<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI</b>

<b>Các biện pháp khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.Lấy ví dụ minh họa.</b>

<b>Nhóm : 01</b>

<b> Lớp học phần : 231_AMAT0411_03 GV hướng dẫn : Đàm Thị Thu Trang</b>

<b>Hà Nội, 2023</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>MỤC LỤC</b>

1.1.1. Giới thiệu chung về hiện tượng phương sai của sai số thay đổi 4 1.1.2. Hậu quả của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi 6

<b>1.2. Các cách phát hiện hiện tượng phương sai của sai số thay đổi6</b>

<b>1.3. Các biện pháp khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi12</b>

1.3.1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát 12

<b>CHƯƠNG 4: KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY </b>

<small>2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>LỜI MỞ ĐẦU</b>

Trong việc tính tốn các giá trị bình phương tối thiểu thơng thường (OLS) cũng như các giá trị ước lượng cực đại (MLE), chúng ta đã thiết lập giả thiết cho rằng các số hạng sai số U_i có phân phối giống nhau với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai δ₂. Gìả thuýết phương sai bằng nhau được hiểu là phương sai của sai số khơng đổi ( có nghĩa là phân tán như nhau). Phương sai 2 là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của các số hạng sai số t, xung quanh giá trị trung bình 2ero. Một cách tương đương, đó là đại lượng đo lường mức độ phân tán của các giá trị biến phụ thuộc quan sát được (Y) xung quanh đường hồi quy β<small>1</small>+β<small>2</small>Y<small>2</small>+...+β<small>k</small>Y<small>k</small>. Phương sai của sai số không đổi có nghĩa là mức độ phân tán như nhau cho tất cả các quan sát.

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp thơng thường có liên quan đến dữ liệu chéo, giả thuyết này có thể sai gây ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. Trong thống kê, một chuỗi các biến ngẫu nhiên là phương sai thay đổi, nếu các biến ngẫu nhiên có phương sai khác nhau. Thuật ngữ này có nghĩa là “phương sai khác nhau” và xuất phát từ tiếng Hy Lạp “hetero” (“khác nhau”) và “skedasis” (“phân tán”). Vì vậy, nhóm chúng tơi sẽ đi sâu vào nghiên cứu vấn đề khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

<small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT</b>

<b>1.1. Hiện tượng phương sai của sai số thay đổi </b>

1.1.1. Giới thiệu chung về hiện tượng phương sai của sai số thay đổi 1.1.1.1. Khái niệm

Khi nghiên cứu mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển, chúng ta đưa ra giả thiết rằng: phương sai của mỗi một ngẫu nhiên U trong điều kiện giá trị đã cho của biến giải thích X<small>i i</small>

là khơng đổi nghĩa là

Var (U<small>i </small>|X<small>i</small>) = E[U – E(U<small>ii</small>)]<small>2</small> = E(U =

Hình 1.1. Phương sai của sai số không đổi.

Ngược lại trường hợp trên là trường hợp: phương sai có điều kiện của Y thay đổi<small>i</small>

khi Xi thay đổi, nghĩa là: E(U = <small>i</small>)<small>2</small> σ²<small>i</small> (trong đó các σ<small>i</small>² khác nhau). Thí dụ khi nghiên cứu các mối quan hệ giữa lỗi mắc phải do đánh máy trong một thời kỳ đã cho với số giờ thực hành, thì người ta nhận thấy số giờ thực hành đánh máy càng tăng thì lỗi sai trung bình mắc phải càng giảm. Điều này mô tả bằng đồ thị dưới đây:

<small>4Mật độ </small> _f(u)

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Hình 1.2. Phương sai của sai số thay đổi. Xét mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển nhiều biến:

Y = β + β<small>12</small>X<small>2i</small> + β<small>3</small>X<small>3i</small>+. . . +β<small>k</small>X<small>ki</small> + U<small>i</small>

Các giả thiết cơ bản của moo hình hồi quy nhiều biến:

<b>● Giả thiết 1. Các biến giải thích X (j = 2, k) là xác định</b><small>j</small>

<b>● Giả thiết 2. E(U</b><small>i</small>) = E (U|X ) = 0, <small>i</small> ∀i

<b>● Giả thiết 3. E(U</b><small>i</small>.U<small>j</small>) = {σ<small>2</small>

(∀ i= j)0 (∀ i≠j)

<b>● Giả thiết 4. Hạng ma trận X bằng k: rank(X) = k● Giả thiết 5. Ui ~ N (0,</b>σ<small>2</small>) ( i)∀

Xảy ra khi giả thuyết Var (U ) = <small>i</small> σ<small>2</small>, i bị vi phạm, tức là:∀ Var (U ) = <small>i</small> σ²<small>i</small> với σ<small>i</small>²là khác nhau 1.1.1.2. Nguyên nhân

Phương sai thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau:

- Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: có nhiều mối quan hệ kinh tế đã chứa đựng hiện tượng này. Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thơng thường thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng.

- Do kỹ thuật thu nhập số liệu được cải tiến,σ<small>2</small> dường như giảm. Kỹ thuật thu thập số liệu càng được cải tiến, sai lầm phạm phải càng ít hơn.

- Do con người học được hành vi trong quá khứ. Chẳng hạn, lỗi của người đánh máy càng ít nếu thời gian thực hành ngày càng tăng...

<small>5</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

- Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi có các quan sát ngoại lai. Quan sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) với các quan sát khác nhau trong mẫu. Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sát này có ảnh hưởng rất lớn đến phân tích hồi quy.

- Một ngun nhân khác là mơ hình định dạng sai. Có thể do bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải thích của hàm là sai.

1.1.2. Hậu quả của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

β<small>j</small> vẫn là các ước lượng tuyến tính, khơng chệch nhưng khơng còn là ước lượng hiệu quả của β<small>j</small>.

Var (^_β_j) là các ước lượng chệch nên do đó khoảng tin cậy và các kiểm định dựa trên thống kê T và F khơng cịn đáng tin cậy.

<b>1.2. Các cách phát hiện hiện tượng phương sai của sai số thay đổi</b>

Như chúng ta đã thấy về mặt lý thuyết thì dễ dàng chỉ ra hiệu quả của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi, nhưng việc phát hiện ra hiện tượng này trong thực tế thì cũng khơng phải là vấn đề đơn giản. Vì sao vậy? Bởi vì chúng ta biết được σ<small>i</small>² chỉ khi chúng ta có toàn bộ tổng thể tương ứng với những giá trị X được chọn. nhưng điều này hầu như hiếm xảy ra, nghĩa là chúng ta ít khi có được tồn bộ tổng thể để nghiên cứu. Như vậy chúng ta chỉ có những giá trị đơn của Y ứng với những giá trị đã cho của biến X, và ta lại khơng có cách nào để xác định phương sai σ²<small>i</small> từ giá trị đơn của Y. Vậy thì làm thế nào để phát hiện ra phương sai của sai số thay đổi? Chúng ta khơng có một phương pháp chắc chắn để phát hiện ra phương sai của sai số thay đổi. Chúng ta chỉ có vài cơng cụ chuẩn đốn để có thể giúp chúng ta phát hiện ra hiện tượng này. Sau đây chúng ta sẽ xét một vài cách chuẩn đoán.

1.2.1. Phương pháp đồ thị của phần dư

Đồ thị của sai số hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán ^

sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi hay khơng. Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân giải phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương phương sai hằng số có thể khơng được thỏa mãn.

Phần dư e<small>i</small> là ước lượng của sai số ngẫu nhiên U nên dựa vào đồ thị <small>i</small> e<small>i</small> (hoặc e<small>i</small>²) theo một biến giải thích X hay theo <small>j</small> ^_Y (mơ hình hồi quy nhiều biến) ta có kết luận: Nếu

<small>6</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

với các giá trị khác nhau của Xj, độ rộng của dải đồ thị thay đổi thì có thể nói mơ hình xảy ra hiện tượng phương sai sai số thay đổi.

Hình 1.3. Đồ thị của sai số phần dư.

Ví dụ: Sau đây là biểu hiện quan hệ của chỉ tiêu cho tiêu dùng (Y) về thu nhập (X) hàng tháng của 20 hộ gia đình ở một vùng nơng thơn.

<small>Gia đìnhChi tiêu YThu nhập XGia đìnhChi tiêu YThu nhập X</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Các giá trị dự đốn và phần dư được tính theo bảng trên. Bảng sắp xếp theo thứ tự giá trị các quan sát tăng dần từ nhỏ đến lớn và các phần dư tương ứng.

Biểu đồ phần dư đối với X cho chúng ta thấy rằng độ rộng của biểu đồ rải tăng lên khi X tăng, cho nên có chứng cứ để cho rằng phương sai của sai số thay đổi khi X tăng. Chú ý rằng đôi khi người ta vẽ đồ thị của phần dư bình phương đối với X.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Trong đó v<small>i</small> là số hạng nhiễu ngẫu nhiên.

Vì σ²<small>i</small> là chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng e thay cho <small>2 </small> σ²<small>i</small> và ước lượng hồi sau:

ln e²<small>i</small>=ln σ<small>2</small>+α<small>2</small>ln X<small>i</small>+v<small>i</small>=α<small>1</small>+ α<small>2</small>ln X<small>i</small>+v

Trong đó α<small>1</small>=ln σ<small>i</small>²,e<small>i</small>² thu được từ hồi quy gốc

Như vậy để thực hiện kiểm định Park ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. Ước lượng hồi quy gốc, cho dù có hoặc khơng tồn tại hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

2. Từ hồi quy gốc thu được các phần dư e<small>i</small> sau đó bình phương chúng được e<small>i</small>² rối đến lấy ln e²<small>i</small>.

3. Ước lượng hồi quy ln e²<small>i</small>=α<small>1</small>+α<small>2</small>ln X<small>i</small>+v<small>i</small> trong đó biến giải thích (X ) là biến giải<small>i</small>

thích trong hồi quy gốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích, hoặc có thể ước lượng hồi quy đối với ^{^}Y làm biến giải thích, trong đó ^_Y_i là Y đã được ước lượng.<small>i</small>

4. Kiểm định giả thiết H : <small>0</small> α<small>2</small> = 0 nghĩa là khơng có hiện phương sai của sai số thay đổi. Nếu có tồn tại mối liên hệ có ý nghĩa về mặt thống kê giữa ln e và ln X thì giả thiết H : <small>0</small> α₂ = 0 có thể bác bỏ, trong trường hợp này ta phải tìm cách khắc phục. 5. Nếu giả thiết H : <small>0</small> α₂ = 0 được chấp thuận thì α₁ trong hồi quy

ln e²<small>i</small>=ln σ<small>2</small>

+α<small>2</small>ln X<small>i</small>+v<small>i</small>=α<small>1</small>+α<small>2</small>ln X<small>i</small>+v có thể được giải thích như là giá trị của phương sai phơng đổi (α<small>1</small>=lnσ<small>2</small>).

Ví dụ: Cho bảng kết quả kiểm định Park, với mức ý nghĩa 5% phát hiện hiện tượng phương sai của sai số thay đổi trong mơ hình.

Dependent Variable: LOG(E^2) Method: Least Squares Sample:1 12

Included observations: 12

<small>VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.</small>

<small>9</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small> C-5.2626880.530118-9.9273850.0000LOG(YF)3.6565010.19049019.195260.0000R-squared0.973577Mean dependent var 4.898775Adjusted R-squared0.970935S.D. dependent var 0.570731</small>

Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park. Sau khi thu được phần dư e<small>i</small>

từ hồi quy theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, Glejser đề nghị hồi quy giá trị tuyệt đối của e<small>i</small>,

|

e<small>i</small>

|

đối với biến X nào mà có thể có kết hợp chặt chẽ với σ²<small>i</small>. Trong thực nghiệm Glejser sử dụng các hàm sau:

Giả thiết H trong trường hợp đã nêu trên là khơng có phương có phương sai của<small>0</small>

sai số thay đổi, nghĩa là H : <small>0</small> α₂ = 0. Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thể có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. Cần lưu ý rằng kiểm định Glejser cũng có vấn đề như kiểm định Park. Goldfield và Quant đã chỉ ra rằng sai số v<small>i</small> trong hồi quy của Glejser có

<small>10</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

một số vấn đề như giá trị kỳ vọng của nó khác khơng, nó có tương quan trong chuỗi. Tuy nhiên Glejser đã cho rằng trong mẫu lớn thì 4 mơ hình cho ta kết quả tốt trong việc vạch ra hiện tượng phương sai của sau số thay đổi. Do vậy mà kiểm định Glejser được sử dụng như là một công cụ để chuẩn đốn trong mẫu lớn.

Ví dụ: Cho bảng kết quả kiểm định Glejser, với mức ý nghĩa 1% phát hiện hiện tượng phương sai của sai số thay đổi trong mơ hình.

Dependent Variable: ABS(E) Method: Least Squares <small>R-squared0.970256Mean dependent var 12.02180Adjusted R-squared0.967282S.D. dependent var 3.445224S.E. of regression0.623177Akaike info criterion 2.043038Sum squared resid3.883490Schwarz criterion 2.123856Log likelihood-10.25823Hannan-Quinn criter 2.013116F-statistic325.2060Durbin-Watson stat 2.591811</small>

Kiểm tra khuyết tật phương sai các sai số ngẫu nhiên thay đổi trong trường hợp U_i

không phân phối chuẩn.

<small>11</small>

</div>