<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

1

<b>THƯC HANH GIAI TICH TRÊN PYTHON 1. Tích phân c a các hàm s</b>ủ <b>ố </b>

Tích phân v m t ý niề ặ ệm là “góp nhặt” (tổng) các “lát cực nhỏ” để được t ng th ổ ể đối tượng (nguyên văn “<small>Integration is a way of adding slices to find the whole</small>”. Như vậy, giữa đạo hàm với tích phân có quan h ệ ngược nhau. C ụ thể là: gi nh có 1 vòi chả đị ảy nước vào trong h : ồ

Khi đó chúng ta có thể phát biểu theo từng gốc độ:

- Đạo hàm: Nếu khối nước cứ tăng đều x trong một đơn vị thời gian thì nghĩa là hệ ố nước s đều đều không thay đổi (bằng) 1.

- Tích phân: V i tớ ốc độ chảy nước cứ giữ bằng nhau tại mọi thời điểm trong một đơn vị thời gian thì nước sẽ tăng đều một giá trị khối lượng nước x nào đó. Hiển nhiên, để mơ tả đầy đủ, chúng ta ph i b sung thêm giá trị ả ổ C (trong tích phân) là đối tượng khơng bắt buộc Một vịi nước chảy nước đều vào trong hồ chứa, nghĩa là ứ mỗi đơn vị thời gian sc ẽ có 1 đơn vị nước chảy vào trong h ồ chứa làm h ồ chứa tăng đúng 1 khối lượng là x.

<b>1.1.Việc tính tích phân </b>

Tích phân vơ nh ho c bđị ặ ất định (indefinite integral, có sách ti ng Anh ghi là antiderivative) cế ủa một hàm số 𝑓(𝑥) là là số 𝐹(𝑥) ỏa 𝐹, th <small>′</small>(𝑥) = 𝑓(𝑥). Chúng ta có th hi u nơm na là tích phân cể ể ủa một hàm s là mố ột hàm mà đạo hàm c a nó chủ ính là hàm ban đầu. Trong tốn h c, kí hiọ ệu tích phân là 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓( )𝑑𝑥 ới tích phân xác đị𝑥 . V nh (definite integral), chúng ta có thêm các c n (giậ ả định

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

2

<b>1.2. Tích phân với gói phần m m scipy </b>ề

<b>Thực hành : Vi t các lệnh sau và th c thi cùng lúc trong t p tin scipy_in.py: </b>ế ự ậ

<b>1.3. Tích phân với gói sympy </b>

Với gói SymPy, chúng ta có th tìm th y vi c tính tốn c hai lo i tích phân b ng cách tể ấ ệ ả ạ ằ ạo đối tượng

<b>Integral. </b>Dưới đây là minh họa việc tính tích phân ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥 ới 𝑘 là m t h ng số. v ộ ằ

<b>Thực hành: Tính </b>tích phân đơn giả<b>n >>> from sympy import</b> Integral, Symbol >>> x = Symbol('x')

>>> k = Symbol('k') >>> Integral(k*x, x)

Sau khi import các l p Integral và Symbol và th c hi n vi c tớ ự ệ ệ ạo 2 đối tượng tương ứng k và x. Sau đó, chúng ta tạo đối tượng Integral với hàm kx và xác định biến lấy tích phân là x. Tương tự như các l p Limit (tính gi i hớ ớ ạn) và Derivative (tính đạo hàm), chúng ta s ph i th c hi n vi c tính tốn ẽ ả ự ệ ệ sử d<b>ụng phương thức doit()</b>:

>>> Integral(k*x, x).doit()

Giá tr tích phân tr v m t hàm s (kí hi u). Nị ả ề là ộ ố ệ ếu chúng ta tính đạo hàm, nó s ra giá tr c a hàm ẽ ị ủ gốc là hàm kx.

Để tính tích phân xác định, chúng ta ch ỉđơn giản thêm các giá tr biị ến xác định cận dưới và c n trên ậ khi tạo đối tượng Integral, c ụ thể như sau:

<b>>>> Integral(k*x, (x, 0, 2)).doit() </b>

Giá tr v ị trả ề là tích phân xác định ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥₀² .

Chúng ta có th ể thể ệ hi n trực quan các tích phân xác định bằng việc th hi n hình h c. Xét hình bên ể ệ ọ dưới của đồ thị 𝑓(𝑥) = 𝑥 ới giá trị n v 𝑥 m gi a [0, 5]. ằ ữ

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

3 Xét vùng ABDE trong đồ thị trên nằm giữa 2 điểm từ 𝑥 = 2 đến 𝑥 = 4 tương ứng với điểm 𝐴 và 𝐵. Diện tích ABDE có th được tính b ng cách tính di n tích các vùng hình h c, c ể ằ ệ ọ ụ thể:

𝑆<small>𝐴𝐵𝐷𝐸</small>= 𝑆<small>𝐴𝐵𝐶𝐸</small>+ 𝑆<small>𝐸𝐶𝐷</small>= 2 × 2 + (¹_{2) × 2 × 2 = 6} Thử ạ l i, chúng ta có th tính tích phân ể ∫ 𝑥𝑑𝑥₂⁴ b ng hàm x lý ằ ử <b>Integral ủ</b> c a Sympy: >>> from sympy import Integral, Symbol

>>> x = Symbol('x') >>> Integral(x, (x, 2, 4)).doit()

Giá tr ị tích phân tương đồng như việc tính tốn di n tích ABDE. ệ

Việc hi u v tích phân xác địể ề nh là diện tích “đóng” bởi hàm giữa các điểm xác định trên trục x là vấn đề chính yếu để ểu đượ hi c những tính tốn về xác suất trong các sự kiện ngẫu nhiên liên quan các bi n ng u nhiên liên tế ẫ ục.

<b>Ưng du ng. </b>

Trên th c t , nhu c u sự ế ầ ẽ giảm khi giá c a m t s n phủ ộ ả ẩm gia tăng. Ngượ ại, khi giá càng tăng, sảc l n phẩm sẽ có nhiều trên thị trường. Với đồ thị thể hiện gi a nhu cữ ầu và cung cấp theo hai đại lượng giá (p) và số lượng s n phả ẩm được bán (q) được th hi n và chúng ta d dàng th y s ngh ch bi n. ể ệ ễ ấ ự ị ế Trong đồ thị đó, điểm cân bằng (equilibrium) là điểm (𝑞 , 𝑝 )<small>∗ ∗</small> giao điểm giữa hai xu hướng chính là giá tr cân b ng c a th ị ằ ủ ị trường.

Với 𝑝 = 𝑑(𝑞) là hàm nhu cầu (hàm giảm), 𝑝 = 𝑠(𝑞) là hàm cung cấp (hàm tăng)

Từ đồ thị, chúng ta d ễ thấy rằng để đạt đến tr ng thái cân b ng, chúng ta có th phân tích vạ ằ ể ới lượng tiền “dư” (surplus) từ bên “cầu” (consumer) và bên “cung cấp” (producer) băng tich phân. Tư đo, h y gia ai bai toan sau: Honda d ki n bán xe SH 2019. Sau vự ế ài tháng thăm dò, Honda nhận ra các quy lu t lậ a:

+ Quy lu t c u: ậ ầ 𝑝 = 𝑑(𝑞)= −0.8𝑞 +150, nghĩa là giá (150-0.8) tri u s ệ ẽ bán được 1 xe/tháng (𝑞 = 1), (150-1.6) tri u m i tháng s ệ ỗ ẽ bán được 2 xe/tháng (tương ứng với 𝑞 = 2),…

+ Quy lu t cung: ậ 𝑝 = 𝑠(𝑞) = 5.2𝑞 nghĩa là mỗ, i xe SH bán ra, Honda đượ ợi c l là 5.2 triệu đồng. Thưc hiê n cac yêu c u sau: â

1. Xác định giá nên bán trên thị trường (trạng thái cân bằng). V . ẽ đồ thị

2. T ại thời điểm cân bằng, tổng số tiền người mua phải trả dư/cao hơn (consumer surplus). 3. T ại thời điểm cân bằng, tổng số tiền mà sản phẩm thu dư được (producer surplus).

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

4

<b>2. Giớ ại h n c a hàm s </b>ủ ố

Bài tốn thường thấy trong giải tích là tìm giá trị giới hạn (limit hay g i ng n g n là ọ ắ ọ <b>lim ủ</b>) c a một hàm s khi bi n s ố ế ố được gi nh tiả đị ến đến m t giá tr ộ ị nào đó (giá trị xác định, ho c vơ cùng). ặ Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 1 𝑥⁄ i bi(vớ ểu đồ như hình bên dưới).

Khi giá tr ị 𝑥 tăng, giá trị của hàm 𝑓(𝑥) ẽ dần về 0. Kí hiệu tốn học là: s lim

<small>𝑥→∞</small> 1 𝑥 = 0

Với SymPy, chúng ta có thể tính gi i hớ ạn của hàm s bố ằng l p <b>ớ Limit </b>như sau: >>> from sympy import Limit, Symbol, S

Ngoài ra, l p <b>ớ Limit</b> có th x lý các hàm bể ử ất định, d ng 0/0 ho c vô cùng/vô cùng m t cách t ạ ặ ộ ự động. Đó là những giới hạn trong lý thuyết được tính tốn bằng quy tắc l’Hơpital. Tính tốn gi i h n d ng vô cùng/vô cùng ớ ạ ạ >>> from sympy import Symbol, sin >>> Limit(sin(x)/x, x, 0).doit()

<b>Thực hành: SV hay tính giá tr c a gi i h n sau khi x ti</b>ị ủ ớ ạ ến đến vô cực: 𝑥𝑠𝑖𝑛¹_𝑥

<b>Ưng du ng. </b>Bài toán lãi su t kép liên tấ ục – Continous Compound Interest

Giả định chúng ta có v n 1 triố ệu đô trong ngân hàng. Và tổng tiền chúng ta có được trong 1 năm theo v i lãi su t 100% nhớ ấ ận đượ ừ c t 𝑛 ần trong 1 năm là: l

𝐴 = (1 +¹_𝑛)^𝑛

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

5 Nhà toán h c James Bernoulli khám phá ra r ng khi ọ ằ 𝑛 tăng, số ạ (1 + 1/𝑛) h ng <small>𝑛</small> tiến đến số 𝑒, là một giá tr h ng. V i giá trị ằ ớ ị v n là , lãi ố 𝑝 suất là và s 𝑟 ố năm là 𝑡 thì s ố tiền chúng ta

𝐴 = 𝑃 (1 +_𝑛)^𝑟 ^𝑛𝑡 Giả đị nh lãi su t liên t c, hay tim công th c cho giá tr . ấ ụ ứ ị𝐴

<b>Thực hành b ng đô thi : Bằng phương pháp đồ thị, hãy cho biết giới hạn của hàm số sau </b>ă lim

<b>Gợi ý: hãy v </b>ẽ đồ thị của các hàm: 𝑔(𝑥) = −𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛(, _𝑥¹), ℎ(𝑥) = 𝑥. Nhận định: gi i h n cớ ạ ủa cả hai hàm 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) đều bằng 0. và Sau đó sử ụng định lý “kẹp” để d suy ra gi i hớ ạn của hàm

sympy.plot(f,(x, c - delta, c + delta))

sympy.plot(f, abs(x), -abs(x),(x, c - delta, c + delta))

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy gi i h n cớ ạ ủa hàm đã cho là 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

6

<b>3. Đa o ham. </b>

Giới thi u v m t s vệ ề ộ ố ấn đề ử x lý b sung v Python và gói Sympy. Các bổ ới ổ trợ này s hẽ ỗ trợ cho các tính tốn, đặc biệt tính tốn và xử lý hình thức.

<b>Giới thi u hàm eval trong Python </b>ệ

Hàm eval trong Python có chức năng ước tính m t bi u th c s h c cho m t chuộ ể ứ ố ọ ộ ỗi. Như các dạng bảng tính Excel, biểu th c sứ ẽ được tính tốn theo các giá tr nhị ập. Ví dụ: <b>Giới thi u hàm subs trong Sympy </b>ệ

Mạnh m ẽ hơn hàm eval() trong Python, hàm <b>subs() ủ</b> c a Sympy không nh ng v a thay th các biữ ừ ế ến để tính tốn v a có kh năng thực hi n tính tốn hình th c. Chúng ta xét th c hành minh h a v ừ ả ệ ứ ự ọ ề hàm subs như sau:

Rõ ràng đến đây, ta thấy đượ<b>c hàm subs() </b>cũng tương tự hàm eval() khi tính tốn. Và dưới đây là một ưu điểm khác của hàm <b>subs()</b> trong Sympy:

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

>>> from sympy import sin, cos

>>> bieuthuc_theo_uv = bieuthuc2.<b>subs</b>({x : a*sin(u), y : a*cos(u)}) >>> bieuthuc_theo_uv

>>> bieuthuc_theo_uv.<b>simplify()</b>

Đạo hàm c a hàm s ủ ố𝑦 = 𝑓(𝑥) thể hiện t l ỉ ệ thay đổi trong bi n ph thuế ụ ộc, theo đó 𝑦 ph thu c vào ụ ộ biến 𝑥 và được kí hiệu là 𝑓<small>′</small>(𝑥) ặc 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ho ⁄ . Chúng ta có thể tìm đạo hàm c a m t hàm b ng viủ ộ ằ ệc tạo đối tượng của lớp Derivative. Xét hàm v chuyề ển động c a chi c ô tô chuyủ ế ển động:

>>> from sympy import Symbol, Derivative

Biểu th c cứ ủa đạo hàm tính tốn được là 10 ∗ 𝑡 + 2. Bây gi , chúng ta có th tính tốn cờ ể ụ thể giá trị của đạo hàm t i các v trí ạ ị 𝑡 = 𝑡<small>1</small> hoặc 𝑡 = 1 ằng phương thứ b c thay th subs(). ế

Rõ ràng hàm 𝑓 ở đây là tích của hai hàm độc l p v i nhau. Tuy nhiên, l p Derivative s h ậ ớ ớ ẽ ỗ trợ chúng ta x lý nh ng hàm s ph c t p. Vử ữ ố ứ ạ ới các hàm lượng giác, chúng ta phải import thư viện sympy, sau đó, chúng ta có thể tính tốn bằng lớp Derivative bình thường:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

8 Đạ<b>o hàm c p cao và bài toán c c trị </b>ấ ự

Theo mặc định, vi c tệ ạo ra đối tượng đạo hàm b ng cách s d ng lằ ử ụ ớp Derivative để tính đạo hàm bậc 1. Để tính toán các đạo hàm cấp cao cơn, đơn giản chỉ việc xác định cấp đạo hàm muốn tính vào tham số thứ 3 khi tạo đối tượng Derivative. Trong ph n này, chúng ta s s dầ ẽ ử ụng đạo hàm th ứ 1 và 2 để tìm cực đại và cực tiểu trên một khoảng.

Giả ử s , xét hàm 𝑥<small>5</small>−30𝑥<small>3</small>+50𝑥 định nghĩa trên miền xác đị [−5, 5]nh . Chúng ta có thể ễ d dàng vẽ đồ cthị ủa hàm số.

Đồ thị c a hàm số ủ

Từ đồ thị c a hàm s , chúng ta th y r ng nó gủ ố ấ ằ ồm các giá trị c c ti u tự ể ại điểm 𝐵 trong kho ng ả −2 ≤ 𝑥 ≤ 0. Tương tự, nó có giá trị cực đai tại điểm 𝐶 thu c kho ng ộ ả 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. Tuy nhiên, giá tr cị ực đại và c c ti u c a toàn bộ miền xác định n m ở hai điểm được đặự ể ủ ằ t tên là và 𝐴 𝐷 tương ứng. Do vậy, điểm 𝐵 và 𝐶 được xem như cực tri địa phương, mà cụ thể là cực tiểu địa phương (local minimum) và cực đại địa phương (local maximum). Và điểm 𝐴 và 𝐷 đượ ọc g i là cực đại toàn cục (global maximum) và c c ti u toàn c c (global minimum). ự ể ụ

Thuật ngữ cực tr (ị extramum, số nhiều là extrama) đề ập đế c n những điểm là cực đại hoặc cực tiểu toàn cục cũng như địa phương. Đặc điểm là: n u là c c tr c a hàm ế 𝑥<small>0</small> ự ị ủ 𝑓(𝑥) thì đạo hàm b c 1 cậ ủa 𝑓(𝑥) tại 𝑥₀ s b tri t tiêu (vanish, bẽ ị ệ ằng 0), nghĩa là: 𝑓<small>′</small>(𝑥<small>0</small>) = 0.

Điều này có nghĩa là để tìm được các điểm cực trị, chúng ta phải giải phương trình 𝑓<small>′</small>(𝑥) = 0. Lưu ý: để ải phương trình, Sympy hỗ gi trợ lệnh solve(phương trình).

Với các lệnh trên, chúng ta tính được đạo hàm bậc 1 c a hàm là ủ 𝑓 𝑑1 ừ đó, giải phương trình . T 𝑑1 = 0 tìm t p hđể ậ ợp các điểm c c tr . Các l nh tiự ị ệ ếp theo như sau:

>>> d1 = Derivative(f, x).doit() >>> cuctri = solve(d1)

Sau đó, chúng ta lần lượt lấy các giá tr c a nó gán vào các biị ủ ến A, B, C, D tương ứng v i 4 nghiớ ệm:

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

9 >>> A = cuctri[0] # nghia la gia tri -sqrt(-sqrt(71) + 9)

>>> A = cuctri[2] # nghia la gia tri -sqrt(sqrt(71) + 9) >>> B = cuctri[0] # nghia la gia tri -sqrt(-sqrt(71) + 9) >>> C = cuctri[1] # nghia la gia tri sqrt(-sqrt(71) + 9) >>> D = cuctri[3] # nghia la gia tri sqrt(sqrt(71) + 9)

Khi này, chúng ta có thể tính toán để xác định giá tr cị ực đại và c c tiự ểu cũng như địa phương và toàn cục. Điều này được x lý b ng vi c kiử ằ ệ ểm đạo hàm c p 2 (second derivative test). Chúng ta thấ ực hiện như sau:

>>> d2 = Derivative(d1, x, 2).doit()

Và sau đó, chúng ta có thể tìm lại các giá tr c c tiêu ho c cị ự ặ ực đại b ng bi u th c thay th (subs) và ằ ể ứ ế tính tốn (s dử ụng hàm evalf) như sau:

>>> d2.subs({x:B}).evalf() >>> d2.subs({x:C}).evalf() >>> d2.subs({x:A}).evalf() >>> d2.subs({x:D}).evalf()

Giá tr cị ực đạ ẽ có đại s o hàm cấp 2 âm. Trong khi đó, giá trị ự c c ti u sể ẽ có đạo hàm cấp 2 dương. Ngồi ra, chúng ta ph i tìm giá tr t i 2 biên x_min = -ả ị ạ 5 và x_max= 5 để tìm giá tr c c tr toàn cị ự ị ục và c c b . ụ ộ Chúng ta tính toán như sau:

Từ những giá trên, chúng ta có thtrị ể xác định giá trị nhỏ nhất tương ứng với cực tiểu toàn cục và điểm c c ti u c c b . ự ể ụ ộ Phương pháp tìm giá trị ực trị, c thể hơn là tìm cực đại và cực ti u chỉ áp c ụ ể

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

10 Và điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất sẽ ở các biên của miền xác định!

Lưu ý: để vẽ đồ thị của hàm 𝑓 = 𝑥<small>5</small>− 30𝑥<small>3</small>+ 𝑥50 , chúng ta sử dụng lệnh như sau: >>> import sympy

>>> sympy.plot(f, (x, -5, 5))

Trong đó, tham số (x, -5, 5) là gi i h n hàm s ớ ạ ố chỉ v trong khoẽ ảng [-5, 5]. Và k t qu ế ả là đồ thị được tạo thành như bên dưới:

<b>Nhắ ạ ềc l i v c</b>ác bướ<b>c gi</b>ả<b>i bài tốn tối ưu hóa</b>

1. Xác định các biến và các hằng số, vẽ đồ thị phù hợp, hiểu rõ cần tìm cực đại, cực tiểu của hàm nào.

2. Viết công thức cho hàm muốn tìm cực đại, cực tiểu. 3. Viết hàm phụ thuộc vào một biến duy nhất: 𝑓(𝑥)

4. Tìm 𝑓′(𝑥) và giải 𝑓′(𝑥)= 0. Kiểm tra tất cả các giá trị tới hạn và điểm đầu mút để tìm

Trước hết, lưu ý rằng 𝑓<small>′</small>(𝑥) = −2𝑥 + 4 = 0 khi 𝑥 = 2 𝑓(2) = 1 và . Tiếp theo, 𝑓(𝑥) xác định với mọi x, do đó sẽ khơng có c c tr nào khác. ự ị

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

a) Bài toán Black Friday.

Bạn mu n bán ố 𝑛 điện tho i Iphone 11 sao cho l i nhu n là cao nh t. B ph n nghiên c u th ạ ợ ậ ấ ộ ậ ứ ị trường của công ty cho th y nấ ếu bán v i giá $1500 thì có thớ ể bán được 5000 chiếc và nếu cứ giảm $100 cho mỗi điện tho i thì sạ ẽ bán thêm được 1000 chi c. Gi s chi phí v n là cế ả ử ố ố định (chi phí khởi nghiệp) bằng $2.000.000 và t ng chi phí mua v (chi phí biên) cho mổ ề ỗi điện tho i là $500. Tìm giá ạ bán cho mỗi điện tho i ( ) và t ng s ạ 𝑥 ổ ố điện thoại bán được (𝑛) để ợ l i nhu n là tậ ối đa. Tìm lợi nhu n ậ tối đa đó.

b) Quang đương trên cat.

Giả ử ạ s b n muốn đến một điểm A (nằm trên cát) t mừ ột con đường gần đó (xem hình 6.1.5). Giả sử đường đi thẳng và b là kho ng cách t ả ừ A đến điểm C (C là điểm g n nh t tính t ầ ấ ừ A đến con đường). Đặt 𝑣 là tốc độ của bạn trên đường và , nh𝑤 ỏ hơn 𝑣, là tốc độ của bạn trên cát. Hiện tại bạn đang ở điểm D, cách C một khoảng . T𝑎 ại điểm B nào (B là điểm giữa D và C) bạn nên tách đường để băng qua cát sao cho thời gian đến được A là ít nhất?

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

12

<b>4. Mô t sô vân đê khac. </b>

<b>4.1. Phép l</b>ặp để ải phương trình<b> gi</b>

Trong tính tốn, phép l p là mặ ột phương pháp kỹ thuật để giải phương trình. Ví dụ sau liên quan đến s g i là Tỉ s Vàng (Golden Ratio) b ng phép l p for trong Python. Vố ọ ố ằ ặ ấn đề, chúng ta cần gi i ả phương trình sau:

𝑥 = 1 + 𝑥√

Để giải phương trình trên, bước đầu tiên chúng ta ch n 1 nghi m, nghiọ ệ ệm đó được gọi là nghi m ệ ban đầu. Và tiếp tục q trình lặp để tìm các nghiệm chính xác hơn.

Sinh viên th c hi n các lự ệ ệnh trên đến khi x không thay đổi và cho biết cần bao nhiêu lần thực hiện phép gán: x = sqrt(x)? Chúng ta có th ể thử ế ệ vi t l nh lặp để giải như sau:

Từ đó, chúng ta thấy qua các bước lặp, x chính là các giá trị như sau: 3, √1 + 3, √1 + 1 + 3√ , √1 + 1 + 1 + 3√ √ , … và x s h i t t i m t sẽ ộ ụ ạ ộ ố bướ ặc l p (mặt khác cũng do sai số ủ c a ngôn ng ữ Python). Ở đây, chúng ta gọi điểm h i t là nhộ ụ ững điểm c nh (fixed point). ố đị

Với vector 𝑦 = (𝑣<small>1 2</small>, 𝑣 , … 𝑣<small>𝑛</small>), chúng ta có phép tính vi phân như sau: 𝑑𝑦 = (^𝑣²_{𝑑𝑥 ,}^{− 𝑣}¹ ^𝑣³_{𝑑𝑥 , … ,}^{− 𝑣}² ^𝑣^𝑛^{− 𝑣}_𝑑𝑥^𝑛−1) Nghĩa là vector tạo thành sẽ giảm đi 1 chiều.

<b>Thực hành 6: Tính tốn o hàm trên 1 vector dữ li u </b>đạ ệ

</div>