Phương pháp tiếp cận giải thuật di truyền cho bài toán xếp lịch học trong đào tạo tín chỉ với tham số ràng buộc mờ dựa trên đại số gia tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.26 MB, 33 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

HỌC VIEN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THONG

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CAN GIẢI THUẬT DI TRUYEN CHO BÀI

TỐN XÉP LICH HỌC TRONG ĐÀO TẠO TÍN CHÍ VỚI THAM SO RÀNG BUỘC MỜ DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ

Chuyên ngành: Hệ thống thông tin Mã số: 60.48.01.04

TOM TAT LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI -2015

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>Luan van duoc hoan thanh tai:</small>

<small>HỌC VIEN CONG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THONG</small>

<small>Người hướng dẫn khoa học: ...Tién sĩ Dương Thăng Long</small>

<small>nghệ Bưu chính Viễn thơng</small>

<small>- Thư viện của Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hiện nay, giáo dục nước ta ngày càng phát triển, có nhiều trường học và số

lượng học sinh, sinh viên ngày càng tăng. Vì vậy, việc lập kế hoạch đào tạo cho các

<small>trường học là một công việc quan trọng. Đặc biệt, từ năm 2010, Bộ Giáo dục và Đào</small>

tạo đã chính thức yêu cầu các trường đại học và cao đắng “chuyền sang đảo tạo theo hệ thống tín chỉ” khiến việc lập kế hoạch đảo tạo trong trường đại học, cao đăng có nhiều thay đơi và trở thành một gánh nặng.

Bài tốn lập lịch nói chung và xếp lịch học nói riêng là một bài toán kinh điển

thuộc lớp bài toán tối ưu ràng buộc, với mức độ NP khó [9]. Trong nhiều thập miên qua

đã có rất nhiều các phương pháp được đưa ra dé giải quyết như giải thuật nhánh cận, giải thuật leo đồi, giải thuật luyện thép, giải thuật xấp xi... Tuy nhiên, các giải thuật

này thường không có tính tổng qt và chỉ áp dụng hiệu quả đối với các trường hợp đặc

biệt với các hạn chế nhất định được đặt ra, ít ràng buộc về mặt dữ liệu.

Trong những năm gần đây, đã có nhiều phát triển phong phú của giải thuật di truyền đã mang đến những phương pháp mới khá hay và linh hoạt dé giải quyết bài tốn xếp lịch học, trong đó có phương pháp tiếp cận giải thuật di truyền cho bài toán xếp lịch học với tham số ràng buộc mềm được áp dụng theo độ đo mờ. Với đề tài “Phương pháp tiếp cận giải thuật di truyền cho bài tốn xếp lịch học trong đảo tạo tín chỉ với tham số ràng buộc mờ dựa trên đại số gia tử” em xin mạnh dạn nghiên cứu va giới thiệu một phương pháp cho việc giải các bài toán xếp lịch đào tạo tín chỉ cho các

<small>trường đại học.</small>

<small>2. Mục đích nghiên cứu</small>

Nghiên cứu, tìm hiểu giải thuật di truyền và phương pháp áp dung dé giải quyết bài toán xếp lịch. Nghiên cứu về bài toán xếp lịch, phân tích các ràng buộc với tham số ràng buộc mềm được áp dụng theo độ đo mờ và ứng dụng giải thuật để giải quyết một

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

số bài tốn lập lịch, trên cơ sở đó tiếp cận đề giải bài tốn thời khóa biểu theo hệ tín chỉ

và xây dựng ứng dụng hiệu quả và thiết thực.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

<small>Phương pháp nghiên cứu</small>

Thu thập, khảo sát và hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu đã có về vấn đề ứng

dụng giải thuật di truyền cho bài toán lập lịch.

Nghiên cứu các mơ hình lý thuyết, các thuật tốn kết hợp lập trình thử nghiệm trên máy tính. Đưa vào ứng dụng trong thực tế để so sánh và đánh giá hiệu quả của

<small>phương pháp.</small>

4. Cấu trúc luận văn

Chương 1 - TONG QUAN VÀ KIEN THỨC CƠ SỞ

Giới thiệu bài toán lập lịch, trình bày các khái niệm, định nghĩa liên quan đến lớp bài tốn lập lịch. Trình bày các kiến thức cơ sở về giải thuật di truyền, tập mờ và

đại số gia tử và tình hình nghiên cứu hiện nay.

Chương 2 - PHƯƠNG PHÁP TIẾP CAN GIẢI THUAT DI TRUYEN CHO

BÀI TOÁN XEP LICH HỌC VỚI THAM SO RÀNG BUỘC MỜ DỰA

TREN ĐẠI SO GIA TU

Chuong 2 giai quyét bai toán xép lịch hoc với tham số ràng buộc mờ dựa trên đại số gia tử bang việc mã hóa cá thể, đánh giá độ phù hợp và trình bày các giải thuật di truyền áp dụng.

Chương 3 - UNG DUNG THU NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIA KET QUA

Áp dụng các kiến thức cơ sở và phân tích trong chương 1,2 để giải quyết bài

toán cụ thé.

Đánh giá phần mềm sau khi thử nghiệm với bài toán mẫu và bài toán xếp lịch

học thực tiễn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Chương 1 — GIỚI THIỆU BÀI TOÁN VÀ MOT SO KIEN THUC

CƠ SỞ

1.1. Bài tốn xếp lịch 1.1.1. Tìm hiểu chung

Bài tốn lập lịch có thể được định nghĩa một cách chung nhất là bài toán cấp

<small>phát nguồn lực, tài nguyên đề thực hiện tập hợp các công việc trong một chuỗi các tiến</small>

<small>trình trên cơ sở thời gian, tài nguyên và các ràng buộc đã được định san. Vì vậy việc</small>

lập lịch được xem như tìm kiếm một giải pháp tối ưu trong các điều kiện hạn chế. Người lập lịch có gắng thử đến mức tối đa sự sử dụng các cá thể, máy móc, nguồn lực, tối thiêu thời gian dé hồn thành tồn bộ q trình sắp xếp lịch.

1.1.2. Các đặc điểm của bài toán lập lịch

1.2. Bài tốn xếp lịch học tín chỉ và các ràng buộc

Thơng thường, các ràng buộc của bài toán cần thỏa mãn được chia thành hai

loại: Ràng buộc cứng và ràng buộc mềm. Những ràng buộc cứng phải chắc chắn được đáp ứng và thỏa mãn. Những ràng buộc cứng này bao gồm những yêu cầu sau đây:

(HI) Không được phép phân bổ một tài nguyên (giảng viên, phòng học) cho các sự

<small>kiện khác nhau (lớp tín chỉ) trong cùng một thời điêm.</small>

(H2) Các phòng học được gán cho một sự kiện (lớp tín chỉ) phải nằm trong bộ nguồn tài nguyên phù hợp dành cho sự kiện đó. Theo đó, một sự kiện được tơ chức trong một phịng phải có cơ sở hạ tang phù hợp dé có thé tổ chức sự kiện, ví dụ lớp học phịng

<small>máy, lớp học hội trường, v. v.</small>

(H3) Một sự kiện (lớp tín chỉ) chỉ được phân cơng một giảng viên nếu người đó có đủ

kiến thức và năng lực đáp ứng cho việc giảng dạy chun mơn của lớp đó.

<small>(H4) Giảng viên chỉ được phân công giảng dạy trong những khe thời gian có mặt làm</small>

việc tại trường, và sẽ được xác lập trước khi xếp lịch.

Mặt khác, các ràng buộc mềm với mong muốn thỏa mãn ở mức độ càng cao càng tốt và đáp ứng cho càng nhiều ràng buộc càng tốt, nhưng nó khơng phải là bắt

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

buộc cần phải đầy đủ cho một giải pháp lịch cu thé của bài toán. Một số ràng buộc

mềm thường được xem xét trong các nghiên cứu và triển khai như sau:

<small>(S1) Phân công giảng viên vào lớp sao cho chuyên môn giảng dạy ở lớp của giảng viên</small>

là ở mức chuyên gia càng cao càng tốt.

(S2) Ưu tiên phân công thời gian cho giảng viên đạt được mong muốn đã xác định.

(S3) Dam bảo yếu tô cân bằng cho các giảng viên khi phân công, tức số lớp tối thiểu và tối đa được phân công cần được ưu tiên.

(S4) Nên ưu tiên xếp các lớp tín chỉ có ràng buộc tiên quyết về chuyên môn vào cùng

một khe thời gian. Điều này nhằm làm tăng khả năng đăng ký cho nhiều sinh viên đối

với lịch được xếp.

(S5) Khả năng đăng ký học của mỗi sinh viên đối với lịch được xếp là cao nhất có thé. Điều này đặc biệt đáp ứng cho việc tổ chức đào tạo tin chỉ, lịch học các lớp tín chỉ được sắp xếp trước, sau đó sinh viên sẽ đăng ký tham gia học, thay vì cách xếp lịch

theo niên chế là dành cho từng lớp hành chính gồm các sinh viên cố định.

Ngoài ra, tùy theo đặc thù tổ chức đào tạo và yêu cầu của từng trường, các ràng buộc mềm có thé được điều chỉnh, bổ sung cho phù hợp với thực tẾ.

(3) X-q<i<p¡=o ƒm(h¡ c) = fm(c), trong đó c e{c~,c”}

(4) ) Š-a<i<p¿zo fm(hị x) = fm(x), với vee X

(5) Xịt g Mh) = ava YP, uh) = 8, với œ8 > 0 và z+ 8 =1

Định lý 2. [3] Cho X = (X, G, H, <) là DSGT tuyến tinh. Ta có các phát biểu sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

(1) Với t# eX, A(x) là tập sắp thứ tự tuyến tính.

(2) Nếu G là tập sắp thứ tự tuyến tính thì H(G) cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính. Trong DSGT tuyến tính, bố sung thêm vào hai phép tính 2 và Ø với ngữ nghĩa

là cận trên đúng và cận dưới đúng của tập A(x), khi đó DSGT tuyến tính được gọi là

DSGT tuyến tính đầy đủ.

<small>1.3.3. Định lượng ngữ nghĩa của DSGT</small>

1.4. Giải thuật di truyền

1.4.1.Giới thiệu giải thuật di truyền

Giải thuật di truyền cũng như các thuật tốn tiễn hố đều được hình thành dựa trên một quan niệm được coi là một tiên đề phù hợp với thực tế khách quan. Đó là quan niệm “Q trình tiễn hố tự nhiên là q trình hồn hảo nhất, hop lý nhất và tự nó đã

mang tinh tối vu". Q trình tiễn hố thể hiện tính tối ưu ở chỗ thế hệ sau bao giờ cũng

tốt hơn thế hệ trước.

Giải thuật di truyền dựa vào q trình tiễn hố trong tự nhiên nên các khái nệm và thuật ngữ của nó đều có liên quan đến các thuật ngữ của di truyền học:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

So đồ tổng thé của thuật toán di truyền nói chung được mơ tả như sau:

Hình 1. 1: Sơ đồ giải thuật di truyền 1.4.2. Các thành phần trong giải thuật di truyền

1.4.2.1. Mã hóa nhiễm sắc thể

Mã hóa bằng giá trị

1.4.2.2. Khởi tạo quần thể ban đầu

Khởi tạo quần thể ban đầu là bước đầu tiên trong giải thuật di truyền. Thông thường dé khởi tạo quần thể trong bải toán tối ưu, ta tạo ra một cách ngẫu nhiên các lời giải có thé (thường là các lời giải thỏa mãn ràng buộc của bài toán nhưng chưa biết là

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

đại lượng cần tối ưu đã là tối ưu hay chưa). Tuy vào từng bài tốn cụ thé mà ta có các

<small>phương pháp khởi tạo khác nhau. Ví dụ trong bài tốn BDMST, ta sẽ sinh ngẫu nhiên</small>

các DBST cịn trọng số thì có thé chưa quan tâm đến.

Chất lượng của quần thể ban đầu càng cao thì lời giải mà giải thuật di truyền

đưa ra càng tốt. Nếu trong bài toán cây khung ở trên mà ta tạo được các cây khung

trong quần thể ban đầu có trọng số càng thấp thì càng tốt. Do đó, trong nhiều giải thuật di truyền, thường sử dụng các giải thuật đã có dé giải bài tốn mà cho kết qua khá tốt dé khởi tao quan thé ban đầu.

1.4.2.3. Danh gia ca thé

Việc đánh giá cá thé (là biéu diễn lời giải ứng viên của bài toán) nhằm xác định mức độ tốt xấu của lời giải tương ứng đối với bài tốn. Thơng thường dé đánh giá cá thé, ta sử dung mot ham dé tính tốn ra một giá trị thực với mục đích đo lường độ phù

<small>hop của lời giải (fitness). Giá tri của hàm là giá tri độ phù hop.</small>

Hai lớp ham fitness thường được xem xét thiết kế sử dụng: một là hàm fitness không thay đổi cho mọi đánh giá cá thé; hai là hàm fitness có thé thay đối cấu trúc tính tốn trong q trình tiễn hóa.

Việc định nghĩa rõ ràng một hàm fitness là không đơn giản trong nhiều trường hợp và thường được thực hiện lặp đi lặp lại nếu lời giải ứng viên sinh bởi GA là không biểu diễn trực tiếp những ý đáp số của bài toán cần. Trong một số trường hop, nó là rat khó hoặc khơng thé đưa ra ngay cả với một dự đốn về những gì cần định nghĩa cho hàm fitness. Các thuật toán di truyền tương tác giải quyết khó khăn này bằng cách đưa đánh giá độ phù hợp cá thê của GA cho các bộ phận bên ngoài (thường là con người).

<small>1.4.2.4. Phương pháp chọn lọc</small>

Trong giải thuật di truyền quá trình chọn lọc tuỳ thuộc vào hàm mục tiêu, với những cá thé nào có hàm mục tiêu cao sẽ đại diện cho những cá thé tốt, thích nghi với mơi trường và có xác suất chọn lọc lớn. Tốn tử này có thể được xem như là quá trình

chọn lọc trong tự nhiên. Dưới đây là một số phương pháp chọn lọc:

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Cơ chế lựa chọn theo bánh xe Roulet được thực hiện bằng cách quay bánh xe

Roulet N lần. Mỗi lần chọn một nhiễm sắc thé từ quần thể hiện hành vào quần thể mới

bằng cách sau :

= Phát sinh ngẫu nhiên một số r trong khoảng [0,1].

= Néur< qi thi chon nhiễm sắc thé wị; ngược lại thì chọn nhiễm sắc thé thứ ¡ (2 <

Với co chế lựa chọn như thé này thì có một số nhiễm sắc thể sẽ được chọn nhiều

lần. Điều này phù hợp với lý thuyết lược đồ: Các nhiễm sắc thé tốt nhất thì có nhiều bản sao, nhiễm sắc thể trung bình thì khơng đổi ,, nhiễm sắc thể kém thì chết di .

Chọn lọc xếp hạng

Cơ chế lựa chọn xếp hạng được mô tả như sau:

= Sắp xép các nhiễm sắc thé trong quan thé theo độ thích nghỉ từ thấp đến cao.

= Đặt lại độ thích nghi cho quan thé đã sắp xếp theo kiểu: nhiễm sắc thé thứ nhất

<small>có độ thích nghi là 1, NST thứ hai có độ thích nghi là 2, . v. v., NST thứpop_size có độ thích nghi là pop_size.</small>

Theo phương pháp này việc một NST được chọn nhiều lần như trong lựa chọn theo kiểu bánh xe Roulet đã giảm đi. Nhưng nó có thé dẫn đến sự hội tụ chậm và NST có độ thích nghi cao cũng khơng khác may so với các NST khác.

Chọn lọc theo cơ chế lấy mẫu ngẫu nhiên Cơ chế lựa chọn:

= Biểu diễn xác suất chọn các NST lên trên một đường thắng.

= Đặt N điểm chọn lên đường thang. Cac diém chon nay cach nhau 1/N, diém dau

tiên đặt ngẫu nhiên trong khoảng [0,1/N]

= Với một điểm chon, NST gần với nó nhất về bên phải sẽ được chọn.

Phương pháp này có đặc điểm là các điểm chọn được phân bồ đều trên trục số, do đó sẽ

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Chọn lọc đấu tranh Cơ chế lựa chọn :

7 Lay một số NST trong quần thể, NST nao có độ thích nghi cao nhất được chọn. = Lap lại thao tác trên ý lần.

<small>1.4.2.5. Phương pháp lai ghép</small>

Lai ghép là việc trao đổi gen giữa các nhiễm sắc thé của hai bố mẹ. Trong trường hợp đơn giản, ta có thể nhận ra quá trình này bằng cách cắt hai chuỗi gen của bố mẹ tại một vị trí được chọn ngẫu nhiên và hốn đơi hai phần đi sẽ tạo hai cá thể con

Lai ghép đơn điểm cắt :

" Một điểm cắt được chon tại một vị trí thứ k trên NST.

=» Từ đầu NST đến vị trí k, NST con sao chép từ cha, phần còn lại sao chép

Lai ghép hai điểm cắt :

" Hai điểm cắt được chon.

= Từ đầu cho đến điểm cắt thứ nhất được sao chép từ cha, từ điểm cắt thứ nhất đến điểm cắt thứ hai sao chép từ mẹ và phần còn lại sao chép từ cha.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>" Xây dung NST mới: Duyệt qua mặt na, bit có gia tri một thì sao chép gentại vị trí đó từ NST cha sang con, bit có giá tri 0 thì sao chép từ me.</small>

= Mặt nạ được phát sinh ngẫu nhiên đối với từng cặp cha mẹ.

Lai ghép số học: NST con được tạo thành bằng cách thực hiện một phép tốn logic

nào đó như AND, OR, ... với cặp NST bố mẹ.

Mẹ : 10011101 i i a

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Con (AND): 10011001 i |

1.4.2.6. Toán tử đột biến

Phương pháp lai ghép sẽ tạo ra các cá thể con có sự thừa kế các thuộc tính của bố, me. Nhưng đối với phương pháp đột biến thì q trình sẽ có thé sinh ra cá thé con có thé khơng mang tính trang của bố, mẹ. Đột biến có thé sinh cá thé con có thé tốt hơn hoặc xấu hơn cá thể bố mẹ của nó, xác suất đột biến xảy ra thấp hơn lai ghép và đột

biến góp phần làm tăng quá trình hội tụ. Có nhiều phương pháp đột biến, tuỳ thuộc và

quá trình biểu diễn nhiễm sắc thể mà ta vận dụng đột biến phù hợp. Ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp đột biến như: Đột biến đảo ngược (Inversion Mutation), đột biến chèn (Insertion Mutation), đột biến thay thế (Displacement Mutation), đột biến tương hỗ (Reciprocal Exchange Mutation), đột biến chuyên dịch (Shift Mutation), ...

Đột biến đảo ngược: Tương ứng với nhiễm sắc thé chon, chon ngẫu nhiên một đoạn trong nhễm sắc thé và thực hiện hốn vị đoạn nhiễm sắc thé đó.

Ví dụ: Giả sử vi trí chọn đột biến bat đầu tại 4 có chiều dài 4 như sau: Nhiễm sắc thể: 268173549

Đột biến chèn: Phương pháp chọn ngẫu nhiên một gen ở vị trí bất kỳ trong nhiễm sắc thể và chèn vào vị trí ngẫu nhiên khác trong cùng nhiễm sắc thê.

Ví dụ: Nhiễm sắc thé: 942538761

Đột biến thay thế: La trường hợp mở rộng của đột biến chèn, với đột biến chèn thì chi chọn một gen và chèn vào vi trí thích hợp, đột biến thay thế chọn ngẫu nhiên một đoạn

Vidu: Nhiễm sac thé: 942538761 Thay thế đoạn: 953874261

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Đột biến chuyến dịch: Chọn ngẫu nhiên một gen và chuyển dich gen được

Vídụ: Nhiễm sắc thé: 942538761 Chuyền dịch sang trái: 9 4 5 2 3 8 7 6 1 Chuyén dich sang phải: 942358761

1.4.2.7. Điều kiện dừng của bai toán

Kết thúc cưỡng bức: Ta sẽ thực hiện GA để sinh ra số thế hệ đúng bằng một số đã được cho trước. GA sẽ dừng khi đã tạo đến thế hệ cuối cùng. Sử dụng phương pháp cưỡng bức có thể gây ra lãng phí thời gian nếu như các thế hệ sau gần như không tốt lên. Tuy nhiên, cơ chế kiểm sốt khơng phức tạp.

Kết thúc tự nhiên: Đến một thế hệ nào đó mà hàm thích nghi cho các con trong thế hệ đó khơng tốt hơn thì ta dừng giải thuật.

Phương pháp kết thúc này có cơ chế kiểm sốt phức tạp hơn nhưng biết chính

<small>xác khi nào dừng giải thuật.</small>

1.4.3. Sự khác biệt của giải thuật di truyền và các giải thuật khác

<small>Phương pháp vét cạn</small>

Phương pháp leo đơi và luyện thép

<small>Thuật tốn tham lam</small>

Giải thuật đi truyền

Các đặc trưng của giải thuật di truyền so với các phương pháp truyền thống:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Giải thuật làm việc với sự mã hoá của tập thông số chứ không làm việc với các

giá trị của các thơng số. Giải thuật tìm kiếm từ một quần thể các điểm chứ không phải từ một điểm.

Giải thuật chỉ sử dụng thông tin về các tiêu chuẩn tối ưu của hàm mục tiêu chứ

không dùng các thông tin hỗ trợ nào khác.

Giải thuật sử dụng các luật chuyển đổi mang tính xác suất chứ khơng phải là các luật chuyền đơi mang tính xác định.

<small>Giải thuật thường khó cai đặt, áp dụng. Tuy nhiên, không phải lúc nao cũng cho</small>

lời giải chính xác. Một số giải thuật di truyền có thé cung cấp lời giải tiềm năng cho

một bai toán xác định dé người sử dụng lựa chọn.

1.5. Một số nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho bài toán lập lịch

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Chương 2- PHƯƠNG PHÁP TIẾP CAN GIẢI THUẬT DI

TRUYEN CHO BÀI TOÁN XEP LICH HỌC VỚI THAM SO RÀNG BUỘC MỜ DỰA TREN ĐẠI SĨ GIA TU

2.1. Bài tốn xếp lịch với ràng buộc tham số mờ gia tử

<small>Trong mơ hình này tôi sử dụng các ký hiệu sau đây:</small>

n, - số lượng các sinh viên, {S,,5,...S,, | là tập các ký hiệu sinh viên.

Np - số lượng các khe thời gian, 7,7. S7, } là tập các ký hiệu khe thời gian.

buộc) gồm:

(H2) Ma trận CxR={ CR,, li=1,n¢, j =l,nạ } xác định mỗi lớp tín chỉ chỉ có thé

<small>phân cơng vào những phòng học nào, giá tri của ma trận nay là {0,1}.</small>

(H4, S2) Ma trận LxT={ L7,, 1k =1,m,,l =1,n; } cho biết mỗi giảng viên có thé có mặt và giảng dạy tại trường vào những khe thời gian nào trong tuần.

</div>