<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Chương 5: Chuỗi số

TS. Nguyễn Thị Hoài Thương

<small>Trường Đại học Bách Khoa (HCMC)-VNUKhoa Khoa học ứng dụ</small>

Ngày 26 tháng 3 năm 2023

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Mục lục

Khái niệmChuỗi hình họcTính chất của chuỗiChuỗi khơng âm

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗiChuỗi đan dấu

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗiChuỗi lũy thừa

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Chuỗi số

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Chuỗi số - Đặt vấn đề

Để điều trị sốt rét, người ta tiêm quinine cho bệnh nhân liều 50mg/ngàyvào một thời điểm cố định trong ngày. Sau 24 giờ, lượng quinine tồn đọngtrong cơ thể là 23% so với lượng quinine trong cơ thể ngay sau khi tiêm.Hỏi sau n ngày, lượng quinine còn lại là bao nhiêu?

Giải: Ta cóP<small>1</small> = 50

P<small>2</small> = 50 + P<small>1</small>× 0.23 = 50 + 50 × 0.23

P₃ = 50 + P₂× 0.23 = 50 + 50 × 0.23 + 50 × 0.23²..

P<small>n</small>= 50 + P<small>2</small>× 0.23 = 50 + 50 × 0.23 + 50 × 0.23²+ ... + 50 × 0.23ⁿ⁻¹

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

4 ^{+ ... +}12<small>n</small> + ....được gọi là một chuỗi số.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Dãy các tổng riêng (S_n)_n∈Z<small>+</small> được gọi là mộtchuỗi số.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Sự hội tụ của chuỗi số

Ngược lại, nếu dãy tổng riêng (S_n)_n∈Z<small>+</small> phân kì thì chuỗi được gọi là

phân kì.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.2: Xét sự hội tụ của chuỗi

1n(n + 1)^.Vì

1n + 1^.Ta có S_n hội tụ về 1 khi n → ∞. Vậy chuỗi hội tụ về 1 (hay tổng củachuỗi bằng 1) và ta viết

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.3: Xét sự hội tụ của chuỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.4: Xét sự hội tụ của chuỗi

n^.Ta có tổng riêng phần của chuỗi này là

S<small>n</small>= 1 +√¹

3 ^{+ ... +}1√

n ^{> n}1√

n ^{phân kì.}

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.5: Xét sự hội tụ của chuỗi

1.Ta có:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

là một chuỗi hình học với a = 1, r = 1/2. Vì r = 1/2 < 1 nên

12<small>n−1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Suy ra</small>

<small>u</small>_n <small>= S</small>_n<small>− Sn−1</small>

<small>↓↓↓n → ∞0 = S − S</small>

<small>Lưu ý:Chiều ngược lại (mệnh đề đảo) là không đúng, xem ví dụ sau:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chứng minh: Đối với chuỗi số đặc biệt này, chúng ta xét các tổng riêngS₂, S₄, S₈, S₁₆, S₃₂, ... và chứng minh rằng chúng tiến ra vơ cùng.Ta có

S₂ = 1 +¹2S<small>4</small> = 1 +¹

 1

2

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

 1

5 ^{+ ... +}18

9 ^{+ ... +}116

8 ^{+ ... +}18

16 ^{+ ... +}116

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Tính chất của chuỗi

Tương tự, S₃₂> 1 +⁵

2^{, S}⁶⁴^{> 1 +}6

2^{, tổng quát ta có}S₂<small>n</small> > 1 +ⁿ

2^.Điều này cho thấy rằng lim

<small>n→∞</small>S<small>2n</small> = ∞. Do đó, dãy (S<small>n</small>)_n∈Z phân kì. Vậychuỗi điều hịa phân kì.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Chuỗi khơng âm

Định nghĩaChuỗi số

Định lí 1.5 (Tiêu chuẩn tích phân)

Cho f là một hàm khơng âm, giảm, liên tục trên [1, ∞) và đặt a_n= f (n).Chuỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Chuỗi không âm

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Chuỗi không âm

x^−p+1−p + 1

1t<small>p−1</small> − 1

.(⇐) Nếu p > 1 thì p − 1 > 0. Vì vậy, t^{p−1 t→∞}−−−→ ∞. Do đó,

−−−→ 0.Suy ra:

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Chuỗi khơng âm

. Nếu p < 1 thì 1 − p > 0. Khi đó:1

t<small>p−1</small> = t^{1−p t→∞}−−−→ ∞.Suy ra:

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Chuỗi khơng âm

Định lí 1.6 (Tiêu chuẩn so sánh)Cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Chuỗi không âm

52n<small>2</small> = ⁵

2n<small>2</small>+ 4n + 3 ^{hội tụ.}

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Chuỗi không âm

1n<small>1/2</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Chuỗi khơng âm

Định lí 1.7 (Tiêu chuẩn so sánh ở dạng giới hạn)Cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Chuỗi khơng âm

Định lí 1.7 (Tiêu chuẩn so sánh ở dạng giới hạn) (tt)Nếu L = ∞ thì

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Chuỗi không âm

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Chuỗi không âm

5 + n<small>5</small> hội tụ hay phân kì?Đặt

a_n= ²ⁿ

<small>2</small>+ 3n√

n<small>1/2</small>.Khi đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Chuỗi khơng âm

Định lí 1.8 (Tiêu chuẩn d’Alembert hay Tiêu chuẩn tỷ số)Cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Chuỗi khơng âm

Ví dụ 1.13: Xét sự hội tụ của các chuỗi sốa)

3ⁿn!1.3...(2n − 1)^.Giải:

4<small>n</small>, a_n+1= ^{n + 1}4<small>n+1</small>.Khi đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Chuỗi không âm

n

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Chuỗi không âm

Định lí 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy hay Tiêu chuẩn căn thức)Cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Chuỗi khơng âm

Ví dụ 1.14: Xét sự hội tụ của chuỗi

 2n + 33n + 2

.Giải: Ta chọn

a<small>n</small>= 2n + 33n + 2

.Khi đó

hội tụ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Định nghĩa 1.10Chuỗi

là một chuỗi hội tụ (xem Ví dụ 1.9).

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Mệnh đề 1.11:Nếu

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Ví dụ 1.17: Xét sự hội tụ của chuỗi

n<small>2</small>.Vì

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Ví dụ 1.18: Xét sự hội tụ của chuỗi

(−1)ⁿx²ⁿ2<small>2n</small>(n!)<small>2</small> .Giải: Áp dụng mệnh đề 1.11, để chứng minh

hội tụ.Đặt

(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²2<small>2n+2</small>[(n + 1)!]<small>2</small>

2<small>2n+2</small>[(n + 1)!]<small>2</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Khi đó,lim

hội tụ với mọi x ∈ R.

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

Chuỗi đan dấu

Định nghĩaChuỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số, ta thực hiện sơ đồ sau:Bước 1: Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Bước 2: Khảo sát sự hội tụ có điều kiện. Nếu chuỗi

|a_n| là chuỗiđan dấu thì ta áp dụng tiêu chuẩn Leibniz.

Bước 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi khơng âm bằng cách áp dụngcác tiêu chuẩn tích phân, so sánh, d’Alembert, Cauchy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

tụ tuyệt đối. Tuy nhiên,lim

= lim

có nghĩa là điều kiện cần để chuỗi hội tụ thỏa mãn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

<small>n→∞</small>a<small>n</small>= 0.

2. {a_n}^+∞_n=1 là dãy giảm.Theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

<small>Ví dụ:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi</small>

<small>−</small> ⁿ

<small>n + 1n</small>

<small>−</small> ⁿ<small>n + 1</small>

<small>nn + 1</small>

<small>−</small> ⁿ<small>n + 1</small>

<small>n

= lim</small>

<small>nn + 1</small>

<small>= lim</small>

<small>1 −</small> ¹

<small>n + 1</small>

<small>−(n+1)×−nn + 1= e</small>⁻¹<small>=</small> ¹

<small>e6= 0.Như vậy, chuỗi đã cho</small>

<small>−</small> ⁿ

<small>n + 1n</small>

<small>phân kì.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2n + 1<small>n</small>

32n + 1

= lim

32n + 1

2n + 1<small>n</small>

hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

Chuỗi lũy thừa

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

Chuỗi lũy thừa

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

Chuỗi lũy thừa

Định lí 1.14 (Qui tắc tìm bán kính hội tụ)Nếu

ρ^, ^{nếu 0 < ρ < ∞,}

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

Chuỗi lũy thừa

Các bước khảo sát miền hội tụ của chuỗi lũy thừaBước 1: Tìm bán kính hội tụ.

2n + 1^.Suy ra

ρ = lim

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

Chuỗi lũy thừa

Với x₀= 0, R = 1, ta xét sự hội tụ của chuỗi số tại những điểm biênx = R + x<small>0</small> = 1, ta có

</div>