồntương ứng. Bài tốn liêu quan đến thuần nhất hóa. biên phân chia độ nhấuh cao

<small>13</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

trong môi trường đàn hồi xốp co thế kế đên đó là nghiên ottu oúa Gilbert và

<small>Ou. |B5| vào năm: 2003 theo m6 hình cla Auriault. Oấo báo gia da kháo sát qua</small>

trình lan truyền song âm trong vật liệu composite tao bởi hai vật liệu đàn hồixốp với biên phân chia độ nhấm vao ba chiều. Oách tiếp vam bài toán giống. vớiNevard-Keller, điều này dẫn đến hệ phương trình thuần nhất hóa thu được vẫn.

dịn ở dạng ấn. Do đó, luận ấn sẽ nghiện oứu bài tốn thuần nhất hóa biên phanchia độ nhấm oao ota lý thuyết đàn hồi xốp cho va hai mơ hình này, Ou thé là,

<small>thuần nhất hóa biên phan chia độ nhấm cao trong miền hai chiều của lý thuyết</small>

đàn hồi xốp theo mơ hình của Auriault và trường, hợp ba chiều số sử dụng mô

điển là trong lý thuyết đàn hồi wicropolar v6 thêm vector quay, cla áo phầntử vật chat. Điều này khiến cho lý thuyết đàn hồi micropolar trổ nên phức taphơn lý thuyết đàn hồi vd điển nhưng giúp việo mô ta chuyến doug và biến dang

olla vau trúc đầy đủ hơn, chính xáo hơn. Ví dụ về mơi trường. mioropolar đó làchat long từ, dịng cáo phân tử máu, mơi trường cấu trav hạt, xương.,....

Lý thuyết đàn hồi mioropolar được dua ra bởi Exiugen vào g1ữa những nim1960 |29, 30|. Năm 2007, Baljeot Singh |§| nghiên oứu q trình lan truyền sóngtrong mơi trường true hướng, đàn hồi micropolar và tìm ra ba vận bơo sóng phụthuộo vào góc lan truyền và ốo tham số vật liệu. Nam 2008, Kumar và, áo vdug

sự |45| kháo sát sự phan xạ, khúo xa olla cáo sóng phẳng tai biện phan chia

khong hồn hảo vita hai bán khong gian trực hướng đàn hồi micropolar.

Do vậy, luận án sẽ phát triển các nghiên cứu của Vinh và Tung để

tìm các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện cho hai môi trườngđàn hồi xốp và đàn hồi micropolar.

<small>14</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

1.5.2 Phan xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phan

chia độ nhấm cao

Bài toán phản xạ, khúo xa vita sóng đàn hồi 06 ý nghĩa, rất quan trọng trong

duu hyo, dia vật lý (geophysics), địa chau học nên da thu hút nhiều báo giá nghiên

<small>cứu như; l2wing et al. [82] (1957), Brokhovskikh |18] (1980), Brekhovskikh and</small>

Gordin [L9| (1992), Nayfeh [50] (1995), Borcherdt |I0| (2009)... Oáo nghiên oứn về

sự phan xạ, khúo xạ cla sóng đàn hồi chit yêu xót biên hay biên phân chia phẳng,

<small>như đối với vật liệu đàn hồi dị hướng v6 Rokhlin và cáo cộng sự [59] (1986),</small>Ohattopadhyay và Ohoudhury, |22| (1995), ..., đối với vật liệu đàn hồi có biến<small>dang trước là Hussain và Ogden || (2000), Ohattopadhyay và Rogerson |23|</small>

(2001), ..., đôi với vật liệu đàn hồi micropolar v6 Parfitt va Bringen 55] (1969),TOmar và Garg [70| (2005), Kuma và Sharma |45| (2008), ..., hay, đôi với vật liệudan hồi xốp dó Dai và áo dộng sự |25| (2006), Yeh và oáo cOug sự [79| (2010), ...Sự phan xa, khúo xa của vac sóng đàn hồi đối với biên và biên phân chia nhấu

<small>uững, thu hút sự quan tam cla odo nhà khoa hye bởi chúng, 06 ứng dụng rộng, rãi</small>

<small>trong thực tế. Luy nhiên, hầu hết áo nghiên oứu chí xét biên và biên phan chia</small>

độ nhấm thấp ví dụ như cic nghiên oứu của, Seshadri |ö0|, Stioklior |63|, Louar

<small>và Kaur [71|, Singh và Lomar [61|,...</small>

Trước năm 2010, vac hệ số phan xạ, khúo xa oủa sóng, đàn hồi đối với biênphân chia độ nhấm cao ohưa được tim ra do oấo phương trình thuần nhất hóa

đối với biên phân chia độ nhám oao đến thời điểm đó vẫn 6 dang an.

Từ năm 2010, cic táo giả Vinh và Tung đã tìm ra áo phương trình thuầnnhất hoa dang hiện cho cáo lý thuyết dan hồi, đàn điện va đàn nhiệt [72-74|. Sửdung cáo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi, oáo táogiá. đã. nghiên oứu bài tốn phau xạ, khúo xạ của sóng đàn hồi SH đối với biên

<small>phân chia độ nhéam cao hình lược.</small>

<small>Luận ấn sẽ nghiên cứu các bài toán phan xa, khúc xa của sống</small>

phẳng đối với biên phân chia độ nhấm cao nằm giữa hai đường thang

song song trong môi trường đàn hồi xốp và đàn hồi micropolar bằng

cách sứ dụng các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện được tim

Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, bài tốn phan xạ, khúo xa của oấo

<small>15</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

sóng: đối với biên phan chia v6 độ nhấun cao được dua về bài toán phắu xạ, khúo

xa đối với lớp vật liệu biên là phẳng. Từ đó thu được cơng thức dang hiệu

của hệ sô phản xạ, khúo xạ.

1.5.3 Sự tương đồng giữa phương trình cơ bản dang

ma trận với điều kiện liên tục trên biên phan

nêu trêu, sao cho áo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được v6 dang

<small>don gián, chi chứa vac bốn tu trung bình.</small>

1.6 Mục tiêu nghiên cứu của luận an

<small>Từ ốo phan tích nêu trên, cdc mue tiêu cua luận ấn là:</small>

e Thiết lập ốo phương, trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với biên phan chiađộ nhấm cao của lý thuyét đàn hồi xốp và dau hồi miorobolar.

<small>e Nghién cứu sự phan xạ, khúo xa của vc sóng đối với biên phân chia v6 độ</small>

nhấm cao trong môi trường đàn hồi xốp và đàn hồi micropolar.

<small>« lim ra dạng thích hop vita phương, trình oo bắn dang wa trận của, lý thuyết</small>

đàn hồi xốp và đàn hồi wmicropolar.

1.7 Nội dung chính của luận ấn

Nội dung chính ctta luận ấn là: tìm ra ốo phương trình thuần nhất hóa dang

hiện đối với biên phân chia độ nhám cao nằm giữa hai đường thang song song,

<small>16</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

của. lý thuyét đàn hồi xốp va đàn hồi micropolar và ứng dụng cáo phương trình

thu được nghiên oứu sự phan xạ, khúc xạ của ốo sóng, phẳng đơi với biên phan

<small>vhia vd độ nhấm vao.</small>

<small>Nội dung chính cua luận ấn số được trình bày, trong ba chương,</small>

Chương 2: Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao giữa haimiền đàn hồi xốp.

<small>Trong chương này, luận ấn xét sự thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi xốp</small>

06 biện phân chia độ nhấm cao hai chiều và ba chiéu tương ứng với hai mơ hình

Aurianlt và mơ hình Biot. Để tìm duoc cáo phương, trình thuần nhật hoa dang

hiện, luận án da sử dung phương pháp thuần nhất hoa [72-74|, viết ốo phương,trình oo ban và oáo điều kiện liên tuo của lý thuyết đàn hồi xốp dưới dạng ma

trận tương thích với điều kiện liên tuo và sử dụng biểu diễn nghiệm có tính dén

<small>dav trưng vi mô và dae trưng vĩ mô. Dạng thích hợp olla phương trình vd bản</small>

dang ma trận cla cáo lý thuyết được phát hiện trình bày trong chương này, Đólà dạng tương thích với điều kiện liên tụo trên biên phan chia.

Chương 3: Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấm cao giữa haimiền đàn hồi micropolar.

Oáo phương trình thuần nhất hóa dang hiện của lý thuyết dau hồi micropolarcó biện phân chia độ nhám cao được thiết lập trong chương này, Giá thiết vật

liệu đàn hồi wocropolar là dang hướng tuyên tính. Phương, pháp được sử dung

là phương phấp thuần nhất hoa [72—74|.

Chương 4: Ứng dụng của các phương trình thuần nhất hóa dang

<small>hiện cho bài tốn phán xạ, khúc xạ.</small>

Trong chương 4, luận ấn xét bài tốn phan xạ, khúc xa vita ốo sóng: đối vớibiên phân chia độ nhấm oao. Bai toán này được dua về xét sự phản xạ, khúo

xa olla sóng. đối với một lớp vật liệu 06 biên là phẳng. Odo bước tim hệ số phan

<small>xa, khúo xa của sóng được thực hiệu như sau: Thứ nhất, luận ấn sử dung oấo</small>

phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dang thành phan đã, tìm đượo. Sau đó,

việt biểu diễn nghiệm oủa áo phương trình này, và cho thỏa mau điều kiện liên

tuo bại hai biên phẳng ta số tính được ốo hệ số phắn xạ, khúo xạ oúa sóng. Từ

áo biếu thứo hệ số phan xạ, khứo xa cia sóng, ta kháo sát số sự phụ thuộc của,

áo hệ sỐ này. vào một số tham số, hương, 4 gồm cáo phan sau:

- Phần thứ nhất; Lính hệ số phắn xạ, khúo xạ của sóng SH đối với biên phan<small>17</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>chia độ nhấu: cao hình lược, hình răng cua, hình sin phan chia hai bau không.</small>

gian đàn hồi đẳng hướng kháo nhan. Khao sát sô sự phụ thuộc cia áo hệ số

phan xạ, khúo xa theo góo tới, tần số sóng. và. oáo tham sỐ vật liệu,..

- Phần thứ hai: Xét bài tốn phan xạ, khúo xạ oủa sóng SH đối với biênphan chia độ nhấm cao v6 dạng hình lược trong môi trường đàn hồi xốp true

hướng. Sứ dụng áo biểu thứo này để kháo sát số sự phụ thuộc cia oáo hệ số

phan xa, khúo xa vào một số tham sd.

- Phần thứ ba: Vinh hệ số phan xạ, khúo xa olla sóng, phẳng có chun

dịch dọo đơi với biên phan chia độ nhấm vao giữa hai bán không gian dau hồi

micropolar đẳng hướng. Lit đó, khảo sát sự phụ thuộc oúa. oáo hệ số phan xạ,

khúo xa da. sóng. vào mdt số tham sd.

<small>18</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Chương 2

THUẦN NHẬT HOA BIEN PHAN CHIA DO

NHAM CAO GIỮA HAI MIEN DAN HOI XỐP

Nội dung oủa chuoug 2 gồm hai phan chính;

2.1. Thiết lap ốo phương tràinh thuậu what hóu dang hiệu ctta ly thuyết dawhot «op 06 biên phan chia độ nhấm cao trong miéw hat chiều thea md hành,

và điều kiện liên tuo này dưới dang ma trận. Sit dụng biếu diễn nghiệm v6 tínhđền dav trưng: vi mô, vĩ mô. Tà thay, biếu diễn nghiệm này, vào véo phương trình

cơ ban dạng ma trận và điều kiện liên tuo dang ma tran. Sau đó, sử dụng, sáo

kỹ thuật olta phương pháp thuần nhất hoa [72-74| để tính đượo cáo hệ số vita

phương, trình thuần nhất hoa và thiết lap được phương, trình thuần nhất hoadang hiện dạng ma tran của lý thuyét đàn hồi xốp trong miền hai chiều, Xóttrường hợp vật liệu đàn hồi xốp true hướng, áo phương trình thuần nhất hoa

dang hiện dang ma trận sẽ được viết ou thế dưới dang thành phần. o phương.

trình thuần nhất hoa dạng hiện nghĩa. là ốo hệ số cia chúng, là oáo hàm hiển

olla cáo tham sO vật liệu và đặc trưng hình hoo cửa, biên phan chia. Trong phanthứ hai, ta sử dụng cáo phương trình cơ ban và điều kiện liên tuo dạng thànhphần của lý thuyết đàn hồi xốp dị hướng, trong miền ba chiều theo mơ hình cotta

<small>19</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<small>Biot 14,15]. Lhuc hiện cáo kỹ thuật cla phương pháp thuần nhất hoa như trong,phan một nhưng mở rộng, cho trường, hợp biên phan chia ba chiều. Do xót trong</small>trường. hợp ba chiều nên việo tính tốn sẽ phứo tap hơn trường hợp hai chiều.

Trong phan này, ốo phương, trình thuần nhất hoa dạng hiện dang ma trận và,dạng thành phần oũng được thiết lập.

2.1 Thuần nhất hóa biên phan chia độ nhám

cao giữa hai miền đàn hồi xốp trongmiền hai chiều theo mơ hình của Au-

2.1.1 c phương trình cơ ban dạng ma trận

Xét môi trường đàn hồi xốp dị hướng với dáo lỗ chất long là Newton và,khong nén được; nghĩa là chất long nhớt, tuân theo định luật ma sất trongota Newtou (ứng suất tiếp và gradient vận too phụ thuộc tuyến tính với nhan)

và khơng thay đổi thế tích khi chịu táo động của 4p suất, nhiệt độ. Giá thiết

chuyển động điều hòa theo thời gian, khi đó, oc hàm f(x, t) đượo viết dưới dang

f(x,t) = f(x)exp(iwt), trong đó x = (rm) là véctơ vị trí, t là thời gian, w (> 0)

là tần số dao động: điều hòa. theo thời gian của cáo phần tử vật liệu (materialpartiolos), ý là đơn vi áo; i? = —1. Phoo Auriault và oấo oộng, sự |D,6|, áo phương,

trình cơ bắn với cáo chuyến động. điều hòa theo thời gian của môi trường dan

hồi xốp là (‘xem |L7,35|):

div 5 +f = —w? (pu + ø,w). (2.1)iww = K(w?øru — gradp), (2.2)

<small>Xx = Ce(u) — ap, (2.3)divw = —œ : e(u) — Bp, (2.4)</small>

trong đó © = (øm„„) là tensa ứng suất, C = (e„„) là tensa hằng số đàn hồi của.nền (skeleton), a = (œ¡;) là tensơ đối xứng, Ø là đại lượng vô hướng, p là áp suat

<small>20</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

chất long (dương khi nén được), u = (um) là vécto dịch chuyến oúa chất rắn,w = ƒ(Uz — u) là dịch chuyển tương, đối oúa chat lông, đối với nền chất rắn (tho

<small>displacement of the fluid relative to the solid skeleton), w—(wm), Uz là véobƠØ</small>

dịch chuyển của chat long, e(u) = (e„„) là tensơ biến dang:

<small>1 ;</small>

Cựyn = 2 (um, + tia mộ, (2.5)

dấu ”” chi đạo hàm theo x», ƒ là tính xốp, ø = (L— ƒ)øs + for là mật độ khôilượng, cla composite, pz là mật độ khối lượng, của lỗ chất long, ø; là mật độ khối

lượng: olla nồn, K—(k„„) là tonsơ thâm Daroy tong quất đôi xứng (generalized

<small>Daroy, permeability tensor) được dua ra bới lý thuyết thuần nhất hoa và phụthuộc vào w, f—(fm) là luo khối táo dụng lên phan rắn.</small>

Dé thuận tiện hơn, ta viết (2.3) dưới dang sau:

<small>A ? A . h QF</small>

Wm = —AnnUn + hmnP.n: Amn = 121L mn = Anm- (2.7)

<small>Thay (2.7) vào (2.1), ta được;</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Phương trình (2.8) được viết như sau:</small>

<small>2/2 R R R R</small>

Ø111 + Ø133 + ð“(ô1101 + Ô1202 + 1303) + â11p1 + â1303 + fr = 0,

Ø2 + 7233 + 0 (Ơ2t0 + ơsaua + p23u3) + âsIp 1 + do3p3 + fo = 0, (2.11)

<small>2/^ ˆ A ˆ</small>

031,1 + Ø33,3 + “(3111 + P32u2 + 633uU3) + G31p.1 + 433.3 + ƒ3 =

<small>Thay (2.6) vào (2.11), ta được;</small>

(cum. + C13033 + C14023 + Ci5(u13 + 8ạ,1) + Clg21 — an) '

+ (su. + Œas3 3 + C45 42,3 + C55(U1,3 + U3,1) + C56U2,1 — op)

₃

+” + w*pyous + 0213ua + dpa + di3p3 + fi = 9,

(com + €36U3,3 + C46M2,3 + Cs6(11,3 + 13.1) + C66121 — awp) ¡

+ (cum. + c34u3,3 + Œ4412,3 + C45 (1,3 + 03,1) + C462,1 — aasp) 5 (2.12)

+ w*poruy + w*pogus + w*fogug + â21p 1 + do3p3 + fo = 0,

(asm. + €35U3,3 + C45U2,3 + Cs5(M1,3 + U3,1) + C56U2,1 — op) :

+ (asm. + ¢333,3 + Ca412,3 + C35(1,3 + 03,1) + Ca62,1 — assp) 3

+ w*fziuy + 02Ðạsua + w*f3gug + âạtp 1 + âaap 3 + ƒ3 = 0.

<small>Lit (2.4) và (2.7), ta 06:</small>

(tu. (Du — `.) = iwWOmnemn + iw Bp. (2.13)

Phuong trình (2.13) được viết cu thé như sau:

(6i — 0 prw) + kia(—w prwa) + kis(p3 — ) ¡

+ (toa — @ p1) + k32(—w*ppus) + k33(p.3 — 2" pxus))

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

trong đó v = [uy ug ug pl’, F = [fi fo fz 0|”, ký hiệu 7 chí chuyển vị ota một ma

<small>= WwW R ˆ ˆ</small>

P13 23 33 0

<small>0 0 0 ~iB/w</small>

‘La đặt oáu véeuta 3 — [ơi 012 013 wy]? và Đa — [13 023 Ø33 ôa|T VỚI wy, dude

<small>xấu định như sau:</small>

tơi = 10a = k11(p,1 — 0ư 01) + Ela(p3 — 0p 2u),

193 = 1WW3 = k13(P1 — 0L 1) + k33(p3 — 0L 2u). (2.17)

<small>23</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<small>Khi đó, áo véotd 3¡ và 33 cd dạng:</small>

Đị = AlilVi+ Alava + Av, Ss = Asivi+ Ag33v.3+ Aaav (2.18)

<small>Hình 2.1; Biên phan chia độ nhám cao L giữa hai ban khơng gian dan</small>

hồi xốp hai chiều QŒ) va QO

Xót một vat thế đàn hồi xốp dị hướng chiêm oáo miền hai chiều QC), Q(—) cia

mặt phẳng «1,23 được phân chia bởi đường cong L phương, trình z3 = h(y),

y = #1/e (€ > 0), trong đó h(y) tuần hồn với chu ky 1. Giá thiết đường cong

L dao động giữa hai đường thing z3 = —A,(A > 0) và v3 = 0 (xem hình 2.1).

Trong miền 0 < z¡ < c, mỗi đường thẳng z¿ = 29 = const (—A < z§ < 0) giaovới đường cong L tai đúng hai điểm. Oho 0 < e << 1, khi đó L đượo gọi là biên.

phan chia có độ nhấn cao ca AM và QC),

<small>24</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Gia sử rằng, cáo vật liệu đàn hồi xốp dị hướng thuần nhất kháo nhau nằm:

trên cáo miền AM, OW). Odo tham số vật liệu được xáo định như sau:

cụ), KP, at), BH, pO, pO, pL? với xạ > h(xi/e)

H) BO) DO) BO với x:

<small>A,’, BY’, DS, EX” với x3 > h(x</small>

Agn,B,D,B= 20h? 3 > R19) (2.21)

AW) BODO), BO với x3 < h(a1/e)

trong do A AW, an ( Ai se E£) ) được cho trong (2,16) với cij,..., pz tư0ng,

ứng. được thay bởi " H s pl ) ( F "m pl, ) ).

Trong miền QŒ) (QC), phương trình cơ bắn (2.15) với ốo chuyển động, điềuhoa theo thời gian áo ma trận Az„, B, D, E và F được thay thé bởi AW),

BÉ), DO), BO) và BO) (A), BC), DO), BO) va FO).

Giá st OM, QC) gắn chat với nhan, khi đó véobơ chuyén dich vita chất rắn,

ấp suất chat lỏng, vécto ứng, suất toàn phan và. vận too tương: đối của chất long

(đối với chât rắn) phái liên tuo theo đường cong L, cu thế là:[wi ]r =0, t= 1,2,3, [Plt =0,

[CR NEL =U, ;= 1,2,ä, [pel LE =0 (2.22)trong đó n, là thành phần theo trục z„ của vécta phấp tuyên đơn vị đối với

<small>đường ong 7 và ký hiệu [.]„ được định nghĩa:</small>

(f]y = fŒ) ~ fC) trên L (2.23)

Điều kiện liên tuo (2.22) biển diễn qua cao vévto v, ị và 3; oó dang:

Ivl, =0, [Sin + Đan | = 0. (2.24)

<small>Sử dụng liên hệ (2.18), điều kiện liên tuo thứ hai của. (2.24) trở thành:</small>

(Anya + A13V3 + Auv)ni + (Asiva + A33V3 + Asav) ns] L = 0. (2.25)

<small>25</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Biểu diễn nạ theo h theo biểu thức nạ : mị = —-1: thy, điều kiện liên bục

<small>(2.24) được việt như sau:</small>

MẸ: =0,” [i"tu) (Aiivi+ Aigv3 + Auv) | — |Asiva + A33V,3 + Aviv = 0.

<small>L</small>

<small>Theo Bensoussan và cáo cộng sự [13], Sanchez-Paloucia |B4|, Bakhvalov</small>

và Panasonko [| giả thiết rằng; v(21,73,¢)—U(2r1,y, 73,6). Phoo Bakhvalov và

Panasenko [7|, ta biếu diễn U dưới dang sau (cũng 06 thé xem trong Vinh va

<small>Lung [72,74-76|, Le Quang và cáo cộng sự [39, 40,52, 68]):</small>

U = V+c(N'V+N''VIi+N?V;)+c(N V+N”Vi+N”V;

<small>4 NEV 4 + Nˆ”V; +4 N””V„¿) +4 O(e?) (2.27)</small>

trong đó V—V(a1,23) (khơng phụ thuộc vào y), N!,NH, N3, N2, N”!, N23,

Nˆ?H, N21, N?” là odo wa trận 4x4 là hàm olla y và zz (không phụ thuộo vào71), và ching tuần hoàn theo với chu kỳ 1, O(e?) là kí hiệu dùng bậo,

Nhận xét 2.1: Lừ (2.27) ta thay, rằng u dần đến V khi ‹ tiến déu U, do đó,V là sơ hạng chính của u. Khi ¢ rất nhỏ, ta tìm V thay cho u. Nhu vậy, ta cần

<small>tìm phương trình đối với V. Phương, trình này được gọi là phương, trình thuần</small>

nhất hóa olla phương, trình đối với u.‘Ta. số chi ra rằng;

<small>Dinh ly 2.1</small>

Oho v(a1,73,€) thỏa mãn phương trình od bắn dang ma trận (2.15) và điền

<small>kiện liên tuo (2.26) với Ap,, B, D E được xáo định trong (2.21). Đường, cong</small>

<small>Li «3 = h(y), y = z1/c là biên phan chia độ uhdm cao dao động, giita hai đường,</small>

thang 3 = 0 và z3 = —A (A> 0). h(y) là hàm kha vi tuần hoàn theo y với chu

<small>kỳ 1. Giá thiết thêm rang v(21, 73, c)—U(i, y, 23, €) và U(i, y, 73, €) 06 dạng khai</small>

<small>20</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

triển tiệm van (2.27). Khi đó V{(z, 23) là nghiệm vita bài toán sau;

<small>Vou z3 > 0:</small>

ADV en + (Ai) + BM) va + (AYP + DO) v3 + BOV FEO =0. (228)

<small>Voi -A<23 <0:</small>

(An) Vian + (Aq!) (Aq! Ais) Vag + {(AnAi(Ai) 1V.) 3

+ { ((Ass) + (Asi Aq) (Aq!) (Aq Aus) — (Asi Aj! Ans) Vib ;

+ ((BAi(Ai 14 (An) HAjAi))Va (2.29)

+ ((D) + (BAP (Ai) (Ag Ans) - (BATA) ) Vis

+ { ((Ar ATI) (An!) MAGA) = (AnAilAi) + (Anu) ) VE

+ ((B) + (BAi)(AiD MAG! Au) = (BÀI 'Ai))V + (F) = 0.

<small>Với #3 <—A:</small>

AO Vien + (AY) + BC))V¡ + (AY? + DO)V 34 BOV+FO =0. (2230)

V và XY là số hạng chính (leading term) cla Y3 phái liên tục trên cio đường

thang zạ = Ú và x3 = —A:

[V]z- =0, [S$ ]z- =0, L*: ^{23 =0, 13}^{= —A (2.31)}

59 = ((AnAi)(AiD ^{Ap Au) (AiAiAn) + (As))V}

+(AaiAii)(An) TVị+ ((Ass) + (AsiAy (Aq) (Aq Ais) — (232)

— (Agi Ay Ans) ) Vis

<small>vas '</small>

(2)(z3) = [ ¿dụ = (0 — ye + (1-y + ye (2.33)

<small>trong đó y1, y2(0 < ì < yo < 1) là hai nghiệm trong khoảng, (0 1) cửa phương</small>

trình h(y) = 73 đối với biến y, trong, đó x3 là tham số nằm troug khoảng (—A 0)<small>27</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

(xem hình 2.2) và o)(y()) là gáo giá trị hằng số dúa ¿ trong miền OM) (QM),

Ohú ý rằng, y1,y2 (phụ thuộc vào v3) là hai nhánh ngược của hàm z3 = h(y).

Biéu thứo (2.33) biểu diễn giá trị trung, bình cia ¿ theo trong khoáng, [0 1] doutheo đường thang z3 = vonst(—A < coust < 0).

<small>Chứng minh Dinh lý 2.1;</small>

Để thu đượo véc phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dang mwa tran (2.29)và điều kiện liên tuo dạng hiện dạng ma brận (2.31), trước tiện, ta thay, biếu diễn

<small>nghiệm (2.27) vào phương trình oo bắn dạng ma trận (2.15) và hai điều kiện liên</small>

<small>tuo dạng, ma trận trong (2.26) được oấo phương, trình tương ứng dat là. e, ca, e3.</small>Tiệp theo, đồng nhất cáo hệ số của e~! và, e oủa vac phương trình eq, ca, e3 bằng:khong, khi đó, nhận đượo vac bài tốn biên trên nhân tuần hồn (bài toán dia

phương) đối với oáo hàm N', NY,.... Sau đó, giải ốo bài tốn nhân này để tìm

được cáo hàm Nỉ, NY,.... Qi dùng, ta đồng, nhất ốo hệ số oúa, c! via phương:trình e¡ và eg băng khong và sứ dung ốo ham N’, N?,... da tính được ở trêu

để thu được phương trình thuần nhất hoa dang hiện và điều kiện liên tuo dang

hiện dạng ma trận. Oáo bước để thiết lập được phương trình thuần nhật hoadạng hiệu dang mwa trận được trình bày cu thể như dưới day,

<small>e Budo thứ nhất (Lhu được các bat tốn biên trêu nhơm tuầu hồn):</small>

Từ giả thiết v(z, z3, e)—U(x1, 1,23, €) VỚI y = #1/€ SUY, ra:

vị =Ui+c 1U, (2.34)

Thay biếu diễn nghiệm dạng, (2.27) v6 tính đến (2.34) vào phương trình oo

<small>25</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

<small>bắn dạng, wa trận (2.15) ta thu đượo phương trình sau;</small>

a

N (And +N!NS

<small>Y</small>

^{Vi+(AniN,)„V+ (Any) Vat}

+ (AN) V3 + (AniN3") a} + {Ant +N?)Vii+ AiN2Vị

+AniN2 Vai + Ani(N!+N? Văn + Ani(N?+N??)Vr + AnN3 Van}

+ MArs)yWo3 + (Aas) _{yV + (ArsN4) yVoa + (AaN) y¥3}

+ (AigN") yVi3 + (Aa3N3)) yV.3 + (AIN'?)yVa¿ + AsV.)

+€ (AuN5Y.1 + Ai3N'Y. 31 + AN 3 Vu + Ai3N"Y. 131

+ AN Vài + AasN"Y. sai) +€†(Ai)„V+ ((AN)„V + (AN")„Vv

+ (AvwN") V3 + Au.) + e(AuN'Y.1 + AuN"YV. 14 + AuiN2V¿i)

+ {Ant +Nÿ)Vi+AziNV+ AgiNV.3 + €(Agi(N! + N7))M1 + Agi(N”

+N?7)Vii+ Agi(N? + N7/°)V13 + AaiN?V + AgiN7 V3 + AziN?”V 33) \

+ (Asv. + c(AzzN;V + AzNs Vị + A33N'YV.3 + A33N"'V.13 + A33N3V.3

+ ) + (As.v +c(AsaN'V+ AzaNVị + AziN?V¿))

Oho vac hệ số của e~! volta phương trình (e¡) bằng, khong ta được;

(AniNy+ Ain)„V + (An(L+eNj)) Và +(AuNj+Ai)yVa =0. (2.35)

Thay biểu diễn nghiệm dạng, (2.27) vào điều kiện liên tuo (2.26), ta nhận dude

<small>29</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

<small>phương trình đặt là. (toa) và (es):</small>

Iv] ite INIV +NUV+NEV3] =0, (ca)c1 tf(){And+N})Va + AuNYY +AniNDV¿

+ ‹((AuM +N?7)Vi+An(N'+N?7)Vini+An(N?+N??)V 13

+ AniN2V +A¡N ?Vạ+ AuN7V.33) +A 3V.3

+c(AiN›V+ A BN3V 1+ ANY + AjN Vị + AijNzV¿

+ ANY 33) +Ai4V+ c(AuN'V +Ai„N”Vị+ AiuN?Vz) H

_L

= [Asi(L+NY)Va + AsiNV + Agi NIV s + e(Asi(N! + N3)V.1

+Azi(N''+N? Vai + Agi(N? +N7)9)Va3 + AaiN?V + AaiN?V¿

+ AsiN7°V. 33) + Ag3V.3 + €(Ag3N3V. + Ag3N'3 V1 + Ag3N'Y.3

+ A33N"'V43 + AzaNzVa + A33N'°V. 33)

+ AgyV + (A34N'V + A3,N!'V 1 + AziN?V,)] =0. (ies)

D6 (2.35), (2.36) và (2.37) thỏa man, ta số chọn ba hàm N',N'!,N!? thỏa mãn

ba bài tốn biên trên nhân tuần hồn (bài tốn địa phương) sau:

(AuN), + Au) =0,0<y<1l,yFm, 1;

</div>