Luận án tiến sĩ toán ứng dụng: Ước lượng tốc độ hội tụ và mật độ nghiệm cho 1 số phương trình vi phân ngẫu nhiên

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (22.12 MB, 103 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN VĂN TÂN

LUAN AN TIEN SI TOAN UNG DUNG

HA NOI - 2023

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN VAN TAN

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê tốn hocMã số: 9460112.02

LUẬN ÁN TIEN SĨ TỐN UNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng

dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Dũng và TS. Trần Mạnh Cường. Các số liệu,

kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong

bất kỳ công trình nào khác. Đồng thời, tơi xin cam đoan các đồng tác giả trong

các cơng trình cơng bố chung đã đồng ý cho tôi sử dung các kết quả để đưa vào

luận ấn.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Tân

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Lời cảm ơn

Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.

Nguyễn Tiến Dũng, TS. Trần Mạnh Cường - những người Thầy đã và đang nhiệttình hướng dẫn, giúp đỡ tơi nghiên cứu khoa học, tạo động lực cho tôi niềm đa

mê nghiên cứu khoa học. Đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi và cho phép

tôi tham gia các buổi seminar ở bộ mơn trong suốt thời gian học tập, giúp tơi

hồn thành luận án này.

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Bộ môn Xác suất Thống

kê đã thường xuyên giúp tôi trong việc nghiên cứu học tập.

Đồng thời, tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám đốc Dai học Quốc gia Hà

Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa

Toán-Cơ-Tin học, Phịng Dao tao đã tạo điều kiện để tơi nghiên cứu tốt hơn và

giúp tơi hồn thành các thủ tục bảo vệ luận án.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo Ban Co yếu Chínhphủ, Ban giám đốc Học viện Kỹ thuật Mật mã, Ban chủ nhiệm và các đồng

nghiệp trong Khoa Cơ bản đã cho phép và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hồn

thành luận án này.

Cuối cùng, tơi xin gửi lịng biết ơn của mình đến vợ tơi, gia đình, bạn bè

thân thiết của tôi, những người luôn hiểu và ủng hộ tôi.

Tôi xin chân thành cảm on!

Hà Nội, tháng 6 năm 2023

NCS: Nguyễn Văn Tần.

1

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Mục lục

i cam đoan iii

.. 8

1.3 Đạo hàm Malliavin}...0.0. 0.0.0.0. 02000004 9

1.3.1. Dao ham Malliavin và tinh chat] ... 9

2.1 Ước lượng Berry-Esseen trong xap xi

Smoluchowskl-Kramersl... 16

2.1.1 Giới thiệu về xấp xi Smoluchowski-Kramers 16

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

2.2 Sự hội tụ yếu của nghiệm các phương trình vi phân ngẫu nhiêncó trễ và áp dung cho xấp xỉ Carathéodory|...

2.221 Giới thiệu bài tốn|...Ặ..

tính|...-3.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

3.3.2 Sự tồn tại và ước lượng Gauss cho mật độ

3.3.3. Tính trơn của mat độ|...

A _ Bổ dé Gronwall...

B Bất đăng thức Hölder

1V

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

Không gian Euclidean d—chiéu.

Không gian các hàm do được g : R > R sao cho ||g||« :=

Khơng gian các hàm liên tục ƒ xác định trên [a,b], nhận giá

trị trong R@ với chuẩn ||ƒ|| = sup„<„<;Lƒ(2)l:

Không gian các hàm bị chặn f : [0,7] x R > R với các dao

hàm riêng cấp một bị chặn.

Tích phân Skorohod của uw.

Q trình ngẫu nhiên u khả tích Skorohod.

Khơng gian các biến ngẫu nhiên có đạo hàm Malliavin cấpk, với trung bình cấp p hữu hạn.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Chuyển động Brown phân thứ.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Lời nói đầu

Trong lý thuyết xác suất và các lĩnh vực liên quan, giải tích Malliavin là

một tập hợp các ý tưởng và kỹ thuật mang tính tốn học, mở rộng lĩnh vực

tốn học của giải tích về các biến phân từ các hàm tất định đến các q trình

ngẫu nhiên. Phép tính Malliavin cịn được gọi là phép tính ngẫu nhiên của các

biến phân. Đặc biệt, nó cho phép tính các đạo hàm của các biến ngẫu nhiên.

No được hình thành từ những năm 70 của thé ki XX va đầu những năm 80,

90, có rất nhiều nhà Tốn học dành thời gian nghiên cứu. Giải tích Malliavinchủ yếu được xây dựng trên tính tốn ngẫu nhiên Ito nhằm mục đích nghiêncứu cấu trúc cũng như phân bố của không gian các hàm Wiener. Năm 1974,P. Malliavin lần đầu tiên khởi xướng phép tính trên khơng gian vơ hạn chiều.

Ơng sử dụng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối chỉ ra rằng nếu điều kiện Hưrmander

được thỏa mãn thì phân bố của q trình khuếch tán có mật độ trơn. Bằng cách

này, ơng đã chứng minh định lý Hörmander theo phương pháp xác suất. Các lý

thuyết này tiếp tục được nghiên cứu trong những năm gần đây, được áp dụngvào nhiều lĩnh vực khác nhau như trong Tốn tài chính , các bài toán lọc ngẫu

nhiên, phương pháp số ngẫu nhiên, cơ học thống kê và thủy động lực học thống

kê... Có thể kể đến các nhà khoa học như Malliavin (1978a, b, c), Shigekawa

(1980), Bismut (1981), Stroock (19§1a, b), Ikeda & Watanabe (1984), Bichtelerva cộng sự (1987), Malliavin (1991), T Sanz-Sol’e (2005), Malliavin & Thalmaier(2005), Nualart (2006), Di Nunno và cộng sự (2009), Nourdin & Peccati (2012),

Ishikawa (2016).

Hơn nữa, những năm gần đây có nhiều ứng dụng trực tiếp của giải tích

Malliavin, bao gồm công thức mật độ, định lý giới hạn trung tâm cho các hàm

của quá trình Gauss, định lý về sự hội tụ của mật độ, định lý giới hạn khơng

trung tâm và phép tính Malliavin cho các q trình nhảy. Trong đó, phải kế đến

hai hướng nghiên cứu sử dụng kỹ thuật của giải tích Malliavin vào một số lớp

phương trình vi phân ngẫu nhiên, đó là

1. Chứng minh tính trơn và sự tồn tại mật độ của nghiệm, đồng thời đưara ước lượng Gauss cho mật độ nghiệm, xác suất đuôi: D. Nualart (2006,

1

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

2009, 2018), E. Nualart (2013), Nourdin & Vien (2009).

. Định lý giới hạn trung tâm, tốc độ hội tụ của nghiệm phương trình vi phân

ngẫu nhiên: D. Nualart (2005, 2019), I. Nourdin (2012). Việc sử dụng kỹ

thuật giải tích Malliavin ở đây thu được nhiều thông tin về mặt xác suất

đối với tốc độ hội tụ yếu của nghiệm so với các kỹ thuật trước đây. Phươngpháp này tiếp tục được nghiên cứu áp dụng cho một số lớp phương trình

vi phân ngẫu nhiên khác.

Luận án, dưới sự hướng dan của PGS. TS. Nguyễn Tiến Dũng và TS. Tran

Mạnh Cường, tiếp tục nghiên cứu theo hai hướng trên. Cụ thể là chúng tôi tập

trung vào nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm một số phương trình vi phânngẫu nhiên; chỉ ra tính trơn và thiết lập ước lượng Gauss cho mật độ của nghiệm.Các kết quả chính của luận án đạt được như sau:

Dua ra một ước lượng Berry-Esseen hiển cho tốc độ hội tụ theo khoảng

cách Kolmogorov của xấp xỉ Smoluchowski-Kramers cho phương trình vi

phân ngẫu nhiên.

Nghiên cứu về sự hội tụ yếu của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiêncó trễ và áp dụng cho xấp xỉ Carathéodory.

Nghiên cứu tinh trơn và thiết lập ước lượng Gauss cận trên, cận dưới cho

mật độ của nghiệm phương trình vi phân hàm ngẫu nhiên phân thứ trongtrường hợp các dạng nhiễu cộng tính và nhân tính.

Bồ cục luận án:

Chương [1] trinh bay tóm tắt một số kiến thức cơ ban về giải tích Malliavin:

Định nghĩa, liên hệ với tích phân Skorohod, các công thức về đạo hàm

Malliavin cùng với các định lý liên quan về đạo hàm và mật độ của biến

ngẫu nhiên khả vi Malliavin.

Chương |2| trình bày hai kết quả chính của luận án. Trong đó, mục

đưa ra ước lượng hiển Berry-Esseen cho tốc độ hội tụ theo khoảng cách

Kolmogorov đối với xấp xỉ Smoluchowski-Kramers của dạng phương trình

vi phân ngẫu nhiên mơ tả chuyển động của hạt có khối lượng rất nhỏ. Mụcđưa ra ước lượng hiển cho tốc độ hội tụ yếu giữa các nghiệm của hai

hệ phương trình vi phân với các trễ khác nhau. Từ đó, như một hệ quả,

áp dụng trực tiếp vào hệ xấp xỉ Carathéodory. Thực tế thì chúng tơi thấy,

phương pháp được trình bày trong Mục có thể được áp dụng cho hệ

2

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

xấp xỉ Carathéodory của một số hệ với dạng trễ khác như dạng đa trễ haydạng biến trễ.

e Trong Chương | luận án xem xét về phương trình vi phân hàm ngẫu nhiên

phân thứ. Mục nhắc lại về tích phân ngẫu nhiên phan thứ (H > 3).

Mục đưa ra ước lượng Gauss cho mật độ nghiệm với dạng nhiễu cộng

tính. Mục nghiên cứu về mật độ của nghiệm trong trường hợp dạng

nhiễu nhân tính, chứng tỏ tính trơn và thiết lập ước lượng Gauss cận trên,

cận dưới cho mật độ của nghiệm. Khó khăn ở đây là độ phức tạp của tích

phân ngẫu nhiên với fBm và số hạng tích phân. Do đó, địi hỏi các tính

tốn phân tích tốt để chứng minh các kết quả này.

e Cuối cùng, ở phần phụ lục, luận án trình bay lại một vài dạng của Bo đề

Gronwall, bất dang thức Hölder.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Chương 1

Giải tích Malliavin

Giải tích Malliavin bản chất là một phép tính vi phân vơ hạn chiều trên khơng

gian Wiener. Đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu và tìm ra các ứng dụng củagiải tích Malliavin trong nhiều lĩnh vực như Tốn tài chính, các bài tốn lọc

ngẫu nhiên, phương pháp số ngẫu nhiên ... Trong chương này giới thiệu tóm

tắt một số khái niệm về tích phân Itơ, tích phân Skorohod, đạo hàm Malliavin.Đồng thời cũng nhắc lại một số tính chất và định lý quan trọng về giải tích

Malliavin liên quan đến các kết quả chính của luận án. Các chứng minh của các

định lý có thể được tìm thấy trong |43|.

1.1 Khai triển Wiener-It6

1.1.1 Tích phân Itơ lặp

Cho B = Ö, = B(t,w), t € [0,7], w € Ó (7 > 0) là quá trình Wiener một chiều,

hoặc một cách tương đương là chuyển động Brown trên không gian xác suất đầy

Fy

t unt o{NustFu}

= lim Fy = 0 {si Fu}.

Định nghĩa 1.1. Hàm thực g : |0,T]" + R được gọi là đối xứng nếu

gÉø;,--- ,#ø„) = 0(H.--- itn) (1.2)

vdi mọi song ánh o của tập {1,2,---,n} uào chánh nó.

4

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Ký hiệu /^(0,7]") là khơng gian chuẩn tắc của các hàm thực Borel bìnhphương khả tích trên [0, 7]” với chuẩn:

lIøll7o,zi») = / 9° (ti, +++ str)dty +++ dtn < 00. (1.3)

[0,7 ]”

Dat 72(0,7]") C L?(0;7]”) là không gian các hàm thực đối xứng Borel, bình

phương khả tích trên |0,7]". Xét tap hợp:

Sn ={(H,---,ta) €[0,T]”:0 <?fi <ta <--- <Stạ < Th.

Chú ý rằng S,, là hình hộp n-chiéu chiếm thể tích khơng gian bằng 4 ¡ thể tích

hình hộp |0,7]“ nên nếu ø € 72((0,7])" thì gis, € /?(5„) và

lIøll22o,zi») = af g (th, ut , tn) dty +++ dty = n!- ligllZ2cs,): (1.4)

Nếu f là hàm thực trên [0,7]", thi hàm đối xứng của f là f được định nghĩa

như sau

ƒ(h,--- .fn) == >>. ston): (1.5)

trong đó, tổng được lấy trên tất cả các hoán vị o của {1,2,--- ,n}.

Chú ý rằng: ƒ = ƒ nếu và chỉ nếu ƒ là hàm đối xứng.

Định nghĩa 1.2. Cho ƒ là một ham xác định trên 5„ (n > 1) sao cho

IL/ l7», (Sn) = 7a (t1,+++ ,tn)dty---dtn < +00.

Khi đó, ta có thể định nghĩa tích phân Hơ lặp n lần như sau

n= f. fr. ,tn)dBy, --- dBy, dBi, (1.6)

Chú ý rằng với mỗi i = 1,--- ,n ứng với tích phan Itơ tương ứng theo dB;,

ln được định nghĩa tốt vì hàm lấy tích phân

fo fie itn )d By, -- dB, tj € (0, ti41]

là một q trình ngẫu nhiên F-tuong thích và bình phương khả tích tương ứng

với dP x dt;. Do đó, (1.6) được định nghĩa tốt.

5

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Định nghĩa 1.3. Cho g € 12(0, 7"), ta định nghĩa tích phân Ité lặp n lần trên

|0,TỊ” như sau

In(g) = | gti, ut stn )d Be, dB, = nlIn(g)- (1.7)

1.1.2 Khai triển Wiener-ltơ

Định lí 1.4 (Định lý 1.10 (45}). Cho € là một biến ngẫu nhiên Fr-do được trong

L?(P). Khi đó tồn tại duy nhất một dãy các hàm {fn}°_ trong L?({0,T]") thỏa

Tích phân ngẫu nhiên Skorohod được A. Skorohod giới thiệu lần đầu tiên

năm 1975, được coi như là mở rộng của tích phân It6. Trong đó, tính khả tích

của tích phân khơng cần điều kiện F- tương thích.

1.2.1 Tích phân Skorohod

Cho u = u(t,w),t € [0,7], € Q là một quá trình đo được sao cho Vt €

|0, 7], u(t) là biến ngẫu nhiên Zr—đo được và #[u?(f)] < oo. Khi đó, ứng với mỗi

t € [0,7], áp dụng định lý khai triển Wiener-Itô đối với biến ngẫu nhiên u(t) và

tồn tại các hàm đối xứng fre = ƒz¿(fi,--- ,fa), (H,--- ,f„) € |0,7]* trong khônggian ”?(|0, 7]") thỏa man

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Do ham ƒ„¡ phụ thuộc vào tham số t € [0,7] nên ta có thể viết như một hàm

(n + 1) biến sau

fr(ti, ut vn tn41) = tín, Tự , tn, t) = frt(ti, ut itn).

Ham ƒ„ chỉ đối xứng theo n biến đầu tiên nên ta cần đối xứng hóa nó bởi ham

Gr wtn4i) = t2a(n,-- tnt)n+l

+ 120, tee ytn41,t1) +... + falti, tee ytn—1, tn41, tn) (1.10)

Dinh nghĩa 1.5. Cho u(t),t € [0,7] là một quá trinh ngẫu nhiên do được thỏa

mãn Vt € [0,T], u(t) là Ƒr-do được va E[u?(t)] < co. Giả sử khai triển Wiener-Ité

cua u(t) la

Với f được xác định như trong cơng thúc (1.10), ta định nghĩa tích phân Skorohod

của u nhu sau

T œ

ô(u) = | an = À Insi(fn): (1.11)

0 n=0

nếu chuỗi trong vé phải hội tụ trong L2(P). Khi đó, nếu u là khả tích Skorohod

thi ta uiết u € Dom(ô).

Chú ý 1.6. 1. Từ công thúc (1.9), quá trình ngẫu nhiên u thuộc vao Dơm()

2. Ta thay rằng nếu u € Dom(ð) va đặc biệt khi G là biến ngẫu nhiên Fr-do

được thỏa man Gu € Dom(6) thà tong quát ta có:

TT

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.2.2 Một vai tính chất cơ bản của tích phân Skorohod

Đầu tiên, từ định nghĩa của tích phân, ta thấy tích phân Skorohod là mộttốn tử tuyến tính thỏa mãn

u € Dom(6) > ð(u) € L?(P).

Ngồi ra, ta cũng có một vài tính chất quen thuộc như tính cộng tính của tích

phân cổ điển.

Mệnh đề 1.7 (Mệnh đề 2.6 [45}). Cho t € [0;T] va u € Dom(d). Ta có XIpzpu €

Dom(5), Xụ;riu € Dom(d) va

hai tích phân là trùng nhau, giá trị của tích phan là phần tử của L?(P).

Bo đề 1.9 (Bổ đề 2.8 |dö|). Cho u = u(t), t € [0,T] là quá trành ngẫu nhiên sao

cho Vt € [0, TỊ, biến ngẫu nhiên u(t) là Fr-do được va E|u?(t)] < . Giả sử, khai

triển Wiener-ltô của u là

u(t) = So un(fn(-s#)).

Khi đó, u là R-tương tương thích nếu uà chi nếu:

fa(H,:-:-,fa,f) =0 nếu t < max ti. (1.13)

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Dang thúc trên được hiểu theo nghĩa hau khắp nơi (h.k.n) trong [0,T]" ứng với

độ do Lebesgue.

Định Ii 1.10 (Dinh lý 2.9 [45]). Cho u = u(t), t € [0,7] là một quá trình ngẫu

nhién F-tuong thich sao cho

Chúng ta biết rằng đạo hàm Malliavin được xây dựng như một cơng cụ để

nghiên cứu tính chính quy của mật độ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Có nhiều cách để xây dựng về đạo hàm Malliavin, phương pháp xây dựng đầu

tiên được nghiên cứu trên không gian Wiener 2 = Œo(|0; 7]): không gian các hamliên tục œ : [0; 7] > R với w(0) = 0. Trong mục này, xây dựng đạo hàm Malliavin

theo phương pháp tiếp cận dựa trên khai triển Wiener-Ito.

1.3.1 Dao hàm Malliavin và tính chat

Định nghĩa 1.11. Cho biến ngẫu nhiên F € L?(P) là Fr-do được uới khai triển

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

trong đó, In-1(fn(-,t)) là tích phân lặp bột (n— 1) của fa(H,--- ,tn—1,t) theo

(n — 1) biến đầu tiên tì,--- ,t„ + Va tạ = t coi như là một tham số.

Tổng quát hơn, với mỗi k > 1, ta có thể định nghĩa tốn tử đạo hàm lặp

Do đó, DF = DF, Le [0,T] được định nghĩa tốt như là phan tử trong L?(P x À).

Ví dụ. Giá sử (P¿);e|o,rị là chuyển động Brown, h € L?[0,T]. Khi đó, ta có:

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

(it) {D.F}¡ hội tu trong L?(P x À)

Khi đó, F € D!? va Di Fy 4 DiF, k + 00 trong L?(P x À).

Ký hiệu Dj? là tập tất cả các biến ngẫu nhiên F € L?(P) ma khai triển

Wiener-It6 của nó chỉ có hữu han phan tử.

Chú ý rằng từ Mệnh dé 1.2.4 trong [44], ta có thể tong quát hơn cho quy tắc

xích (đạo hàm của hàm hợp) cho các hàm Lipschitz như sau

Dinh li 1.16. Cho »: RR là một hàm liên tục Lipschitz:

Ie(z) = #(0)| < Ela — yl,

uới moia,y € R. Giả sử F là một biến ngẫu nhiên trong D12. Khi đó, y(F) € D12

va ton tại biến ngẫu nhiên G bi chặn bởi L sao cho

D(e(F)) = GDF.

1.3.2 Mồi liên hệ giữa dao ham Malliavin và tích phan

hod

Dinh li 1.17 (Dinh ly 3.14 (45}). (Cơng thức đối ngẫu: Tích phan

Skoro-hod như một tốn tử đối ngẫu của đạo ham Malliavin)

Cho F € D!? là Fp-do được va cho u € Dom(ð) là quá trình ngẫu nhiên khả tích

Skorohod. Khi đó,

T T

E Ff wasn =F u(t) Di Fdt | . (1.19)

0 0hay

E[F6(u)] = E [(DF,u) p20,7)] (1.20)

11

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Định lí 1.18 (Dinh lý 3.15 [45}). (Cơng thức tích phan từng phan)

Cho u € Dom(ð) là q trình ngẫu nhiên khả tích Skorohod va F e D!? thỏa

mãn tích Fu(t) € Dom(ð), Vì € [0,TỊ. Khi đó,

TT T

Ff wasn = [ ru yee [ xí ()D,Pát. (1.21)

Chú ý 1.19. Ta có thể thay thé giả thiết vé tính khả tích Skorohod của Fu trong

Định lý[1. 18] trên bằng sự tồn tại của hai tích phân:

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

1.3.3 Đạo hàm Malliavin và mật độ

Từ các Dịnh lý 3.1, Dịnh lý 4.1 trong và {18, Mệnh đề 2.3], ta có các kết

quả sau

Mệnh đề 1.21. Cho F € D!? sới E[F| =0. Khi đó, F có mật độ pr uới độ đo

Lebesgue nếu va chỉ nếu ham

@r(z) := E | DưFiDirin t=z|, hee, ceR.

thỏa mãn @p(F) > 0 h.c.c. Đặc biệt,trong trường hợp giá Supp(pr) là một khoảng

đóng trong R có chúa 0 thi ta có

P(F > 2) < exp (mê) va P(F < —z) < exp (-5) , >0.

Để ước lượng Gauss cận trên và cận dưới cho mật độ, ta sử dụng mệnh đề

sau (Định lý 2.4 [18})

Mệnh đề 1.23. Cho F € DL2 vdi E[F] = 0. Giả sử ton tại các hằng số dương

c, C sao cho uới moire R

EF exp (-) < pr(#) < FIP exp (- _ ) , hee «eR. (1.26)2G 2c 2c 2Ø

Khi chứng minh tinh khả vi Malliavin của nghiệm các phương trinh vi phan

ngẫu nhiên, ta cần kết quả sau

13

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Mệnh đề 1.24 (Định lý 2.2.1 [44]). Cho (Xt)rejo,r) là nghiệm của phương trình

vt phân ngẫu nhiên

t t

0 0

uới Dị là chuyển động Brown tiêu chuẩn, điều kiện ban đều +zọ € R va các hệ số

ơ :[0,7] x R= R là liên tục Lipschitz va tăng trưởng tuyến tính, túc là tồn

tại L > 0 sao cho

la(t, x) — a(t,g)| + |o(t,2) — o(t,y)| < Llz = yl, Ve,ylR,te (0,7),

Từ Mệnh đề 2.1.2 trong dẫn đến kết quả sau

Mệnh đề 1.25. Cho q,a,8 là 3 số thực dương thỏa mãn a+ + + 5 =1. Gia sử

F là một biến ngẫu nhiên trong khong gian D®*, sao cho E(IDFIlg2) < oo. Khi

đó, một độ pr(x) của F có thể được ước lượng cận trên như sau, vdi mọi z ER

pr(3) < s2„ø(P(|F| > |el)) 4 x (BDF ll!) + ILD? F lice (oer WMD Fla? la) :

trong đó, cqa,g là một hang số dương va H = L?(0,T].

Ngoài ra, từ Dinh ly 2.1.4 trong [44], ta có kết quả cho tính trơn cho mat độ

của nghiệm như sau

Mệnh đề 1.26. Cho biến ngẫu nhiên F € D!? thỏa mãn

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Chúng ta biết rằng nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu tốc độ hội tụ của

nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng nhiều kỹ thuật khác nhau, trong

đó có kỹ thuật sử dụng giải tích Malliavin (có thể xem trong bài báo [r]).

Trong chương này, cũng dựa trên giải tích Malliavin, luận ấn tập trung đưa

ra các ước lượng hiển tốc độ hội tụ cho xấp xỉ Smoluchowski-Kramers và cho

nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ.

MuclÐ3.1|đưa ra một ước lượng Berry-Esseen hiển cho tốc độ hội tụ của khoảng

cách Kolmogorov giữa Xƒ và xấp xi Smoluchowski-Kramers X; của nó

sup |P(XƑ < x) — P(X; < 2).

Trong đó, X/ là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên mơ tả chuyển

động của hạt có khối lượng rất nhỏ ø (phương trình (2.1)) và X; là nghiệm của

phương trình SDE. Kết quả này được phát biểu trong Dinh Iý|b.6|

Mục khảo sát sự hội tụ yếu liên quan đến tham số thời gian trễ của các

nghiệm trong một lớp cơ bản phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ. Sử dụng

kỹ thuật của giải tích Malliavin để đưa ra một ước lượng tốt cho tốc độ hội tụ

yếu của các nghiệm này:

LEø(Xs,)) = Eg(Xn (t))I,

trong đó, X;, và X,, là nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên với

thời gian trễ tương ứng 71, 72 và ø là một hàm đo được bị chặn (Định lý 2.20).

15

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Đồng thời áp dụng ước lượng này cho lược đồ xấp xỉ Carathéodory

sup |Eg(x"(t)) = Eø(z0))l.

với x(t) là nghiệm của phương trình SDE và x”(t) là xấp xi Carathéodory của

Các kết qua của chương này được công bố trong các bài báo và .

2.1 Ước lượng Berry-Esseen trong xap xi

Trong mục này, ta sử dung khoảng cách Kolmogorov dé nghiên cứu xấp xi

Smoluchowski-Kramers cho phương trình vi phân ngẫu nhiên. Ta sẽ đưa ra ước

lượng Berry-Esseen hiển cho tốc độ hội tụ của nghiệm bằng phương pháp giải

tích Malliavin. Các kết quả của mục này được công bố trong bài báo |CT3].

2.1.1 Giới thiệu về xấp xỉ Smoluchowski-Kramers

Trước tiên, ta tìm hiểu về xấp xỉ Smoluchowski-Kramers. Như đã biết, theođịnh luật Newton, sự chuyển động của một hạt có khối lượng trong một trường

dB . , 2 ^ A At ~ 4 Z 2 ^ 2

lực b(t, X;) + a(t, Xi) với ma sát ty lệ thuận với vận tơc có thể được mơ tả

bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên bậc hai như sau:

trong đó 29, yo € R, oe là nhiễu trang, các tham sơ p,a là các sơ thực dương.

Trong mơ hình (2.1), hệ số o(¢, X/) là thành phần xác định của lực, o(t, X7) là

phân ngẫu nhiên sau

dẤ¡ = b(t, X,)dt + a(t, X;)dBy, Xo = XO. (2.2)

16

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Cu thể hơn, với bất kỳ 0 < 7 < co vad > 0, ta có

lim P X#—X,j|>ð}=0.

mm {max | t ¡| > O}

Khi „ — 0 thì nghiệm Xƒ của phương trình (2.1) được xấp xi bởi nghiệm X; của

(2.2). Xap xỉ này được gọi là xấp xi Smoluchowski -Kramer của Xƒ và Xịụ.

Dưới các giả thiết về tính liên tục Lipschitz và tính bị chặn của các hệ sốb(t,z), ơ(t,+), Freidlin |Ð5| đã chỉ ra rằng

max, | Xi] < Crp, (2.3)

trong đó Cr > 0 khơng phụ thuộc vào wp.

Trong các thập kỷ vừa qua, do tính ứng dụng của nó, xấp xỉ Smoluchowski

-Kramers đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu chuyên sâu. Trong đó, có thểkể đến: cho kết quả xấp xỉ Smoluchowski -Kramers của các phương

trình vi phân khác nhau, cho các ước lượng tham số và cho ứng dụng

giữa XƑ và X;

sup |P(Xƒ' < x) — P(X; < #)|. (2.4)

Cé dinh T > 0 va xét hai phuong trinh va trén doan [0,7]. Khi do, ta

có thể viết lai hai phương trình và như sau

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Từ bài báo cho thấy, sử dụng cơng thức tích phân từng phần, phương trình

(2.5) tương đương với

Xf =m + uun(1= e-#) + fos XẾQMs + f o(s,x8)aB,

t t

— =“.. — TA... 0<£<7. (2.7)

0 0

Dạng phương trình này sẽ được thường xuyên sử dụng trong các chứng

minh sau này. Để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm, ta xét các giả thiết

Ib(¿,z)| + |ơ(,z)|< L(+ |al), Ve €R,t € |0,7].

Hơn nữa, để có thé sử dụng kỹ thuật giải tích Malliavin, ta thêm điều kiện sau

(Bo) b(t,+),ơ(t,#) là kha vi đến cap hai theo x uới các dao ham bi chặn.

Khi điều kiện (By) được thỏa mãn, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các

phương trình (2.6) va (2.7) có thể được chứng minh theo phương pháp tương tự

chứng minh Định lý 3.1 trong .

2.1.2 Udéc lượng Berry-Esseen

Kết quả chính của mục này sé được phát biểu trong Dinh Iý|ÐD.6| Trước tiên,

ta đưa ra các kết quả bổ trợ sau đây. Trong các chứng minh, ta sử dụng C (cóhoặc khơng có chỉ số) là một hằng số chung có thể khác nhau ở mỗi lần xuất

Bồ đề 2.1. Giả sử điều kiện (Bì) được thỏa mãn. Gọi (Xe)reor) 0à (XP')tefo,7]

là nghiệm duy nhất của phương trinh ua tương ứng. Khi đó, vdi mọi

p>2 va pw € (0,1), ta có

max E|Xƒ|" < Œ, (2.8)

18

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

we De

ax, #ÌX Xt|? < Cpe, (2.9)

trong đó, C > 0 là một hằng số dương không phụ thuộc vao p.

Chứng minh. 1) Với mọi số tự nhiên n > 1, ta định nghĩa thời điểm dừng

trong đó, C là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào 20, yo,p,T và L. Khi đó, từ

bo đề Gronwall, ta thu được

E|X,„|P< Cet <CeeT <C, W0<t<T. (2.11)

is)

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Ta thấy rằng t + 7 khi ø > oo. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng lim tT, < 7.

20

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Mặt khác, từ phần 1) và tính chất tăng trưởng tuyến tính dẫn đến #|b(s, Xf)|P +

Elo(s, XƑ)|? < C với mọi 0 < s < 7 cùng với bất đẳng thức Holder, ta có

trong đó, C là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào yo, p,T và L. Một lần nữa,

lại sử dụng bổ đề Gronwall, dan đến

E|XƑ - X¡?< Cu5cŒ! < Cu5eCT < Cụ, VO<t<T.

Do đó, ta nhận được ước lượng (2.9). Bd đề được chứng minh.

Tiếp theo, ta nghiên cứu các tính chất của dao hàm Malliavin của X¿ và XƑ.

Mệnh đề 2.2. Giá sử điều kiện (BỊ) được thỏa mãn. Khí đó, các nghiệm

(X;)¿cto,rị tà (Xftepo,r] tương ting của các phương trinh (2.6) va (2.7) khả vi

Malliavin. Hơn nữa, các dao ham nay thôa mãn DạXy = 0, DạXƑ = 0 với 0 >t

21

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Chứng minh. Vì các nghiệm (X;)¡;elo,rị và (XƑ);ejp,rị là E-tương thích nên ta ln

có D„X; = D„XƑ' = 0 với mọi r > t. Khi r < t, phương trình hoàn toàn

thu được từ Mệnh đề (Dinh lý 2.2.1 [44|). Mặt khác, bằng cách sử dung

phương pháp tương tự trong chứng minh Định lý 2.2.1 trong , ta có thể chỉ

ra rằng nghiệm (Xƒ');eo~¡ cũng khả vi Malliavin. Áp dụng tốn tử D vào các về

của phương trình (2.7), dẫn đến ta được

Chú ý 2.3. Nếu b(t,x) va o(t,x) là khả vi liên tục theo x thà b(s) = “4,

b“(s) = Obs Xe) ø(s) = BolsXs) oH(s) = Bole Xe) Hon nữa, dưới các điều kiện

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

O day, uới ham h(t, x), ta sử dung ky hiệu h'(t, +) = One)

Bổ đề 2.4. Nếu các điều kiện (Bi), (Bg) được thỏa mãn thi uới mọi p > 2 va

€ (0,1), ta có:

E|D,XƑ|?'.<Œ, VO<r<t<T, (2.19)

E\|DX}' — DXillzz0.7, S Cu, VOStST, (2.20)

trong đó, C là một hằng số dương không phụ thuộc uào p.

Chứng minh. 1). Nhắc lại rang Elo(s, Xf)|P < C, |b!(s, X$)| < L và |ø'(s,XẼ)| < L

với mọi 0 < s < T. Vì vậy từ (2.18), dé dang thu được:

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

< Cut cf rIp.xt — D,X,\?ds, O< r <t<T. (2.26)

Do đó từ (2.21), va từ các ước lượng (2.22)-(2.26), suy ra

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

và tiếp tục sử dụng bổ đề Gronwall, ta được:

E|DXƑ — Dillion, << Cue, VO<t<T.

Vậy (2.20) được chứng minh.

Bồ đề 2.5. Giả sử rằng các điều kiện (Bì) va (Bz) được thỏa mãn. Khi đó, nếu

thêm điều kiện |ø|o:= inf — |ơ(t,z)| > 0 thà uới moi p> 1, ta có

E fea <Ct’,0<t<T, (2.27)|| DX; |?" | — 7

uới Ở là một hằng số dương không phụ thuộc bào t.

Chứng minh. Nghiệm của phương trình ngẫu nhiên tuyến tính (2.17) được cho

2 2( min A¿— max M;)

> lơlậce Of eosin” ster OSE <T.

3 — —

Quan sát rằng M; là một martingale với biến phân bậc hai bị chặn. Thật vậy,

(M), = fo'(s,Xs)?ds < L2T. Do đó, từ định lý Dubins va Schwarz (có thé xem

ở Dịnh lý 3.4.6 trong ), tồn tại một chyén động Brown một chiều (b;);>0 SAO

cho M; = byyy,. Khi đó, ta có:

( min b¿— max b¿)

IDXilT2pzị > ole Cte s<<f2r ” sét Ör Q <4 <T

26

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

1 lop Pe (1+1 [ 3p( max, (=b)+ min, (—b,))

#|ijpxiiz| Ế P Ble te<Em <8 "| 0<t<T,

t

> l . l 2p( max (—b¿)+ min (—b¿))

Sử dụng định lý Fernique (xem |23|), ta được E Je °⁄:<127 oxes Lor < Oo

Vi vậy, chứng minh được hồn thành.

Sau đây, ta đưa ra kết quả chính của mục này.

Dinh lí 2.6. Giá sử rằng các điều kiện (Bì), (B2) được thỏa man va ||ø||o :=

&dBim.n l2) > 0. Got (Xj)¿cjor| Đà (X?)šelo| là nghiệm duy nhất của

phương trinh (2.6) va (2.7) tương ứng. Khi đó, uới mỗi t € (0,T], ta có:

sup |P(X# < z) — P(X; <z)|< C£ !Vm, Vue (0,1), (2.28)

trong đó, C là một hằng số dương không phụ thuộc vao t va p.

Chứng minh. Dé cho thuận tiện, ta viết (.,.) thay cho (., -)z2|o,rị và ||.|| thay cho

I|-\lz2(0,7]- Gọi ý là một hàm tron không âm với giá compact, và gọi ¿ là một

nguyên hàm của . Giả sử F € D! thì ta cũng có ¿(Ƒ) € D! và từ quy tắcxích (1.18), tích vơ hướng của đạo ham của nó với DX; được cho bởi:

(Dy(F), DX;) = W(F)(DF,DX;), 0<t<T.

Cố định z € R, bằng phương pháp xấp xi thông thường, (z) = 1_„,„j(z) cũng

thỏa mãn phương trình trên. Như vậy, khi hàm ¿(z) là một nguyên hàm của

I (00, 2\(2), ta chọn F = Xf‘ va F = X; với 0 <£ <7, ta thu được:

(De(X?'), DXt) = L2 „(XƑ)(DX?, DX),

(Dy(Xt), DXt) = l2 a] (Xt) (DX, DX).

~ ⁄

Dẫn dén,X/

(Df 1,.a(e)4 DX) = (DelXf) ~ Dẹ(X), ĐẤU

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

=E Loo, a (z) dz E : .

lÍ (-20,a}(7) (ine) | | |DXP

Xt

Dang thức thứ hai ở trên là do mối quan hệ đối ngẫu (1.20). Sử dung bat đẳng

< (E|X" — X,)? | Eä t 4 plese

< (RIX X4) ( (nie) | | IDXI

< (Elx"~ x,)2)? | gã ( 2% ` EIDX“- DX,I#)? ÍE Ị ;

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Chú ý rằng, bằng cách tương tự như chứng minh cho ước lượng (2.19), với mọi

p > 2, ta cũng có E|D„X;|P? < Œ, với mọi 0 <r < £< 7. SU dụng tính bị chặn của

Ù',b",ơ", ơ”, dễ dang kiểm tra dược

E|DạD,X,#<Œ+Œ | E|DgD,Xs\‘ds,

với #Vr = max{0, r} và khi đó, từ bổ đề Gronwall, ta có thé thu được #Z|DạJ2„X;|* <

Ce! < Ở với mọi 0 < 6,7 <t <7. Lúc này, ước lượng (2.32) trở thành

2.2 Sự hội tụ yêu của nghiệm các phương trình vi

phân ngẫu nhiên có trễ và áp dụng cho xấp xi

Trong mục này, chúng ta tìm hiểu một lớp cơ bản của phương trình vi phân

ngẫu nhiên với thời gian trễ. Mục đích ở đây là khảo sát sự hội tụ yếu liên quanđến tham số trễ của các nghiệm. Dựa trên các kỹ thuật của giải tích Malliavin,

chúng ta nhận được một ước lượng hiển cho tốc độ hội tụ yếu này. Một ứng dụng

cho lược đồ xấp xỉ Carathéodory của các phương trình vi phân ngẫu nhiên cũng

được đưa ra. Các kết quả trong mục này được công bố trong bài báo |CT3].

2.2.1 Giới thiệu bài toán

Chúng ta biết rằng lược đồ xấp xỉ Carathéodory đã được Carathéodory giới

thiệu vào đầu thế kỷ XX cho phương trình vi phân tất định (xem (12}). Trong

bối cảnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên, kết quả đầu tiên về xap xỉ

Carathéodory thu được bởi Bell và Mohammed (xem |4| hoặc Mục 2.6 trong

cho công thức tổng quát).

30

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

Cho ao € R, n > 1 và (P¿);ejo,rị là một chuyển động Brown, xét phương trình

vi phân ngẫu nhiên (SDE)

Xấp xi Carathéodory là một trong các phương pháp giải số phương trình vi

phân. Đối với hệ xấp xỉ (2.34)-(2.35), có hai hướng nghiên cứu: tốc độ hội tụ

mạnh và tốc độ hội tụ yếu của nghiệm x”(t) đối với a(t). Về tốc độ hội tụ mạnh

đã có nhiều nghiên cứu như trong IIITR khi các hệ số là Lipschitz và tăng

trưởng tuyến tính và cũng ước lượng cho tốc độ hội tụ mạnh này

E | sup |z"@)— 2(t)/?| < C n>1, (2.36)

O<t<T n

với C là một hằng số dương không phụ thuộc vào n.

Theo như trình bay trong Mục 2.6 của (40, ưu điểm của xấp xi Carathéodory

là chúng ta khơng cần tính z!(0), - -- ,z"=!{/) nhưng vẫn tinh được z*(#) trực tiếp(điều này làm giảm rất nhiều tính tốn trên tích phân ngẫu nhiên). Hơn nữa, xấpxỉ Carathéodory cũng làm việc tốt đối với các SDE với hệ số khơng Lipschitz.

Trong những thập kỷ trước, bởi tính ưu điểm của nó nên xấp xỉ Carathéodoryđã được xem xét cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên khác nhau. Có thể

kể đến: Turo cho các phương trình vi phân hàm ngẫu nhiên, Mao và

Liu cho các phương trình vi phan tiến hóa ngẫu nhiên nửa tuyến tinh vớithời gian trễ, Ferrante & Rovira cho các phương trình vi phân có trễ điều

khiển bởi chuyển động Brown phân thứ, Faizullah cho các SDE dưới chuyển

động G-Brownian, Benabdallah & Bourza cho các SDE Wiener-It6 với cậnphản xạ, Mao và cộng sự cho các SDE Wiener-ltô kép, v.v.

Mặt khác, như chúng ta đã biết rằng tốc độ hội tụ yếu trong lý thuyết xấp xỉ

số rất hữu ích trong các ứng dụng thực tế (xem (1}). Trên thực tế, đối với một số

lược đồ như lược đồ Milstein, lược đồ Runge-Kutta và lược đồ Euler-Maruyama,

..., nhiều kết quả hội tụ yếu cho lược đồ số có thể được tim thấy trong các tài

BÀI

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

liệu như [ill6| 5033]. Do đó, nghiên cứu sự hội tụ yếu của xấp xỉ Carathéodory

là một bài toán quan trọng và cần thiết. Tuy nhiên, chưa có nhiều kết quả về

bài tốn này trong các tài liệu tham khảo.

Trong mục này, để tổng quát hơn, chúng ta xét các phương trình vi phân

ngẫu nhiên có trễ dưới dạng

chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật của giải tích Malliavin để đưa ra một ước lượnghiển cho đại lượng

|Eg(Xr(t)) — Eø(X„0))l:

với g là một ham do được và bị chặn (Dinh lý [2.20). Phương pháp sử dung ở

đây khác với các phương pháp hiện có trong các bài báo kể trên và dựa trên một

kết quả mới được đưa ra gần đây trong bài báo (20. Các kết qua của chúng tađược áp dụng cho hệ xấp xỉ Carathéodory (2.34)-(2.35) nhu sau

sup |Eg(x"(t)) — Bg(a(t))| <-S, n>

0<t<T vn

Cần lưu ý rằng, khi ham ø là liên tục Lipschitz, tốc độ hội tụ mạnh

dẫn đến tốc độ hội tụ yếu (2.39). Tuy nhiên, đối với các ham đo được và bị chặn,

thì điều này khơng cịn đúng. Do đó, tính mới của ước lượng là nó đúng

với mọi hàm đo được và bị chặn.

1. (2.39)

32

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Ký hiệu đ là không gian các ham đo được g : R > R sao cho ||ø||x :=

sup |g(x)| < 1. Nhắc lại rằng, ta sử dụng Œ (có hoặc khơng có chỉ số) là một hằng

số chung có thể khác nhau ở mỗi lần xuất hiện.

Trước khi đi vào các kết quả chính, chúng ta cần bổ đề quan trọng sau đây.

Bồ đề 2.7 (Dinh lý 3.1 |20|). Cho Fy € D®? sao cho ||DFilzajo,rj > 0 h.c.c. Khí

đó, uới bat ky biến ngẫu nhiên Fy e D!? va bat ky gc G , ta có

|Eg(Fi) — Eg(F2)|

2 4T T

<c| EIpnli3amE | | [Ipip.nifawar| + (PIDniljju) | Falla

0 0

miễn là các kỳ vong ton tai va trong đó C là một hằng số dương.

Chứng minh. Để thuận tiện theo đõi, ta sẽ nhắc lại chứng minh cho bổ đề này.

Ta viết (.,.) thay cho (.,.) 29,7) va ||.|| thay cho |].||;2,7). Bằng phương pháp xap

xỉ thong thường, ta có thể gia sử rằng g là liên tục. That vậy, chang hạn như tacó thể xấp xỉ ø bởi các hàm liên tục Lipschitz và bị chặn được xác định như sau

Goi hàm #(z) là một nguyên hàm của g(z). Khi đó, (z) là kha vi với đạo

ham bi chặn. Do đó, #(F;) D! với i = 1,2. Từ quy tắc xích (1.18), ta có

</div>