<span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

2.1.1 Góc giữa hai tia . . . 14

2.1.2 Góc giữa hai vectơ . . . 14

2.1.3 Góc giữ hai đường thẳng . . . 14

4.1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn . . . 33

4.1.3 Hai đường tròn trực giao . . . 34

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Nếutrong3đườngthẳngAM,BN,CPcóítnhấthaiđườngcắtnhau.Khơngmấttínhtổngqt, giả sử BN,CP cắt nhau. Lấy M<small>0</small>∈ BC sao cho AM<small>0</small>,BN,CP đồng quy. Theo kết quả chiều

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Cho tam giác ABCcó AC >AB. Phân giác gócAvà trung trực củaBCcắt nhau tại .D GọiH,K lầnlượtlàhìnhchiếucủaD lênAC,AB.Gọi làtrungđiểmcủaI BC.Chứngminh

Cho tam giác ABCcó I là trung điểm củaBC. QuaI kẻ d<small>1</small>lần lượt cắt AC,AB tạiM,N, kẻ d<small>2</small>lần lượt cắt AC,AB tại P,Q. Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng PN vàBC, QM BC.Chứngminhrằng làtrungđiểmcủavà I EF.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Cho tam giácABC. Dựng về phía ngồi tam giác này các hình vngABEF,ACGH. Vẽ đườngthẳng điquad AvàvnggócvớiBC.Chứngminhrằngd,BG,CEđồngquy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

IM_IC^{= 1.Suyra}^IM_IC^{= −1 hayI làtrungđiểmcủa}^MC^{.ÁpdụngđịnhlýMenelaus} chotamgiácOCMtacó:

Cho tam giác ABC. Trên BC,CA,AB lần lượt lấy các điểmD,E,Fsao choAD,BE,CF đồng quy. GọiI,J,K,M,N,Plần lượt là trung điểm củaAD,BE,CF,BC,CA,AB. Chứng minhrằngMI,NJ,P Kđồngquy.

Chứngminh. Theotínhchấtcủađườngtrungbình,tacócácbộbađiểmthẳnghànglàP IN,NKM,M JP. ÁpdụngđịnhlýCevachotamgiácMNPvớichúýAD,BE,CF đồngquy,tacó:

Cho tam giác ABCvà điểm O bất kì nằm trong tam giác. Đường thẳng quaOsong song với BClần lượt cắtAB,AC tại C<small>2</small>,B<small>1</small>. Đường thẳng quaOsong song vớiCAlần lượt cắt BC,ABtạiA<small>2</small>,C<small>1</small>.ĐườngthẳngquaO songsongvớiABlầnlượtcắtAC,BC tạiB<small>2</small>,A<small>1</small>.Vẽ các hính bình hànhOA A<small>13</small>A<small>2</small>,OB<small>1 3 2</small>B B,OC<small>1</small>C C<small>3 2</small>. Chứng minh rằngAA<small>3</small>,BB ,CC<small>33</small>đồng quy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

ChotamgiácABC.Đườngtròntâm nộitiếptamgiácI ABClầnlượttiếpxúcvớiBC,CA,AB theo thứ tự tại D,E,F . Vẽ các điểmD<small>0</small>,E<small>0</small>, F<small>0</small>là điểm đối xứng của D,E,F qua I. Chứng minhrằngcácđườngthẳngAD<small>0</small>,BE<small>0</small>, CF<small>0</small>đồngquy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Cho sáu điểmA,B,C,D,E,Fcùng nằm trên một đường tròn sao cho các cặp đường thẳng ADvà BE, BCvàEF, CDvàFA cắt nhau theo thứ tự tạiK,M,M. Chứng minh rằng

Chứngminh. GọiP làgiaođiểmcủaCD,AB, QlàgiaođiểmcủaBC,DE.Tacótheotínhchất củatýsốkép:A DB( |FC) = E(DB|FC).Suyra(DP|NC) = (QB MC| ).VậyDQ,PB,MNđồng quynênK,M,Nthẳnghàng.

CholụcgiácABCDEFngoạitiếpđườngtròn.ChứngminhrằngAD,BE,CFđồngquy. (ĐịnhlýBrianchon)

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Chứngminh. GiảsửABCDEFngoạitiếp( )O .GọitiếpđiểmcủaAB,BC,CD,DE,EF,FA với (O) lần lượt làM,N,P,Q,R,S. Gọi I,J,Klần lượt là giao điểm các cặp đường thẳngSM và PQ, MNvàQR, NP RS.ÁpdụngđịnhlýPascalcholụcgiácMNPQRS tacóvà I,J,Kthẳng hàng.DễthấyI,J,KlàcựccủacácđườngthẳngAD,BE,CFđốivới(O) nênAD,BE,CFđồng quy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Địnhnghĩa2.1. ChohaitiaOx,Oy.GócđịnhhướngtừOxđếnOy,kíhiệulà(Ox,Oy)làgóc tạothànhkhiquayOxđếnvịtrícủaOytâmquay .O

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

16 CHƯƠNG2. GĨCĐỊNHHƯỚNG Địnhlý2.9 • Gócởtâm(OA,OB)(mod2 )π

• Gócnộitiếp(CA,CB) ≡¹ ₂(OA,OB) (modπ)

• ∆ làtiếptuyếntạiA của(ABC ⇔) (∆,AB) ≡ (CA,CB (mod )) π • A,B,C,D cùngthuộcmộtđườngtrịn⇔ (AB,AC) ≡ (DB,DC) (mod )π • ChohaiđiểmA,Bcốđịnh.QuỹtíchcủađiểmC thỏamãn(CA,CB) ≡ α (modπ)là

Cho tam giácABCcó đường caoAH. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lênAB,AC. GọiP,R lầnlượtlàhìnhchiếucủaM,N lênAC,AB.ChứngminhrằngPRsongsongvớiBC.

Cho tam giácABCcó đường caoAH. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lênAB,AC. Vẽ M P,NR lần lượt song song vớiAC,AB (P,Rnằm trênBC). Chứng minh bốn điểm M,N,P,R cùngthuộcmộtđườngtròn .

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Chứngminh. Do MP //AC, N R//AB và tứ giácAMHNnội tiếp(AH) nên (M N, MP) ≡ (MN,AC) ≡ MN,NA) ≡ (HM,HA .Lạicó: HM,HA) ≡ AB,BC) ≡ (RN,BC) ≡ RN, RP( ) ( ( ( ) vìHM⊥AB,HA⊥BCSuyra:(MN, MP) ≡ RN, RP)( haybốnđiểmM,N,P,Rcùngthuộcmột

Chứngminh. Gọi G,H,K lần lượt là điểm đối xứng củaP qua BC,CA,AB. Suy ra:(C<small>1</small>) ≡ (BGC , C) ( <small>2</small>) ≡ (AHC), C( <small>3</small>) ≡ AKB). Gọi là giao điểm thứ hai của( I (C<small>1</small>) và (C<small>2</small>). Ta chứng minhI ∈ (C<small>3</small>).Thậtvậy:

(IA,IB) ≡ IA,IC) + (IC,IB( ) ≡ (HA,HC) + (GC,GB) Sửdụngtínhchấtđốixứngtacó:

(HA,HC) ≡− PA, PC), GC,GB) ≡− PC, PB), KA,KB) ≡− PA, PB( ( ( ( ( ) Khi đó:(IA,IB) ≡−(PA, PC) − (PC, PB) ≡−(PA, PB) ≡ (KA,KB). VậyI ∈ (C<small>3</small>)nên ba đườngtròn(C<small>1</small>), C( <small>2</small>), C( <small>3</small>)cómộtđiểmchunglà .I

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chứngminh. GọiM,N,P,Q,E,F lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhAB,BC,CD,DA,AC,BD. Ta chứng minh bốn đường tròn(M NE), (NPF PQE), ( ), (MQF)có một điểm chung. Gọi làI giaođiểmthứhaicủa(MN E) và(PQE .TachứngminhI ∈ (NPF) vàI ∈ () MQF .Chúýtính)

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Cho tứ giác nội tiếpABCD. Dựng bốn đường tròn bất kì lần lượt đi quaAB,BC,CD.DA. Các cặp đường trịn lần lượt quaA,B,C,Dcắt nhau tại điểm thứ haiA<small>0</small>,B ,C ,D<small>000</small>. Chứng

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Chobađườngtròncốđịnh(DAB , (DAC , DBC) vàđiểmM thayđổitrên) ) ( (DBC).VẽMB cắt(DAB) tạiđiểmthứhaiNvàMCcắt(DAC)tạiđiểmthứhaiP .ChứngminhrằngNP

ChotamgiácABCvàbađiểmD,E,FlầnlượtthuộcbacạnhBC,CA,AB. a)Chứngminhrằngbađườngtròn(AEF , BFD) và(CDE) cómộtđiểmchung .) ( M b)TìmquỹtíchcủaM khiD,E,Fthẳnghàng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Cho điểmM nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. GọiA<small>0</small>,B ,C<small>00</small>lần lượt là các điểm đối xứng củaM qua ba cạnhBC,CA,AB. Gọi Hlà trực tâm tam giácABC. Chứng

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Địnhnghĩa3.2. A,B,C,D làhàngđiểmđiềuhịanếu(AB CD| ) = 1−

Địnhlý3.3 • Nếu(AB CD| ) = −1 thì(BA CD| ) = (AB DC| ) = (CD AB| ) = −1. • (AB|CD) = −1 ⇔ IA<small>2</small>=IB<small>2</small>= IC.IDvớiI làtrungđiểmAB(HệthứcNewton).

Địnhnghĩa3.4. Chochùmbốnđườngthẳnga,b,c,d.Mộtđườngthẳng bấtkìsongsongvới∆ a vàcắtb,c,d tạiB,C,D.NếuB làtrungđiểmCDthìtanóia,b,c,dlậpthànhchùmđiềuhịa.Kí

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

3.2. BÀITẬP 27

Chohaiđườngthẳngd vàd<small>0</small>cắtnhautạiA.Trênd lấybađiểmB,C,Dvàtrênd<small>0</small>lấybađiểm B<small>0</small>,C ,D<small>00</small>saocho(AB CD| ) = (AB<small>0</small>|C<small>0</small>D<small>0</small>) = − .Chứngminhrằng1 BB<small>0</small>,CC ,DD<small>00</small>đồngquy.

Chứngminh. GọiI làgiaođiểmcủaBB<small>0</small>,CC<small>0</small>. D<small>00</small> làgiaođiểmcủaIDvàd<small>0</small>.Khiđó:(AB CD| ) = −1 ⇒ I(AB CD) = −1 ⇒ I(AB| <small>0</small>|C<small>0</small>D<small>00</small>) = −1. Suy ra: AB( <small>0</small>|C<small>0</small>D<small>00</small>) = −1 hay D<small>0</small>≡ D<small>00</small>. Vậy

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Cho hình vng và một đường trịn nội tiếp trong hình vng đó. Một tiếp tuyến bất kì của đường trịn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A,B và C,D. Chứng minh rằng (AB CD| ) = − .1

Chứngminh. DễthấyOC,OD làphângiáchaigócbùnhaulà(OI,OH), OH,OJ) nên( OC OD⊥ . ChứngminhtươngtựtacóOA OB⊥ .Tachứngminh:OClàphângiáctronggóc(OA,OB).Tức làchứngminh(OA,OC) = (OC,OB) hay(OA,OI) = (OH,OB) (vì(OI,OC) = (OC,OH)).Do OA⊥OB,OI⊥OW nên (OA,OI) = (OB,OW). Mà dễ thấy (OB, OW) = (OH,OB). Như vậy

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Chứngminh. ĐườngkínhEFvnggócvớiBCnênE,FlàcácđiểmchínhgiữacungBC.Suy ra:A(EF|BC) = −1 hay(EF|GH) = −1.Khiđó:OG.OH= OE<small>2</small>khơngđổi.

ChotamgiácABC.QuađiểmM trênBCkẻđườngthẳngsongsongvớiACcắtABtại ,P kẻđườngthẳngsongsongvớiABcắtACtạiQ.GọiRlàgiaođiểmcủaBCvàPQ.Chứng

Chứngminh. GọiI làgiaođiểmcủaAM, PQ.DoAPMQlàhìnhbìnhhànhnênI làtrungđiểm củaAM, PQ.GọiNlàđiểmđốixứngvớiC quaR.KhiđóAN //IR.DễthấyAMđiquatrung điểmPQ nênA(M N BC| ) = −1 hay(MN BC| ) = −1 VậyRM<small>2</small>=RB.RC.

ChođườngtrịntâmOcốđịnh.ChohaiđiểmB,Ccốđịnh,điểmAdiđộngtrên(O).Đường kính DEvng góc với BCcắt ABvàAClần lượt tại MvàN. Lấy hai điểmP,Qsao cho (AB|MP) = (AC NQ| ) = −1.Chứngminhrằng:

a)PQ điquamộtđiểmcốđịnh. b)PA.QC PB.QA+ = 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Chứngminh. a)Gọi làgiaođiểmcủaI MNvàBC. I làtrungđiểmBCnênIcốđịnh.Theotính chấtcủabàitập2.1:(AB|MP) = (AC NQ| ) = −1 nênBC, MN, PQ đồngquytạiIcốđịnh.

Cho hình bình hànhABCD. Gọi là đường thẳng thay đổi quad A và cắtBD,BC,CDlần lượttạiE,F,G.Chứngminhrằng: ¹

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Chứngminh. GọiI làgiaođiểmcủaAC,BD.DoABCDlàhìnhbìnhhànhnên làtrungđiểmI của AC,BD. Gọi K là điểm đối xứng củaA qua E. Khi đóCK //BD. Do CAđi qua trung điểm của BDnên C(KA BD| ) = −1 hay (AK|FG) = −1. Khi đó: ²

xOy.Vèhaiđườngthẳngdidộngqua nhưnglnđốixứngquaA OA,mộtđườngcắtOx tạiM,đườngcịnlạicắtOy N.Chứngminhrằngtại MNlnđiquamộtđiểmcốđịnh.

Chứngminh. Gọi I là giao điểm của OAvà MN. Đường thẳng vng góc với OAtạiAcắt MNtại J. Ta chứng minh cố định. Thật vậy:J A(JI MN| ) = −1 hay (JI M N| ) = −1. Suy ra O(JI M N| ) = −1.DođóOJcốđịnhdoOI,OM,ON cốđịnh.MàAJcốđịnhvìlàđườngthẳng quaA cốđịnhvnggócvớiOAcốđịnh.Vậy cốđịnh.J

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

32 CHƯƠNG3. ĐIỀUHỊA

ChođườngtrịnđườngkínhCDtâmO.TrênCDlấyA<small>1</small>,A<small>2</small>saocho(A A CD<small>12</small>| ) = −1.Qua A<small>1</small>A<small>2</small>lần lượt vẽ các đường thẳng D<small>1</small>,D<small>2</small>vng góc với CD. Một tiếp tuyến thay đổi của đườngtrịncắtD<small>1</small>,D<small>2</small>lầnlượttạiM<small>1</small>,M<small>2</small>.Chứngminhrằng^OM¹

Chứngminh. Xét các giao điểm như hình vẽ. Dễ thấyOE,OFlà phân giác hai góc bù nhau là (OC,OI , (OI,OD) nênchúngvuôngvớinhau.Do) (A<small>1</small>A CD<small>2</small>| ) = −1 nên(M M<small>12</small>|EF) = −1.Suy raOElàphângiácgóc(OM<small>1</small>,OM<small>2</small>).Khiđó:^OM¹

OM<small>2</small>=^EM¹ EM<small>2</small>=^CA¹

CA<small>2</small> khơngđổi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

• Nếu(O)⊥(O<small>0</small>) thìP<small>O/(O0)</small>= R<small>2</small>, P<small>O0/(O)</small>= R<small>02</small>

• Cho (O) (, O<small>0</small>) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Đường kính MNcủa (O) cắt(O<small>0</small>)tại P,Q.Khiđó:(O)⊥(O<small>0</small>) ⇔ (MN |PQ) = 1−

ChotamgiácABC.ĐườngthẳngvnggócvớiABtạiB cắtAC Dtại .Đườngthẳngvng góc với ACtại C cắt ABtại E. Xác định trục đẳng phương của hai đường tròn (ABD) và (ACE).

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Chứngminh. GọiH làgiaođiểmcủaBDvàEC.DotứgiácBCDEnộitiếp(DE) nênHB.HD= HC.HE.HayP<small>H/ ABD()</small>= P<small>H/ ACE()</small>.SuyraAHlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn(ABD)

Chứngminh. GọiM,N lầnlượtlàtrungđiểmcủaBC,AH. (ME,NE) ≡ (ME,BE) + (BE,N E)

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Chứngminh. Vẽ hai đường caoBP,CQcủa tam giácABCcắt nhau tại . Tứ giácH BQPCnội tiếp(BC) nênHB.HP= HC.HQ.HayP<small>H/ BE()</small>= P<small>H/ CD()</small>.TachứngminhP<small>A/ BE()</small>= P<small>A/ CD()</small> hay AD.AQ= AE.AP. Thật vậy:Tứ giácBQPCnội tiếp(BC) nên AB.AQ= AP.AC. Suy ra

AD^{. Vậy trục đẳng phương của hai} đườngtròn(BE) và(CD) làđườngcaoAHcủatamgiácABC.

ChotứgiácABCD.GọiOlàgiaođiểmcủaACvàBD.GọiI,Jlầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,CD. GọiH,Klần lượt là trực tâm của tam giác OADvà tam giácOBC. Chứng minh

Chứngminh. Kíhiệu( ) (I , J) làđườngtrịnđườngkínhAB,CD.TứgiácADMQnộitiếp(AD) nênHD.HQ= HA.HM.SuyraP<small>H/(I)</small>= P<small>H/(J)</small>.HồntồntươngtựP<small>K/(I)</small>= P<small>K/(J)</small>.Dođó HKlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtrịn(I), (J) nênHK IJ⊥ .

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

4.2. BÀITẬP 37

ChobađiểmA,B,C cốđịnhsaochoBnằmgiữaA vàC.Gọi(O)làmộtđườngtrònđiqua haiđầumútA vàB.GọiE làđiểmchínhgiữacunglớnAB.KẻđườngkínhEFcắtdâyAB tạiD.TiaCEcắt(O)tạiI.ChứngminhrằngFIlnđiquađiểmcốđịnhkhiđườngtrịn

Chứngminh. Gọi T là giao điểm của FI và AB. Tứ giácEDTInội tiếp(ET) nên CI.CE= CD.CT. Tứ giác ABIE nội tiếp (O) nên CI.CE = CA.CB. Suy ra CD.CT = CA.CB. Do A,B,C,D cốđịnhnênT cốđịnh.VậyFIlnđiquađiểmT cốđịnh.

Chođườngtrịn(O)vàhaiđiểmA,Bcốđịnhnằmngồiđườngtrịn.Mộtđườngthẳngquay quanhA,cắt(O) tạiM vàN.Chứngminhrằng tâmđườngtrịnngoạitiếptamgiácBM N

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

38 CHƯƠNG4. PHƯƠNGTÍCH Chứngminh. Lấy C thuộc AB sao cho AB.AC = P<small>A/(O)</small>. Khi đóC là điểm cố định. Ta có

AM.AN= AB.ACnênbónđiểmB,C,M,N cùngthuộcmộtđườngtrịn.Suyratâmcủa(BMN) lnthuộcđườngcốđịnhlàđườngtrungtrụccủaBC.

TừđiểmP nằmngồi(O) vẽcáctiếptuyếnPA vàPB.GọiM làtrungđiểmcủaAPvàN làgiaođiểmcủaBMvà( )O (N khơngtrùng ).ChứngminhrằngB PN = 2M N

Chứngminh. TừtínhchấtcủaphươngtíchtacóMA<small>2</small>= MB.MNsuyraMP<small>2</small>= MB.MN.Khi đó hai tam giác PMN và BM P đồng dạng nhau nên^PN

ChobađiểmcốđịnhA,B,Cthẳnghàngtheothứtựđó.Gọi(O)làđườngtrịndiđộngln điquaB vàC.VẽhaitiếptuyếnAMvàANvớiđườngtròn(O).GọiH vàI lânlượtlàtrung điểm của MN và BC. Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giácOHIln đi qua

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

4.2. BÀITẬP 39 Chứngminh. Gọi J là giao điểm của AC và MN . Tứ giác OIJH nội tiếp OJ nên AI.AJ =

AH.AO. Mà AH.AO=AM<small>2</small>=AB.AC. Nên AI.AJ=AB.AC. Do A,B,C,I cố định nên J cố cắtnhautạiX vàY .Gọi làmột điểmbấtkìthuộcP XY.VẽCPcắtđườngtrịnđườngkính ACtại M, BP cắt đường trịn đường kính BDtại N. Chứng minh rằng AM,DN và XY đồngquy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Chứngminh. GọiI làgiaođiểmcủaAM,DN, HlàgiaođiểmcủaPI, AD.DoXYlàtrụcđẳng phươngcủahaiđườngtròn(AC), BD) nênPB.PN( =PC.PM.SuyratứgiácBNM Cnộitiếp. DễthấytứgiácPNIM nộitiếp( )PI .Khiđó:(BC,CM ) ≡ PN,MN) ≡ PI, IM)( ( nêntứgiác HIM Cnộitiếp.SuyraPI⊥BCdođóI ∈ XY.VậyAM,DN,XY đồngquy.

Cho tam giácABCcó trực tâm H. GọiM và N lần lượt là chân hai đường cao kẻ từ B và C.LấyđiểmWbấtkỳtrêncạnhBC.VẽđườngkínhWXcủađườngtrịnngoạitiếpcủatam giácBN WvàđườngkínhWY củađườngtrịnngoạitiếpcủatamgiácCMW.GọiZlàgiao điểmcủađườngtrịnngoạitiếptamgiácBN WvàđườngtrịnngoạitiếptamgiácCMW(với Z 6≡W )

a)ChứngminhrằngA,Z,Wthẳnghàng. b)ChứngminhrằngX,Y,Zthẳnghàng.

Chứngminh. a) Ta cóZWlà trục đẳng phương của hai đường trịn(BNW , CMW) ( ). Tứ giác BN MCnội tiếp (BC) nên AN.AB=AM .AC. Hay P<small>A/(BN W )</small> = P<small>A/(CMW )</small>. Suy ra A,Z,W thẳnghàng.

b)TacóXZ⊥ZWvàZY⊥ZWnênX,Y,Z thẳnghàng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Cho M là một điểm trên đường trịn tâmOđường kínhAB. Vẽ MH vng góc vớiAB. Đường trịn đường kính MH lần lượt cắt M A,MB và (O) tại P,Q,N . Chứng minh rằng

Chứngminh. GọiI làgiaođiểmcủaPQ,AB.TachứngminhI,M,Nthẳnghàng.DễthấyMN là trục đẳng phương của hai đường tròn(MH), AB( ). Ta cóMP.MA = M H<small>2</small>= M Q.MBnên tứgiácAPQBnộitiếp.SuyraIA.IB= IP.IQ.HayP<small>I/ AB()</small>= P<small>I/ MH()</small>.SuyraI,M,Nthằng hàngnênMN,P Q,ABđồngquy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

Địnhnghĩa5.2. Cho(O,R).ChoM 6≡O.TìmquỹtíchN saochoM^{( )}^O ↔ N.

Chứngminh. Kẻ NH⊥MO,H ∈M O. Ta chứng minhHlà điểm cố định. Ta có:M^{( )}^O ↔ N ⇔ (MN )⊥(O) ⇔ PQ|MH) = −1 ⇔ OH.OM= OP( <small>2</small>= R<small>2</small>. Vậy quỹ tích củaNlà đường thẳng

vng góc với OMtại H với H thỏa đẳng thứcOH.OM= R<small>2</small>, gọi là đường đối cực củaMđối

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

NếuđiểmM nằmtrong(O) tadựngđiểmH thỏamãnOH.OM= R<small>2</small>.Khiđóđườngđốicực củaM làđườngthẳngquaHvnggócvớiOH.

Dùngcáttuyến Địnhlý5.6

Cho tứ giácABCDnội tiếp( )O. GọiM, N,Plần lượt là giao điểm củaABvà CD, ACvà BD, ADvàBC.Khiđó,bađiểmM,N,P đôimộtliênhợpnhauqua( )O.

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

Suyra(ME CD| ) = − .DođóP (ME CD1 | ) = −1 hay(MF|BA) = − .TừđótacóEF= ∆1 <small>M</small> nênP liênhợpvớiM, NliênhợpvớiM qua( )O.Chứngminhtươngtựchocặpđiểmcịnlại.

Chođườngtrịntâm .ChotamgiácO ABCthỏamãnđườngđốicựccủamỗiđỉnhmỗiđỉnh tamgiácđốivới(O)chínhlàcạnhđốidiện.ChứngminhrằngOlàtrựctâmtamgiácABC.

Chứngminh. Xétđườngtrịn( )O : BC= ∆<small>A</small>.SuyraOA BC⊥ .Hồntồntươngtự:OB⊥AC,OC⊥AB. VậyO làtrựctâmtamgiácABC.

Chứng minh rằng hai điểm M và N liên hợp với nhau đối với đối với(O)khi và chỉ khi MN<small>2</small>= P<small>M/(O)</small>+ P<small>N/(O)</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

TừđiểmMnằmngồiđườngtrịn(O)kẻcáccáttuyếnthayđổiMCD,MEF đến(O).GọiI làgiaođiểmcủaCFvàDE.Cáctiếptuyếncủa(O) tạiC,Dcátnhautại .CáctiếptuyếnA của(O) tạiE,F cátnhautại .B

a)Chứngminhrằng thuộcmộtđườngthẳngcốđịnh.I b)ChứngminhrằngA,B,Ithẳnghàng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

Cho tam giácABCnội tiếp ( )O . Gọi D,D<small>0</small>là chân hai đường phân giác trong và ngồi của gócA.Gọi làgiaođiểmhaitiếptuyếntạiP B,C.Gọi làtrungđiểmcủaI DD<small>0</small>. a)ChứngminhrằngIB.IC= ID<small>2</small>.TừđósuyraIAlàtiếptuyếncủa(O). b)ChứngminhAPvnggócvớiOI.

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

Chứngminh. a) A DD BC( <small>0</small>| ) = −1 nên (DD BC<small>0</small>| ) = − . Suy ra1 ID<small>2</small>=IB.IC. Do đóIA<small>2</small>= IB.IChayIAlàtiếptuyếntạiA của(O).

b) IAlà tiếp tuyến tại A của (O) nên IA= ∆<small>A</small>hay I^{( )}^O ↔ A. PB, PC là tiếp tuyến với(O)nên BC= ∆<small>P</small>.SuyraI^{( )}^O ↔ P .Dođó:AP= ∆<small>I</small>.VậyAP⊥OI.

ChođườngtrịntâmOđườngkínhAB.Vẽđườngthẳng vnggócvớid ABtạimộtđiểmI bất kì trênAB. GọiMlà điểm di động trên(O). Hai đường thẳng MA,M Blần lượt cắtd

b)GọiE làgiaođiểmcủaMN,AB.TachứngminhE làđiểmcốđịnh.Theokếtquảđườngđối cực dựng bằng cát tuyến: PQ = ∆<small>M</small>. Suy ra I^{( )}^O ↔ E hay(EI AB| ) = −1. DoA,B,Icố định nên E cốđịnh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

48 CHƯƠNG5. CỰCVÀĐỐICỰC

Cho tam giácABCnội tiếp(O). Ba đường phân giác trong gócA,B,Clần lượt cắt(O)tại A<small>0</small>,B ,C<small>00</small>. Ba cặp tiếp tuyến của (O) tạiA,A<small>0</small>, tạiB,B<small>0</small>, tạiC,C<small>0</small>cắt nhau tạiA<small>00</small>,B ,C<small>0000</small>.

Cho tam giácABCnội tiếp (O).Các tiếp tuyến của (O) tại B,Ccắt nhau tạiM. Từ M vẽ đườngthẳngsongsongvớitiếptuyếntạiA của(O) lầnlượtcắtAB,AC tạiP,Q.Chứngminh M làtrungđiểmcủaPQ.

Chứngminh. Trườnghợp1:TamgiácABCkhôngcân tại .A

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

GọiE làgiaođiểmcủatiếptuyếntạiA của(O) vàBC, F làgiaođiểmcủaAM,BC. MB,MClà tiếptuyếnvới(O) nênBC= ∆<small>M</small>.SuyraE^{( )}^O ↔ M. EAlàtiếptuyếntạiA của(O) nênEA= ∆<small>A</small>. Suy ra E^{( )}^O↔ A. Khi đó: AM = ∆<small>E</small> nên E^{( )}^O ↔ F hay (EF|BC) = −1. Do đóA(EF|BC) = −1.

Từ điểm P ở ngồi (O) vẽ các tiếp tuyếnPA, PBvới đường trịn. TừB hạ BDvng góc vớiđườngkínhACcủa(O).ChứngminhrằngPCđiquatrungđiểmcủaBD.

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

Chứngminh. GọiE làgiaođiểmcủaPB vàAC.TachứngminhP (AC DE| ) = −1 hay(AC DE| ) =

−1. EBlàtiếptuyếntạiB của(O) nênE^{( )}^O ↔ B.MàBD⊥OEnênBD= ∆<small>E</small>.SuyraE^{( )}^O ↔ D hay (ED AC| ) = − .1

Cho tam giácABCcó đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnhBC,CA,AB lần lượt tại M, N, P.ĐườngkínhquaM cắtNPtạiQ.ChứngminhrằngAQđiquatrungđiểmBC. Chứngminh. Trườnghợp1: TamgiácABCcântại .Khiđó:A A,Q,I,MthẳnghàngvàMlà

</div>