Chuyên đề câu 40 thể tích khối đa diện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 25 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ CÂU 40. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh bên , 2 ,

AA = a góc giữa hai mặt phẳng

(

A BC

)

và

(

ABC bằng

)

60 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 0

Ví dụ 2: Cho khối chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 .a Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng

(

SBC và

)(

ABC bằng

)

60 . Thể tích của 0 khối chóp đã cho bằng

Ví dụ 3: Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, SA=SB=SC=AC= a, SB tạo với mặt phẳng

(

SAC một góc

)

60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 0

Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, A A = A B = A C =a.

Biết góc giữa hai mặt phẳng

(

BCC B  và

)(

ABC bằng

)

30 , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 0

Ví dụ 5: Cho khối chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA⊥

(

ABC

)

, AB= 2 ,a

6 ,

BC= a góc tạo bởi hai mặt phẳng

(

SAC và

)(

SBC bằng

)

60 . Thể tích của khối chóp 0 S ABC. bằng

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vng, AB=BC=a. Biết góc giữa hai mặt phẳng

(

ACC và

)(

AB C  bằng

)

0

60 . Thể tích của khối chóp B ACC A.   bằng

Ví dụ 7: Cho khối chóp đều S ABCD. có AC=4 ,a hai mặt phẳng

(

SAB và

)(

SCD tạo với nhau một

)

góc 90 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 0

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D đáy nhỏ của hình ,

thang là CD cạnh bên , SC=a 15. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng

vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm của cạnh AD khoảng cách từ B tới mặt phẳng ,

(

SHC bằng

)

2 6 .a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi cạnh ,a góc ABC =600 và SA vng góc với mặt

phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Biết khoảng cách từ G đến mặt phẳng

(

SBC bằng

)

Thể tích của khối chóp S ABC. bằng

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang ABCD vng tại A và D , SA vuông góc với

đáy, AB=2AD=2CD, góc giữa SC và đáy bằng 60 . Biết khoảng cách từ B đến 0

(

SCD bằng

)

42, 7

tính thể tích của khối chóp S ACD. .

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vng tại ,AACB =30 .0 Biết góc giữa B C và mặt phẳng

(

ACC A  bằng  thoả mãn

)

sin 1 .

2 5

 = Khoảng cách giữa hai đường

thẳng A B và CC bằng a 3. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Ví dụ 13: Cho hình chóp S ABC. có mặt phẳng

(

SAC vng góc với mặt phẳng

)(

ABC

)

,SAB là tam giác đều cạnh a 3,BC=a 3 và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng

(

ABC góc

)

0

60 . Thể tích của khối chóp S ABC. bằng

Ví dụ 14: Một viên đá quý có dạng hình chóp đều, đáy là hình vng cạnh 6 mm và chiều cao 6 mm. Nhà chế tác tạo hình cho viên đá quý để gắn vào sản phẩm đã được đặt hàng. Ông cắt viên đá theo các mặt phẳng đi qua tâm của đáy, lần lượt song song với các cạnh đáy và vuông góc với các mặt bên để thu được viên đá hồn thiện (phần được tơ màu xám trong hình vẽ tham khảo bên). Thể tích của viên đá hồn thiện gần nhất với kết quả nào sau đây?

Ví dụ 15: Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng a. Gọi hai điểm M M  lần lượt là , trung điểm của hai cạnh AC A C,   Biết . 7

AM  = và AM ⊥BM. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Ví dụ 16: Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết AB= 2 ,aAD=2 ,a 0

ABC = và góc giữa hai mặt phẳng

(

SBC

)

(

SCD bằng

)

30 . Thể tích 0 khối chóp đã cho bằng

Ví dụ 17: Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều, SC vng góc với mặt phẳng đáy. Biết cosin

của góc giữa hai mặt phẳng

(

SAB và

)(

SBC bằng

)

1 ,

2 3 khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(

SAB

)

bằng a. Thể tích của khối chóp S ABC. bằng

Ví dụ 18: Mục tiêu điểm thi mơn Tốn của em là ……

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6  

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa mặt phẳng

(

A BC

)

và mặt đáy

(

ABC bằng

)

60. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A.

a

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D    có AB=a AD, =a 2. Biết khoảng cách từ A đến mặt

Câu 3. Cho hình chóp tam giác S ABC. cóAB=1, AC=2,BAC=120, SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết SBC có diện tích bằng 3 . Thể tích khối chóp S ABC. bằng:

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD. có đáyABCD là hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(

SBC bằng

)

Câu 5. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy và SA=a. Gọi M N lần lượt là trung điểm của hai cạnh , AB CD và ,, E F là hai điểm lần lượt

thuộc hai cạnh SB SC thỏa mãn , ES =EB và SC=3SF.Hãy tính theo a thể tích của khối đa

Câu 6. Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của B

trên mặt phẳng đáy trùng trung điểm H của cạnh AB, biết góc giữa B H và mặt phẳng

(

BCC B  bằng 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

)

Câu 7. Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của A

trên mặt phẳng đáy trùng trọng tâm tam giác ABC , biết khoảng cách giữa AA và BC bằng

Câu 8. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác có AB=a AC; =a 3;BC =a. Gọi M là trung điểm CC và khoảng cách từ M đến

(

A BC'

)

bằng 21

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Câu 10. Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D. ' ' ' ' có đáy là hình vng, cạnh bên có độ dài bằng 2a. Gọi

Câu 11. Cho lăng trụ đều ABC A B C. ' ' ' có CA' tạo với

(

BCC B' '

)

mọt góc 45. Gọi Glà trọng tâm tam giác A B C' ' ', khoảng cách từ C' đến

(

CA G'

)

bằng a 2. Tính thể tích lăng trụ?

Câu 12. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vng tại A, BC=a, diện tích tam giác ABC bằng

Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABClà tam giác vuông tại A, ACB =30 . Biết góc giữa B C' và mặt phẳng

(

ACC A 

)

bằng  thỏa mãn sin 1

Câu 14. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a CD, =2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt

(

ABCD trùng với trung điểm của

)

BD Biết thể tích của khối .

Câu 15. Cho khối lăng trụ ABC A B C.   có đáy là tam giác đều, hình chiếu vng góc của Blên mặt phẳng

(

ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC , góc giữa hai mặt phẳng

)(

A B C   và

) (

BCC B  bằng 60,. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

)

AAvà B C bằng 3a . Thể tích khối

Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA B C   . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(

ABC bằng a , góc giữa 2 mặt phẳng

)(

ABC và

)(

BCC B  bằng

)

 với 1

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Câu 17. Cho khối lập phương ABCD A B C D.    . Gọi M là trung điểm cạnh BB. Biết khoảng cách từ

Câu 18. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB=a ACB, =300. Các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng 0

Câu 20. Cho khối lập phương ABCD A B C D.     có khoảng cách giữa hai đường thẳng C D và B C là

a. Khi đó thể tích khối lập phương ABCD A B C D.     là

Câu 21. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai đường thẳng A B'

và B C bằng 90 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.'

Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa hai mặt

phẳng

(

A BC

)

và

(

ABC bằng 60 , A A

)

 = A B = A C . Tính thể tích của khối lăng trụ

Câu 23. Cho lăng trụ ABC A B C.   , có A A = A B = A C , đáy

ABC

là tam giác vng tại B, cạnh

BC=a

. Góc giữa hai mặt phẳng

(

A BC

)

và mặt phẳng đáy bằng

60

0và khoảng cách từ điểm

Câu 25. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác đều cạnha

. Khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và CD bằng 2a. Thể tích khối chóp S ABCD. bằng

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6  

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa mặt phẳng

(

A BC

)

và mặt đáy

(

ABC bằng

)

60. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

FB tác giả: Đào Nguyễn

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC đều nên BC⊥AM (1).

Lại có BC⊥

(

A AM

)

(Do BC⊥AM và BC⊥ AA). Suy ra BC⊥A M (2).

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng

(

A BC

)

và đáy chính là góc giữa hai đường thẳng

FB tác giả: Đào Nguyễn

Gọi H là hình chiếu của A trên AD, tức là A H ⊥AD (1)

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Do C D ⊥

(

ADD A 

)

nên C D ⊥A H (2).

Từ (1) và (2) suy ra A H ⊥

(

ABC D 

)

hay A H ⊥

(

BC D 

)

. Suy ra A H chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(

BC D  .

)

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Vậy . 1. . 1 3 7. . 3 21

S ABCABC

(

SBC bằng

)

thuộc hai cạnh SB SC thỏa mãn , ES =EB và SC=3SF.Hãy tính theo a thể tích của khối đa

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Khối đa diện BCNMEF có thể phân chia thành hai khối chóp F BCNM. và EFBM.

Câu 6. Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của B

trên mặt phẳng đáy trùng trung điểm H của cạnh AB, biết góc giữa B H và mặt phẳng

(

BCC B  bằng 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

)

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Câu 7. Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của A

trên mặt phẳng đáy trùng trọng tâm tam giác ABC , biết khoảng cách giữa AA và BC bằng

FB tác giả: Chu Bá Biên

Gọi O là trọng tâm của tam giác

ABC

và

K=AOBC

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Tam giác AHK vuông tại H: 2 2 3

(

A BC'

)

bằng 21

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

*Gọi N I, lần lượt là trung điểm D C  và B C  .

Gọi P đối xứng M qua I, khi đó AMPC là hình bình hành.

Câu 11. Cho lăng trụ đều ABC A B C. ' ' ' có CA' tạo với

(

BCC B' '

)

mọt góc 45. Gọi Glà trọng tâm tam giác A B C' ' ', khoảng cách từ C' đến

(

CA G'

)

bằng a 2. Tính thể tích lăng trụ?

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Gọi độ dài cạnh đáy là x .

Gọi H là trung điểm cạnh B C , suy ra 3

Câu 12. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC=a, diện tích tam giác ABC bằng

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Gọi H là hình chiếu của A trên BC , H  là hình chiếu của H trên B C , K là hình chiếu của H trên AH.

Tam giác vng ABC có diện tích bằng

Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABClà tam giác vng tại A, ACB =30. Biết góc giữa B C' và mặt phẳng

(

ACC A 

)

bằng  thỏa mãn sin 1

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

(

ABCD trùng với trung điểm của

)

BD Biết thể tích của khối .

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Gọi M là trung điểm của CD. Ta có tứ giácABMD là hình vng. Gọi H là trung điểm của

BD. Ta có H cũng là trung điểm của AM và BD⊥AM(1).

Câu 15. Cho khối lăng trụ ABC A B C.   có đáy là tam giác đều, hình chiếu vng góc của Blên mặt phẳng

(

ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC , góc giữa hai mặt phẳng

)(

A B C   và

)(

BCC B  bằng 60,. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

)

AAvà B C bằng 3a . Thể tích khối

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Gọi M là trung điểm BC , O là trọng tâm tam giác ABC , Hlà hình chiếu vng góc của O

lên B M . Giả sử cạnh đáy bằng x .

Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA B C   . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(

ABC bằng a , góc giữa 2 mặt phẳng

)(

ABC và

)(

BCC B  bằng

)

 với 1

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Gọi E là trung điểm của AB, gọi H là hình chiếu vng góc hạ từ điểm C lên C E .

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Gọi độ dài cạnh lập phương là x

(

x 0

)

. Gọi I =ABA M , do M là trung điểm của BB và

BB AA nên B là trung điểm của AI, suy ra AI =2x.

Ta có d A A DM

(



))

=d A A DI

(



))

= AH, với AH⊥IK tại H, A D ⊥IK tại K. Vì tứ diện AA DI có AA, AD, AI đơi một vng góc nên AH ⊥

(

A DI

)

Xét hai tam giác vuông AKI, A AD có đường cao lần lượt là AH, AK, khi đó

Câu 18. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác ABC vng tại A, AB=a ACB, =300. Các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng 0

FB tác giả: Võ Quỳnh Trang

Gọi H là hình chiếu của S lên đáy, I J K là hình chiếu của S lên , , AC CB BA . , ,

Dễ dàng chứng minh được góc giữa các mặt bên và đáy là các góc SIH SJH SKH và các tam , , giác vuông SHI SHJ SHK bằng nhau, nên HI, , =HJ =HK. Do đó H là tâm đường trịn nội

tiếp của tam giác ABC .

Ta có: AC= AB. tan 600 =a 3;BC=2a. Nên diện tích và nửa chu vi của tam giác ABC lần

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Đường cao của khối chóp SABC là 0 3

(

3 1

)

FB tác giả: Nguyễn Phong Vũ

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng

(

ACC A  : AC cắt

)

A I tại G .

Suy ra G là trọng tâm tam giác A BD , mà tam giác A BD đều (các cạnh là các đường chéo của những hình vng bằng nhau)

Câu 20. Cho khối lập phương ABCD A B C D.     có khoảng cách giữa hai đường thẳng C D và B C là

a. Khi đó thể tích khối lập phương ABCD A B C D.     là

Lời giải

FB tác giả: Lê Thị Hồng Ngọc

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Câu 21. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai đường thẳng A B'

và B C bằng 90 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.'

FB tác giả: Hoa Nguyen

FB phản biện: Nguyễn Quế Sơn

Chọn D

Gọi D, E là điểm sao cho B là trung điểm của AD và E là trung điểm của CD .

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Khi đó tam giác ACD vuông tại C ( BC BA BD= = ) và CD= 3a ; 1 1

BE = AC = a (1). Vì A B' ' BD

// nên B D A B' // ' . Mà

(

A B B C =' , '

)

90 , do đó tam giác CB D vng tại ' B' và có đường trung tuyến ' 1 3

Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa hai

mặt phẳng

(

A BC

)

và

(

ABC bằng 60 , A A

)

 = A B =A C . Tính thể tích của khối lăng trụ

FB tác giả: Trần Minh Hưng

FB phản biện: Thanh Tram Nguyen

Diện tích tam giác đều ABC là

Câu 23. Cho lăng trụ ABC A B C.   , có A A = A B = A C , đáy

ABC

là tam giác vuông tại B, cạnh

BC=a

. Góc giữa hai mặt phẳng

(

A BC

)

và mặt phẳng đáy bằng

60

0và khoảng cách từ điểm

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

FB tác giả: Thầy Hải Toán

+ Gọi H là trung điểm của

AC

. Lại có

ABC

vuông tại B suy ra

HA=HB=HC

Mà theo đề bài cho A A =A B = A C . Vậy

A H

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

FB tác giả: Quochieu Nguyen

Gọi O là tâm của đáy và I là trung điểm

Câu 25. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác đều cạnha

. Khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và CD bằng 2a. Thể tích khối chóp S ABCD. bằng

</div>

Chuyên đề câu 40 thể tích khối đa diện

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)

<i>ABC</i>

<i>BC</i>=<i>a</i>

(

)