báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 chủ đề 10 mặt tròn xoay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.84 MB, 25 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHÓM: 01

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Đình Dương, người thầy đã dẫn dắt chúng em ở bộ môn Giải tích 1 này. Sau hơn 2 tháng học tập ở trường Đại học Bách khoa – ĐHQG TP.HCM, thầy đã hướng dẫn hết lòng, truyền đạt cho chúng em nhiều kiến thức quý giá và bổ ích cũng như giải đáp mọi thắc mắc để chúng em có thể hồn thành đề tài bài tập lớn đúng tiến độ. Sự hướng dẫn của thầy khơng chỉ giúp nhóm em vượt qua những khó khăn do điều kiện học tập gặp trở ngại trong tình hình dịch Covid hiện nay mà còn là hành trang vững chắc trước khi chúng em bước vào kiến thức chuyên ngành và xa hơn đó là bước vào đời.

Đây là lần đầu làm bài tập lớn của nhóm em kể từ khi bước chân vào môi trường đại học nên không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ thầy để chúng em có thể học hỏi thêm kinh nghiệm và hồn thiện bài báo cáo một cách tốt nhất.

Một lần nữa, chúng em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy vì đã tận tình chỉ dẫn cho nhóm. Sự quan tâm của thầy đã tạo nên sự gần gũi và là động lực để chúng em cố gắng phát triển hơn từng ngày.

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ...1

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MẶT TRỊN XOAY ...2

1.1Khái niệm ...2

1.2Các tính chất ...2

1.3Diện tích mặt trịn xoay ...3

1.4Tham số hóa mặt trịn xoay ...4

PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN TRÊN MAPLE ...6

2.1Khai báo hàm ...6

2.2Vẽ đồ thị trong xOy ...6

2.3Vẽ mặt được cho dưới dạng tham số ...7

2.4Một số thay đổi đoạn code mẫu trong chủ đề và nhận xét ...9

PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG ...13

3.1 Diện tích mặt trịn xoay cho bởi phương trình tham số ... 13

3.2 Mở rộng về code trên maple ... 13

3.3 Một số ví dụ ... 15

PHẦN 4: KẾT LUẬN ...19

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...20

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Ví dụ mặt trịn xoay ... 2

Hình 1.2 Mặt trịn xoay ... 3

Hình 1.3 Mặt tròn xoay khi quay f(x) quanh trục Ox ... 3

Hình 1.4 Tọa độ điểm M trên mặt trịn xoay ... 4

Hình 2.1 Khai báo hàm 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 và tính giá trị f(4), g(3)... 6

Hình 2.2 Đồ thị của 𝑦 = √𝑥 với 𝑥 ∈ [1,2] ... 7

Hình 2.3 Đồ thị 𝑦 = √𝑥 và 𝑦 = 𝑥2 với 𝑥 ∈ [1,2] ... 7

Hình 2.4 Mặt trịn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh trục Ox, x ∈ [0,1] ... 8

Hình 2.5 Mặt trịn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh trục Oy, x ∈ [0,1] ... 8

Hình 2.6 Đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 và đường y=k=−12... 8

Hình 2.7 Mặt tròn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh đường y=k=−12 ... 8

Hình 2.8 Đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 và đường x=k=−12... 9

Hình 2.9 Mặt trịn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh đường x=k=−12 ... 9

Hình 2.10 Đoạn code và đồ thị f(x)=√𝑥 ... 9

Hình 2.11 Đoạn code và đồ thị f(x)=𝑥2 ... 9

Hình 2.12 Quay f(x)=√𝑥 quanh hai trục ... 10

Hình 2.13 Quay f(x)=𝑥2 quanh hai trục ... 10

Hình 2.14 Đồ thị hàm 𝑓(𝑥), 𝑓−1(𝑥)và đường y =x ... 10

Hình 2.15 Quay 𝑓(𝑥) quanh Ox và 𝑓−1(𝑥) quanh Oy ... 11

Hình 2.16 Quay 𝑓(𝑥) quanh Oy và 𝑓−1(𝑥) quanh Ox ... 11

Hình 2.17 Khai báo hàm y=f(x) và tìm hàm x=g(y) ... 11

Hình 2.18 Vẽ mặt tròn xoay quanh trục Ox của f(x) và g(y) trên Maple ... 12

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Hình 3.2 Mặt trịn xoay khi quay f quanh Ox (ví dụ 3.1.1) ... 13

Hình 3.3 Diện tích mặt trịn xoay khi quay 𝑦 = √𝑥 quanh Ox với x∈[0,1] ... 14

Hình 3.4 Gọi gói lệnh và lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();” ... 14

Hình 3.5 Tính diện tích mặt trịn xoay bằng lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();”.... 15

Hình 3.6 Đồ thị hàm số f (ví dụ 3.3.1) ... 15

Hình 3.7 Mặt trịn xoay khi quay f quanh trục Ox(ví dụ 3.3.1) ... 15

Hình 3.8 Đồ thị 𝑦 = 𝑥216−𝑥2 khi 𝑦 ∈ [0,11] (ví dụ 3.3.2) ... 16

Hình 3.14 Chuyển tọa độ cực về tọa độ Descartes (ví dụ 3.3.3) ... 18

Hình 3.15 Mặt trịn xoay và diện tích khi xoay đường cong 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 (𝜑 ∈ [0,𝜋2]) quanh trục Ox trên maple ... 18

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

LỜI NÓI ĐẦU

Đối với việc xử lí một bài tốn, chúng ta có rất nhiều cách. Thơng thường, cách đơn giản nhất và cũng là thao tác quen thuộc nhất mà chúng ta hay làm là giải tay. Mặc dù giải tay rất tiện lợi và nhanh chóng nhưng đơi khi khơng tránh được sai sót. Nhất là đối với các bài tốn cần mơ phỏng một cách chính xác hình dạng đồ thị khi quay các hàm số quanh một trục bất kì. Do đó những cơng cụ, phần mềm hỗ trợ giải tốn xuất hiện và đóng một vai trị vô cùng quan trọng, giúp chúng ta kiểm tra lại kết quả giải tay cũng như thực hiện những bài tốn có quy mơ lớn, mơ phỏng hình dáng một cách chính xác.

Để thực hiện đề tài Mặt tròn xoay (Surface of Revolution) này, chúng em chọn Maple (một phần mềm có chức năng đa dạng có thể giải quyết các vấn đề từ hầu như bất kỳ nhánh nào của toán học hoặc lĩnh vực dựa vào tốn học, như tích phân, đại số, phương trình vi phân, …) là cơng cụ để mơ phỏng hình dáng đồ thị khi quay một đường cong bất kì xung quanh một trục cố định bằng hình ảnh động 2-D hoặc 3-D tùy chỉnh. Hơn thế là tính được diện tích của nó trong trường hợp thường lẫn trường hợp mở rộng.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MẶT TRÒN XOAY

1.1 Khái niệm

đường cong (đường sinh) xung quanh một trục cố định.

một hình được gọi là mặt trịn xoay.

Hình 1.1 Ví dụ mặt trịn xoay

1.2 Các tính chất

kinh tuyến (meridional sections). Bất kỳ tiết diện kinh tuyến nào cũng được coi là phần tử sinh trong mặt phẳng xác định bởi tiết diện và trục quay.

đường tròn.

phần) và elip paraboloit (elliptic paraboloid) là những mặt tròn xoay. Đây là những mặt bậc hai mà tiết diện vng góc với trục quay là đường trịn.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

𝑦𝑖− 𝑦𝑖−1 = 𝑓′(𝑥𝑖∗)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) = 𝑓′(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖Trong đó 𝑥𝑖∗ ∈ (𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖)

O 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

𝑆 = ∫ 2𝜋|𝑥|√1 + (𝑑𝑥

⟹ 𝑆 = ∫𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)2𝜋|𝑥(𝑦)|√1 + 𝑥′2(𝑦)𝑑𝑦, trong đó 𝑓(𝑥) đơn điệu trên (a,b) (1.2)

1.4 Tham số hóa mặt trịn xoay

là 𝑓(𝑥0) , một điểm M nằm trên đường trịn (C) có vecto vị trí là 𝑟⃗𝑀 như hình vẽ.

Hình 1.4 Tọa độ điểm M trên mặt tròn xoay

Khi chiếu đường tròn xuống mặt phẳng yOz ta xác định được tọa độ của của điểm M (𝑥0, 𝑦𝑀, 𝑧𝑀)

⟹ 𝑟⃗𝑀 = 𝑥0𝑖⃗ + 𝑦𝑀𝑗⃗ + 𝑧𝑀𝑘⃗⃗

Vậy tập hợp các điểm M khi 𝜑 thay đổi từ 0 đến 2𝜋 sẽ tạo thành đường tròn (C), tập hợp các đường tròn (C) sẽ tạo thành mặt tròn xoay khi quay đường y=f(x) quanh trục Ox (x từ a đến b).

⟹ Tập hợp M (𝑥, 𝑓(𝑥) cos 𝜑 , 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜑) khi x đi từ a đến b và 𝜑 đi từ 0 đến 2𝜋

M’ 𝑟⃗𝑀

M’

𝜑

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

FOx = {

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) = 𝑢 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢) cos(𝑣)𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢)sin (𝑣)

, trong đó {𝑢 ∈ [𝑎, 𝑏]

Cơng thức (1.3) và (1.4) là cơ sở để vẽ mặt tròn xoay bằng Maple

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN TRÊN MAPLE

2.1 Khai báo hàm

Cú pháp: [>f:=x -> (biểu thức hàm x);

[>f:=x -> sqrt(x); [>g:=x -> x^2;

[>f(x0); [>g(x0);

Hình 2.1 Khai báo hàm 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 và tính giá trị f(4), g(3)

(Xem thêm các option bằng cách nhập lệnh [>?plot option;)

Lúc đó, đồ thị hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) được vẽ trong phạm vi hình chữ nhật [a,b] × [c,d]. Nếu khơng khai báo các phạm vi thì máy sẽ tự vẽ theo một tọa độ thích hợp.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Hình 2.2 Đồ thị của 𝑦 = √𝑥 với 𝑥 ∈ [1,2]

[>plot([f1(x), f2(x),…, fn(x)], x=a..b, y=c..d, color=[c1, c2,...,cm], option);

Hình 2.3 Đồ thị 𝑦 = √𝑥 và 𝑦 = 𝑥2 với 𝑥 ∈ [1,2]

2.3 Vẽ mặt được cho dưới dạng tham số

Giả sử mặt S được cho bởi hệ:

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

, trong đó {𝑢 ∈ [𝑎, 𝑏]𝑐 ∈ [𝑐, 𝑑].

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

[> plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a..b, v=c..d, option); (Xem các option ta dùng lệnh [>?plot3d option;)

Hình 2.4 Mặt trịn xoay khi quay đường

Hình 2.6 Đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 và đường

Hình 2.7 Mặt trịn xoay khi quay đường

ta nhập:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

[> plot3d([(x-k)*cos(t)+k,f(x),(f(x)-k)*sin(t)],x=0..1,t=0..2*Pi,option); Ví dụ:

Hình 2.8 Đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 và đường x=k=−1

Hình 2.9 Mặt trịn xoay khi quay đường

2.4 Một số thay đổi đoạn code mẫu trong chủ đề và nhận xét

2

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Hình 2.12 Quay f(x)=√𝑥 quanh hai trục Hình 2.13 Quay f(x)=𝑥2 quanh hai trục

thị của chúng sẽ đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x (hình 2.14), cũng từ đó có thể kết luận rằng khi quay đường đường ℎ(𝑥) quanh trục Ox (Oy) với x ∈ [𝛼, 𝛽] và đường 𝑔(𝑥) quanh trục Oy (Ox) với x ∈ [ℎ(𝛼), ℎ(𝛽)] thì ta được hai mặt trịn xoay đối xứng với nhau qua mặt phẳng y = x (hình 2.15, 2.16).

Hình 2.14 Đồ thị hàm 𝑓(𝑥), 𝑓−1(𝑥)và đường y =x

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Hình 2.15 Quay 𝑓(𝑥) quanh Ox và

Hình 2.16 Quay 𝑓(𝑥) quanh Oy và

hai mặt trịn xoay, ta có thể quay đường 𝑦 = 𝑓(𝑥) và đường 𝑥 = 𝑔(𝑦) quanh cùng một trục cũng sẽ tạo ra hai mặt tròng xoay giống như trường hợp quay 𝑓(𝑥) quanh hai trục bằng cách hiện thay đổi đoạn code trên maple như sau:

[>plot3d([x, f(x)*cos(t), f(x)*sin(t)], x=𝛼. . 𝛽, t=0..2*Pi);

[>plot3d([y, g(y)*cos(t), g(y)*sin(t)], y=𝑓(𝛼). . 𝑓(𝛽), t=0..2*Pi);

[>plot3d([x*cos(t), f(x), x*sin(t)], x=𝛼. . 𝛽, t=0..2*Pi);

[>plot3d([y*cos(t), g(y), y*sin(t)], y=𝑓(𝛼). . 𝑓(𝛽), t=0..2*Pi); Lưu ý: 𝑓(𝑥) phải đơn điệu trên (𝛼, 𝛽).

Ví dụ:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Hình 2.18 Vẽ mặt tròn xoay quanh trục Ox của f(x) và g(y) trên Maple

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG

3.1 Diện tích mặt trịn xoay cho bởi phương trình tham số

𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽], 𝑦(𝑡) liên tục và 𝑥(𝑡) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [𝛼, 𝛽]. Diện tích mặt trịn xoay F khi 𝑓 xoay quanh :

Hình 3.1 Đồ thị hàm f Hình 3.2 Mặt trịn xoay khi quay f quanh Ox

𝑆𝑂𝑥 = 2𝜋 ∫ sin3(𝑡)√[−3 cos2(𝑡) sin(𝑡)]2+ [3 sin2(𝑡) cos(𝑡)]2𝑑𝑡

𝜋2

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

[> diff(hàm số, x); (dùng Diff thì cho cơng thức hình thức).

[>int(f(x), x=a..b); (Nếu dùng Int thì cho cơng thức hình thức);

quanh trục Ox. Nếu 𝑓(𝑥) khả vi liên tục ta có thể tính diện tích của F bằng cách thực hiện hai lệnh:

Hình 3.4 Gọi gói lệnh và lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();”

Sau khi nhấp ENTER sẽ hiện lên cửa sổ:

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Hình 3.5 Tính diện tích mặt trịn xoay bằng lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();”

3.3 Một số ví dụ

Ví dụ 3.3.1 Cho hàm tham số 𝑓: {𝑥 = 𝑡2− 1

𝑦 = 𝑡3 , t > 0. Tính diện tích mặt trịn xoay khi quay 𝑓 quanh trục Ox trên đoạn [0,3].

Giải:

Khi x đi từ 0 đến 3 thì t đi từ 1 đến 2:

Hình 3.6 Đồ thị hàm số f Hình 3.7 Mặt tròn xoay khi quay f quanh trục Ox

Nhập hàm

Cận dưới Cận trên

Sau đó nhấn Display

sẽ hiện ra kết quả

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Ví dụ 3.3.2 Lòng trong của một chiếc cốc thủy tinh có dạng như một phần của

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Hình 3.10 Mặt trịn xoay và diện tích mặt của đường cong

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Hình 3.12 Tọa độ cực

Trong tọa độ cực ta có: {𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜑

Giải bài tốn trên maple

Hình 3.13 Vẽ đồ thị trong tọa độ cực Hình 3.14 Chuyển tọa độ cực về tọa độ Descartes

Hình 3.15 Mặt trịn xoay và diện tích

khi xoay đường cong 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑟⃗𝜑Giải:

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

PHẦN 4: KẾT LUẬN

Chủ đề 10 “ Surfaces Of Revolution” đã giúp ta hình dung rõ hơn về mặt tròn xoay, cũng như biết cách vẽ mặt tròn xoay bằng tay và bằng Maple – một phần mềm chuyên dụng cho việc giải các phương trình tốn học, xác định hình dạng đồ thị cũng như việc tính tốn các thông số phức tạp của chúng. Đề tài này cịn tạo cơ hội cho chúng em tìm hiểu và xử lí các thơng tin, mở rộng, nâng cao và vận dụng những kiến thức đã học một cách hiệu quả nhất để giải quyết một vấn đề như việc thực hiện bài tập lớn đã được giảng viên giao cho. Khơng những vậy, chúng em cịn nâng cao được khả năng trình bày, soạn thảo cũng như thuyết trình powerpoint. Vì thế thơng qua cơ hội được làm việc nhóm này, chúng em đã học hỏi thêm được cách tổ chức, phân chia công việc và kết hợp làm việc với nhau hiệu quả để cho ra một kết quả tốt nhất có thể.

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">