Luận án tiến sĩ toán tin: Xây dựng các lớp hàm nở trên trường và vành hữu hạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (20.38 MB, 92 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ QUANG HÀM

LUẬN ÁN TIEN SĨ TOAN-TIN

Hà Nội - 2022

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận án này là tập hợp các kết quả nghiên cứu của bản

thân trong thời gian thực hiện đề tài. Nội dung các bài báo được trích dẫn đãđược sự cho phép của các đồng tác giả. Các kết quả trong luận án là hoàn toàntrung thực và chưa từng được công bố bởi bất kỳ ai.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hồn thành tại Bộ mơn Tin hoc, Khoa Toán - Co - Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội. Trong quá trình nghiên

cứu khoa học, tơi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ vô cùng quý giá của các

cá nhân và đơn vi.

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa

hoc, GS. TS. Lê Anh Vinh, người đã không ngừng động viên, khích lệ tơi trong

suốt q trình nghiên cứu, tơi đã học được rất nhiều ở thay, từ kiến thức khoahọc, phương pháp nghiên cứu, niềm vui cho đến tính kiên nhẫn cần có của một

người làm khoa học.

Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Lê Trọng Vĩnh, TS. Phạm Văn

Thắng, CN. Nguyễn Văn Thế và các đồng nghiệp nghiên cứu trẻ trong nhóm

nghiên cứu đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình nghiên cứu thực hiệnđề tài.

Toi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu va các phòng ban nhà trường, Ban

chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học và các thầy cô trong Bộ môn Tin học,Trường DHKHTN-DHQG Hà Nội đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt

thời gian học tập và nghiên cứu hồn thành Luận án.

Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPTThiệu Hóa - Thanh Hóa đã chia sẻ, hỗ trợ và động viên tôi trong những năm

Và trên hết xin tỏ lịng biết ơn và tình u dành cho mọi thành viên trong

gia đình, những người đã ln ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành

Luận án này.

Hà Nội, ngàu 20 tháng 6 năm 2022

Nghiên cứu sinh

Lê Quang Hàm

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

BẢNG CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Trong Luận án này, chúng ta sẽ sử dụng những kí hiệu sau:

|A|: Lực lượng của tập hợp A.

N: Tập hợp các số tự nhiên.

N*: Tập hợp các số tự nhiên khác không.Z: Vành các số nguyên.

Z„: Vành các số nguyên modulo n.

Z*: Tập hợp các số nguyên dương.

Q: Trường số hữu tỉ.R: Trường số thực.C: Trường số phức.

R: Vành định giá.

Rx: Tap hợp các phần tử khả nghịch trên vành định giá.

R°: Tap hợp các phần tử khơng khả nghịch trên vành định giá.

Hn(F): Nhóm Heisenberg bậc n trên trường F.

F,: Trường hữu han cấp g.

F*: Tập tất cả các phần tử khả nghịch trên trường hữu han cấp 4.

FL =F, xi: F,

n lan

X <Y: X <CY với hằng số C > 0 nào đó.

Y >5 X:X<Y.

X~Y: X<Y và X > Y thỏa mãn.

XY: X « (log Y)CY với hằng số C’ > 0.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Mục lục

TL Ea 12¬ 14

1.3|Chứng minh các kết quả|...---c- 27

2.1|Giới thiệu bài tốn|...c. c2. 29

¬ cvueeeveueeeeeuaeeeeuueerennnerees 32¬ 411.1

Chương 3.|Ham nở trên vành định giá hữu hạn|... 49

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Mở đầu

Tổ hợp cộng tính

Tổ hợp cộng tính là sự giao thoa giữa các chuyên ngành tổ hợp, lý thuyết

số, giải tích Fourier và lý thuyết ergodic. Tổ hợp cộng tính nghiên cứu những

khái niệm gần đúng của những cấu trúc đại số, như không gian véc tơ, nhóm,

vành hoặc trường. Green mơ tả tổ hợp cộng tính như sau: "Tổ hợp cộng

tính nghiên cứu về các cấu trúc xấp xỉ như xấp xỉ nhóm, vành trường, đa thức

và đồng cấu". Xấp xỉ nhóm có thể được xem như các tập con hữu hạn của một

nhóm thỏa mãn gần như là đóng đối với các phép tốn. Xấp xỉ nhóm và ứngdụng của nó (ví dụ, cho các các đồ thị nở, lý thuyết nhóm, xác xuất, lý thuyếtmơ hình,...) tạo thành một lĩnh vực rất năng động và hứa hẹn trong việc nghiên

cứu tổ hợp cộng tính.

Các kỹ thuật áp dụng vào các bài toán tổ hợp cộng tính thường đa dạng vàcó thể có nguồn gốc từ nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, Hamidoune [106], qu tưởng từ tính liên thơng của đồ thị, đã đưa ra một công cụ mạnh để giải quyết

một số bài tốn tổ hợp cộng tính. Nathanson [64], sử dụng bổ đề của Konig về

sự tồn tại của các đường đi độ dài vô hạn trong đồ thị vô hạn, giới thiệu một

lớp các cơ sở cộng tính mới, nó cũng là sự tổng quát hóa giả thuyết của Erdés

-Turán về cơ sở cộng tính của các số nguyên dương. Trong [6], Bibak đã dùng các

công cụ từ lý thuyết mã hóa để đánh giá các hằng số Davenport. Các kỹ thuậttừ lý thuyết thông tin đã được sử dụng trong [đổi [66] [671 để nghiên cứucác bất dang thức tap tổng. Alon [76| [77], sử dụng phương pháp lý thuyết đồthi để nghiên cứu các tập khơng có tổng cấp m trong nhóm Aben hữu hạn vàtrong các tập tổng-tự do của tập [1,n].

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Trong việc chứng minh giả thuyết đã tồn tại khá lâu về các cấp số cộng củaErdés. Green và Tao [17] đã có một bước đột phát bằng việc kết hợp các phương

pháp và ý tưởng từ tổ hợp, lý thuyết số, giải tích điều hịa, và lý thuyết ergodic.

Gần đây tổ hợp cộng tính đã tìm thấy các ứng dụng rất đáng chú ý vào

khoa học máy tính và mật mã; ví dụ, hàm nở [51] 52I [54], hàm trích xuất

[107] [108i [109], tựa ngẫu nhiên [3], kiểm thử thuộc tính [5| 37], lý thuyết độ phức

tap [II 2|, khuếch dai độ khó [35] 36) [7T|, các chứng minh có thể kiểm tra xác

suất (PCPs) [7], lý thuyết thông tin [66) (67) [85]. Tổ hợp cộng tính cũng có các

ứng dụng quan trọng trong bồ phiếu điện tử (e-voting) Hi (90). Các phương

pháp từ tổ hợp cộng tính cũng cung cấp một số kỹ thuật mạnh cho việc nghiêncứu bài tốn ngưỡng, bài tốn có tầm quan trọng đáng kể trong tổ hợp, khoa

học máy tính, xác suất, vật lý thống kê và kinh tế PT] Z3| 55].

Sự kết nối giữa các ý tưởng của tổ hợp cộng tính với lý thuyết các ma trận

ngẫu nhiên (tham khảo (105]); có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh

vực của lý thuyết số, tổ hợp, khoa học máy tính vật lý tốn học và lý thuyết,

hóa học. Lĩnh vực này cũng có nhiều ứng dụng cho lý thuyết nhóm, giải tích,

tổng mũ, lý thuyết độ phức tạp, hình học rời rạc, hệ động lực, và rất nhiềucác ngành khoa học khác. Tổ hợp cộng tính đã có những tiến bộ rất nhanh sau

khi nghiên cứu rất sâu về định lý Szemerédi, bằng chứng về sự tồn tại của các

cấp số cộng dài trong các số nguyên tố của Green và Tao, cũng như các khái

quát và ứng dụng của bài toán tổng - tích, và tiếp tục thấy những tiến bộ đáng kể.

Trong các bài tốn tổ hợp cộng tính, bài tốn hàm nở cũng đã nhận được

nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu, đặc biệt là về lĩnh vực toán học ứng

dụng vào khoa học máy tính lý thuyết. Điều này được thể hiện qua nhiều ứngdụng của định lý tổng-tích vào các lĩnh vực như PDE [97], tổng đặc trưng và

tổng mũ [1] (63) [74], trích xuất ngẫu nhiên [1] 14], hàm phân tán [14], lý thuyết

độ phức tap [ð0|, giả ngẫu nhiên [49] [91], kiểm thử thuộc tính [10] [83], khuếch

đại độ khó [38] [39], chứng minh có thể kiểm chứng bằng xác suất (PCPs) [I],

và mật ma [47 [48]. Tuy nhiên, các bài toán này một mặt vẫn chưa chứng minh

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

được một cách triệt để, một mặt lại mở ra nhiều bài toán mới cần giải quyết.

Do đó, Luận án tập trung nghiên cứu một số hàm nở trong không gian hữu hạn

và tập trung vào ba nhóm nội dung chính như sau.

1. Nghiên cứu các hàm nở bốn biến trên trường hữu hạn. Định hướng chứng

minh một số lớp hàm nở bốn biến với ngưỡng 5/13 và 3/8.

2. Nghiên cứu hàm nở hai biến trên vành định giá. Mở rộng một số kết quả

trên trường hữu hạn.

3. Nghiên cứu các hàm nở, đánh giá lực lượng của tập tích các ma trận trên

nhóm Heisenberg.

Các kết quả chính

Cho R là một vành với đặc số p. Một đa thức f € Rlzi,...,z„] gọi là nở nếu

tồn tại các số œ > 1,8 > 0 sao cho với mọi tập hợp Aj,...,An C R có lực lượng

N thỏa mãn N < p® ta có

|J/11,:-: .An)| > NI,

Lưu ý rằng, bài toán khoảng cách phân biệt Erdés hay bài tốn đánh giá

dạng tổng - tích có thể được nhìn nhận như việc nghiên cứu tốc độ nở của các

hàm tương ứng. Bên cạnh đó, việc xây dựng các hàm nở ít biến thường khó hơnso với việc xây dựng các hàm nở nhiều biến. Các kết quả chính trong hướng

nghiên cứu này xoay quanh việc xây dựng và chứng minh các hàm nở hai, ba,

bốn biến và hàm nở trên nhóm Heisenberg.

Hàm nở hai biến. Kết quả đầu tiên về hàm nở hai biến được đưa ra bởi

Bourgain [58]. Bourgain chỉ ra rằng đa thức hai biến z? + zy là hàm nở yếu.Tuy nhiên, Bourgain không đưa ra các mối quan hệ định lượng cho ngưỡng của

hàm nở này. Sử dụng Định lý liên thuộc điểm - đường trên trường hữu hạn của

Vinh [60], Hegyvári và Hennecart [79] đã đưa ra được kết quả định lượng chotốc độ nở của đa thức hai biến f(x,y) = f(x) + x*g(y) ngoại trừ một số trườnghợp đặc biệt. Đối với hàm nở vừa, Tao chỉ ra rằng đa thức f(a,y) bat

kì khơng có dạng f(x,y) = Q(H(z) + G(y)) hay f(x,y) = Q(H()G()) trong đó

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Q,H,G là các đa thức thì với mọi tập Ai, Az C F, thỏa mãn |Aj||A2| > pes, ta

có |f(A1, A2)| > p. Nói cách khác, f(z,y) là hàm nở vừa với ngưỡng 1/4.

Sử dụng phương pháp phổ đồ thị, Vinh, Thang và tác giả đã mở rộng bài

toán trên vành định giá hữu hạn và đã thu được một số kết quả về hàm nở hai

biến dưới dạng tổng - tích. Cụ thể,

1. Với ham f(z, y) = ø(z)(h(z) + y) ta có

f(A, B)||B.C| > win LAIIBIICI | |

m ` m2qer-l+ 2

|f(A, B)||DB + C| > min Ệ |B] L4I|EIIel \

m mq

2. Với ham f(z, y) = g(x)h(y)(z + y), ta có

IA, BILA.CIIB.C| > min { ga), AE PEEL aa }

3. Với hàm f(x,y) = ry(g(x) + y), ta có

— f np, |Al|Bl?|C

|f(A, B)||B.C| > min { a) ey.

Nội dung chi tiết sẽ được trình bay trong Chương 4.

Ham nở ba biến. Hart và Iosevich 29] chỉ ra rằng đa thức z + yz là hàmnở ba biến với ngưỡng 1/3. Sử dụng phương pháp phổ đồ thị, Vinh đã mở

rộng kết quả này cho các đa thức z + P(z,y) trong đó P(z,y) là một đa thức

khơng có dạng ø(z) + h(y). Trên trường ngun tố, sử dụng Dinh lý liên thuộc

điểm - mặt phẳng của Rudnev [73], các tác giả [30] [84] đã chứng minh được mộtloạt các kết quả về đa thức nở ba biến. Cu thể, các đa thức z + yz và z( + z)

được chứng minh là các hàm nở trên toàn bộ trường nguyên tố. Trong [96],

Vinh và các cộng sự đã chứng minh một kết quả tổng quát cho họ các đa thứcnở ba biến. Một cách cụ thể, các tác giả đã chỉ ra rằng với mọi đa thức bậc

hai ƒ(z,ø,z) € Eplz,ø,z| khơng có dạng ø(h(z) + k(y) + U(z)) trong đó g,h,k,1 là

các đa thức, và với mỗi A,B,C C F, thỏa mãn |A| = |B] = |C|= N < p3, thì

8

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

F(A, B,C) > N32.

Mở rộng trên vành định giá hữu han, Vinh, The, Phuc va tac gia da chứng

minh rang ary + g(x) + s(y) + £(z) là một hàm nở. Bên cạnh đó, chúng tơi cũng

đưa ra được một số kết quả dạng tổng-tích sau đây. Nội dung chỉ tiết sẽ được

trình bày trong Chương 4:

max {|4 + A|,|42 + 4?|} > 275 |AI2/34/3,

max {|A + Al, |A? + 4} > g7/10| 49/10,

max {|A — Al, |AA + AA|} > 2~*|A|2/34”.

max {|A“ + A%], |AA|} > 4*|Al3/3.

Hàm nở bốn biến. Các kết quả đầu tiên được đưa ra bởi Hart và Iosevich[29]. Cụ thể, ho chỉ ra rằng xy + zt và (a — )2 + (z — #)2 là các hàm nở vừavới ngưỡng 1/3. Trong [65], Bennett, Hart, losevich, Pakianathan và Rudnev bổ

sung lớp hàm nở (x — y)(z — t) với cùng ngưỡng 1/3. Trong [59], Vinh đã xây

dựng được một số hàm nở vừa bốn biến với ngưỡng tốt hơn. Cụ thể, các hàm

vy + (w— 0)°, f(x) + g(0) + uv, f(x) + g(0) + (uv), Ƒ(2)g(0) + wr, ƒ(#)g(0) + (w— 9)

là các hàm nở vừa với ngưỡng 3/8.

Luận án cũng sẽ trình bày một số kết quả mới. Cụ thể, Anh, Koh, Mirzaei,

Mojarrad, Pham và tác giả đã chứng minh được các lớp hàm F'(u,v,y, z) :=

f(Q(u,v),y, 2), trong đó f khơng có dạng g(h(x) + k(ø) + l{z)), Q(u,v) = m(u) +

u#n() là né vừa với ngưỡng 5/13 trên trường nguyên tố và ngưỡng 3/8 trên

trường hữu hạn bất kỳ. Trên vành định giá hữu hạn, chúng tôi cũng chứng minhrằng các hàm u(u+v)y+z, u(utv)+yz, u(u+0)(u+z), y(u(ut+v)+z), (u(u+0)—0)2+z,và (yT— z)2 + u{(u + 0) là nổ.

Ham nở trên nhóm ma trận Heisenberg. Cho trường hữu han F,, trong đó

là lũy thừa của một số nguyên tố lẻ. Với số nguyên n > 1, nhóm Heisenbergbậc ø trên trường hữu han Fy, ký hiệu bởi H,,(F,), là nhóm nhãn các phan tử

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

có dạng:

1 x z

x,y,z] :=]0 1„

0 0 1

trong đó x,y € F”, yf la véc tơ cột của y va J, là ma trận đơn vị n x n và z là

phan tử thuộc Fy.

Khi đó phép nhân hai ma trận sẽ là

[x, y, z| |x.y" z] — [x + xy + v, z+ z +Xx- yÌ

trong đó x-y’ là tích vơ hướng của hai véc tơ x và y’.

Cho Ac F,,E,F c F”, ta ký hiệu

[E, F, A] := {[x.vy,z]|:xc<E,yceFE,ze A},

(B,E, Al? := {[xi, yy, “1)--[Xa, Vas za|: Xi, ¥;, i) € [E,E, A], i = 1,4}.

Đối với việc xây dựng các hàm nở trên nhóm Heisenberg, tác giả đã chứng minh

được các kết quả sau.

1. Trên H1(F,), trong trường hợp tập lớn, với một tập con A của F, có năng

lượng cộng tính nhỏ, luận án chứng minh được một kết quả cải thiện

|[A, 4,0]L4, A, O]| > K4|[4, A, 0]], và tổng quát trên H,(F,) cho ta kết quả|LE, E, 0E, E,0]| > a|[E, E,0|| với |B] > ạ?*1.

4. Trên H,(C), luận án chứng minh được |[A, A,0][A, A, 0]| > |[A.A.0|lf5 với

|A| > 2. Day cũng là một mở rộng kết quả của Hegyvári và Hennecart trêntrường số thực R.

10

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Cau trúc Luận án

Các chương tiếp theo của Luận án sẽ được trình bày như sau.

Chương 1. Trình bày các hàm nở bốn biến trong trường hữu hạn và trường

nguyên tố, trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh một lớp hàm bốn biếnbậc hai có tính chất nở với mũ « = 3/8 trên trường hữu hạn và một lớp hàm bốnbiến bậc hai có tính nở với số mũ c = 5/13 trên trường nguyên tố.

Chương 2. Trình bày các hàm nở trong nhóm Heisenberg, các kết quả này là sự

cải thiện các kết quả của Hegyvári và Hennecart trong cơng trình [82] .

Chương 3. Nội dung phân lớp một số hàm nở trong vành định giá hữu hạn.Chúng tôi đưa ra một lớp hàm nở hai biến, một lớp hàm nở ba biến và một sốhàm nở bốn biến.

Để thuận tiện cho việc đọc và theo đõi nội dung, chúng tơi cấu trúc chương

thành ba phần chính. Phần đầu giới thiệu bài toán và các kết quả chính mà tácgiả đã thu được trong thời gian nghiên cứu thực hiện đề tài. Phần hai, chứng

minh các kết quả chuẩn bị, gồm các bổ đề sử dụng cho việc chứng minh các kết

quả chính. Phần cuối cùng là chứng minh các kết quả chính đã được nêu ra ở trên.

11

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Chương 1

Ham no bon biên trên

trường hữu han

1.1. Giới thiệu bài toán

Cho Ƒ là một trường hữu hạn cấp ạ. Định nghĩa hàm nở trên F, được phát

biểu như sau.

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ac Fé. Ham f : Fi + F, được gọi là nở nếu

F(A) = |ƒŒ6,....#4) : Œà,...,#a) € AJ| > C/|AI***

trong đó e >0 va Œ, là một hằng số.

Khác với trên trường vô hạn, khi tap A đủ lớn, tap f(A) sẽ bang F,. Vì vậy,

bài tốn hàm nở trên trường F, được chia thành hai bài toán với các trường hợptập lớn và tập nhỏ sau đây.

1. Bài toán với tập nhỏ: So sánh |f(A)| với |A|!** trong điều kiện A có lực

lượng nhỏ hơn g#, với a € (0; 1).

2. Bài toán với tập lớn: Tim a để f(A) chứa một phan tập F, trong điều kiện

|A| > 4#, với a € (0; 1).

Đối với bài toán tập lớn, chúng ta phân hàm nở thành ba cấp độ được định

nghĩa như sau:

12

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Định nghĩa 1.1.2 ([27|). Cho ƒ : Fi > Fy. Khi đó f

* Gọi là nở mạnh uới ngưỡng 0 < € < 1, nếu tới moi AC F, sao cho |A| >

q'~°, ta có |ƒ(A,..., A)| > q—k, vdi hằng số dương cơ định k.

s Gọi là nở vita uới ngưỡng 0 < € < 1 nếu vdi mọi A C F, thỏa mãn |A| q!~S,

thà ta có |ƒ(A,..., A)| q.

s Goi là nở yéu uới ngưỡng 0 < c< 1 tà 0 < ð < 1 nếu uới mọi ACF, thỏa

man |A| > q!~*, ta có |f(A,..., A)| = |AlŠqt~Š.

Việc tìm ra các hàm nở bốn biến trong những năm vừa qua đã có nhiều

tiến bộ đáng kể. Điển hình như Sárkózy trong công bố [8| [9], bằng việc sử

dụng ước lượng tổng đặc trưng cộng tinh, tác giả đã chứng minh rằng các hàm

z ++zt,zw + zt,(œ — y)? + (z— t)? là nở vừa với ngưỡng c = 1/3. Sau đó,

Vinh trong bài báo [59], bằng phương pháp pho đồ thị, đã chứng minh rằng

zụ+ (z—#)?. f(x) +9(y) +zt, f(a) +9(y) + (—)Ê. ƒ(z)g(w) + zt và ƒ(œ)ø) + (2-4)?

là các hàm nở vừa với ngưỡng 3/8 trong đó f,g € Eạ[|z].

Nội dung chính của chương này là xây dựng và phân lớp một số hàm bốn biếnlà nở vừa với ngưỡng 5/13 trên trường nguyên tố hữu hạn và ngưỡng 3/8 trêntrường hữu hạn. Cơng cụ chính của chúng tôi là một kết quả năng lượng của

Koh, Mirzaei, Thang va Shen [24], một phiên ban năng lượng trên trường F, và

một định lý về hàm nở hai biến được chứng minh bởi Hegyvári và Hennecart

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Hệ quả 1.1.1. Các da thúc 4 biến sau đây là các hàm nở vita vdi mũ 3$ trên

trường nguyên tố:

u(u+ 0) + 2, tấu + 0) + yz, u(u + 0)( + 2)

U(uu +9) +2), (ulutv)—y)? +2, — (u—z)°+u(u+0).

Kết quả tiếp theo là sự phân lớp các hàm bốn biến nở vừa với ngưỡng 3/8

trên trường hữu han Fy.

Dinh lý 1.1.2. Cho F, là một trường hữu hạn tùu y va f là một da thúc bậc hai

ba biến va khơng có dạng g(h(x) + k(u) + U(z)) trên F, [x,y,z]. Gọi m(x),n(x) làcác da thúc uới các bậc bị chặn, trong đó m(x) va +" độc lập affine. Định nghĩaQ(u,v) = m(u) + u*n(), 0à F(u,v,y, 2) := f(Q(u,v),y,z), trong đó k là một hằng

số nguyên dương. Cho A CF, thỏa mãn |A| > 49/3, ta có

|F(A, A, A, A)| 4.

Hệ qua 1.1.2. Da thức 4- biến sau đâu là một ham nở vita uới mũ 3 trên trườnghữu hạn bất kỳ:

u(u + v)y +z, u(u+v) + 9z, u(u + v)(y + 2)

y(u(utv)+2), (u(utv)—y)P +2, (u=22+u (6+0).

1.2. Các kết quả chuẩn bi

Định nghĩa 1.2.1 (Độc lập affine). [79] Cho f(x) va g(x) là các đa thúc

vdi các hệ số nguyên. Ta nói rang f(x) va g(x) là độc lap affine nếu khơng có

(A,0)€ 22x Z sao cho f(x) = À.g(z) + 8 hoặc g(x) = À.ƒ(z) + 8.

Trong [79], Hegyvari và Hennecart đã đưa ra một kết quả hàm nở hai biến

như sau.

Định lý 1.2.1. Cho số nguyén k > 1,hai da thúc có hệ số nguyên f(x) va g(x).

Giá sử bậc của f va g bị chặn, ngoài ra f va +" cũng độc lập affine. Khi đó

14

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Q(z,) = f(z) + z*g(u) là một hàm nở. Chính xác hơn, cho A C ạ thỏa mãn

|A| < p!~* uới 0< e< 1, ta có

|Q(4.4)| > [AI

trong đó € > 0 phụ thuộc vao e.

Ap dung chặn liên thuộc điểm-đường với các tập lớn trên trường hữu han

của Vinh [60], và chặn liên thuộc điểm-đường với các tập tích Descartes nhỏ trên

trường nguyên tố của Stevens và De Zeeuw vào trong chứng minh Định lý

1.2.1| chúng tôi chứng minh Bổ đề, như là một hệ quả của Dinh lý |1.2.1| sau

Bồ đề 1.2.1. Cho f(x) va g(x) là các đa thúc uới các bậc bị chặn, đồng thời

f(x) độc lap affine uới +. Dinh nghĩa Q(x,y) = f(x) + z*g(w). Khi đó

1. Với ACFy, ta có

|Q(A, A)| > min {« a .

2. Với ACF, thỏa mãn |A| < p?/?, ta có

|(4,.4)| > |A)?/*.

Chứng minh. Như đã dé cập ở trên, chúng ta sẽ áp dụng một số kết quả liên

thuộc điểm đường thẳng trên trường hữu han của Vinh [60].

Định lý 1.2.2 (Vinh |60|). Cho tập các điểm P va tập các đường thang £ trong

Fề. Khi đó ta có

7(P,£) =|{(v.) EP xLipe |<! ¬ L+ a2 IPIEI

và một kết quả của Stevens, De Zeeuv được công bố trong [Ø3].

Định lý 1.2.3. [93] Cho A,B là các tập con trong trường Fy, £ là tập các đường

thang trên R2 thỏa mãn |A|LBI2 < |£l? va |A|L£| < p? trong đó p là đặc số của

trường Fy. Khi đó số liên thuộc giữa tap điểm Ax B va tập đường thang £ thỏa

T(A x B,L) < |Al?/4| BP/4| c)1/2 + ILI.

15

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Vì bậc của f và ø bị chặn nên với ạ đủ lớn, ảnh g(A) của bất kỳ tập con

A trong F, có lực lượng tối thiểu bằng |A|/deg(g). Vì thế ta có thé xem hàm

Q(x,y) có dạng Q(z,) = f(x) + z°ụ. Đặt d = deg(ƒ(z))

Cho A là tập con của F,. Với z € Fy, ta ký hiệu r(z) là số cặp (z,) € A?

sao cho z = Q(z,y), và C là tập hợp các giá trị z đó. Áp dụng bất đẳng thức

Cố định (21,22) € A?, với z¡ # 0 hoặc z; # 0, phương trình trên có thể được

xem như là phương trình của đường thẳng /;, „, với các điểm (0,2) € F2. Với

(zi,#a) và (a,b) trong 42, hai đường thang f„,„„ và £„ trùng nhau khi và chỉ khi

(x1b)" = (raa)f và. b*(f(w2) — f(w1)) = zš0) — f(a),

hoặc tương đương với

(zib)Ê = (xaa)F va (bk — a®)(f(w2) — f(ar)) = (2h — #‡)(ƒ(6) — f(@). (1.2.1)

Cho (a,b) € 42 sao cho a # 0 hoặc b # 0. Giả thiết rằng b 4 0. Theo hệ trên ta

có z¡ = $4 với ¢ là căn bậc k của đơn vị. Hơn nữa, ta được

BẦ(ƒ(ss) = FT”) = +Š(Đ) = F(a)) =0, (1.2.2)

day là một phương trình đa thức theo an x2. Nếu ta viết f(x = Mo<j<a ƒ;z/ thì

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Vì f(x) được giả thiết là độc lập affine với z# nên cần thiết phải có ƒ; # 0 với

0< 7z k. Nếu b = c?a? thì b = na trong đó 7 là một căn bậc kd! của đơn vị

trong Fy. Dat

X = {(a,b) € A2: RE 2 aFt*x,

Vì có kd! căn bac kd! của đơn vị trên Fy. Ta có |A2\ X| < kdl] A], vi vay |X| > 4E

với p đủ lớn

Nếu (a,b) € X, thì có nhiều nhất max(k,d) nghiệm zạ, vậy có tối

đa kmax(k,d) nghiệm (z¡,za¿). Chúng ta kết luận rằng số đường thang phân biệt

lap là ck, ƒ)|A|? trong đó c(k, ƒ) được lấy bằng (2kmax(k,d))~', với p đủ lớn.

Tap tất cả các đường thang phân biệt ký hiệu là £, lực lượng của nó thỏa mãn

|A|? < |L| < |A|?. Đặt P = A”. Trường hợp A là tập con tùy ý của F„, áp dụng

Định nghĩa 1.2.2. Cho hàm ƒ : A — B. Khi đó, năng lượng theo ham f cuatập hợp AC A là đại lượng

Er(4) = |{(a,a') € Ax A: f(a) = ƒ(4)1.

Trong trường hợp cộng tinh, f(x,y) = z+, và nhân tinh, f(x,y) = zy, thi tadùng thuật ngữ năng lượng cộng tính và năng lượng nhân tính tương ứng.

Trên trường nguyên tố F,, Koh, Mirzaei, Thang va Shen [24] đã đưa ra kết qua

sau đây, và nó cũng là cơng cụ chính để chứng minh Định lý

17

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Định lý 1.2.4. Cho f € Eplz,,z| là một da thúc bậc hai va khơng có dang

g(h(z) + k(y) + U(2)) va U,V,W C E7 uới |U||V||IW| < pỀ. Khi đó năng lượng ham

f, Er(U,V,W)thỏa man

By(U,V.W) < (|UIIVIIW)?” + max {IVPIWP?, |VIIUP, |UIPIW PF :

Áp dụng Định lý và bất dang thức Cauchy-Schwarz, ta có hệ quả.

Hệ qua 1.2.1. Giá sử f € F,[x,y, 2] là một da thúc bậc hai va khơng có dạng

g(h(z) + k(y) + U(z)). Cho U,V,W C E5 uới |U||V||W| < p?, ta có

(OV, W)| > min {(|0|IVIIWI*2, 0, IV, WE.

Trên trường hữu han F,. Bang cách tiếp cận tương tu Koh, Mirzaei, Thang

va Shen trong [24], ta cũng sé chứng minh được định lý sau.

Dinh lý 1.2.5. Cho ƒ € Fy[x,y,z] là một da thúc bậc hai va khơng có dạngg(h(a) + k(y) +l{(z)) va U,V,WW C Fặ. Khi đó, năng lượng hàm ƒ, Er(U,V,W') trên

UxVxW thỏa mãn:

IUỨIVƑIW ”

qdvdi điều kiện |U|[V||W | > đẺ.

E,(U,V,W) < + max {|V|?IW |, |V?|UJ?. UPI?

Chứng minh. Vi f(x,y, z) là một da thức bậc hai khơng có dạng ø(h(z) + k(y) +

I(z)) nên ƒ có ít nhất một số hang ry, yz hoặc xz. Và vì giá trị của E không phụ

thuộc vào hằng số tự do của ƒ nên ta có thể giả thiết ƒ khơng có hằng số tự do.

Giả thiết ƒ(z,w,z) = ary + bzz + cụz + r(x) + s(u) + t(z) trong đó a,b,c € Fy và

khơng đồng thời bằng 0, r(z), s(y), t(z) là các đa thức một biến bậc một hoặc hai.

Do tính đối xứng theo các biến nên ta có thể chia ƒ thành các dạng sau đây:

1, ƒ(œ,0,z) = ary + baz + r(x) + s(y) + t(z) với a # 0 và deg(t) = 2.

2, f(x,y, 2) = avy + bzz + r(x) + s(y) + t(z) với a # 0 và deg(t) = 1.

3, ƒ(Œ,9,z) = ary + bzz + r(x) + s(u) với a,b # 0.

4, ƒ(,0,z) = avy + Ùzz + czụ + r(z) + s(y) + t(z) với a,b,c # 0.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Với từng trường hợp cụ thể trên, Định lý sẽ hoàn toàn được suy ra từ các

bổ đề tương ứng dưới đây. Như vậy, việc còn lại là chứng minh các bổ đề đó.

Bo đề 1.2.2. Cho ƒ(z,,z) = azy+bzz+r(z) + s(w) +1(z) là một đa thức bậc hai

trong Rq[z,w,z] uới a # 0 and deg(t) = 2. Nếu U,V,W C E7 với |U||V||W| > @,

Bổ đề 1.2.3. Cho f(x,y, 2) = ary +baz+r(x)+s(y)+t(z) là một da thúc bac hai

trong Fy|z,y,z| vdi a # 0 and deg(t) = 1. Nếu U,V,W C Fs vdi |U||VIIW| > để,

khi đó ta có

E;(U,V,W) «

(UV IW)?

E;(U,V,W) « n

+ max {|V |?|W |Ÿ. |V I”|U l7, |UP|W |? }

trong đó E;(U,V,W) là số các bộ (z,,z,z,,z) © (U x V x W)? sao cho

ƒ(œ,0,z) = f(y’, 2).

Bổ đề 1.2.4. Cho ƒ(z,0,z) = azu+bzz+r() + s(w) là một đa thúc bậc hai trong

F, |x, y,2] vdi a,b # 0. Khi đó uới U,V,W C F% va |U||V||W | > q2, ta có

UIIV|IW )?

by 0v, Ww) < UV HE

trong đó Er(U,V,W) là số các bộ (z,,z,z!,,z) € (Ux V x W)2 sao cho

ƒ(œ.,z) = fay’, 2’).

Bổ đề 1.2.5. Cho f(x,y, 2) = ary + baz + cyz + r(x) + s(y) + t(z) là một da thức

bậc hai trong F,|x,y, 2] vdi a,b,c £0. Khí đó uới U,V, WC F* va |U||V|IW | > @,

ta có

(UV IW)?

E;(U,V,W) < n

+ max {|V ”|W |. |V PUP, |UJ“IW Iˆ}.

trong đó Er(U,V,W) là số các bộ (z,,z,z,w,z) € (Ux V x W)? sao cho

ƒ(œ,u,z) = fey, 2’).

19

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

Hệ qua 1.2.2. Cho f € F,|z,0,z] là một da thúc bậc hai va khơng có dạng

g(h(x) + k(y) + U(z)). Nếu U,V,W C E2 uới |U||V||W| > ¢?, thì

|f(U,V,W)| > min {a, |U]Ẻ. |VIZ. |W |?}.

Chứng minh các bổ đề

Các bổ đề trên sẽ được chứng minh trong phan này, và phương pháp chính

sẽ là áp dụng hai kết quả sau đây:

Định lý 1.2.6 (Vinh [60|). Cho P là tập hợp các điểm trong Fi. va H là tậphợp các siêu phẳng trong Ft, uới d > 2. Khi đó, ta có

T(P.1) = |((ø.h) :p € Phe Hype hị| < PUL ¿ gI4-9/2ip|l2|gI1,

Bổ đề 1.2.6 (Kưvari Sós-Turán [I5]). Cho G = (AU B,e(G)) là một đồ thị hai

phan không chúa Ka;. Khi đó số các cạnh giữa A va B, kí hiệu là e(G), bị chan

le(G)I < s!⁄2|A|LB|'/? + | BỊ.

Chứng minh Bồ đề Vi ƒ(z,0,z) = azu+bzz+~+r(z) + s(u) + t(z) với a # 0

và deg(t) = 2 nên ta có f(z,y,z) = f(a’, y’, 2’) tương đương với

ary —az'y' + (brz + r(x) + t(z) — s(y’)) = ba/Z + r(#) + t(z’) — s(y).

Quan hệ này có thể được xem như một liên thuộc giữa điểm

(z,,bzz + r(x) + t(z) — s(y’))

trong F và mặt phẳng được định nghĩa bởi phương trình

ayX — aa"Y + Z = bz!z + r(#)) + t(2’) — 8(y).

Ta định nghĩa tap điểm P và tập mặt phẳng H như sau:

P = {(s,/,baz + r(x) + 12) — s()) : (ø,/,z) € U x V x WH.

H = {ayX — aa"Y + Z = ba’ ze’ + r(')) + t(2') — s(0):(z0,z)€UxV x W}.

20

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Mỗi (u,v,w) € P tương ứng với tối da hai phần tử (z,y',z) €UxVxW, vì

deg(t) = 2.

Lập luận tương tự, mỗi một mặt phẳng trong H tương ứng với tối da hai phần

tử (z,w,z) €U x V x W. Mặt khác, mỗi phần tử trong U x V x W xác định một

điểm trong P và một mặt phẳng trong H. Vậy, ta có

Chứng minh Bồ đề Với ƒ(z,,z) = ary + bez + r(x) + s(y) + t(z) với

a # 0 và deg(t) = 1. Vì deg(t) = 1 nên khơng mất tính tổng quát, chúng ta có

thể giả thiết rằng /(z) = mz với m € F*. Cũng giống chứng minh Bổ đề 1.2.2) ta

định nghĩa tap P các điểm và tập H các mặt phẳng như sau:

7 = {(z,t,bzz + r() + mz — s(0)) : (œ,uz) U x V x WH.

H = {ayX — aa'Y + Z = bz'z' + r(#)) + mz” — s(0) : (4 ,0,z)€U x V x W}.

Nếu —m/b ¢ U thì bổ đề được chứng minh bằng cách lập luận tương tự chứng

minh Bồ đè [1.2.2]

Trong trường hợp —m/b € U thì mỗi bộ ba (—m/b,v,w) € P được xác định bởi

nhiều bộ ba (x, y/,z) e U x V x W. Vậy, ta có thể giả thiết —m/b € U. Bây giờ ta

cần ước lượng kích thước của P và H. Với (u,u,+) €7 và (,y',z) €U x V x W,

xét hệ phương trình sau:

u=2,v=y',w = buz + r(u) + mz — s(0).

21

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Nếu u € U thỏa mãn bu = —m, nghĩa là u = —m/b € U, thì ta có

u=z,v=y',w=r(u) — s(0),Vz € W. (1.2.3)

Đặt 7¡ là tập các điểm (u,ø,+) € P với u = —m/b. Khi đó P; là một tập với |V|

điểm, vì với bất kỳ ø = € V, w được xác định một cách duy nhất. Theo

và định nghĩa 7\, lưu ý rằng mỗi điểm trong 7¡ được xác định bởi |W| bộ ba(z,,z) €U x V xW. Đặt Po = P\ Py, cũng lưu ý rằng mỗi điểm thuộc Py được

xác định bởi chính xác một bộ ba (2, y',z) €U x V x W.

Lập luận tương tự, ta có thể phân hoạch tập các mặt phẳng thành hai tập

?í¡ và H2 với ?ía = H \ Hi sao cho |#¡| = |V|, mỗi mặt trong ?¡ được xác địnhbởi |W| bộ ba (2’,y, 2’) € Ux V x W, và mỗi mặt trong Hg được xác định bởi

chính xác một bộ (z,,z)€UxVxW.

Từ những lập luận trên, ta suy ra rằng mỗi liên thuộc giữa 7 và He, hoặc giữa

Pz và ?í¡ đóng góp |W| giá trị cho #;(U,V,W), mỗi liên thuộc giữa Py và Hy

đóng góp |W| giá trị cho #/(U,V,W), mỗi liên thuộc giữa Pp và ?¿ đóng góp

một giá tri cho #;(U,V,W/). Nghia là ta có

E,(U,V,W) < |W|?.Z(Pi, Ha) + [W|.Z(PI,2) + |W|.Z(Po, Hi) + 77a, Ha).

Vì |Pi| = |®¡| = |V|, rõ ràng rằng

7,141) < IV.

Dé chặn 7(72,?a). cần nhớ lại rằng mỗi phần tử của Py và Hy được xác định

bởi chính xác một phan tử (x,y,z) € Ux V x W với z # —m/b. Vậy, lập luận

tương tự như trong chứng minh Bổ đề|1.2.2| ta thấy

T(P2,H2) < P

Đánh giá 7(7¡,a), ta sử dụng Bồ đề Gọi G là một đồ thị hai phần với

các tập đỉnh ?¿ và P; sao cho có một cạnh nối giữa một đỉnh thuộc 7¡ và một

mặt trong ?¿ nếu điểm đó nằm trên mặt phẳng. Vì |7¡| = |V|, mỗi đường thang

chứa tối đa |V| điểm trong 7\, và do đó với hai mặt phẳng bat kỳ trong H2 cótối đa |V| điểm chung. Như vậy bằng cách đặt A = 7\¡ và B = H2 và áp dụng Bổ

22

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Chứng minh Bồ đề |1.2.4| Vi f(x,y, z) = avy + brz + r(x) + s(y) với a,b 0,

như trong chứng minh Bo đề ta có thể định nghĩa tập các điểm P va tậpmặt phẳng H như sau:

7 = {(z,,bzz + r() — s(y’)) : (2, y',z) €U x V x WH.

H = {ayX — aa"Y + Z = bä'z' + r(a’) — s(y): (2',y,2/) €U x V x Wh.

Chứng minh Bồ đề Trong trường hợp ƒ(z,9,z) = avy + brz + cụz +

r(x) + s(y) + £(z) là một đa thức bậc hai trong F,[z, y, z] với a,b,c # 0.

Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết rằng

2 2 2,

t gz + h# + tụ + 7z.f(a,y,z) = a + bzz + cụz + đxˆ + ey

23

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

trong đó a,b,c # 0 và d,e,g,h,i,j € Fy. Vì đa thức ƒ(z,z,z) khơng có dạng

g(h(a) + k(y) + t(z)) nên một trong các đẳng thức sau sẽ không thỏa mãn:4dde=a?, 4dg=b?, 4cg=c2, he= ja = Ìb.

Thật vậy, nếu cả bốn dang thức trên thỏa mãn đồng thời d,e,g là các số chínhphương trong F, thi ta có thể viết

J9?) = 7 (avaae + eVitay + Vee + vt) “1:

vì các dang thức 4de = a2, 4dg = b2, 4eg = c2 suy ra rằng de,eg,dg là chính

phương trong Fy, và đ,e, ø là khác khơng.

Bằng việc hốn vị các biến, chúng ta có thể giả thiết rằng một trong các dang

thức sau sẽ không thỏa mãn:

deg = c? ib = ja.

Khi đó phương trình ƒ(z,,z) = f(2',y’, 2’) có thể được viết lại thành

(ay + bz)a — 2! (ay! + bz!) + da? — e(y’)? — cụ'z' — g(z)Ÿ + ha — iy! — jz’

quan hệ này có thể được xem như một liên thuộc giữa điểm

(x, ay! + bz!, da? — e(y')? — cy’z! — g(2')? + ha — iy! — jz’)

trong F} va mặt phẳng được định nghĩa bởi

(ay + bz)X — #'Y + Z = d(a')? — ey? — cyz — gz? + ha! — iy — jz.

Đặt 7 là tập các điểm

P = {(œ,a+bz", dx? —e(y')? —cy' 2! —g(z')? +ha—iy! — jz): (œ,,z)eUxVxW}.

24

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

và H là tập các mặt phẳng

H = {(au+bz)X—z'Y+Z = d(#')?*—~ecu°—~euz—gz”+h#'—iu—jz : (a',y, 2) €UxVxW}.

Rõ ràng #;(U,V,W) bị chặn bởi số liên thuộc giữa P và H. Trong bước tiếp theo

chúng ta sẽ đánh giá lực lượng của P và H. Với một điểm (u,v, w) € P cho trước,

(b2 — abc-+ a2g)(')?+ (bev — 2agu + ib? — jab)' + (bÊu — b?du? + gu? — bÊhu + bju) = 0.

Xét hai trường hợp sau:

1. Nếu be —abe+a?g # 0 hoặc bev — 2agu + ib? — jab # 0, thì phương trình trêncó tối đa hai nghiệm y’, và giá trị z được xác định theo ø và y/.

2. Nếu be — abe + a2g = bev — 2agu + ib* — jab = 0 thì ta sẽ có hệ sau

be — abe +07 =0

(be — 2ag)v + (ib — ja)b =0 (1.2.5)

bu — bdu? + gu? — hu + bju 0

Trường hợp be — 2ag = 0, thi ib = ja. Do đó, từ phương trình đầu suy ra rằng

4eg = c?, mau thuẫn với giả thiết ban đầu.

Vậy phải có be — 2ag # 0. Cho ta v = —(ib? — 7ab)/(be — 2ag). Với giá tri này củav và bất kỳ u € P,w được xác định duy nhất bởi phương trình thứ ba của hệ

Do đó, có tối đa |U| điểm (u,v,w) € P thỏa mãn phương trình thứ ba ở

25

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

trên. Ta ký hiệu tập các điểm này là Py C P. Đặt 7 = P\P2. Ta có |7a| = |U| và

¡| ~ |U||V||W|. Lưu ý rằng điểm bất kỳ trong 7¡ tương ứng với tối đa hai điểm

trong UxV xW và một điểm bat kỳ thuộc P2 tương ứng với tối đa max{|V |, |W |}

điểm (z,',z)eUxV xW.

Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể chi ra rằng tập mặt phẳng ? được phan

hoạch thành hai tập ?¡ và He trong đó mỗi mặt phẳng trong ?¡ tương ứng với

hai điểm trong U x V x W, và mỗi mặt phẳng trong ?¿ tương ứng với tối đa

max{|V|, |W|} điểm trong U x V x W.

Dat N = max{|V|,|W|}. Ta thấy rang một liên thuộc giữa 72 va Hy, hoặc giữa

?7¡ và He, đóng góp tối đa N giá trị cho E¿(U, V,W), và một liên thuộc giữa 72

và Ho, đóng góp N? giá trị cho E;(U,V,W). Vậy, ta thu được

E¿(U,V,W) < L(Pi, Hi) + N.7(PI, H2) + N?.Z(Po, Ha). (1.2.6)

Vì |?|,|⁄a| « |U|, ta có 7(7a.#a) < |U|?. Dé chặn Z(P,,H,1), ta áp dụng Dinh

trong trong 7. Vậy nên, ta được

7(?ì, H2) = |e(G)| < (max{|U|, |V, |IWI})/2.|UI.(IUIIVIIW)/? + |UIIV|IW].

Lập luận tương tự ta được

T(Po, Hi) = |e(ŒG)| < (max{|U|,|VỊ, |W })/2.|UI.(IUIIVIIW)/? + OV |W].

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

trong đó N = max{|V|,|W|} và M = max{|U],|V|,|W|}. Tính toán trực tiếp sẽ

chỉ ra rằng các hạng tử thứ hai, ba và bốn trong về phải của đều bị chặn

A| > 2, khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết rằng

|F(A, A, A, A)| = | f(U, A, A)| > |f(U*, A, A)| > min {4, |U*Ÿ, |AP} > 4.

với giả thiết |A| >> @?/8. Dinh lý được chứng minh.

Định lý Vì |A| > 2, khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết 0 £ A.Đặt U := {Q(a,b):a,be A}. Từ Bo đề suy ra

IU| > [AP

27

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

với điều kiện |A| < p?⁄3.

Vì & < 3, ta có thể giả thiết |A| < p?/3 trong phần còn lại của chứng minh.

Đặt U* =U \ {0} Ta cũng có |U*| > |Al5/4.

Cho V = W = A. Dé thấy rằng F(A, A, A, A) = f(U,V,W).

Nếu |U||A|? > pˆ, thi từ Hệ qua suy ra |F(A, A, A, A)| > p.

Do đó, ta giả thiết |U||A/? < p3, và áp dụng Hệ quả [1.2.1] để thu được

đồ thị, đây là những phương pháp tiếp cận có nhiều ưu điểm đang được nhiều

nhà nghiên cứu áp dụng hiện nay. Đối tượng chính cần giải quyết là đánh giácác năng lượng hàm mà công việc chính là đánh giá số nghiệm của một phương

trình tương ứng. Bằng việc biến đổi một phương trình đại số về dạng phương

trình đường thang, mặt phẳng hoặc biến đổi về phương trình ràng buộc kết nối

giữa hai đỉnh của một đồ thị, chúng ta sẽ đánh giá số nghiệm thông qua chặnliên thuộc đã được biết đến hoặc số cạnh giữa hai tập đỉnh của một đồ thị phù

Về kết quả, việc chứng minh được hai lớp hàm nở vừa với các ngưỡng 5/13 và3/8 đã góp phần làm phong phú thêm danh sách các hàm nở trên trường hữu

hạn. Nội dung chương này được lấy từ cơng trình "Moderate Expanders Over

Rings" của tác giả và được đăng trên tạp chí Journal of Number Theory.

28

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Chương 2

Ham no trên nhóm

2.1. Giới thiệu bài tốn

Cho trường hữu hạn F,, trong đó q là lũy thừa của một số nguyên tố lẻ. Vớisố nguyên n > 1, nhóm Heisenberg bậc n trên trường hữu hạn F,, ký hiệu bởi

H,(F,), là nhóm nhân các phần tử có dạng:

1 x z

[x, Ỳ, | :=}0 In ví

0 0 1

trong đó x,y € F?, yf là véc tơ cột của y va J, là ma trận đơn vin x n.

Khi đó phép nhân hai ma trận sẽ là

(x.y.z] |[x.,y.z]= |x+x,y+y.z+z+x:y]

trong đó x-y’ là tích vơ hướng của hai véc tơ x và y’.

Cho AC Fy, E,F c E7, ta ký hiệu

[E, F, A] := {[x,y,z]: x € E,y e F,z€ A},

[E, F, 4l“ = {[x1,¥1, 21]---[Xa; Ya Za] : [X¿. Vi, 2] € [E, F, Al], i = Td}.

29

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Định nghĩa 2.1.1 (Khối). Mot tập con B của H,(F) được gợi là một khối

nếu B = [X,Y, Z| = {[z, U,z]:øc X,cY,z€ Z} trong đó X = Xị x--- x Xp va

Y=Y,x---x Y, vdi các tập X;,Yj C F* khác rỗng.

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu bài tốn hàm nở trong nhóm

Heisenberg có sự phát triển mạnh mẽ và đã có những kết quả khá ấn tượng.

Điển hình như Hegyvári và Hennecart đã đưa ra một kết quả đối với các

khối trong nhóm Heisenberg. Phát biểu cụ thể như sau.

Định lý 2.1.1 (Hegyvári-Hennecart,[Sl|). Với moi e > 0, ton tại một số nguyên

đương no(e) sao cho uới mọi n > noe) va các tập bat ky Xi, Yi, Z C ạ,¡ € [n], X =

Định lý 2.1.2 (Shkredov, [đỗ]). Cho n > 2 là một số chan, va Xi, Yi, Z C Fp, i €

[n], X = Hệ ¡ÄX; C Fÿ,Y = Hệ ¡Y; C Fp sao cho Xj, Yj có kích thước tương đương.

Đặt X = max; |X;| vd Y = max; |Y;|. Nếu |Z| < X3,# < |Z|W,} < |Z|# va

xy nit ( ya) ,

thà [X,Y, ZI|X,Y, Z] chúa tt nhất |[X,Y, Z]|/p tập kề của (0,0, Fp].

Lưu ý ở đây rằng hai dãy tập hợp X; C F,,Y; C F, gọi là có các kích thướctương đương nếu với moi i,j = 1,n, thì |X;| < |X;,|X;| < |Y¡|.

Khi X; = Y; = Z với mọi 1 < i,j < ø điều kiện của Định lý Hi

pit ron, sẽ cải thiện ngưỡng pi+O(m) của Dinh Iý|b.1.1|

Với bài tốn hàm nở trong nhóm 7;(F,), sử dụng ước lượng tổng tích, Hegyvári

và Hennecart trong cơng bố [82] đã chứng minh được rằng nếu A C F, với

[4| > p!⁄2, thì

A, 4.0|/4,.4,0)| > min {p1|L4, A, 0/4, pV [4, Ao)? }

Trong trường hợp tap A nhỏ, các tác giả đã thu được kết quả sau.

30

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Định lý 2.1.3 (Hegyvari-Hennecart,[82]). Cho A C F, vdi |A| < p?/3. Khi đó,

ta có

|[A, A, O][A, 4.0]| > |[A, A, OF.

Một cách tương tự, các tác giả đã mở rộng kết quả trên trường hữu han bất

Định ly 2.1.4 (Hegyvári-Hennecart,|S2|). Cho A là một tập con của Fy với

|A| > 42⁄3. Khi đó

I[A, A, O][A, A, 0]] > gI[A, A, 0|.

Trên trường số thực, với bat kỳ tập con A C R, sử dung chặn liên thuộc

điểm-mặt phẳng do Elekes và Toth [57] đưa ra và một biến thể năng lượng của

Rudnev, Shkredov, và Stevens [70], Hegyvari và Hennecart [82] đã đưa ra kết

Định lý 2.1.5 (Hegyvári-Hennecart,[S2]). Cho tập hữu hạn số thực A CR tới

điều kiện |A| >3. Khi đó

Dinh lý 2.1.6. Cho A là một tập con của F,. Kí hiệu At(A), là số các bộ bốn

(a,b,c,d) € A* thỏa mãn a+b =c+d. Giả sử rằng A†(A) < af uới K > 0 va

|A| > K1⁄3423. Khi đó

\[A, A, 0)[A, A, 0]| > AGIA, A, O]],

Kết qua tiếp theo là một sự mở rộng của Định lý trong #„(F¿) với

m> 1.

Dinh lý 2.1.7. Cho E là một tập con của Fy. Với |E| > qiti. Khi đó

I[E, E, 0|[E, E, 0]| > q|LE, E, 0||.

j1

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Lưu ý rằng kết quả của Định lý là chặt. Ta có thé cho E là một

khơng gian con trong Fj, khi đó [E,E,0||E,E,0| C [E,E,F,|. Hon nữa, SỐ

mũ $+ ‡ không thể bị giảm tới 5. Giả sử ạ = p?, ta chọn E = E7, khi đó

[E, #, 0[E, E,0]| < p|[E, #,0]| = q'/*|[E, #, 0|.

Trên trường nguyên tố, nếu # là một tập con của F? va lực lượng của # không

quá lớn, ta có định lý sau trong H2(F,).

Dinh lý 2.1.8. Cho F, là một trường nguyên to uới p= 3 mod 4, va E là một

tập cơn của E2 uới |E| < pŠ'5. Khi đó

Khi A là một nhóm con với phép tốn nhân của l”, số mũ = trong Dinh ly

có thé được cải thiện một cách đáng kể.

Định ly 2.1.9. Cho A là một nhóm con uới phép nhân của E7 va |A| < p'/? log p.

Khi đó

I4, A, O)[A, A, 0] & ITA, A, 0] *°

Kết quả tiếp theo là một sự mở rộng của kết quả của Định lý trên

trường số phức.

Dinh lý 2.1.10. Cho A là một tập con của C với |A| > 2. Ta có

|[A, A, O)[A, A, 0]| = |AI® = |[A, A, 0].

2.2. Cac két qua chuan biBổ đề 2.2.1. Với AC Fy, ta có

_fldi alle

[4 AoA, Aso) > nin f Vaart.

Chứng minh Bồ đề Cho X là một tập bội của F?" x Fy. Ký hiệu X

là tập các phần tử khác nhau trong tập bội X. Lực lượng của X, được ký hiệu

bởi |X], là SOx mx(z), trong đó mx(x) là bội của x trong X. Cho các tập bội

32

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

A,B CF+1, gọi N(A,B) là số các cặp ((a,b),(c,d)) € A x BC (E2" x Fy)? sao

cho a-c = b+d. Sử dung công cu Fourier, Koh, Thang va Vinh đã đưa ra kếtquả sau đây đối với N(A,B), nó cũng đóng một vai trị quan trong trong các

Khơng mất tinh tổng quát, giả thiết 0 ¢ A. Gọi S là số các bộ bốn ma trận

(m¡,1ma,1m;, mạ) trong [A, A, 0] x [A, A, 0] x [A, A,0] x [A, A,0] sao cho my - mạ =

ma - mạ.

Phan hoạch tập hợp các cặp ma trận [A, A,0| x [A, A, 0] thành các tập không giao

nhau Bm: = {(m, m’) € [A, A, 0] x [A, A, 0] : mm’ = mỹ}. Như vậy, số các tập

Bạn; chính là |[A, 4,0|{4, 4,0||, và |A|* = |[A, A, 0] x[A, A, 0]| = dime |[4,4,0][4,4,0]] |Bml.

Khi đó S = )`|Bm]È.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Ta có

me|[A,4,0][4,.4,0]|tương đương với

A 8

(4.4.4, 4,0) > BE

Bây giờ ta sẽ chứng minh

Thật vậy, ta có S bằng số các bộ (a, b,e, đ,a!,b',e,đ) trong A® sao cho

atc=a' +d, (2.2.2)b+d=v'+d' (2.2.3)ad = a'd' (2.2.4)

Từ|2.2.2kà|2.2.3|suy ra a = a' +c! — e vad’ = b+d—DW’. Thế vào |9.2.4| ta thu được

(“+ —c)d=a'.(b+d-V).

33

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Nghĩa là

d(đ — e) = a(b— Đ). (2.2.5)

Trong trường hợp b # Ù; ta cũng có c # đ, vì 0 ¢ A. Trong trường hợp này, dang

thức trên tương đương với

dang thức [2.2.2} va [2.2.4] suy ra số bộ (a,b,c, d,a',b’, c,d’) € AŠ thỏa mãn

các dang thức này tối đa là số bộ (a’,c,c’,b, b!,d) € A® sao cho

Đặt P = Ax A. L là tập bội các đường thang có dạng y = py( —c) với

b+d—Ve A. Rõ rang |P| = |A|? và |L| = At(A)|A]. Ta có thể kiểm tra rằng X bịchặn bởi số các liên thuộc giữa các điểm trong P và các đường thẳng trong 7.Gọi £ là tập bội trong F2 chứa các điểm có dang (545, -47-0) với b+d—b'e A

và c€ A. Mặt khác, ta cũng dé dang tính được 7,7 mc(I)? < XỊA|, và |L| = ||.

Với tập £ mới này, ta có X = N(P,L), trong đó N(P,£) được định nghĩa như

như yêu cầu.

Bổ đề 2.2.3. Cho E là một tập con của Fj. Goi T là số bộ ba (v,x,x’) € E3

sao cho v.(x —x') = 0. Khi đó

T< =.

34

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Chứng minh Bổ đề Đầu tiên chúng ta nhắc lại phép biến đổi Fourier

của các hàm trên F”. Gọi x là đặc trưng cộng khong tầm thường trên F,. Với

một hàm f : Fj > C, phép biến đổi Fourier của f, ký hiệu f, được định nghĩa

cịn được gọi là cơng thức Plancherel.

Kết quả dưới đây sẽ góp phần vào việc hồn thành chứng minh Dinh lý

Định nghĩa hàm #: Fj — {0,1} như sau:

Với x, là một ham đặc trưng không tầm thường của F,, ta cũng có ocr, X(9) = 0.

v,x,x' € F”, áp dụng tinh chất của đặc trưng vừa nêu ta suy ra

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

Như vậy 7' được đánh giá như sau:

trong đó ta đã sử dung >, _„„ |E(z)|2 = ạ-”|E|. Bổ dé được chứng minh.

ZeFr

Bổ đề 2.2.4. Cho E là một tập con của F? uới p = 3( mod 4) va định nghĩa

HI():={a-b:a,be E}. Nếu |E| < pŠ/5, thà [I()| > |E|Š5.

Chứng minh Bổ dé Để chứng minh Bổ đề, ta sẽ sử dụng kết quả sau

đây về chặn liên thuộc điểm-đường thang do Stevens và De Zeeuw đưa ra.

Bổ đề 2.2.5 (JØ3|). Cho P là một tập hợp điểm trong FY va L là một tập các

đường thẳng trong R2. Nếu |P| < pŠ!5, thà số liên thuộc giữa P va L, được ky hiệu

bởi I(P, L), thỏa man

TP, L) < |PI/®5|rI1/®5 + |P| + |Z).

Vìp=3 mod 4, nên khơng có đường thang isotropic trong F?. Với mỗi a € E,

ta ký hiệu tập {a-b:b € E} bằng Hạ(E). Giả sử

max |Hạ()| = t.

36

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Rõ ràng |II(E)| > maxaez |Ha(E)|.

Không mất tính tổng qt, ta giả thiết rằng 0 ¢ E. Ta có hai trường hợp sau:Trường hợp 1: Có một đường thang đi qua gốc tọa độ với tối thiểu m điểm

của E, thì m điểm này sẽ đóng góp tối thiểu m giá trị khác nhau cho tập T(E).

a2 +agy =r với r € Hạ(E). Dễ thấy, |La| = |Ha(®)|.

Hơn nữa, La = Ly khi cả a và b cùng thuộc một đường thang trong Lo, và

bạn Ly = Ú khi a và b là các phần tử phan biệt của P.

Đặt L = UacpLa. Vi

Ir| < [Plt = |Lolt ~ |Elt/m.

Gọi I(E, L) là số các liên thuộc giữa E va L. Với mỗi a € P, ta có I(E, La) = |E|.

|El/m < |EIT®(IE|lm)'!”3 + |E| + |Elt/m.

Vì m là số điểm tối đa trong E cùng nằm trên một đường thắng qua gốc tọa độ

nên |#| > m. Hơn nữa, maxaeg |Ha(#)| = £ nên ta cũng có |#| >t. Từ đó suy ra

IEl/m > |E| + |E|t/m.

Giải bất phương trình theo ¢ ta được

IEIS/tụ=1 <t.

Chọn m = |E|Š/5, suy ra II(#) > |E|Š5.

37

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Bồ dé 2.2.6. Cho A là một nhớm con theo phép nhân của E7 với |A| Š p2

Gọi L là một tập các đường thẳng trong F2 ø Đà I(Ax A,L) là số các liên thuộc

giữa Ax A va L. Ta có

I(Ax A,L) < |A|3|H2.

Chứng minh Bổ đề Gọi T(A) là số bộ ba điểm thẳng hàng trong Ax A.Kết quảtrong [|[92|, Dinh lý 1.2] đã chỉ ra rằng nếu |A| S p!⁄2, thì

T(4) š |Ắ.

Với mọi I € L, đặt i(l) = |(A x 4)đni|. Ta có

T(A xA,L) = À i0).

Bổ đề 2.2.7. Cho A là một tập con của C uới |A| > 2. Kí hiệu AX(A), là số bộ

bốn (a,b,c,d) € A* sao cho ab = cd. X là số bộ sáu (a,b,e,a',b,e) € A® sao cho

a(b — e) = a(b — €).

Khi đó X Š AX(A)1⁄2|AI? + [Alt < 2AX(A4)12|A.

38

</div>