HÀM NHIỀU BIẾN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 31 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">
<b>NỘI DUNG:</b>
<small>➢ 1. Định nghĩa hàm nhiều biến ➢ 2. Đạo hàm riêng hàm nhiều biến➢ 3. Vi phân hàm nhiều biến</small>
<small>➢ 4. Đạo hàm theo hướng – vector gradient➢ 5. Đạo hàm riêng hàm hợp</small>
<small>➢ 6. Đạo hàm hàm ẩn➢ 7. Công thức Taylor➢ 8. Cực trị tự do</small>
<small>➢ 9. Giá trị lớn nhất – Giá trị bé nhất trên miền bị đóng và bị chặn</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3"><small>3. ( , )</small>
<small>14.( , )</small>
<small>−</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4"><b>Ví dụ 1:</b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6"><b>Các cách biểu diễn hàm nhiều biến</b>
1. Bằng lời ( bằng cách mô tả bằng lời)2. Bằng số ( bằng bảng các giá trị)
3. Mô tả công thức tường minh
4. Bằng thị giác (bằng đồ thị hay các đường mức)
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7"><b>Ví dụ 1</b>
<i>Ở vùng có thời tiết mùa đơng khắc nghiệt, chỉ sốlạnh do gió (wind-chill index) thường được sử dụng đểmô tả độ khắc nghiệt của cái lạnh, ký hiệu W, chỉ số W</i>
này là nhiệt độ chủ quan phụ thuộc vào nhiệt độ thực
<i>tế T và tốc độ gió v và ta có thể viết W=f(T,v). Bảngsau ghi các giá trị W được thu thập bởi trung tâm khí</i>
tượng quốc gia Mỹ và Canada
.</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8"><b>Bảng số liệu 1</b>
Nếu nhiệt độ là -5 độ và tốc độ 50 km/h thì một ta cảm thấy lạnh như khoảng -15 độ:
f(-5,50)=-15
</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9"><b>Ví dụ : Mơ hình hóa sự tăng trưởng kinh tế Mỹ</b>
Vào năm 1928, Charles Cobb và Paul Douglas đã đưa ra một nghiên cứu về sự tăng trưởng của nền kinh tế Mỹ 1899-1922. Họ đã xét quan điểm kinh tế được đơn giản hóa mà trong đó sản lượng P được quyết định bởi lượng
<i>cơng nhân L và lượng vốn đầu tư K. Mặc dù có nhiều yếu </i>
tố khác ảnh hưởng đến hiệu quả kinh tế nhưng mơ hình
của họ đã chứng tỏ là rất chính xác. Hàm số mà họ sử sụng để mơ hình hóa có dạng
P: giá trị quy ra tiền của hàng hóa trong nămL: tổng số giờ lv của cơng dân trong năm
K: giá trị máy móc, thiết bị
( , )
<i>P K L</i>=<i>bL K</i>
<sup></sup> <sup>−</sup><sup></sup></div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10"><b>Bảng số liệu </b>
Cobb và Douglas đã sử dụng dữ
liệu kinh tế được phát hành bởi
chính phủ để có bảng số liệu bên.
Dùng pp bình phương bé nhất để là bảng dữ liệu phù hợp với hàm số
( , ) 1.01
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM 2 BIẾN
<i>Hàm số z = f (x, y) biểu diễn một mặt cong trong không gian.</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">Biểu diễn hàm hai biến qua đường mức
Đường mức của hàm hai biến f là các đường cong có
<i>pt: f(x,y)=k, trong đó k là </i>
hằng số.
Tập hợp các đườngmức được gọi là bảnđồ mức (các đườngmức tương ứng vớitừng độ cao)
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">Dựa vào bản đồ mức cho ta biết độ dốc của vật thể: Nếukhoảng cách của 2 đường mức liên tiếp trên bản đồ mứcngày càng hẹp dần thì độ dốc tăng dần.
</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15"><b>Link tham khảo</b>
class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">
<b>Đường Mức</b>
Ví dụ 4: Bảng đồ đường
mức của Hình 4 để ước tính các giá trị của f(1,3)73, f(4,5)56
Hình 4
</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18"><b>Vẽ một vài đường mức của hàm </b>
−−
</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19"><b>Vẽ đường mức của hàm Cobb-Douglas ở VD 3</b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20"><b>Ví dụ về đồ thị và đường mức của hàm số</b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẤT
<small>00</small>lim ( , ) ( , )
<i>f x yf x y</i>
<i>f (x, y) liên tục tại (x</i><sub>0</sub><i>, y</i><sub>0</sub>) D nếu :
• Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định,
<i>• f liên tục trên tập A đóng và bị chận thì f đạt giá trị lớn </i>
nhất và giá trị nhỏ nhất trên A.
Những tính chất quan trọng của hàm số liên tục
Lưu ý: mọi phát biểu trên không gian n chiều cũng tương tự trên không gian 2 chiều.
</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">Vì D = R<sub>2 </sub>và (x<sub>n</sub>, y<sub>n</sub>) → (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>)
f (x<sub>n</sub>, y<sub>n</sub>) = x<sub>n</sub> → x<sub>0</sub>, (x<sub>n</sub>, y<sub>n</sub>) x<sub>n</sub> → x<sub>0</sub>, y<sub>n</sub> → y<sub>0</sub>
Vậy
<b>Ví dụ</b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27"><small>→→</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">• Các phép tốn và tính chất của giới hạn hàm 1 biến vẫn cịn đúng cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp,…)
• Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor, qtắc L’Hospitale chỉ áp dụng nếu chuyển được sang hàm 1 biến.
• Để ý dạng vơ định khi tính giới hạn.
<b>Một số lưu ý trong tính giới hạn</b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">3 / lim
00
</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31"><i>x yf x y</i>
<i>f x y</i>
<small>→</small>
</div>
