<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học TS. HỒNG ĐÌNH HẢI

THANH HĨA, NĂM 2023

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 922/QĐ-ĐHHĐ ngày 26 tháng 4 năm 2023 của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức.

Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của hội đồng. Ngày 30 tháng 5 năm 2023

(Ký, ghi rõ họ tên)

TS. Hồng Đình Hải

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan

Phạm Khánh Huyền

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thiện luận văn với đề tài: "BẤT BIẾN VÀ HOÀN TOÀN BẤT BIẾN TRÊN CÁC CS−MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG" này, cùng với sự nỗ lực của bản thân cịn có sự đồng hành,động viên và giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS.HỒNG ĐÌNH HẢI - Giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên Trường Đại học Hồng Đức. Tôi xin chân thành cảm ơn đến thầy, người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Xin chân thành cảm ơn BGH, Khoa KHTN, tổ Đại số và Hình học Trường Đại học Hồng Đức đã hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để tơi có thể hồn thiện luận văn. Cảm ơn tất cả các thầy cô, bạn bè, gia đình và đồng nghiệp đã ln động viên và khích lệ trong suốt q trình làm luận văn. Cuối cùng, vì kiến thức cịn hạn chế nên dù đã rất cố gắng nhưng luận văn vẫn không tránh được những sai sót. Kính mong các thầy cơ và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn có thể hồn chỉnh hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2023

Phạm Khánh Huyền

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

1.1.1 Các tính chất cơ bản của đồng cấu môđun . . . . 3

1.1.2 Đồng cấu với môđun con và môđun thương . . . 3

1.1.3 Môđun các đồng cấu môđun . . . . 4

1.2 Các điều kiện dây chuyền, dãy khớp . . . . 4

1.2.1 Điều kiện để một môđun là Noether hoặc Artin . . . 5

1.2.2 Điều kiện Noether của vành . . . . 6

1.3 Tích trực tiếp - Tổng trực tiếp . . . . 6

1.4 Môđun nội xạ . . . . 7

1.4.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản về điều kiện nội xạ 7 1.4.2 Tiêu chuẩn Baer . . . . 8

1.5 Căn và đế . . . . 9

1.5.1 Căn Jacobson của vành và căn của môđun . . . . 9

1.5.2 Căn và cái triệt tiêu . . . . 9

1.5.3 Các định lý xác định căn . . . . 10

1.5.4 Iđêan nguyên tố và căn nguyên tố của vành . . . 10

1.6 Căn của vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ và môđun xạ ảnh . . . . 11

1.7 Đế của môđun và điều kiện nửa đơn . . . . 11

1.7.1 Đế của môđun . . . . 11

1.7.2 Điều kiện để mọi môđun trên một vành đều nửa đơn 11 1.7.3 Phân tích vành nửa đơn thành tổng trực tiếp của một số hữu hạn các iđêan trái tối tiểu . . . . 12

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

CHƯƠNG 2. BẤT BIẾN VÀ HOÀN TOÀN BẤT BIẾN 14 2.2 Môđun con bất biến đẳng cấu . . . . 14 2.3 Môđun bất biến đẳng cấu . . . . 14 2.4 Môđun bất biến đẳng cấu trên vành Goldie phải . . . . 15 CHƯƠNG 3.BẤT BIẾN VÀ HOÀN TOÀN BẤT BIẾN TRÊN

3.3 CS−môđun . . . . 18 3.4 Bất biến trên các CS−môđun . . . . 18 3.5 Ứng dụng khảo sát của môđun bất biến lũy đẳng . . . . 19

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

J (R), rad(R): Căn Jacobson của R.

End(M ): Tập hợp các tự đồng cấu của môđun M E(M ): Bao nội xạ của môđun M

Hom_R(A, B): Tập hợp tất cả các R đồng cấu từ môđun A vào B

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài.

Năm 1961, Johnson và Wong đã nghiên cứu môđun bất biến trên vành đa thức đồng cấu của các bao nội xạ. Họ chứng minh được rằng: Một

R−môđun M là bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ khi và chỉ khi bất kỳ tự đồng cấu từ N tới M với mọi môđun con N của M đều mở rộng được thành một tự đồng cấu trên M. Những môđun như vậy được gọi là môđun tự nội xạ. Đến cuối thập kỉ 60, có hai nhà tốn học Dickson và Fuller đã nghiên cứu các môđun bất biến trên các tự đẳng cấu của bao nội xạ của chúng, gọi là những môđun bất biến tự đẳng cấu. Một kết quả tương tự của Johnson trên các tựa nội xạ chứng minh rằng: môđun M là bất biến tự đẳng cấu khi và chỉ khi nó là giả nội xạ. Như vậy, tính bất biến của mơđun đã được nghiên cứu từ những thập kỉ 60. Gần đây một số nhà Tốn học Việt Nam nghiên cứu về mơđun bất biến hoặc đối bất biến dưới những tự đồng cấu lũy đẳng của các bao nội xạ hoặc phủ của chúng. Vì thế gợi cho tơi hướng chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “BẤT BIẾN VÀ HOÀN TỒN BẤT BIẾN TRÊN CÁCCS−MƠĐUN VÀ ỨNG DỤNG”.

2. Mục tiêu nghiên cứu.

Nghiên cứu tìm hiểu về bất biến và hồn tồn bất biến trên cácCS−mơđun và ứng dụng. Chứng minh một số tính chất, định lý về hồn tồn bất biến trên các CS−môđun.

3. Đối tượng nghiên cứu.

ˆ Môđun bất biến và hoàn toàn bất biến.

ˆ Bất biến và hoàn tồn bất biến trên các CS−mơđun và ứng dụng của nó.

4. Phạm vi nghiên cứu.

Nghiên cứu về một số tính chất, định lý về bất biết và hoàn toàn bất biến trên các CS−môđun và đưa ra ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, hệ thống các kiến thức về hồn tồn bất biến trên các

CS−mơđun, dùng các suy luận logic để chứng minh chi tiết một số tính

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

chất, định lý về bất biến và hồn tồn bất biến trên các CS−mơđun và đưa ra ứng dụng.

6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm ba chương:

ˆ Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày hệ thống các khái niệm và các kết quả cơ bản được sử dụng trong luận văn bao gồm: một số khái niệm, tính chất về đồng cấu mơđun, mơđun nội xạ, căn và đế.

ˆ Chương 2. Bất biến và hoàn toàn bất biến. Chương này trình một cách có hệ thống về các tính chất đặc trưng của mơđun bất biến và hoàn toàn bất biến. Dựa vào các tài liệu, luận văn sẽ nghiên cứu và hệ thống các tính chất của mơđun bất biến và hồn tồn bất biến.

ˆ Chương 3. Bất biến và hoàn toàn bất biết trên các CS−mơđun và ứng dụng. Chương này trình bày một cách có hệ thống về các tính chất và định lý về bất biến và hoàn toàn bất biến trên các CS−mơđun và đưa ra các ứng dụng của nó.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày hệ thống các khái niệm và các kết quả cơ bản được sử dụng trong luận văn bao gồm: một số khái niệm, tính chất về đồng cấu môđun, môđun nội xạ, căn và đế.

1.1 Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.1.1. Cho hai R−môđun (trái) M và M⁰. Một ánh xạ

f : M → M⁰ được gọi là R−đồng cấu (hay đồng cấu môđun hoặc đơn giản là đồng cấu) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện:

(i) f (x + y) = f (x) + f (y)

(ii) f (αx) = αf (x)

Với mọi x, y ∈ M ; a ∈ R.

<small>1.1.1Các tính chất cơ bản của đồng cấu mơđun</small>

Với f, f⁰ là các đồng cấu mơđun, ta có các tính chất sau: 1) f (0) = 0; f (−x) = −f (x); f (x − y) = f (x) − f (y). 2) f là đơn cấu khi và chỉ khi kerf = {0}.

3) Ảnh và tạo ảnh của mơđun con là mơđun con.

4) Tích hai đồng cấu (tương ứng: đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu) là đồng cấu (tương ứng: đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu).

5) Ánh xạ ngược của ánh xạ đẳng cấu là ánh xạ đẳng cấu.

<small>1.1.2Đồng cấu với môđun con và môđun thương</small>

Định lý 1.1.2. Bộ phận A của R−môđun M là môđun con khi và chỉ khi

A = ker f, với đồng cấu f : M → M⁰, M⁰là một R− môđun.

Định lý 1.1.3. Giả sử A và B là hai môđun con của R−môđun M sao cho Mbằng tổng trực tiếp của A và B. Khi đó mơđun thương M/A và mơđun B đẳng cấu với nhau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>1.1.3Môđun các đồng cấu môđun</small>

Tập hợp tất cả đồng cấuR−môđun từM vàoM⁰ được ký hiệu làH(M, M⁰). Khi đóH(M, M⁰)là nhóm giao hốn với phép cộng(f +g)(x) = f (x)+g(x)

Trong trường hợp R là vành giao hốn thì H(M, M⁰) là R−mơđun với phép cộng (1.1.2) và phép nhân phần tử của H(M, M⁰) với phần tử R từ phía trái theo quy tắc:

(αf )(x) = αf (x)

H(M, M⁰)làR−môđun phải khi giữ nguyên phép cộng (1.1.2) và xét thêm phép nhân phải theo quy tắc:

(f α) (x) = f (αx)

Định lý 1.1.4. R−môđun trái Hom(R, M ) đẳng cấu với R−môđun M.

1.2 Các điều kiện dây chuyền, dãy khớp

Định nghĩa 1.2.1.

a) Dãy các môđun conM₁, M₂, ... củaR−môđunM được gọi là dây chuyền tăng (dãy tăng) nếu M_n ⊆ M_n+1 với mọi n ∈ _N^∗.

Dãy M<small>1</small>, M<small>2</small>, ... được gọi là dây chuyền tăng thực sự, nếu nó là dây chuyền tăng và M_n 6= M_n+1 với mọi n ∈ _N^∗.

b) Với mọi n ≥ m, nếu M_n = M_m thì dây chuyền tăng M₁ ⊆ M₂ ⊆ .... được gọi là dừng ở bước thứ m.

Các dây chuyền tăng thực sự thì khơng bao giờ dừng vì với mọi n thì

M<small>n</small> 6= M_n+1.

Định nghĩa 1.2.2. R−môđunM được gọi là Noether nếu mọi dây chuyền tăng các môđun con của M đều dừng.

Vành R là được gọi là vành Noether nếu R_R là môđun Noether. Định nghĩa 1.2.3.

a) Dãy các môđun conM₁, M₂, ... củaR−môđunM được gọi là dây chuyền giảm (dãy giảm) nếu M_n ⊇ M_n+1 với mọi n ∈ _N^∗.

Dãy M₁, M₂, ... được gọi là dây chuyền giảm thực sự, nếu nó là dây chuyền giảm và M<small>n</small> 6= M_n+1 với mọi n ∈ _N^∗.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

b) Với mọi n ≥ m, nếu M_n = M_m thì dây chuyền giảm M₁ ⊇ M₂ ⊇ ... được gọi là dừng ở bước thứ m.

Các dây chuyền giảm thực sự thì khơng bao giờ dừng vì với mọi n thì

M_n 6= M_n+1.

Định nghĩa 1.2.4. R−môđun M được gọi là Artin nếu mọi dây chuyền giảm (các môđun con của M) đều dừng.

Nếu vành R là R−mơđun Artin thì nó được gọi là vành Artin.

<small>1.2.1Điều kiện để một môđun là Noether hoặc Artin</small>

Định lý 1.2.5. Với M là một R−môđun, các điều kiện sau là tương đương: 1) M là Noether.

2) Một họ bất kỳ (khác ∅) gồm các môđun con của M đều có phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm).

3) Mọi môđun con của M đều là môđun hữu hạn sinh.

Định lý 1.2.6. Với M là một R−môđun, các điều kiện sau là tương đương: 1) M là Artin.

2) Một họ bất kỳ (khác ∅) gồm các mơđun con của M đều có phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm).

3) Với mỗi họ (khác ∅) các môđun con {M_i, i ∈ I} đều tồn tại bộ phận hữu hạn J ⊂ I sao cho T

M_j = T

Định lý 1.2.7. Cho môđun N là môđun con của môđun M, M là Noether (tương ứng: Artin) khi và chỉ khi cả N và ^M/_N đều Noether (tương ứng: Artin).

Định lý 1.2.8. Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các môđun là Noether (tương ứng: Artin) khi và chỉ khi từng thành phần của nó là Noether (tương ứng: Artin).

Nghĩa là: Với M = A₁ ⊕ A₂ ⊕ ... ⊕ A_n, M là Noether khi và chỉ khi

A₁, A₂, ..., A_n đều là Noether.

Định lý 1.2.9. Mỗi mơđun Noether (tương ứng: Artin) (khác mơđun 0) đều có thể phân tích được thành tổng trực tiếp của một số hữu hạn các môđun con bất khả phân.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<small>1.2.2Điều kiện Noether của vành</small>

Định lý 1.2.10. Với R là vành thì các điều kiện sau là tương đương với nhau:

1) R là Noether.

2) Các môđun hữu hạn sinh trên R đều Noether. 3) Mọi iđêan trái của R đều hữu hạn sinh.

Định lý 1.2.11. Nếu vành R là Noether thì đa thức trên R là vành

là một R−mơđun, gọi là tích trực tiếp của họ (A_i|i ∈ I). Trường hợp A_i = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu Q

là R đồng cấu với mỗi j ∈ I.

Định nghĩa 1.3.2. (Tổng trực tiếp). Cho (A_i|i ∈ I) là một họ những

R−môđun. Môđun con của Q

A_i, gồm tất cả những phần tử (a_i) mà

a_i = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I, là một môđun con, được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ (A<small>i</small>|i ∈ I) và kí

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Với mỗi j ∈ I, tương ứng:

<small>1.4.1Định nghĩa và các định lý cơ bản về điều kiện nội xạ</small>

Định nghĩa 1.4.1. Môđun M được gọi là môđun nội xạ, nếu với mỗi đồng cấu f : N → M và mỗi đơn cấu g : N → P đều tồn tại đồng cấu

M_i của các môđun M_i là nội xạ khi và chỉ khi mỗi nhân tử của tích đó là nội xạ.

Đặc biệt, ta có mệnh đề sau: Mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ đều là nội xạ.

Định lý 1.4.3. Một môđun là nội xạ khi và chỉ khi mơđun đó là hạng tử trực tiếp trong mọi mơđun nhận nó làm mơđun con.

Định lý 1.4.4. Cho R−mơđun Q. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(a) Q là R−môđun nội xạ.

(b) Mọi đơn cấu ϕ : Q → B là chẻ ra.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>1.4.2Tiêu chuẩn Baer</small>

Định lý 1.4.5. Với M là R−môđun, các điều kiện sau là tương đương với nhau:

1) M là nội xạ.

2) Với mỗi môđun con (tức iđêan trái) A của R−môđun R, đồng cấu λ từ

A vào M đều có thể mở rộng thành đồng cấu µ từ R vào M.

3) Với mỗi môđun con A của R−môđun R và đồng cấu λ từ A vào M đều tồn tại b ∈ M sao cho: λ(α) = αb, ∀α ∈ A.

Để phát biểu định lý hệ quả của Tiêu chuẩn Baer, ta cần định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.4.6.

a) R−môđun M được gọi là chia được (hay R−chia được), nếu với mỗi

x ∈ M và α 6= 0 ∈ R đều tồn tại y ∈ M sao cho αy = x (hay αM = M). b) Nhóm Aben được gọi là chia được, nếu nó là chia được như một Z−mơđun.

Định lý 1.4.7. Một mơđun trên vành chính R là nội xạ khi và chỉ khi mơđun đó là R−chia được.

Định nghĩa 1.4.8. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu với mọi môđun conN củaM, mỗi đồng cấuf : N → M đều mở rộng thànhf⁰ : M → M.

Nghĩa là, M được gọi là tựa nội xạ nếu:

Trong đó i là đơn cấu tự nhiên từ N vào M và f = f⁰.i f⁰ hạn chế trên N bằng f (f⁰|N = f).

Định nghĩa 1.4.9. Môđun M được gọi là giả nội xạ khi với mọi đơn cấu

f : N → M đều có thể mở được thành tự đồng cấu f⁰ : M → M. Nghĩa là, M là giả nội xạ, nếu sơ đồ sau giao hoán:

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

1.5 Căn và đế

<small>1.5.1Căn Jacobson của vành và căn của môđun</small>

Định nghĩa 1.5.1. Trong R−môđun M, A_i là các mơđun con tối đại của

M. Khi đó T

A_i được gọi là căn của M.

Ký hiệu: rad(R) hoặc r(M ) (r là chữ cái đầu của “radical”, nghĩa là căn) Nếu r(M ) = M thì M khơng có môđun con tối đại.

Định lý 1.5.2. Với các M_i, i ∈ I đều là R−mơđun thì căn của tổng trực tiếp các M_i bằng tổng trực tiếp các căn của M_i.Ký hiệu: r

<small>1.5.2Căn và cái triệt tiêu</small>

Định nghĩa 1.5.3. Cho R−môđun M, A là môđun con của M. Tập hợp gồm mọi phần tử α ∈ R và với mọi x ∈ A sao cho αx = 0 được gọi là cái triệt tiêu của tập hợp A.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>1.5.3Các định lý xác định căn</small>

Định lý 1.5.6. Căn Jacobson của vành R là:

1) Tập hợp mọi phần tử α ∈ R sao cho với mỗi β ∈ R thì1 − βα có nghịch đảo trái;

2) Iđêan lớn nhất trong các iđêan của J thỏa mãn điều kiện 1 − α có khả nghịch với mọi α ∈ J.

Định lý 1.5.7. Cho A là iđêan trái của R và A là iđêan con của căn Jacobson của vành R. Khi đó, với mọi M là R−mơđun thì AM ⊆ r(M ).

Định lý 1.5.8. Nếu họ mọi môđun con {N_i}_i∈I đủ hẹp của R−mơđun M

thì căn của M bằng tổng tất cả các N_i, với i ∈ I.

<small>1.5.4Iđêan nguyên tố và căn nguyên tố của vành</small>

Định nghĩa 1.5.9. Iđêan thực sựP trong vànhRđược gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi cặp iđêan A và B thì:

Chú ý. Một số tài liệu ký hiệu căn nguyên tố của R là rad(R).

Định nghĩa 1.5.12. Nếu pr(R) = {0} thì vành R là nguyên tố.

Để phát biểu định lý về căn nguyên tố, ta cần thêm các định nghĩa sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Định nghĩa 1.5.13.

1) Dãy phần tử α_o, α₁, ... trong vành R bắt đầu từ α nếu α_o = α. 2) Dãy α_o, α₁, ... trong vành R được gọi là bó hẹp nếu với mọi n thì:

α_n+1 ∈ α_nRα_n

1.6 Căn của vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

Định lý 1.6.1. Giả sử P là R−môđun xạ ảnh. S = End(P ); f ∈ Rad(S)

khi và chỉ Im f là môđun con mịn của P.

Định lý 1.6.2. Giả sử R−môđun Q là một mơđun nội xạ, S = End (Q). Khi đó f ∈ Rad(S) khi và chi khi Kerf ⊆^∗ Q.

1.7 Đế của môđun và điều kiện nửa đơn

<small>1.7.1Đế của môđun</small>

Định nghĩa 1.7.1. Tổng của các môđun con đơnM (vớiM củaR−môđun) được gọi là đế của M.

Ký hiệu là Soc(M ) hoặc đơn giản là s(M ). Định lý 1.7.2. Nếu P

= {S_i, i ∈ I} là hệ gồm tất cả các mơđun con đơn của R−mơđun M thì P ln chứa một hệ con P_o = {S<small>i</small>, i ∈ I<small>o</small>} để đế của M bằng tổng trực tiếp của các S_i, với i ∈ I_o (tức là: s(M ) = ⊕

S_i). Định lý 1.7.3. Vớif là tự đồng cấu môđun từMvàoM thìf (s(M )) ⊆ s(M ).

<small>1.7.2Điều kiện để mọi mơđun trên một vành đều nửa đơn</small>

Định lý 1.7.4. Trên vành R, các điều kiện sau đây là tương đương: i) Vành R là nửa đơn.

ii) Mỗi môđun con của R−môđun R đều là hạng tử trực tiếp của R. iii) Mỗi R−môđun đều là nửa đơn.

iv) Mỗi môđun con N của R−mơđun M thì N đều là hạng tử trực tiếp của M.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

v) Với M, M₁, M₂ các R−môđun, nếu ϕ₁ : M₁ → M là đơn cấu và ϕ₂ : M → M₂ là toàn cấu thì Im ϕ₁ = ker ϕ₂ và mơđun con này là hạng tử trực tiếp của M.

vi) Mỗi R−môđun đều nội xạ. vii) Mỗi R−môđun đều xạ ảnh.

Định lý 1.7.5. . Nếu {L_j}_i∈J là hệ gồm mọi môđun con đủ rộng của

R−mơđun M thì đế của M bằng giao của các L_j, với j ∈ J.

<small>1.7.3Phân tích vành nửa đơn thành tổng trực tiếp của một số hữu hạncác iđêan trái tối tiểu</small>

Định lý 1.7.6. Trong vành nửa đơn tùy ý R ln có những iđêan trái

A₁, A₂, . . . , A_n để có đẳng thức:

R = A<small>1</small> ⊕ A<small>2</small> ⊕ . . . ⊕ A<small>n</small>

Định nghĩa 1.7.7. Dãy dây chuyền giảm

M = M_o ⊇ M₁ ⊇ . . . ⊇ M_n = {0}

được gọi là chuỗi hợp thành với độ dài n của R−môđun M nếu mỗi M<small>i</small>,

với i = 1, n đều là môđun con tối đại của M_i−1.

Khi đó, các mơđun thương đơn M_i−1/M_i được gọi là các nhân tử của

Hai chuỗi hợp thành của cùng một môđun được gọi là tương đương, nếu

n = m và đồng thời tồn tại một đơn ánh:

φ : {1, 2, . . . , m} → {1, 2, . . . , m}

để M<small>i−1</small>/M<small>i</small> ∼_{= N}

<small>φ(i)−1</small>/N_φ(i).

</div>