Luận văn không gian vectơ các đạo hàm của đa thức một biến

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (402.49 KB, 58 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HĨA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THANH HĨA - Năm 2023

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HĨA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN DŨNG

THANH HÓA - Năm 2023

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 916/QĐĐHHĐ ngày 26 tháng 04 năm 2023 của Hiệu trường Trường Đại học Hồng Đức.

Học hàm, học vị, họ và tênCơ quan công tácChức danh trong Hội đồng1. PGS.TS. Ngô Sỹ TùngTrường ĐH Hồng ĐứcChủ tịch hội đồng

2. TS. Trần Nam TrungViện Tốn họcUV Phản biện 13. TS. Hồng Đình HảiTrường ĐH Hồng ĐứcUV Phản biện 24. PGS.TS. Nguyễn Tiến QuangTrường ĐHSP Hà NộiUỷ viên

5. TS. Phạm Thị CúcTrường ĐH Hồng ĐứcThư ký

Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội đồng Ngày ... tháng ... năm 2023

(Ký, ghi rõ họ tên)

TS. Lê Xuân Dũng

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi, được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Lê Xuân Dũng. Các kết quả trình bày trong luận văn là trung thực, nội dung của luận văn không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan

Nguyễn Thị Hồng

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Xn Dũng. Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình, chu đáo, ln giúp đỡ cổ vũ nhiệt tình trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.

Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa, các thầy, cơ giáo, phịng sau Đại học và các phòng chức năng của trường Đại học Hồng Đức, đặc biệt là các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số và lý thuyết số K14 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù lớp chỉ 9 học viên nhưng đã cho tôi những trải nghiệm, không những trong tự học, tập dượt nghiên cứu khoa học mà còn là những phương pháp luận, thế giới quan khoa học, bản lĩnh nghiên cứu trong quá trình học tập và rèn luyện.

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tơi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các nhà khoa học, các thầy cơ giáo, anh chị và đồng nghiệp để luận văn được hồn chỉnh hơn. Trân trọng cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 05 năm 2023

Nguyễn Thị Hồng

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

1.4 Trị riêng, vectơ riêng . . . . 13

2 Không gian vectơ các đạo hàm của đa thức cùng một biến 16 2.1 Đa thức một biến . . . . 16

2.2 Đạo hàm của đa thức một biến . . . . 23

2.3 Nghiệm của đa thức và khai triển Taylor . . . . 27

3 Một số dạng toán về đạo hàm của đa thức một biến 29 3.1 Dạng tốn liên quan đến ánh xạ tuyến tính . . . . 29

3.2 Dạng toán liên quan đến nghiệm của đa thức . . . . 40

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Khái niệm đa thức là khái niệm cơ bản được học sinh phổ thông làm quen từ chương trình tốn trung học cơ sở, sau đó được luyện tập xun suốt trong chương trình tốn trung học phổ thơng. Hơn nữa, các dạng tốn về đa thức được sử dụng nhiều trong các chương trình thi học sinh giỏi các cấp đối với chương trình tốn trung học cơ sở, trung học phổ thơng và cả chương trình tốn đại cương của các chun ngành khác nhau trong bậc Đại học. Các dạng toán về đa thức trong các kì thi khá phong phú chẳng hạn như: đa thức hệ số nguyên, về tính khơng phân tích được, tính chất nghiệm của đa thức, đẳng thức và bất đẳng thức liên quan đến đa thức, đạo hàm của đa thức, phương trình hàm đa thức,...

Đặc biệt, trong thời gian gần đây, các bài toán về đạo hàm của đa thức một biến được khai thác nhiều trong các kì thì Olympic Tốn sinh viên tồn quốc mơn Đại số. Chính vì vậy, em chọn đề tài "Không gian vectơ các đạo hàm của đa thức một biến" để tìm hiểu về cấu trúc của không gian vectơ các đạo hàm cùng cấp của các đa thức cùng một biến trên trường số thực và một số dạng toán liên quan đến đạo hàm của đa thức một biến.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Tìm hiểu một số vấn đề không gian vectơ, đạo hàm của đa thức một

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Tìm hiểu một số đẳng thức, bất đẳng thức, nghiệm của đa thức,. . . liên quan đến đạo hàm của đa thức một biến.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đạo hàm của đa thức một biến. Phạm vi nghiên cứu: Không gian vectơ.

4. Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: đọc, nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng các kỹ thuật tính tốn, chứng minh đặc thù về khơng gian vectơ, đạo hàm của đa thức một biến.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Kết quả có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành Tốn.

6. Cấu trúc luận văn

Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 2. Không gian vectơ các đạo hàm của đa thức cùng một biến Chương 3. Một số dạng toán về đạo hàm của đa thức một biến

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính, trị riêng, vectơ riêng dựa vào các tài liệu [1], [3],[4], [5].

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu bởi α, β, γ, K là một trường số. Trên V có một phép tốn gọi là phép cộng hai phần tử của V (kí hiệu "+") và phép tốn thứ hai gọi là phép nhân một phần tử của V với một số thuộc trường K (kí hiệu "·"). Tập hợp V cùng với hai phép toán này được gọi là một không gian vectơ trên trường K (hay một K- không gian vectơ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn đối với mọi α, β, γ ∈ V và mọi r, s ∈ K.

(α + β) + γ = α + (β + γ). α + β = β + α.

Có một phần tử 0 ∈ V thỏa mãn điều kiện α + 0 = α, 0 được gọi là vectơ không.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Với mỗi α ∈ V có một phần tử, kí hiệu là −α cũng thuộc V thỏa mãn

Bổ đề 1.1.1. Giả sử V là một K- không gian vectơ. V chỉ có một vectơ khơng duy nhất.

Với mỗi α ∈ V , vectơ đối −α duy nhất. Với mỗi α ∈ V , −(−α) = α.

Với mỗi α ∈ V và r ∈ K, rα = 0 khi và chỉ khi r = 0 hoặc α = 0. Với mỗi α ∈ V và r ∈ K, ta có (−r)α = −(rα) = r(−α).

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử W là một tập hợp con của không gian vectơ V . Nếu W cũng là một khơng gian vectơ đối với hai phép tốn đã cho trong V thì W được gọi là một khơng gian con của V .

Định lý 1.1.2. Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K, W là một tập con của V . Các mệnh đề sau tương đương

W là một không gian con của V

W ̸= ∅ và với mọi α, β thuộc W , mọi r thuộc trường K, ta có α+β ∈ W , rα ∈ W .

W ̸= ∅ và với mọi α, β thuộc W , mọi r, s thuộc trường K, ta có rα + sβ ∈ W .

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Mệnh đề 1.1.3. Giả sử W1, W2, · · · , Wm là những không gian vectơ con của K- không gian vectơ V . Khi đó, tập hợp W = {α1+ α2+ · · · + αn|αi ∈ Wi{1, 2, · · · , m}} là một không gian con của V . Không gian này được gọi là tổng của m không gian con Wi đã cho và được kí hiệu bởi W1+ W2+

Suy ra, W là một không gian con của V .

Mệnh đề 1.1.4. Giả sử W1, W2, · · · , Wm là những không gian vectơ con của K- không gian vectơ V . Tập hợp U = ∩nj=1Wi là một không gian con của V và được gọi là giao của m không gian con Wi.

Định lý 1.1.5. Giả sử S = {α1, α2, · · · , αn} là một hệ vectơ của K không gian vectơ V . Khi đó tập hợp W = {r1α1+ r2α2+ · · · + rmαm|ri ∈ K, i ∈ {1, 2, · · · , m}} là một không gian con của V . W được gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ S, còn S được gọi là hệ sinh của W .

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Vậy W là một không gian con của V .

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử S = {α1, α2, · · · , αm} là một hệ vectơ của K-không gian vectơ V , (m > 0).

Nếu α = r1α1+ r2α2+ · · · + rm−1αm−1 + rmαm thì ta nói α là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S hay α biểu thị tuyến tính qua m vectơ đã cho.

Hệ vectơ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có m số r1, r2, · · · , rm−1, rm thuộc trường K, không đồng thời bằng 0, sao cho r1α1+ r2α2+ · · · + rm−1αm−1 + rmαm = 0

Hệ vectơ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó khơng phụ thuộc tuyến tính, nói cách khác, nếu r1α1+r2α2+· · ·+rm−1αm−1+rmαm = 0 thì r1 = r2 = · · · = rm−1 = rm = 0.

Định nghĩa 1.1.4. Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một khơng gian vectơ khác 0 được gọi là một cơ sở của nó. Khơng gian vectơ 0 khơng có cơ sở; hay có thể nói số vectơ trong cơ sở của không gian 0 bằng 0.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Định nghĩa 1.1.5. Số vectơ trong một cơ sở của K- không gian vectơ V được gọi là số chiều của V . Kí hiệu: dimKV . Nếu không cần chỉ rõ trường K cụ thể, ta có thể viết đơn giản là dim V .

Định lý 1.1.6. Nếu U, W là những không gian con của K- khơng gian vectơ V thì dim(U + W ) = dim U + dim V − dim(U ∩ W ).

. Giả sử dim U = p, dim W = q, dim(U ∩ V ) = r và

{ξ1, ξ2, · · · , ξr} (1.1) là một cơ sở của U ∪ V . Vì cơ sở này là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong U và trong W nên có thể bổ sung thành cơ sở là một cơ sở của U + V . Muốn thế, trước hết, ta chứng minh đó là một hệ sinh của U + W . Giả sử α = β + γ, với

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Hơn nữa, hệ độc lập tuyến tính. Vì vế trái là một vectơ trong U còn vế phải là một vectơ trong W . Cơ sở của U ∪ W là hệ (1.1) nên có thể viết

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử (ε) = {ε1, ε2, · · · , εn} là một cơ sở của K-không gian vectơ V , α ∈ V có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng

α = a1ε1+ a2ε2+ · · · + anεn, ai ∈ K, với mọi i ∈ {1, 2, · · · , n}.

Bộ n số số (a1, a2, · · · , an) được gọi là các tọa độ của α đối với cơ sở (ε). Thay cho lời nói α có các tọa độ là (a1, a2, · · · , an) ta viết α(a1, a2, · · · , an).

Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi φ : U → V là ánh xạ tuyến tính, nếu nó thỏa m¯an một trong hai điều kiện tương đương sau đây

i) φ(u + v) = φ(u) + φ(v), và φ(αu) = αφ(u).

ii) φ(αu + βv) = αφ(u) + βφ(v) với mọi u, v ∈ U và α, β ∈ K.

Nếu U = V thì φ được gọi là tốn tử tuyến tính hay tự đồng cấu. Nếu V = K thì φ được gọi là dạng tuyến tính.

Chú ý rằng trong định nghĩa trên dù được kí hiệu như nhau (bằng dấu "+" và viết liền nhau), nhưng ở vế trái là phép cộng và phép nhân vô hướng trong U , còn ở vế phải là phép cộng và phép nhân vô hướng trong V .

Hệ quả trực tiếp của định nghĩa trên là φ(0) = 0 và φ(−u) = −φ(u). Ví dụ 1.2.2. Cho U, V là các không gian vectơ trên K. Ánh xạ đồng nhất, id : V → V trên V là một ánh xạ tuyến tính. Để chỉ rõ V , ánh xạ này đơi khi cũng được kí hiệu là id V .

Mệnh đề 1.2.1. Cho φ : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i) Ảnh của các khơng gian con của U là không gian con của V , nghĩa là nếu U′ ⊆ U là không gian con, thì φ (U′) là khơng gian con của V .

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Nói riêng

Im(φ) := φ(U ) = {φ(u); u ∈ U }

là không gian con của V . Nó được gọi là ảnh của φ. Nếu Im(φ) có chiều hữu hạn, thì dim Im(φ) được gọi là hạng của φ và đuợc kí hiệu là rank(φ).

ii) Nghịch ảnh của các không gian con của V là không gian con của U , nghĩa là nếu V′ ⊆ V là khơng gian con, thì φ−1(V′) là khơng gian con của U . Nói riêng

Ker(φ) := φ−1(0) = {u ∈ U ; φ(u) = 0} là không gian con của U và đươc gọi là hạch của φ.

Ví dụ 1.2.3. Nếu p1 và p2 tương ứng là các phép chiếu V1× V2 lên V1 và V2, thì Ker (p1) = {(0, v); v ∈ V2} , Im (p1) = V1, còn Ker (p2) = {(v, 0); v ∈ V1} , Im (p2) = V2. Các khái niệm ảnh và hạch của ánh xạ tuyến tính đặc biệt hữu ích để chứng minh nó là tồn ánh hay đơn ánh. Cụ thể

Mệnh đề 1.2.2. Cho φ : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) φ là đơn cấu khi và chi khi Ker(φ) = 0.

ii) Giả sứ dim V hữu hạn. Khi đó φ là tồn ánh khi và chỉ khi rank(φ) = dim V .

Các tính chất liên quan đến tính độc lập tuyến tính, cơ sở được tổng kết như sau:

Mệnh đề 1.2.3. Cho φ : U → V là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) Ảnh của một tập phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

ii) Hệ phần tử trong U có các ảnh khác nhau và độc lập tuyến tính là độc lập tuyến tính.

iii) φ là toàn ánh khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của U là một hệ sinh của V .

iv) φ là đơn ánh khi và chỉ khi ảnh của các vectơ của một cơ sở của U là khác nhau và độc lập tuyến tính trong V .

v) φ là đẳng cấu khi và chỉ khi ảnh của các vectơ của một cơ sở của U là khác nhau và lập thành một cơ sở của V .

Từ đó suy ra chiều của ảnh ánh xạ tuyến tính khơng vượt q chiều của khơng gian nguồn.

Định lý 1.2.4. Hai không gian vectơ hữu hạn chiều đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều. Nói cách khác mọi khơng gian vectơ chiều n đều đẳng cấu với Kn.

Định lý 1.3.1. Cho S = {e1, . . . , en} là một cơ sở của khơng gian vectơ V . Ánh xạ tuyến tính φ : V → U được xác định duy nhất bởi ảnh của nó trên S. Nói cách khác, nếu u1, . . . , un là một tập các vectơ tùy ý (có thể trùng nhau) trong U , thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính φ : V → U thỏa

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

mãn điều kiện

φ (e1) = u1, φ (e2) = u2, . . . , φ (en) = un.

Ánh xạ này được xác định như sau: nếu v =P αiei thì φ(v) =P αiui. Ví dụ 1.3.1. Mọi ánh xạ tuyến tính φ : Kn → Km đều có dạng

φ (a1, . . . , an) = (c11a1+ c12a2· · · + c1nan, . . . , cm1a1+ cm2a2· · · + cmnan) Định lý 1.3.2. Cố định cơ sở S của V và cơ sở T của U . Ánh xạ đặt tương ứng mỗi ánh xạ tuyến tính với ma trận biểu diễn của nó là ánh xạ 1 − 1. Nói cách khác mỗi ánh xạ tuyến tính từ V vào U xác định duy nhất một ma trận biểu diễn A ∈ M (m, n; K), và ngược lại mỗi ma trận A ∈ M (m, n; K) là ma trận biểu diễn của duy nhất một ánh xạ tuyến tính từ V vào U .

Chú ý rằng cũng giống như tọa độ của vectơ, ma trận biểu diễn phụ thuộc vào thứ tự các phần tử của các cơ sở. Do đó cơ sở hiểu ở trên là tập được sắp thứ tự hoàn toàn. Tổng quát hơn, ma trận biểu diễn phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn cặp cơ sở.

Ví dụ 1.3.2. a) Ma trận biểu diễn của toán tử 0 theo mọi cặp cơ sở là ma trận 0.

b) Cho S = T là một cơ sở của không gian vectơ V chiều n. Khi đó ma trận biểu diễn của ánh xạ đồng nhất là ma trận đơn vị cấp n. Tuy nhiên, nếu S = {e1, e2, . . . , en} còn T = {en; en−1, . . . , e1}, thì ma trận biểu diễn của ánh xạ đồng nhất sẽ là

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

c) Nếu chọn S = {e1, . . . , en} và T = {f1, . . . , fm} lần lượt là các cơ sở tự nhiên trong Kn và Km, thì ma trận biểu diễn của φ là ma trận (cij) ∈ M (m, n; K), bởi vì

φ (ei) = φ(0, . . . , 1, . . . , 0) = c1if1+ c2if2+ · · · + cmifi.

Kí hiệu vS là vectơ cột tọa độ của v theo cơ sở (được sắp) S. Khi đó ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính có thể đọc được trực tiếp từ cơng thức tọa độ của ảnh, và ngược lại. Cụ thể

Định lý 1.3.3. Cố định cặp cơ sở S và T của V và U . Khi đó A ∈ M (m, n; K) là ma trận biểu diễn của φ : V → U theo (S, T ) khi và chỉ khi với mọi v ∈ V . ta có

φ(v)T = AvS.

Định nghĩa 1.4.1. Cho φ ∈ End(V ). Phần tử vô hướng λ ∈ K được gọi là giá trị riêng của φ nếu tồn tại vectơ v ̸= 0 sao cho

φ(v) = λv.

Khi đó ta gọi v là vectơ riêng (ứng với giá trị riêng λ) của φ. Tương tự, ta gọi λ ∈ K là giá trị riêng của ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại vectơ 0 ̸= v ∈ Kn sao cho

A · v = λv.

Khi đó ta gọi v là vectơ riêng (ứng với giá trị riêng λ) của A. Tập các giá trị riêng của φ (t.ư A) được gọi là phổ và kí hiệu là Spec(φ) (t.ư Spec(A)). Ví dụ 1.4.2. a) Phần tử 0 là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi Ker(φ) ̸=

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Khi đó v ̸= 0 là vectơ riêng của φ ứng với 0 khi và chỉ khi v ∈ Ker φ. b) Mọi vectơ khác 0 đều là vectơ riêng của toán tử đồng nhất hoặc toán tử 0. Với tốn tử đồng nhất, giá trị riêng là 1, cịn với toán tử 0, giá trị riêng là 0.

c) Nếu φ là phép quay trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ một góc 0 < α < 2π, thì phép quay này khơng có giá trị riêng nếu α ̸= π. Nếu α = π thì nó có một giá trị riêng là −1 và mọi vectơ khác 0 đều là vectơ riêng.

d) Nếu D là phép lấy đạo hàm từ các hàm C∞(a, b) khả vi vô hạn lần vào chính nó thì D (eax) = aeax, tức là mọi a ∈ R đều là giá trị riêng của D. Hơn nữa với mỗi a tập các vectơ riêng tương ứng với a là ceax, trong đó c ̸= 0.

Nhắc lại rằng nếu V là không gian vectơ hữu hạn chiều với cơ sở là S = {e1, . . . , en} thì ma trận biểu diễn của tốn tử tuyến tính φ được xác định như sau:

(φ (e1) , . . . , φ (en)) = (−e1, . . . , en) A. Các tính chất cơ bản của vectơ riêng là

Mệnh đề 1.4.1. Cho φ là một tốn tử tuyến tính của khơng gian vectơ V .

i) Nếu a là giá trị riêng của φ thì tập các vectơ riêng của φ ứng với a lập thành một khơng gian con. Đó chính là Ker(φ − α id). Khơng gian con này cịn được gọi là không gian riêng (ứng với α).

Nếu giả thiết thêm dim V = n và φ có ma trận biểu diễn A theo cơ sở là S, thì

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

ii) a là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi a là nghiệm của đa thức đặc trưng fφ tti := fA(t) = |A − tI| của φ.

iii) Kí hiệu vS là vectơ tọa độ của v theo S. Khi đó a là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

A · vS = αvS

có nghiệm khơng tầm thường. Hơn nữa tập các nghiệm không tầm thuờng của hệ này là tọa độ của tất cả các vectơ riêng của φ ứng với α.

iv) Mỗi tốn tử tuyến tính của khơng gian vectơ n chiều có tối đa n giá trị riêng khác nhau.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Chương 2

Không gian vectơ các đạo hàm của đa thức cùng một biến

Trong chương này, luận văn trình bày về khơng gian vectơ của các đạo hàm cùng cấp của đa thức cùng biến x; một số dạng bài tập về đạo hàm của đa thức một biến liên quan đến ánh xạ tuyến tính và nghiệm của đa thức. Các dạng bài tập này dựa trên các kỷ yếu của các kì thi Olympic tốn sinh viên tồn quốc mơn Đại số ([6], [7], [8], [9], [10]).

Trong mục này, luận văn trình bày khái niệm đa thức dựa trên xây dựng cấu trúc vành được trình bày trong tài liệu [1], [2]. Từ đó tập trung tìm hiểu về cấu trúc khơng gian vectơ của các đa thức cùng một biến. Định nghĩa 2.1.1. Giả sử R là một vành giao hoán với phần tử đơn

vị là 1 ̸= 0. Gọi M là tập hợp các dãy (a1, a2, . . . , an, · · · ) trong đó các ai ∈ R và chỉ có một số hữu hạn trong chúng là khác 0. Trên M

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

xác định một phép toán cộng và một phép toán nhân như sau là (−a0, −a1, · · · , −an· · · ) và (M, ·) là một vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị là (1, 0, · · · , 0, . . .). Ngoài ra phép toán - cũng phân phối đối với phép toán + nhờ đẳng thức: con của M và từ đẳng cấu vành f : R −→ M∼= ′, a 7→ (a, 0, · · · , 0, ·) , ta có thể đồng nhất một phần tử a ∈ R với dãy (a, 0, · · · , 0, · · · ) ∈ M . Vì vậy R cũng được xem như một vành con của M .

Nếu ta ký hiệu x = (0, 1, 0, · · · , 0, · · · ) thì từ định nghĩa phép tốn ·

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Vì chỉ có một số hữu hạn các phần tử ai trong dãy (a0, a1, · · · , an· · · ) là khác 0 nên ta có thể qui ước viết mỗi phần tử khác 0 của M dưới dạng

(a0, a1, · · · , an, 0, · · · ) , trong đó an ̸= 0 và am = 0 với mọi m > n Theo qui ước cách viết đó, và từ định nghĩa phép tốn · và + trên M , mỗi phần tử (a0, a1, · · · , an, 0, · · · ) ∈ M có thể biểu diễn dưới dạng

i=0aixi ∈ R[x] được gọi là một đa thức của biến x. Các ai gọi là các hệ tử của đa thức. Các aixi gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt a0x0 = a0 gọi là hạng tử tự do. Nếu an ̸= 0 thì số n được gọi là bậc của đa thức f , và kí hiệu deg(f ) = n, còn an được gọi là hệ tử cao nhất của đa thức f (x). Đa thức với các hệ tử đều bằng 0 gọi là đa thức không. Đa thức bậc 0 là một phần tử của vành R và nó cịn được gọi là đa thức hằng. Chú ý rằng ta không định nghĩa bậc của đa thức 0.

Từ q trình xây dựng trên, ta có định lý sau:

Định lý 2.1.1. Cho K là một trường và (K[x], +) là tập hợp các đa thức biến x hệ số trên K cùng với phép cộng hai đa thức. Phép nhân của đa

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Vậy (K[x], +, ·) là một K-không gian vectơ.

Định lý 2.1.2. Cho f (x) và g(x) là hai đa thức . Khi đó:

Nếu f(x) + g(x) ̸= 0 thì deg(f + g) ≤ max{deg(f), deg(g)}. Hơn nữa nếu giả thiết thêm deg(f ) = deg(g) thì deg(f + g) = deg(f ) = deg(g).

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Nếu f(x)g(x) ̸= 0 thì deg(f · g) ≤ deg(f) + deg(g). Hơn nữa nếu giả thiết thêm A là vành nguyên thì deg(f · g) = deg(f ) + deg(g).

. Thực hiện phép chia Euclide f (x) = (x − c)g(x) + r. Từ đó suy ra r = f (c). Vậy có thể viết f (x) = (x − c)g(x) + f (c). Khi đó khẳng định là rõ ràng.

Định lý 2.1.5. Mọi đa thức bậc n ≥ 1 trên một trường K có nhiều nhất là n nghiệm kể cả bội.

. Giả sử đa thức f (x) có k nghiệm phân biệt a1, a2, · · · , ak với bội tương ứng là m1, m2, · · · , mk thì bởi phép chia Euclide ta có phân tích

f (x) = (x − a1)m1

(x − a2)m2

. . . (x − an)mk

q(x)

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

i=0(ai− bi) xi, khi đó theo giả thiết mỗi phần tử của K là một nghiệm của đa thức này. Từ đó, bởi định lí 1.9, phải có ak = bk với mọi k = {0, 1, · · · , n}.

Trong phần còn lại của luận văn ta luôn xét K = R, nghĩa là R[x] là không gian vectơ các đa thức biến x với hệ số thực. Kí hiệu Rn[x] là tập hợp các đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n với hệ số thực. Khi đó ta có Rn[x] là một R−không gian vectơ con của R[x].

Mệnh đề 2.1.7. Rn[x] cùng với phép cộng hai đa thức và phép nhân đa thức với một số lập thành R−không gian vectơ và dim Rn[x] = n + 1. . Ta chỉ cần chứng minh Rn[x] là không gian vectơ con của R[x]. Nhận thấy đa thức 0 là một phần tử của Rn[x] nên Rn[x] ̸= ∅. (1)

trong đó an, bn không đồng thời bằng không (a2n+ b2n ̸= 0). Khi đó αf (x) + βg(x) = (αa0+ βb0) + (αa1+ βb1)x + · · · + (αan+ βbn)xn. Suy ra, deg(αf (x) + βg(x)) ≤ n, nghĩa là αf (x) + βg(x) ∈ Rn[x]. (2) Từ (1) và (2), theo định lý 1.1.2 ta nhận được Rn[x] là R−không gian

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

vectơ con của R[x] hay Rn[x] là R−khơng gian vectơ.

Ta có {1, · · · , xn} là một cơ sở của Rn[x] nên dim Rn[x] = n + 1.

Trong phần đầu của mục này, chúng tôi giới thiệu lại công thức đạo hàm cấp 1 của một đa thức bất kì. Khơng nói gì khác ta luôn giả sử R = R[x] là không gian vectơ các đa thức biến x hệ số thực.

Định nghĩa 2.2.1. Cho đa thức P (x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn ∈ R[x] đạo hàm cấp một của P (x) kí hiệu là P′(x) và được xác định là

P′(x) = a1+ 2a2x + · · · + nanxn−1.

Định nghĩa 2.2.2. Kí hiệu R′n[x] là tập hợp tất cả các đạo hàm của các đa thức trong Rn[x], nghĩa là R′n[x] = {f′(x) | f (x) ∈ Rn[x]}.

Mệnh đề 2.2.1. R′n[x] cùng với phép cộng hai đa thức và phép nhân đa thức với một số lập thành không gian vectơ và dim R′n[x] = n.

. i) Ta chỉ cần chứng minh R′n[x] là không gian vectơ con của Rn[x]. Nhận thấy đa thức 0 là một phần tử của R′n[x] nên R′n[x] ̸= ∅. (1) Mặt khác, với mọi α, β ∈ R; f′(x), g′(x) ∈ R′n[x] trong đó f (x), g(x) ∈

</div>