<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN </b>

Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống xã hội hiện nay. Những bài toán đặt ra xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, từ bài toán cho kinh tế, sản xuất đến giải quyết các bài toán tăng trưởng…Nhiều tri thức toán học, ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thơng, có thể ứng dụng hiệu quả vào đời sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng nhất định và một thói quen nhất định. Trang bị những kĩ năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân mỗi người. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục toán học

Đảng và Nhà nước ta luôn coi trọng việc phát triển con người, coi con người là nguồn lực hàng đầu của đất nước. Con người được giáo dục và tự giáo dục luôn được coi là nhân tố quan trọng nhất vừa là động lực, vừa là mục tiêu cho sự phát triển bền vững của xã hội. Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Uỷ ban giáo dục của UNESCO

<i>đã đề ra bốn trụ cột của giáo dục trong thế kỉ XXI là: “Học để biết (Learning to know), học để làm (Learning to do), học để cùng chung sống (Learning tolive together), học để tự khẳng định mình (Learning to be)”. Các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với </i>

thực tế. Chính vì thế vai trị của các bài tốn có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. Và cũng vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng cải cách, chỉnh sửa nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu xã hội.

Chương trình giáo dục phổ thơng mới hướng vào mục tiêu phát triển năng lực cho người học. Trong dạy học mơn Tốn cần phải tăng cường khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào thực tiễn thông qua việc giải quyết các tình huống nảy sinh trong cuộc sống. Các giáo viên cần phải giúp đỡ học sinh phát triển các kỹ năng mà họ sẽ sử dụng hàng ngày để giải quyết vấn đề, đồng thời cần phải giúp họ cảm nhận được rằng toán học là hữu ích và có ý nghĩa.

Việc thường xuyên vận dụng toán học vào thực tế sẽ giúp học sinh nhìn thấy những khía cạnh tốn học ở các tình huống thường gặp trong cuộc sống, tăng cường khả năng giải quyết các vấn đề trong cuộc sống bằng tư duy tốn học, giúp tập luyện thói quen làm việc khoa học, nâng cao ý thức tối ưu hóa trong lao động…Đây là những phẩm chất quan trọng

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

đối với người lao động trong xã hội ngày nay. Để làm được điều này học sinh phải có khả năng thu nhận được thơng tin tốn học từ tình huống thực tế ban đầu, chuyển đổi thông tin giữa thực tế và tốn học, thiết lập được mơ hình tốn học từ tình huống thực tế.

Các bài toán thực tiễn liên quan đến 3 đường conic (elip, hypebol và parabol) hiện khơng có nhiều tài liệu phục vụ cho giáo viên giảng dạy cũng như cho học sinh tham khảo. Vì vậy chúng tôi tập hợp, phân dạng theo từng đường để giáo viên và học sinh có thêm một tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy, học tập của mình. Các bài tập được phân theo dạng sẽ giúp học sinh dễ dàng ôn tập, vận dụng và giải quyết các bài toán trong chuyên đề này .Từ

<b>thực tế này,chúng tôi xin chia sẻ kinh nghiệm “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 LÀM TỐT CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ BA ĐƯỜNG CONIC ” nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học các bài tốn thực tế trong chương trình tốn lớp 10. </b>

Qua nội dung của đề tài này chúng tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh phương pháp giải những bài tốn ứng dụng thực tế, bên cạnh đó giúp học sinh thấy được ý nghĩa của việc học tốn ở trường phổ thơng có mối liên hệ chặt chẽ với cuộc sống hàng ngày. Từ đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp các em yêu thích mơn học hơn, có động lực hơn để học tập đạt kết quả tốt nhất. Và quan trọng hơn hết là nhằm rèn luyện cho các em kĩ năng và giáo dục cho các em tự tin hơn, chủ động hơn, sẵn sàn ứng dụng toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc – như trong Nghị quyết

<i>TW4 (khoá VII) đã nhấn mạnh mục tiêu giáo dục: “Đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” . </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP </b>

<b>1. Mơ tả giải pháp trước khi có sáng kiến </b>

Trong chương trình tốn THPT mới 2018, Phần 3 đường conic tuy không phải là phần kiến thức mới nhưng với chương trình trước đây phần này cũng ít được chú trọng, đa phần chỉ tập trung vào các bài tập lí thuyết. Riêng phần hypebol và parabol là phần mới so với chương trình cũ. Vì vậy khi học đến phần này thì các bài toán thực tiễn liên quan đến 3 đường conic (elip, hypebol và parabol) hiện khơng có nhiều tài liệu phục vụ cho giáo viên giảng dạy cũng như cho học sinh tham khảo. Do đó giáo viên phải mày mị tìm tịi trong sách, trong các đề thi để có tư liệu giảng dạy, cịn học sinh đa phần đều thụ động làm theo tài liệu do các thầy cô cung cấp.

<b>2. Mơ tả giải pháp sau khi có sáng kiến </b>

Qua q trình giảng dạy trong năm học qua, chúng tơi đã tìm tịi, tập hợp các bài tốn thực tế liên quan đến 3 đường conic trong các bộ sách giáo khoa, các đề thi học kì 2 lớp 10 các trường THPT trên cả nước, các tài liệu trên mạng…Sau đó tổng hợp, phân dạng theo từng đường. Đây thực sự là một tài liệu hữu ích cho giáo viên trong quá trình giảng dạy. Đồng thời cũng là một tài liệu giúp học sinh hồn tồn có thể tự học, tự nghiên cứu. Các bài tập được phân dạng, sắp xếp, có hướng dẫn, lời giải khá chi tiết. Do đó học sinh hồn tồn có thể tự ơn tập được.

Trong chương trình tốn học lớp 10, có hai phần liên quan đến phương trình đường parabol là phương trình parabol trong đại số và phương trình parabol trong hình học chúng có phương trình khác nhau do cách chọn hệ trục khác nhau. Sáng kiến cung cấp thêm một số bài toán thực tế về giải các bài bài toán thực tế liên quan đường parabol sử dụng cách chọn hệ trục như trong phần hình học để giúp học sinh có thêm một cách giải về cách bài toán thực tế này cũng như thấy được mối quan hệ giữa hai phần lý thuyết đã học.

Trong sáng kiến này chúng tôi đưa ra phương pháp chung nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài tốn thực tế về hình học, bao gồm các bước thực hiện như sau :

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài toán. </b></i>

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học </b></i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài toán thực tế. </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 1. Đường elip </b>

<b> a. Định nghĩa đường elip : </b>

Cho hai điểm cố định và phân biệt <i>F</i>₁, <i>F</i>₂. Đặt <i>F F</i>₁ ₂2<i>c</i>0<i>. Cho số thực a lớn hơn c . </i>

Tập hợp các điểm <i><small>M</small></i> sao cho <i>MF</i>₁<i>MF</i>₂2<i>a</i> được gọi là đường elip . Hai điểm <i>F</i>₁, <i>F</i>₂

được gọi là hai tiêu điểm và <i>F F</i>₁ ₂ 2<i>c</i> được gọi là tiêu cự của elip đó.

<b>b. Phương trình chính tắc của đường elip : </b>

Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>, phương trình chính tắc của elip được viết dưới dạng

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>a. Định nghĩa đường hypebol. </b>

Cho hai điểm <i>F F</i>₁, ₂ cố định có khoảng cách <i>F F</i>₁ ₂2 (<i>c c</i>0). Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm <i><small>M</small></i> sao cho <i>MF</i>₁<i>MF</i>₂ 2<i>a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c . Hai điểm F</i>₁ và <i>F</i>₂ được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

<b>b. Phương trình chính tắc của đường hypebol. </b>

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol có dạng

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

- Tiêu điểm <i>F</i><small>1</small>



<i>c</i>;0 ,



<i>F c</i><small>2</small>

 

;0 _. - Tâm sai <i><small>e</small>^c</i> <small>1</small>

<small> </small> .

<i> - Độ dài trục thực 2a . Độ dài trục ảo 2b . </i>

- Bán kính qua tiêu điểm trái <i><small>MF</small></i>₁<small> </small><i><small>a ex</small></i> . Bán kính qua tiêu điểm phải <i><small>MF</small></i>₂<small> </small><i><small>a ex</small></i> với <small>( ; )</small>

<i><small>M x y</small></i> thuộc hypebol <small>(</small><i><small>H</small></i><small>)</small>

- Nếu điểm <i><small>M x y</small></i><small>( ; )</small> thuộc hypebol <small>(</small><i><small>H</small></i><small>)</small> thì <i><small>x</small></i><small> </small><i><small>a</small></i> hoặc <i><small>x</small></i><small></small><i><small>a</small></i>.

<b>3. Đường parabol </b>

<b>a. Định nghĩa đường parabol </b>

Cho một điểm <i><small>F</small></i> cố định và một đường thẳng <small></small> cố định không đi qua <i><small>F</small></i>. Đường parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm <i><small>M</small></i> trong mặt phẳng cách đều <i><small>F</small></i> và <small></small>. Điểm <i><small>F</small></i> được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng <small></small> được gọi là đường chuẩn của parabol.

<b>b. Phương trình chính tắc của parabol. </b>

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của Parabol là <small>2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i>MF x</i>  với <i><small>M x y</small></i><small>( ; )</small> thuộc Parabol <small>( )</small><i><small>P</small></i>

- Nếu điểm <i><small>M x y</small></i><small>( ; )</small> thuộc parabol <small>( )</small><i><small>P</small></i> thì <i>x</i>0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>PHẦN 2: XÂY DỰNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO TỪNG CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ 1: ĐƯỜNG ELIP </b>

<b>Dạng 1: Bài toán thực tế sử dụng định nghĩa, sự tạo thành elip, phương trình elip cơ bản </b>

<b> Phương pháp chung: Khai thác giả thiết để viết phương trình elip từ đó suy ra u </b>

cầu bài tốn thực tế

<b>Bài tập 1.Mặt Trăng là một vệ tinh tự nhiên của Trái Đất, chuyển động quanh Trái Đất theo </b>

quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768800 km và 767640 km . Viết phương trình chính tắc của elip nói trên.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Viết phương trình chính tắc của elip  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip có độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ lần lượt là </i>

768800 km và 767640 km . Viết phương trình chính tắc của elip

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Phương trình chính tắc của elip trên có dạng

<small>2222</small> 1

<i>a</i> <i>b</i>  _{, trong đó}<i>a</i>  <i>b</i>  0.

Ta có <i><small>Oy</small></i> là đường trung trực của<i>A A</i>₁ ₂ nên <i>O</i> là trung điểm của <i>A A</i>₁ ₂nên<i>a</i><i>OA</i>₂384400. Ta có <i>Ox</i>là đường trung trực của<i>B B</i>₁ ₂ nên <i>O</i> là trung điểm của <i>B B</i>₁ ₂nên<i>b</i><i>OB</i>₂ 338309,5 .

Vì nên <i>a</i>  <i>b</i>  0. (thỏa mãn điều kiện).

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là ₂ ₂ 384 800 338309,5 ¹

<i><b>Tương tự bài tập 1 ta có bài tập 2 sau đây: </b></i>

<b>Bài tập 2.(HK2_2023_THPT Trưng Vương_TP Hồ Chí Minh) Gương trong máy tán sỏi </b>

thận có hình elip với vị trí đầu phát sóng của n và vị trí của viên sỏi tương ứng là hai tiêu điểm của elip (hình minh họa bên dưới). Một máy tán sỏi thận với chiếc gương này có hình dạng là elip với độ dài trục lớn và độ dài trục nhỏ lần lượt bằng 42 và 32 (theo đơn vị cm ). Hãy viết phương trình chính tắc của elip nêu trên.

<i><b>Nhận xét: Đây là hai bài toán thực tế đơn giản, khi đọc đề bài học sinh có thể suy ln ra </b></i>

<i>được bài tốn hình học và giải bài tốn hình học một cách dễ dàng. Qua đó rèn kĩ năng viết phương trình chính tắc khi biết độ dài trục lớn và độ dài trục nhỏ.</i>

<b>Bài tập 3. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là </b><i>80cm</i>và trục nhỏ là

<i>40cm</i>từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước80<i>cm</i> 40 c <i>m</i>, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình bên (đóng 2 chiếc đinh cố định rồi vòng 1 vòng dây qua 2 chiếc đinh rồi vẽ). Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vịng dâycó độ dài bao nhiêu?

<i><b> Bước 1: Tìm hiểu u cầu của bài tốn: Xác định vị trí đặt đinh </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học </b></i>

<i> Phân tích : Hai chiếc đinh chính là hai tiêu điểm của elip </i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip có độ dài trục lớn và trục bé. Xác định toạ độ </i>

tiêu điểm của elip đã cho, từ đó suy ra vị trí đặt đinh và độ dài vòng dây chính là <i>F F</i>₁ ₂ <i>MF</i>₁ <i>MF</i>₂

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Chọn hệ trục như hình vẽ bên, ta có phương trình elip có dạng

<i><b>Nhận xét: Để suy ra giả thiết của bài tốn hình học này rất đơn giản ,tuy nhiên để suy ra </b></i>

<i>u cầu bài tốn thì học sinh cần phải phân tích kĩ giả thiết.Bài tốn thực chất sử dụng cách vẽ elip trong định nghĩa .Qua bài toán này học sinh nhận thấy được ứng dụng của việc nắm được cách vẽ elip trong thực tế, qua đó củng cố lại lí thuyết sự tạo thành elip. </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Bài tập 4. Một mái vịm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai </b>

tiêu điểm là <i>F F</i>'  50 <i>m</i>_{và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ}<i><small>F</small></i><small>'</small>đến mái vòm rồi phản chiếu về F là <i>100 m</i>. Viết phương trình chính tắc của elip đó.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn: Viết phương trình chính tắc của elip  Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Chiều dài của đường đi của một tia sáng từ <small>F</small></i><small>'</small>đến mái vòm rồi phản chiếu về F là <i>100 m</i> thực chất sử dụng định nghĩa elip, từ giả thiết ta

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<i><b> Bài toán thực chất sử dụng định nghĩa elip. Qua bài toán này học sinh nhận thấy được </b></i>

<i>ứng dụng của định nghĩa elip trong thực tế, bản chất elip là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến 2 điểm cố định cho trước một khoảng không đổi </i>

<i> Các bài toán trên là các bài toán ứng dụng thực tế của elip ở mức độ cơ bản. Để giải quyết các bài toán này học sinh cần nắm vững định nghĩa, sự tạo thành elip. Việc cho học sinh làm quen, giải quyết các bài toán này trước sẽ giúp học sinh củng cố lại kiến thức về elip đã học, đồng thời tăng tính hứng thú của học sinh trong việc giải quyết các bài toán tiếp theo </i>

<i> Sau khi học sinh đã giải quyết được các bài tốn trên giáo viên có thể tăng độ khó bằng bài tập tổng hợp dưới đây </i>

<b>Bài tập 5. </b>

Ơng Ba có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là<i><small>60m</small></i> và

<i><small>30m</small></i>. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường trịn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường trịn ơng trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình elip được tính theo cơng thức <i><small>S</small></i><small></small><i><small>ab</small></i>, với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường elip là không đáng kể.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn: Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây </b></i>

lâu năm so với diện tích trồng hoa màu.

<i><b> Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học. </b></i>

<i> Phân tích: Đường trịn tiếp xúc trong, nên sẽ tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ, </i>

suy ra bán kính đường trịn: <i><small>R</small></i><small>15</small><i><small>m</small>. </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

 <i>Bài tốn hình học: Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là<small>60m</small></i> và

<i><small>30m</small></i>. Bán kính đường trịn: <i><small>R</small></i><small>15</small><i><small>m</small></i>. Tính diện tích hình elip và diện tích đường trịn để suy ra tỉ số cần tính. Biết diện tích hình elip được tính theo cơng thức <i><small>S</small></i><small></small><i><small>ab</small></i>, với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục

<b>Bài tập 6. (K10-HK2-2023-THPT Nguyễn Du-TP Hồ Chí Minh) Bạn An muốn làm một </b>

cái bìa giấy hình elip, bạn ấy làm như sau: Bạn An lấy một bìa các tơng hình chữ nhật có kích thước chiều dài 12 cm, chiều rộng 8 cm, trên tấm bìa đó bạn ấy vẽ một hình elip nội tiếp trong hình chữ nhật (tham khảo hình vẽ bên). Sau đó bạn ấy lấy kéo cắt theo đường elip mà bạn đã vẽ. Tính diện tích mà bạn ấy đã cắt bỏ đi (phần gạch chéo trên hình, lấy 1 số thập phân), cho biết diện tích elip được tính theo cơng thức <i><small>S</small></i><small></small><i><small>ab</small></i>với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn, nửa độ dài trục nhỏ của elip.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn: Tính diện tích phần gạch chéo.  Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học. </b></i>

<i> Phân tích: Bìa các tơng hình chữ nhật có kích thước chiều dài 12 cm, chiều </i>

rộng 8 cm và hình elip nội tiếp trong hình chữ nhật nên học sinh cần suy

<i>luận được elip có độ dài trục lớn là 12cm, độ dài trục nhỏ là 8 cm. </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

 <i>Bài tốn hình học: Cho hình chữ nhật có kích thước chiều dài 12 cm, chiều </i>

rộng 8 cm. Cho elip có độ dài trục lớn là 12cm, độ dài trục nhỏ là 8 cm. Tính diện tích hình elip và diện tích hình chữ nhật để từ đó suy ra diện tích phần

<i><b>Nhận xét : Qua hai bài toán trên để giải quyết u cầu bài tốn, ngồi những kiến thức về </b></i>

<i>elip học snh cần nhớ lại cơng thức tính diện tích đường trịn và diện tích hình chữ nhật để suy ra u cầu bài tốn.</i>

<b>Bài tập 7. Hình vẽ dưới đây minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với </b>

mái vòm trần nhà của căn phịng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của mái vịm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục toạ độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Viết phương trình chính tắc của elip biểu </b></i>

diễn mái vịm trần nhà trong hệ trục toạ độ Oxy

<i><b> Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài toán hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Chiều rộng của căn phòng là 16 m tức là độ dài trục lớn là 16 m </i>

,chiều cao của mái vòm là 3 m tức là nửa độ dài trục nhỏ là 3m.Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên cần đặt bức tượng ở vị trí của tiêu điểm cịn lại để

<i><b> Bước 3 : Giải bài toán Hình học và suy ra u cầu bài tốn thực tế. </b></i>

a) Ta có độ dài trục lớn của (E) bằng 16 nên 2<i>a</i>16 <i>a</i> 8 Độ dài nửa trục bé của (E) bằng 3 nên <i>b</i>3

b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Nên để bức tượng sáng rõ nhất khi ta đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Gọi toạ độ của vị trí này là (c;0)

 <i>^c^a</i>²<i>^b</i>²  ⁵⁵

Vì tượng cao <i>4m</i>nên ta cần đặt bức tượng ở vị trí có tọa độ là



55; 4



<b>Bài tập 8. Một phịng thì thầm có trần vịm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với </b>

mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m. Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phảy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì </b></i>

sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia?

<i><b> Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) từ </i>

đó suy ra được nửa độ dài trục nhỏ và cách nhau 16 m từ đó suy ra độ dài tiêu cự. Vì âm thanh đi từ một tiêu điểm này lên trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia nên cần phải tính quãng đường âm thanh đã đi là: <i>MF</i>₁<i>MF</i>₂2<i>a</i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip biết nửa độ dài trục nhỏ, độ dài tiêu cự. Tính độ dài trục lớn. </i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Giả sử phương trình chính tắc của elip này là

Âm thanh đi từ một tiêu điểm qua điểm M(x; y) trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia. Do đó quãng đường mà âm thanh đã đi là: <i>MF</i>₁<i>MF</i>₂

Theo cơng thức bán kính qua tiêu ta có: <i>MF</i>₁ <i>a^cx MF</i>; ₂ <i>a^cx</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<i><b>Tương tự bài tập 8 ta có bài tập 9 sau đây : </b></i>

<b>Bài tập 9. (K10-HK2-THPT Nguyễn Hữu Huân- TP Hồ Chí Minh-2023) </b>

Hình vẽ sau đây minh họa một căn phịng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip cao 7 mét và rộng 30 mét. Căn phịng này có đặc điểm: Nếu một người đứng ở một tiêu điểm của phịng thì có thể nghe thấy âm thanh phát ra từ một người khác đứng ở tiêu điểm còn lại (dù âm thanh đó rất nhỏ).

a) Để hai người có thể “nói thì thầm với nhau” trong căn phịng này thì mỗi người cần đứng cách trung tâm của phòng xấp xỉ bao nhiêu mét?

b) Giả sử âm thanh “thì thầm” từ một người đứng ở một tiêu điểm của phòng sau khi đến một điểm trên trần vòm elip sẽ cho tia phản xạ đến người đứng ở tiêu điểm còn lại. Hỏi sau bao nhiêu giây người còn lại sẽ nghe được âm thanh đó? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 mét/giây.

(Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy.)

<b> Hướng dẫn giải: </b>

a) Theo đề bài, mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 7 mét và rộng 30 mét nên mặt cắt của phịng thì thầm là một nửa elip có <i>a</i>15,<i>b</i>7 nên <small>2222</small>

15 7 13,3

<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>    Vậy để hai người có thể “nói thì thầm với nhau” trong căn phịng này thì mỗi người cần đứng cách trung tâm của phịng xấp xỉ 13,3 mét

b) Vì âm thanh “thì thầm” từ một người đứng ở một tiêu điểm của phòng sau khi đến một điểm trên trần vòm elip sẽ cho tia phản xạ đến người đứng ở tiêu điểm còn lại nên quãng đường âm thanh đi được là <i>S</i><i>MF</i>₁<i>MF</i>₂2<i>a</i>30( )<i>m</i> <b>. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>Dạng 2: Bài toán thực tế sử dụng phương trình elip vào đo đạc </b>

<b> Phương pháp chung : Chọn hệ trục thích hợp, đưa bài tốn tính khoảng cách về bài </b>

tốn tìm hồnh độ và tung độ của một điểm thuộc elip.

<b>Bài tập 1. Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là </b><small>20m</small>, mặt cắt thẳng của đường hầm có dạng nửa elip như hình dưới. Biết rằng tâm sai của elip là <i><small>e</small></i><small>0,5</small>. Hãy tìm chiều cao của hầm đó (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).

<i><b> Bước 1: Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn: Tính chiều cao của hầm.  Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng 20m suy ra độ dài </i>

trục lớn là<small>20m</small>.Tìm chiều cao của hầm đó chính là tìm nửa độ dài trục nhỏ.  <i>Bài tốn hình học: Cho elip biết độ dài trục lớn là 20m, tâm sai của elip là </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Lại có: <small>22222</small>

10 5 75 5 3

Chiều cao của đường hầm là <i>h</i>5 38, 66m.

<i><b>Nhận xét: Từ bài tốn trên học sinh cần nhớ lại cơng thức tâm sai, qua đó tìm được mối </b></i>

<i>quan hệ giữa hai đại lượng tiêu cự và độ dài trục lớn. Bài tốn u cầu tìm chiều cao của </i>

<i><b>hầm thực chất là tìm độ dài trục nhỏ của elip. </b></i>

<i> Sau khi làm bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải quyết một số bài tốn thực tế như tính độ cao một số vật thể liên quan đến điểm thuộc elip trong thực tế sau đây </i>

<b>Bài tập 2. Một nhà vịm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 5m, rộng 20 m.Tính </b>

khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m lên đến nóc nhà vịm.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng </b></i>

từ một điểm cách chân tường 5m lên đến nóc nhà vịm.

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Cho nửa elip cao 5m tức là nửa độ dài trục nhỏ là 5m, rộng 20 m </i>

tức là độ dài trục lớn là 20m. Một điểm cách chân tường 5m từ đó ta suy ra hồnh độ của điểm đó. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m lên đến nóc nhà vịm tức là ta phải đi tìm tung độ của điểm đó rồi suy ra u cầu bài tốn.

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip biết độ dài trục lớn, nửa độ dài trục nhỏ, biết </i>

hoành độ của điểm M thuộc elip. Tính tung độ của điểm M.

<b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b>

Chọn hệ trục tọa độ <i><small>Oxy</small></i> với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Nhà vịm có dạng nửa elip nên có phương trình chính tắc của elip là

Điểm cách chân tường 5m tương ứng cách tâm 5m (vì từ tâm vòm đến tường là 10m). Thay <i>x</i>5 vào phương trình

<i><b>Tương tự bài tập 2 ta có bài tập 3; 4; 5 sau đây. </b></i>

<b>Bài tập 3 : Thang leo gợn sóng cho trẻ em trong cơng viên có hai khung thép cong hình nửa </b>

elip cao 100 cm và

khoảng cách giữa hai chân là 240 cm

a) Hãy chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình chính tắc của elip nói trên

b) Tỉnh khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chặn khung 20 cm lên đến khung thép.

<b> Hướng dẫn giải: </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

a) Gọi phương trình chính tắc của elip là <i>^x</i>₂  <i>^y</i>₂ 1

<i>ab</i> (<i><small>a b</small></i><small>,0</small>). Nửa hình elip cao 100 cm <small> </small><i><small>b</small></i> <small>100</small>

Khoảng cách giữa hai chân là 240 cm <small>2</small><i><small>a</small></i><small>240 </small><i><small>a</small></i> <small>120</small>

Vậy phương trình chính tắc của elip là

120 100

b) Điểm cách chân 20 cm có hồnh độ là <i>x</i> 120 20 100 

Thay vào phương trình ta có:

<b> Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm đó đến khung thép xấp xỉ 55cm. </b>

<i><b>Bài tập 4. (K10-HK2-THPT An Lạc- TP Hồ Chí Minh-2023) Trong bản vẽ thiết kế, vịm </b></i>

của ơ thống trong Hình bên là nửa nằm phía trên trục hồnh của elip có phương trình <small>22</small>

1 16 4

  . Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ơ thống tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoảng 75 cm.

<b> Hướng dẫn giải: </b>

Ta có 30 cm trên thực tế ứng với 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Nên 75 cm trên thực tế ứng với 75 : 30 = 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ. Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hồnh độ là 2,5, suy ra tọa độ M(2,5; y)

Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:

Khi đó chiều cao của ơ thống là:<i><small>h</small></i><small>1,56.3046,8</small> Vậy chiều cao của ơ thống khoảng 46,8 cm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>Bài tập 5 . Một nhà vòm có dạng nửa hình elip có nhịp dài 250 ft và chiều cao lớn nhất là </b>

50 ft. Có hai giá đỡ thẳng đứng cách đều nhau và cách trung điểm của nhịp 25 ft. Tìm chiều

<b>cao tại giá đỡ </b>

Có hai giá đỡ thẳng đứng cách đều nhau và cách trung điểm của nhịp 25 ftnêngọi điểm M trên elip thỏa mãn có hồnh độ là 25, suy ra tọa độ M(25; y)

Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:

Vậy chiều cao tại giá đỡkhoảng 49 ft

<i><b>Nhận xét: Các bài toán trên thực chất rèn kĩ năng tìm tung độ của một điểm thuộc elip khi </b></i>

<i>đã biết hoành độ của điểm đó. Để tìm tung độ chỉ cần thay hoành độ của điểm đó vào phương trình elip. </i>

<i>Sau đó để rèn kĩ năng tư duy và phân tích u cầu bài tốn giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán sau. </i>

<b>Bài tập 6. </b>

Một người kỹ sư thiết kế và một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là <small>12</small> mét, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 mét. Người kĩ sư này phải đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Một chiếc xe có chiều rộng bằng 3 mét thì chiều cao lớn nhất là bao nhiêu để xe tải có thể đi qua hầm được?

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn : Tính chiều cao lớn nhất có thể đi qua hầm.  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Chiều rộng của hầm là </i><small>12</small>mét tức là độ dài trục lớn là <small>12</small>mét, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 mét tức là nửa độ dài trục nhỏ là 3 mét. Một chiếc xe có chiều rộng bằng 3 mét tức là chiếc xe ở vị trí điểm M thuộc elip có hồnh độ là <i><small>x</small></i><small>1,5</small>. Tìm chiều cao lớn nhất của xe có thể đi qua hầm tức là đi tìm tung độ của điểm M.

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip biết độ dài trục lớn là </i><small>12</small>mét, độ dài trục nhỏ là 3 mét, điểm M thuộc elip có hồnh độ là <i><small>x</small></i><small>1,5</small><i>. Tìm tung độ của điểm M. </i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài tốn thực tế. </b></i>

Vì 2,781< 3 tức là chiều cao tối đa của xe tải nhỏ hơn chiều cao của hầm nên xe tải có thể đi qua được hầm.

<i><b>Tương tự bài tập 6 ta có bài tập 7 sau đây. </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<b>Bài tập 7.(K10-HK2-THPT Trần Khai Nguyên- TP Hồ Chí Minh-2023) Một đường </b>

hầm cho xe đi hai chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 10m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip đó.

b) Một chiếc xe tải có chiều rộng 2,2m và chiều cao 2,4m. Hỏi nếu xe đi đúng làn đường quy định thì có thể qua đường hầm khơng? Giả sử đường hầm luôn thắng và bề rộng vạch kẻ ngăn cách hai làn đường không đáng kể.

a)

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn : Viết phương trình chính tắc của elip đó.  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Chiều rộng của hầm là 10 mét tức là độ dài trục lớn là 10 mét, </i>

khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 mét tức là nửa độ dài trục nhỏ là 3 mét.

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip biết độ dài trục lớn là </i><small>12</small>mét, nửa độ dài trục

<i>nhỏ là 3 mét. Viết phương trình chính tắc của elip đó. </i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài tốn thực tế. </b></i>

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài toán : Hỏi nếu xe đi đúng làn đường quy định thì </b></i>

có thể qua đường hầm khơng?

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<i> Phân tích: Một chiếc xe tải có chiều rộng 2,2m xe ở vị trí điểm M có hồnh </i>

độ x = 1,1 nên để xe có thể đi qua được hầm thì chiều cao của xe phải nhỏ

<i>hơn tung độ của điểm M. </i>

 <i>Bài toán hình học: Cho elip có phương trình là </i>

<small>22</small> 1 25 9

<i>x</i>  <i>y</i>  _{. Cho điểm M}

thuộc elip có hồnh độ x = 1,1. Tìm tung độ của điểm M.

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài toán thực tế. </b></i>

Chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m tương ứng với x = 2,2 và chiều cao của cổng tại x = 2,2 phải lớn hơn 2,6 thì xe tải mới đi qua được.

Với những xe tải có chiều rộng là 3 mét, tương ứng với <i><small>x</small></i><small>1,1</small>. Thay vào phương trình của

<b>Bài tập 8. Cạnh cong của thảm cửa bên dưới là nửa hình elip, “nửa hình elip”. Như thể hiện </b>

trong hình bên dưới, cạnh phẳng của thảm cửa có kích thước 164 cm và khoảng cách từ tâm (trên cạnh phẳng) đến cạnh cong là 52 cm. Khoảng cách từ điểm P đến cạnh cong là 11 cm. Tìm khoảng cách từ P đến tâm.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Tìm khoảng cách từ P đến tâm.  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài toán hình học. </b></i>

<i> Phân tích: Cạnh phẳng của thảm cửa có kích thước 164 cm từ đó suy ra độ </i>

dài trục lớn là 164cm và khoảng cách từ tâm (trên cạnh phẳng) đến cạnh cong là 52 cm từ đó suy ra nửa độ dài trục nhỏ là 52cm. Khoảng cách từ

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

điểm P đến cạnh cong là 11 cm chính là tung độ của một điểm thuộc elip và

<i>khoảng cách từ P đến tâm chính là hồnh độ của điểm đó. </i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip có độ dài trục lớn là 164cm và nửa độ dài trục </i>

nhỏ là 52cm. Cho tung độ của một điểm thuộc elip là 11, tính hồnh độ của

<i>điểm đó. </i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Gọi phương trình chính tắc của elip là

Vì khoảng cách từ điểm P đến cạnh cong là 11cm nên gọi điểm M trên elip thỏa mãn có

<b>tung độ là 11, suy ra tọa độ M(x; 11) </b>

Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó :

Vậy khoảng cách từ P đến tâm khoảng 80,1 cm

<i><b>Nhận xét: Bài toán trên thực chất rèn kĩ năng tìm hồnh độ của một điểm thuộc elip khi đã </b></i>

<i>biết tung độ của điểm đó. </i>

<b>Dạng 3: Bài toán thực tế liên quan đến sự chuyển động của các hành tinh và khoảng </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Ta có <i>MF</i>₁ <i>ngắn nhất bằng a c</i> _{khi M trùng}<i>_A</i>₁_;<i>_MF</i>₁_{dài nhất bằng}<i>_{a c}</i>_ _{khi M trùng}<i>_A</i>₂

<b>Bài tập 1. </b>

Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh trái đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769266 km và

768106 km. Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng (làm tròn đến hàng đơn vị).

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách </b></i>

bé nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích : Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng chính là độ dài từ một </i>

điểm thuộc elip đến tiêu điểm và bằng độ dài <i>MF</i>₁ .Khoảng cách lớn nhất từ

<i>.Trái Đất đến Mặt Trăng bằng a c</i> (km). Khoảng cách bé nhất từ Trái Đất

<i>đến Mặt Trăng bằng a c</i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là </i>

769266 km và 768106 km.

<i><b> Bước 3 : Giải bài toán Hình học và suy ra u cầu bài tốn thực tế. </b></i>

Gọi phương trình của elip là

Khoảng cách lớn nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng bằng <i>a c</i> 405748 (km). Khoảng cách bé nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng bằng <i>a c</i> 363518 (km)

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<i>Sau khi làm bài tập trên giáo viên có thể tăng độ khó với giả thiết phức tạp hơn bằng bài tập sau đây. </i>

<b>Bài tập 2. Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương “dẹt” hơn so với </b>

quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời. Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là

<i><small>590 635 10 km</small></i><small></small> . Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov).

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách </b></i>

xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời bằng a c</i> (km). Khoảng cách gần nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời

<i>bằng a c</i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip biết nửa độ dài trục lớn , biết tâm sai. Tìm a và c </i>

rồi suy ra yêu cầu bài toán.

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F<small>1</small> của elip, đơn vị trên các

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là <i>M x y</i>



;



.

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là <i>MF</i>₁.

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời

46520,06.10 <i>km và</i> 734749,94.10 <i>km</i>.

<i><b>Tương tự bài tập 2 ta có bài tập sau đây : </b></i>

<b>Bài tập 3. </b>

Quỹ đạo của sao hỏa là elip có bán trục lớn 227,9triệu km, tâm sai <i>e</i>0, 0934 và quay quanh mặt trời một vòng hết <small>687</small> ngày. Định luật Kepler thứ hai khẳng định rằng: đường nối một hành tinh với mặt trời quét qua những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Biết rằng diện tích của elip có các bán trục <i>a b</i>, bằng <small></small><i><small>ab</small></i>, tính diện tích mà đường nối sao hỏa và mặt trời quét qua trong 1 giây.

<b> Hướng dẫn giải: </b>

Ta có <i>e</i>  <i>^cc ea</i>21,282586

<small>22</small> 226,9

<i>ba c</i> , diện tích của elip giới hạn bởi quỹ đạo của sao hỏa: <i>S</i>.227,9.226,9.10<small>12</small>162453,3583.10<small>12</small>.

Diện tích qt trong 1 giây là 2737 triệu km<small>2</small> 687.24.3600

.

<b>Bài tập 4. (K10-HK2-TH Thực hành ĐHSP- TP Hồ Chí Minh-2023) Xét một điểm trên </b>

quỹ đạo elip của vật thể bay xung quanh Mặt Trăng, điểm gần Mặt Trăng nhất gọi là điểm cận nguyệt, điểm xa Mặt Trăng nhất gọi là điểm viễn nguyệt. Tàu du hành vũ trụ Apollo 11 chuyển động quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo elip với độ cao của điểm cận nguyệt là 110km (khoảng cách từ điểm cận nguyệt đến bề mặt Mặt Trăng) và độ cao của điểm viễn nguyệt là 314km (khoảng cách từ điểm viễn nguyệt đến bề mặt Mặt Trăng) (hinh 10.3). Trong mặt phẳng Oxy (như hình 10.3), viết phương trình chính tắc của elip, biết bán kính của Mặt Trăng là 1737 km và tâm của Mặt Trăng là một tiêu điểm của elip.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn : Viết phương trình chính tắc của elip  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Từ giả thiết suy ra được mối quan hệ giữa a, c, R </i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho elip biếta c R</i>  110;<i>a c R</i>  314.Viết phương

<i>trình chính tắc của elip. </i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Vì bán kính của Mặt Trăng là 1737 km nên R= 1737

Tàu du hành vũ trụ Apollo 11 chuyển động quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo elip với độ cao của điểm cận nguyệt là 110km (khoảng cách từ điểm cận nguyệt đến bề mặt Mặt Trăng) và độ cao của điểm viễn nguyệt là 314km (khoảng cách từ điểm viễn nguyệt đến bề mặt Mặt

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<b>Bài tập 5. </b>

Biết quỹ đạo của trái đất quay quanh mặt trời là elip và mặt trời là một trong hai tiêu điểm,khoảng cách lớn nhất giữa trái đất và mặt trời là 152 triệu km, khoảng cách nhỏ nhất giữa trái đất và mặt trời là 147 triệu km. Hãy viết phương trình chính tắc của

 

<i>E</i> là quỹ đạo trái đất quay quanh mặt trời.

<b> Hướng dẫn giải: </b>

Ta có khoảng cách xa nhất giữa mặt trời và trái đất là <i><small>a c</small></i><small> 152</small>_{triệu km và} khoảng cách ngắn nhất là <i><small>a c</small></i><small> 147</small>_{triệu km. Từ đó, ta dễ dàng tìm được}

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xơ (cũ) phóng từ Trái đất năm 1957 . Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (<small>1</small> dặm <small>1, 609km</small>). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000<b> dặm. </b>

<b> Hướng dẫn giải: </b>

Giả sử tâm trái đất là <i>F</i><small>1</small>



<i>c</i>; 0



, <i><small>M</small></i> điểm biểu thị cho vệ tinh trên đường elip. Khoảng cách từ <i><small>M</small></i> đến tâm trái đất là <i>MF</i>₁ <i>a^cx</i>

Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một

<i>đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<i>nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt </i>

trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng 93.000.000 dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là ⁵⁹

<b>Dạng 4: Các bài toán cực trị liên quan đến elip </b>

<b> Phương pháp chung : Giáo viên gợi ý các hình liên quan đến elip nên có độ dài các </b>

cạnh tính theo hồnh độ và tung độ của một điểm thuộc elip. Qua đó học sinh nhớ lại cơng thức tính diện tích tam giác, diện tích hình chữ nhật và sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm diện tích lớn nhất.

<b>Bài tập 1. </b>

Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng , độ dài trục bé bằng . Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ. Hỏi diện tích trồng

<b>hoa lớn nhất có thể là? </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là?  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học. </b></i>

 <i>Bài tốn hình học:Cho elip có độ dài trục lớn bằng </i> , độ dài trục bé bằng . Cho hình chữ nhật nội tiếp của elip .Tính diện tích hình chữ nhật lớn

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Gọi là một đỉnh của hình chữ nhật mà có , .

;

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất là .

<i><b>Tương tự bài tập 1 ta có bài tập sau </b></i>

<b>Bài tập 2. </b>

Ơng Thanh có một mảnh vật liệu hình elip với trục lớn, trục nhỏ có độ dài <i><small>80cm</small></i> và <i><small>60cm</small></i>. Ơng Thanh muốn cắt một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục của elip và các đỉnh của hình chữ nhật thuộc elip. Tính tỉ số <i>MN</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Giả sử <i>M x y</i>

 

, , <i>S_MNPQ</i> 4<i>xy</i>, theo bất đẳng thức Cosi ta có

Gia chủ có một miếng đất có hình elip với độ dài trục lớn bằng 2 6 m, độ dài trục nhỏ bằng <small>2 m</small>. Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân <i>OAB</i> (tham khảo hình vẽ) với

<i>điểm O là tâm của elip, các điểm <small>A</small></i> và <i><small>B</small></i> thuộc đường elip nói trên. Tính diện tích trồng

<b>hoa lớn nhất ? </b>

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Diện tích trồng hoa lớn nhất ?  Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

 <i>Bài tốn hình học: Elip với độ dài trục lớn bằng </i>2 6 m, độ dài trục nhỏ bằng <small>2 m</small><i>.Cho tam giác cân OAB với điểm O là tâm của elip, các điểm <small>A</small></i>

và <i><small>B</small></i><b> thuộc đường elip nói trên. Tính diện tích lớn nhất của tam giác? </b>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra yêu cầu bài toán thực tế. </b></i>

Chọn hệ trục toạ độ như

 

<i>Oxy như hình vẽ. </i>

Khi đó phương trình đường elip là (E): ² ² 1. 6 1

<i>x</i>  <i>y</i> 

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Không mất tổng quát, ta chọn điểm <i><small>A</small></i> và <i><small>B</small></i> thuộc

 

<i>E sao cho điểm <small>A</small></i> và <i><small>B</small></i>

<i>có hồnh độ dương. Do tam giác OAB cân tại O suy ra <small>A</small></i> đối xứng với <i><small>B</small></i> qua

<b>CHUYÊN ĐỀ 2 : ĐƯỜNG HYPEBOL </b>

<b>Dạng 1: Bài toán thực tế sử dụng định nghĩa, sự tạo thành hypebol, phương trình hypebol cơ bản </b>

<b> Phương pháp chung: Khai thác giả thiết để viết phương trình hypebol từ đó suy ra </b>

u cầu bài toán thực tế

<b>Bài tập 1 . Các đường cong hình bên mơ tả hiện tượng giao thoa khi hai sóng gặp nhau, với </b>

các đường cong tạo thành được gọi là các vân giao thoa có hình dạng là các đường hypebol.

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Hãy lập phương trình đường hypebol của2 vân giao thoa ngồi cùng đi qua A và B như hình vẽ, biết AB = 24, đường hypebol có tiêu cự bằng 13.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn : Hãy lập phương trình đường hypebol của2 </b></i>

vân giao thoa ngoài cùng đi qua A và B như hình vẽ

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Biết <small>AB</small></i> <small> 24</small><i>_{từ đó suy ra a}</i>

 <i>Bài tốn hình học: Cho hypebol biết <small>AB</small></i> <small> 24</small>, đường hypebol có tiêu cự

<i>bằng 13. Hãy lập phương trình đường hypebol </i>

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài toán thực tế. </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

<b>Bài tập 2 . Hình dưới đây là một tấm giấy hình chữ nhật kích thước </b>12 dm x 8dmtrên đó có một đường trịn và hai nhánh của một hypebol. Tính tiêu cự của hypebol.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu u cầu của bài tốn : Tính tiêu cự của hypebol.  Bước 2: Chuyển bài toán thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Từ hình vẽ suy ra toạ độ đỉnh của hypebol và điểm thuộc </i>

hypebol.

 <i>Bài tốn hình học: Cho hypebol có toạ độ đỉnh và điểm thuộc Hypebol.Tính </i>

tiêu cự của hypebol.

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài toán thực tế. </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Xây dựng hệ trục toạ độ <i>Oxy</i> như hình trên, trong đó 1dm ứng với 1 đơn vị. Gọi hypebol đã cho là

 

<i>H</i> .

Trước tiên thấy các đỉnh của

 

<i>H</i> lần lượt là <i>A</i>



_4; 0 ,



<i>A</i>

 

4; 0 _{do đó phương trình}

<i><b>Nhận xét : Hai bài toán trên thực chất sử dụng định nghĩa để viết phương trình hypebol. </b></i>

<i>Khai thác giả thiết học sinh dễ dàng suy raa</i> ; ; <i>bctừ đó suy ra phương trình hypebol cơ bản. Sau đó giáo viên có thể cho học sinh làm các bài tập với yêu cầu khai thác giả thiết phức tạp hơn. </i>

<b>Bài tập 3. Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm </b>

tiêu điểm. Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là <small>8</small>

<small>2 . 10 </small><i><small>km</small></i><small>.</small>

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

b) Lập cơng thức tính bán kính qua tiêu của vị trí <i>M x y</i>

 

; của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

<i><b> Bước 1 : Tìm hiểu yêu cầu của bài tốn : Lập phương trình chính tắc của (H). Lập </b></i>

cơng thức tính bán kính qua tiêu của vị trí <i>M x y</i>

 

; của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

<i><b> Bước 2: Chuyển bài tốn thực tế về bài tốn hình học: </b></i>

<i> Phân tích: Khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là </i> <small>8</small> phương trình chính tắc của (H). Tính bán kính qua tiêu của vị trí <i>M x y</i>



;



của vật thể trong mặt phẳng toạ độ

<i><b> Bước 3 : Giải bài tốn Hình học và suy ra u cầu bài tốn thực tế. </b></i>

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F<small>2</small> của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là <i>^x</i>²₂ <i>^y</i>₂² 1;



<i>a</i> 0, 0



.

Gọi toạ độ của vật thể là <i>M x y</i>



;



.

Áp dụng cơng thức bán kính qua tiêu, ta có khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là

</div>