bài tập nhóm giải tích nhiều biến

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (268.62 KB, 32 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BÀI TäP NHĨM GIÉI TÍCH NHIóU BIũN

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

=> D thòy hỡnh cảu m B(x, r) = {y 2 Rn : ||y x|| < r < t} vĨi chu©n max ln ⇢ G do 8y 2 B(x, r) thì ||x y|| r < t  ||x a|| vĨi chu©n max

∑ bài có chi∑u thu™n úng nh˜ng chi∑u £o ch˜a úng Ph£n ví dˆ cho chi∑u £o:

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

VÓi a < 1 ta có {x 2 R, f(x) > a} = R là t™p m

VĨi 1  a < 0 ta có {x 2 R, f(x) > a} = (0, +1) là t™p m VĨi a 0 thì {x2 R, f(x) > a} = (p

a, +1) là t™p m

Nh˜ng f l§i khơng liên tc tĐi x = 0 xuòt sa bi nh sau:

Bi 1. Chng minh răng f(x) l hm liờn tc trên R khi và chø khi vÓi mÂi a 2 R thì t™p Ea = {x2 R : f(x) > a} , E0

a= {x2 R : f(x) < a} m trong R

Chi∑u thu™n: N∏u f liên tˆc trên R, xét c sao cho f(c) > a. Do tính liên tˆc thì tÁn t§i r sao cho: Nói cách khác thì ta ˜Ịc f liên tˆc t§i c. Do ó f liờn tc trờn R

Bi 1.5: Chng minh răng mẩi tp con óng trong Rn ∑u vi∏t ˜Ịc d˜Ĩi d§ng giao ∏m ˜Ịc

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Ai thì tÁn t§i dãy (xn) sao cho xn thc A và ||x xn|| < 1

n vÓi mÂi n nguyên d˜Ïng

a) Do A là t™p óng nên ph¶n bù CA cıa nó là t™p m. Do A ch˘a tßt c£ các i∫m h˙u tø trong [0, 1] nên CA không ch˘a sË h˙u t nào trong [0, 1]. Gi£ s˚ tÁn t§i c sao cho c 2 CA và c 2 [0, 1]. TÁn t§i r sao cho B(c, r) 2 CA. Do thc [0, 1] nên vĨi mÂi r ta ln tìm ˜Ịc 1 sậ hu t thuẻc B(c, r) v năm trong [0, 1] (Vơ l˛ do A ch˘a tßt c£ các i∫m h˙u t trong [0,1]). V™y CA không ch˘a i∫m nào trong [0,1]. Do ó [0, 1] 2 A

b) Do A là t™p óng nên ph¶n bù cıa CA cıa nó là t™p m. Do A ch˘a tßt c£ các i∫m h˙u tø trong hình vng [0, 1]2 nên CA khơng ch˘a i∫m h˙u tø nào trong [0, 1]2. Gi£ s˚ tÁn t§i c = (c1, c2) sao cho c 2 CA và c 2 [0, 1]2. S˚ dˆng chu©n ||.||1. TÁn t§i r sao cho B(c, r) 2 CA. Do câu a thì tÁn t§i x1 h˙u t sao cho x1 2 B(c1, r) (trong R vểi chuân tr tuyêt Ëi) và x1 2 [0, 1] và tÁn t§i x2 h˙u t sao cho x2 2 B(c2, r) (trong R vểi chuân giỏ tr

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

tuyêt ậi) v x2 2 [0, 1]. Do ó thì (x1, x2)2 [0, 1]2 và (x1, x2)2 B(c, r). Mà (x1, x2) là i∫m h˙u tø trong hình vng [0, 1]2 (Vơ l˛ vÓi gi£ thi∏t). V™y [0, 1]2 2 A

Bài 1.9: Ch˘ng minh răng mi tp con A Rn cú khụng q ∏m uc các i∫m cơ l™p

LÌi gi£i.

K˛ hiªu DA là t™p các i∫m cô l™p cıa A

N∏u A và B là t™p ∏m ˜Ịc thì A x B cÙng là t™p ∏m ˜Ịc

Do ó Q2 là t™p ∏m ˜Ịc ) Q4 là t™p ∏m ˜Òc ) . . . Qn là t™p ∏m ˜Ịc Xét x là i∫m cơ l™p cıa A ) tÁn t§i cx sao cho B(x, cx)\ A = {x}

Nói cách khác thì ||y x|| cx vểi mi y khỏc x năm trong A Vểi mẩi x l im cụ lp lòy qx thuẻc Qn g¶n X sao cho:

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

V™y dãy {Kn}là dóy cản tỡm.

Bi 1.13. Tỡm cỏc giểi hĐn sau:

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

V™y lim cıa 2 dãy khi n ! 1 là khác nhau => Khơng tÁn t§i giĨi h§n ca bi.

Bi 1.15: Chng minh răng cỏc hm sậ sau khơng có giĨi h§n t§i (0, 0)

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

ChÂn dãy i∫m th˘ hai: {(x0

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

) Khơng tÁn t§i giĨi h§n cıa hàm sË t§i (0, 0)

Bài 1.17 Cho hàm sË f(x, y) = x + y cos y

2x + y . Ch˘ng minh tÁn t§i giĨi h§n l∞p t§i (0; 0) nh˜ng khơng tÁn t§i giĨi h§n lim

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Bài 1.21: Tìm các giĨi h§n l∞p sau:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

GiĨi h§n c¶n tính khác nhau khi (x,y) ti∏n tĨi hai c∞p dãy i∫m khác nhau. Do ó giĨi h§n này khơng tÁn t§i . Bài tốn ˜Ịc ch˘ng minh

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

) Hàm f(x, y) có giĨi h§n nh˜ nhau theo mÂi h˜Ĩng t§i i∫m (0, 0) ) f liên tˆc t§i (0, 0) theo mÂi h˜Ĩng

Ta xét dãy 1: {xn, yn} = {(n1, 0)} thßy: lim

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Bài 1.31: Xét tính liên tˆc cıa các hàm sË sau:

=> f(x, y) khơng liên tˆc t§i (x0, y0) vĨi x0 2 Q, y0 2 Q, x0 6= 0 ho∞c y0 6= 0. - Xét tính liên tˆc cıa f(x, y) t§i (x0, y0) vĨi x0 2 Q và y/ 0 2 Q, x/ 0 6= 0 ho∞c y0 6= 0. Ta có th∫ chÂn dãy sË h˙u tø th‰a mãn xn! x0, yn! y0 khi n ! 1

=> lim

n!1f (xn, yn) = x20+ y02 > 0 = f (x0, y0)

=> f(x, y) khơng liên tˆc t§i (x0, y0) vĨi x0 2 Q, y/ 0 2 Q, x/ 0 6= 0 ho∞c y0 6= 0. - Xét tính liên tˆc cıa f(x, y) t§i (x0, y0) vĨi x0 2 Q và y0 2 Q, x/ 0 6= 0 ho∞c y0 6= 0

Ta có th∫ chÂn dãy sË vơ tø xn và dãy sË h˙u tø yn th‰a mãn xn ! x0, yn ! y0 khi n ! 1

=> lim

n!1f (xn, y0) = 0 < x20+ y02 = lim

=> f(x, y) khơng liên tˆc t§i (x0, y0) vĨi x0 2 Q, y0 2 Q, x/ 0 6= 0 ho∞c y0 6= 0.

Ch˘ng minh t˜Ïng t¸ ta có: f(x, y) khơng liên tˆc t§i (x0, y0) vĨi x0 2 Q, y/ 0 2 Q, x0 6= 0 ho∞c y0 6= 0

- Xét tớnh liờn tc ca f(x, y) tĐi (0,0)

=> D thòy vÓi mÂi dãy xn ! 0, yn! 0 khi n ! 1 k∫ c£ vơ tø hay h˙u tø thì:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

b) Ta xét tính liên tˆc cıa f(x, y) t§i (x0, y0) vĨi x0 6= 0, y0 6= 0. => f(x, y) liên tˆc t§i (x0, y0) vĨi x0 6= 0, y0 6= 0

- Ta xét tính liên tˆc cıa f(x, y) t§i (x0, 0) vĨi x0 6= 0

=> f(x, y) khơng liên tˆc t§i (x0, 0) khi x0 6= 0

Ch˘ng minh t˜Ïng t¸ ta có f(x, y) khơng liên tˆc t§i (0, y0) khi y0 6= 0 - Xét tính ln tˆc cıa f(x, y) t§i (0,0)

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

) Hàm sË ã cho liên tˆc t§i các i∫m (x, y) = (x0, y0), y0 6= 0

Bài 1.35: Xét tính liên tˆc (theo c£ hai bi∏n) và liên tˆc theo t¯ng bi∏n t§i (0, 0) cıa các hàm sË

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

=1 ) f khơng liên tˆc theo y t§i (0,0) V™y hàm f khơng liên tˆc t§i (0,0)

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Bài 1.37: Chng minh răng f(x, y) = sin(x2 + y2) khụng liên tˆc ∑u trên R2

LÌi gi£i.

Xét hàm f(x, y) = sin(x2+ y2) có TX D = R2

Xét trong mi∑n xác ‡nh D hàm f(x, y) liên tˆc vì là hàm hÒp cıa nh˙ng hàm liên tˆc Tuy nhiên hàm sË ã cho khơng liên tˆc ∑u trên D vì: )Hàm sË ã cho không liên tˆc ∑u trên D

Bài 1.39: Xét tính liên tˆc ∑u cıa các hàm sË sau:

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

n)|| = | sin 1 sin( 1)| = 2 sin 1 ) 9✏0 = 2 sin 1 1 vÓi mÂi ✏ > 0,9(xn, yn) = (1

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

) Hàm sË ã cho không liên tˆc ∑u vÓi x2+ y2 < 1

Bài 1.41: Gi£ s˚ f : R2 ! R là hàm liên tˆc theo bi∏n x và liên tˆc theo bi∏n y ∑u Ëi vÓi x (t˘c là 8✏ > 0, 9 > 0, 8y : |y y0| < ,8x : |f(x, y) f (x, y0)| < ✏). Ch˘ng minh f liên tˆc trên R2

LÌi gi£i.

Xét c = (xc, yc) thc R2

Ta s≥ ch˘ng minh là f liên tˆc t§i c Do f liên tˆc theo bi∏n x nên vĨi mÂi ✏

2 > 0 thì tÁn t§i x sao cho:

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

V™y ta có f liên tˆc t§i c

Qua ó ta có f liên tˆc trên R2 ( PCM)

Bài 1.43 Gi£ s˚ f : R2 ! R liên tˆc theo t¯ng bi∏n và ẽn iêu theo mẻt bin. Chng minh f liờn tc trên R2

LÌi gi£i.

Xét c = (c1, c2). Do f liên tˆc theo t¯ng bi∏n nên vÓi mÂi ✏

2 > 2 thì tÁn t§i 1 sao cho:

Do f liên tˆc theo t¯ng bi∏n nên vĨi mÂi ✏

2 > 0 thì tÁn t§i 2 sao cho:

Bài 1.45: Cho X 2 Rn, f : X ! Rm . Chng minh răng nu f liên tˆc ∑u trên X và {xn} là dãy Cauchy trong X thì {f(xn)} là dãy Cauchy. i∑u ng˜Ịc l§i có úng khơng ?

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

i∑u ng˜Ịc l§i khụng ỳng. Vớ d nh xột f l hm hăng thì nó liên tˆc ∑u, vĨi dãy {xn} bßt kì khơng ph£i Cauchy trong X thì {f(xn)} v®n là dãy Cauchy.

Bài 1.47: Gi£ s˚ T : Rn ! Rm là ỏnh xĐ tuyn tớnh. Chng minh răng tn tĐi M > 0 sao cho ||T x|| M||x||, 8x 2 Rn. T¯ ó suy ra T liên tˆc ∑u trên Rn.

LÌi giÊi.

1. Chng minh răng tn tĐi M > 0 sao cho ||T x||  M||x||, 8x 2 Rn.

Vì T : Rn ! Rm là ánh x§ tuy∏n tính nên ta có ma tr™n bi∫u diπn cıa T có d§ng nh˜ sau:

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

TH1: N∏u ma tr™n bi∫u diπn T là ma tr™n không.

Nh˜ v™y, 8x 2 Rn, tÁn t§i M > 0 th‰a mãn ||T x|| = ||y||  M||x|| 2. Ch˘ng minh T liên tˆc ∑u trên Rn.

Vì ||T x||  M||x||, 8x 2 Rn nên vĨi 8x, y 2 Rn ta có:

||T (x y)|| = ||T x T y|| M||x y|| VÓi mÂi ✏ > 0 cho tr˜Óc, ta chÂn = ✏

M > 0 Lúc này, 8x, y 2 Rn, ||x y|| < ta có:

||T (x y)|| = ||T x T y|| M||x y|| M = M. ✏ M = ✏ V™y T liên tˆc ∑u trên Rn.

Bài 1.49: Gi£ s˚ X ⇢ Rn và f : X ! Rm tho£ mãn f(X) là t™p compact. Chng minh răng nu th G(f) úng trong Rn Rm thì f liên tˆc trên X

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

LÌi gi£i.

Do f(X) là t™p compact nên f(X) b‡ ch∞n

Gi£ s˚ tn tĐi c thuẻc X sao cho f khụng liờn tˆc t§i c

! TÁn t§i ✏ > 0 và dãy (xn) sao cho xn ! c mà ||f(xn) f (c)|| > ✏ Do (f(xn)) b‡ ch∞n nên tÁn t§i dãy chø sÍ ni sao cho f(xni)! b

Mà xni ! c khi i ! 1 nên (c, b) thc G(f) (do G(f) óng). Do ó b = f(c) Mà ta có:

||f (xni) f (c)|| > ✏8i 2 Z+

! ||f(c) f (c)|| ✏ (vơ l˛) V™y f liên tˆc t§i mÂi i∫m c thc X

Bài 1.51: Cho A là t™p con óng trong Rn, f : A ! R b‡ ch∞n và > 0. Chng minh răng tp

Quay lĐi bi toỏn:

˛ là do f b‡ ch∞n nên o(f, a) luôn nh™n giá tr‡ trong R ∞t S = {x 2 A : o(x, f) ✏}

K˛ hiªu o(f, a, ) = M(a, f, ) m(a, f, )

CË ‡nh a thì ta có vĨi mÂi x < y thì B(a, x) ⇢ B(a, y) nên (A \ B(a, x)) ⇢ (A \ B(a, y)) do ó o(f, a, x) o(f, a, y).

Do ó o(f, a, x) là hàm không gi£m theo x ! o(f, a, x) ✏ vÓi mÂi a 2 S, x > 0

Xét mỴt dãy (xn) hỴi tˆ v∑ c. Ta s chng minh răng c năm trong S Xột bòt k ta s chng minh răng o(f, c, ) >

Do (xn) hẻi t tểi c nờn tn tĐi tĐi n0 sao cho xn0 năm trong B(c, ) ! tn tĐi mẻt k sao cho B(xn0, k) B(c, )

! (A \ B(xn0, k))⇢ (A \ B(c, )) ! ✏ < o(f, xn0, k) o(f, c, )

V™y o(f, c, ) > ✏ vĨi bßt k˝ nên o(f, c) ✏. M A l tp úng nờn c năm trong A ! c 2 S V™y ta có PCM

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Bài 1.53: Gi£ s˚ f : E [ F ! R tho£ mãn f|E, f|F liên tˆc. Ch˘ng minh răng nu E,F cựng úng (m) thỡ f liờn tc trên E [ F . N∏u E, F không cùng óng (m) thì k∏t lu™n cịn úng khơng ?

TH1: Xét c thc E [ F thì hi∫n nhiên là f liờn tc tĐi im c

TH2: Xột c thuẻc E m c khụng thuẻc F thỡ tn tĐi k sao cho F \ B(c, l) = ? vÓi mÂi l  k Xột bòt k thỡ tn tĐi sao cho

|f (x) f (c)| < ✏ 8x 2 E \ B(c, )

ChÂn c = min {k, }! (E [ F ) \ B(c, c) = (E\ B(c, c))[ (F \ B(c, c)) = E\ B(c, c) Mà |f (x) f (c)| < ✏ 8x 2 E \ B(c, c)

V™y f liên tˆc trên c

TH3: Xét c thc F mà c khơng thuẻc E thỡ cng lm tẽng tá nh TH2 Vy f là hàm liên tˆc trên E [ F

N∏u E,F khơng cùng óng và m thì khơng th∫ k∏t lu™n hàm liên tˆc ˜Ịc Lßy E = R \ 0 là t™p m và F = 0 là t™p óng

Lßy f(x) = x2 + 1001 vĨi mÂi x thc E và f (0) = 0 ta thßy f liên tˆc trên c£ E và F nh˜ng f không liên tˆc trên R

Bài 1.55: Gi£ s˚ f : Rn! R liên tc v 9l 2 R sao cho:

Chng minh răng f b‡ ch∞n và liên tˆc ∑u trên Rn.

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

+, Nh˜ ã ch˘ng minh bên trên ta có:

VĨi A = {y : ||y||  M, y 2 Rn} thì A là t™p compact. Mà f liên tˆc => f(A) liên tˆc ∑u trên A.

+, f(A) liên tˆc ∑u trên A

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

=> ||f (x) f (y)|| ||f(x) f(z)|| + ||f(y) f(z)|| < ✏, vÓi ||x y|| < ||x z|| + ||y z|| < 2 => f cÙng liên tˆc ∑u trong tr˜Ìng hỊp này.

=> f liên tˆc ∑u trên mÂi kho£ng cıa Rn

=> f liên tˆc ∑u trên Rn ( pcm).

Bài 1.57: Kí hiªu B = B(0, 1) = {x 2 Rn: ||x|| < 1} (Hình cảu ẽn v trong Rn)

a) Chng minh răng B = {x 2 Rn: ||x|| 1} (Bao óng cıa hình c¶u m là hình c¶u óng

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

b) Xét tÁn t§i F : B ! Rm là hàm liên tˆc Do B compact ) F liên tˆc ∑u trên B

) F liên tˆc ∑u trên B

) f liên tˆc ∑u trên B ( PCM)

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

! R gÂi là n˚a liên tˆc trên (t˜Ïng ˘ng d˜Ĩi) t§i x0 n∏u 8✏ > 0, 9 > 0 sao cho: f(x) f (x0) < ✏ ( t˜Ïng ˘ng f (x) f (x0) > ✏) vÓi 8x 2 B(x0, ); f gÂi là n˚a liên tˆc trên (d˜Ói) trên A n∏u f n˚a liên tˆc trên (d˜Ĩi) t§i mÂi x 2 A. Chng minh răng f na liờn tc trờn (t. d˜Ói) trên A khi và chø khi:

N˚a liên tˆc d˜Ói có th∫ làm hàm tồn t˜Ïng t¸ Xét f là n˚a liên tˆc trên A:

VÓi a 2 R và c 2 A sao cho f(c) < a. ChÂn ✏ ı nh‰ sao cho f(c) + ✏ < a TÁn t§i > 0 sao cho f(x) f (c) < ✏ vÓi mÂi x2 A \ B(x0, )

Do ó f(x) < f(c) + ✏ vÓi mÂi x 2 A \ B(x0, ) Xét {x2 A : f(x) < a} là m trong A: VĨi mÂi ✏ > 0 cË ‡nh, lßy a = f(c) + ✏

Do c 2 {x 2 A : f(x) < a} nên tÁn t§i sao cho B(c, ) 2 {x 2 A : f(x) < a} ( PCM)

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

b) Ta c¶n CM: A \ {x 2 A : f(x) b} = {x2 A : f(x) < b} là m trong A (Chính là câu a)) V™y ta có PCM

</div>

bài tập nhóm giải tích nhiều biến

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về