ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI NGỌC ANH

VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA MỘT SỐ TAM THỨC

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRẦN NGUYÊN AN

TS. PHẠM HỒNG NAM

THÁI NGUYÊN - 2024

Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Đa thức và nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Đa thức bất khả quy và sự phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Tính bất khả quy của tam thức . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Một asốa tiêu chuẩn cổ điển và tínha bấta khả quy của tam thức
đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Tính bất khả quy của xn − x − 1 và một số mở rộng . . . . . . . 29

2.3. Tính bất khả quy của đa thức x2m ± xm − 1 . . . . . . . . . . . . . . . 34
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ii

MỞ ĐẦU

Bài tốn phân tích một đa thức thành tích các đa thức bất khả
quy là bài toán quan trọng trong toán học cũng như trong khoa học
máy tính. Từ năm 1707 trong cuốn sách Arithmetica Universalis, Isaac
Newton đã đưa ra một phương pháp tìm nhân tử tuyến tính và nhân tử
bậc hai của đa thức với hệ số nguyên. Từ đó đến nay nhiều nhà tốn học
đã và đang tìm kiếm các tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức cũng như
việc phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy. Trên các trường
số theo Định lý cơ bản của Đại số các đa thức bất khả quy trên C là
các đa thức bậc nhất, các đa thức bất khả quy trên R là các đa thức
bậc nhất và các đa thức bậc hai khơng có nghiệm thực. Việc phân loại
đa thức bất khả quy trên Q cho đến nay vẫn là bài tốn mở. Có nhiều
tiêu chuẩn đã được đưa ra để xét tính bất khả quy của đa thức như
tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Cohn, tiêu chuẩn Perron, tiêu chuẩn
Murty, .... Một số luận văn đã tìm hiểu các tiêu chuẩn trên.

Ta phân tích một hướng khác trong bài tốn xét tính bất khả quy
của đa thức là tìm hiểu tính bất khả quy của đa thức trên Q theo số
hạng tử của đa thức. Xét tính bất khả quy của nhị thức ta ln quy
được về bài tốn xét tính bất khả quy của nhị thức dạng axn + b. Vấn
đề này đã được giải quyết hoàn toàn bởi Capelli.

Một cách tự nhiên một bài tốn được đặt ra là xét tính bất khả

quy của tam thức f (x) = axn + bxm + c, trong đó a ∈ N∗, b, c ∈ Z \ {0}
và a, b, c nguyên tố cùng nhau. Tiêu chuẩn Eisenstein và một số tiêu
chuẩn khác giải quyết một số dạng của bài toán. Tuy nhiên bài toán
tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.

Mục đích của luận văn là tìm hiểu tính bất khả quy của một số
lớp tam thức đặc biệt. Cụ thể mục đích thứ nhất vận dụng một số tiêu
chuẩn cổ điển xét tính bất khả quy của một số lớp tam thức, mục đích
thứ hai là xét tính bất khả quy của một số tam thức đặc biệt dạng

1

xn ± x ± 1, xn ± xm ± 1 với 1 < m < n và m = n/2, x2m ± xm − 1. Tài
liệu tham khảo chính là [6], [7] và [4].

Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 trình bày một số
kiến thức chuẩn bị về đa thức, nghiệm của đa thức. Lưu ý rằng nghiệm
của đa thức cũng là cơng cụ quan trọng để xét tính bất khả quy của đa
thức. Chương 1 cũng tổng hợp lại một số vấn đề về đa thức bất khả quy
và sự phân tích đa thức thành tích các đa thức bất khả quy, việc phân
loại các đa thức bất khả quy trên các trường số thực và phức. Chương 2
là chương chính của luận văn. Phần đầu của Chương 2 đề cập đến một
số tiêu chuẩn cổ điển như Bổ đề Gauss, tiêu chuẩn chuyển qua module
một số nguyên tố, tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng.
Một số kỹ thuật hay được sử dụng xét tính bất khả quy của đa thức là
xét nghiệm, đổi biến, đa thức tương hỗ cũng được đưa ra trong chương
này. Các ví dụ mơ tả cho các tiêu chuẩn và kỹ thuật vừa nêu chủ yếu tập
trung vào các tam thức. Cũng cần phải nói thêm rằng các tiêu chuẩn cổ
điển khác cũng có những ứng dụng tương tự cho việc xét tính bất khả
quy của một số tam thức đặc biệt. Hai phần cuối của chương trình bày

tính chất bất khả quy của một lớp tam thức đặc biệt.

Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận được sự hướng dẫn
và giúp đỡ tận tình của PGS.TS. Trần Nguyên An và TS. Phạm Hồng
Nam. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy hướng dẫn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cơ giảng dạy lớp
Cao học tốn Khố 15 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và
kinh nghiệm nghiên cứu khoa học.

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2024

MAI NGỌC ANH

2

Chương 1

Đa thức

Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hốn, có đơn
vị, D ký hiệu miền ngun và F ký hiệu một trường.
1.1. Đa thức và nghiệm của đa thức

Đặt P ⊆ RN là tập các phần tử có hữu hạn tọa độ khác không
P = {(a0, a1, . . . , an, . . . ) ∈ RN | ai = 0 với mọi i 0},

trong đó i 0 có nghĩa là khi i đủ lớn hay tồn tại n0 ∈ N và i > n0.
Cho (a0, a1, . . . , an, . . . ), (b0, b1, . . . , bn, . . . ) ∈ P , phép cộng và phép
nhân được định nghĩa như sau:


(a0, . . . , an, . . . ) + (b0, . . . , bn, . . . ) = (a0 + b0, . . . , an + bn, . . . ),
(a0, . . . , an, . . . )·(b0, . . . , bn, . . . ) = (c0, . . . , cn, . . . ),

trong đó ck = a0bk + a1bk−1 + · · · + akb0 = i+j=k aibj, với mọi số
nguyên không âm k. Ta kiểm tra dễ dàng đây là các phép tốn hai ngơi
và P là vành giao hốn với các phép tốn hai ngơi trên, trong đó phần
tử không là 0 = (0, 0, 0, . . . ) và đơn vị là 1 = (1, 0, 0, . . . ).

Đặt ϕ : R → P , ϕ(a) = (a, 0, 0, . . .), với mọi a ∈ R. Khi đó ϕ là
đơn cấu vành. Vì vậy ta có thể đồng nhất a với dãy (a, 0, 0, . . .) với mỗi
a ∈ R. Với đồng nhất này R là vành con của P .

Ký hiệu x = (0, 1, 0, 0, . . . ) ∈ P. Khi đó x ∈ P \ R và bằng quy

1

nạp, ta có

x2 = (0, 0, 1, 0, 0, . . . ),

x3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, . . . ),
...

xk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . ),

k

...


Vậy (0, 0, . . . , 0, a, 0, . . . ) = (a, 0, 0, . . . )(0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) = axk, với

k k

mọi a ∈ R. Cho f là một phần tử của P. Khi đó tồn tại n ∈ N và

a0, a1, . . . , an ∈ R thỏa mãn f = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . . ). Hơn nữa

f = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . . )

= (a0, 0, . . .) + (0, a1, 0, . . .) + · · · + (0, 0, . . . , an, . . .)
= a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn.

Định nghĩa 1.1.1. Vành P được gọi là vành đa thức một biến (hay một

ẩn và được ký hiệu là R[x]. Phần tử x được gọi là biến (hay ẩn). Một

phần tử của R[x] được gọi là đa thức một biến với hệ tử trên R và được

ký hiệu bởi f (x), g(x), h(x), . . . .

Với đa thức f (x) ∈ R[x], ta có

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn (1.1)

là biểu diễn của f (x), trong đó a0, a1, . . . , an ∈ R. Ta gọi a0, a1, . . . , an
là các hệ tử của f (x).

Cho 0 = f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ R[x], trong đó
an = 0. Số n được gọi là bậc của f (x) và được ký hiệu bởi deg(f (x)); hệ

tử an được gọi là hệ tử cao nhất (hệ tử khởi đầu) của f (x) và được ký
hiệu bởi lc(f (x)). Nếu hệ tử cao nhất của f (x) là 1 thì f (x) được gọi là
đa thức monic. Hệ tử a0 được gọi là hệ tử tự do của f (x). Các phần tử
của R thường được gọi là đa thức hằng. Đa thức bậc 1 được gọi là đa
thức tuyến tính.

2

Nhận xét 1.1.2. (i) Bậc của đa thức không được quy ước là không
xác định, −1 hay −∞. Trong luận văn này chúng tôi theo quy ước
deg(0) = −∞.

(ii) Ta có a0 + a1x + · · · + amxm = b0 + b1x + · · · + bnxn trong
R[x] nếu và chỉ nếu m = n và ai = bi với i = 0, . . . , m.

(iii) Mỗi đa thức f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ R[x] xác
định hàm f : R → R theo quy tắc f (u) = a0 + a1u + · · · + anun.

(iv) Cho R và S là các vành giao hoán và ϕ : R → S là đồng cấu
vành. Khi đó tồn tại đồng cấu

ϕ∗ : R[x] → S[x]

xác định bởi

ϕ∗(anxn + · · · + a1x + a0) = ϕ(an)xn + · · · + ϕ(a1)x + ϕ(a0).

Hơn nữa, nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ∗ cũng là đẳng cấu.
Ví dụ, đồng cấu vành Z → Zm cảm sinh đồng cấu Z[x] → Zm[x]


với các hệ số của ảnh lấy theo modul m.

Bậc của tổng, tích và hợp thành của hai đa thức liên hệ mật thiết
với bậc của đa thức đã cho.

Bổ đề 1.1.3. Cho f (x), g(x) ∈ R[x]. Khi đó
(i) deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg(f (x)), deg(g(x))};
(ii) deg(f (x)g(x)) ≤ deg(f (x)) + deg(g(x)).

Khi R là miền nguyên ta có đẳng thức ở (i) và (ii) trong Bổ đề
1.1.3.

Hệ quả 1.1.4. Nếu R là miền nguyên thì
(i) deg(f (x)g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)).
(ii) R[x] là miền nguyên.
(iii) Tập các phần tử khả nghịch của R[x] và R trùng nhau.

3

Định lý 1.1.5 (Định lí chia). Cho F là một trường và f (x), g(x) ∈ F [x]
với g(x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) ∈ F [x]
thỏa mãn

f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó deg(r(x)) < deg(g(x)).

Hệ quả 1.1.6. Cho F là một trường. Khi đó F [x] là một miền Euclid.
Do đó F [x] là miền phân tích duy nhất.

Kết quả sau là một mở rộng của Hệ quả 1.1.6.


Định lý 1.1.7. Cho R là một vành giao hốn khác khơng. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương.

(i) R là trường;
(ii) R[x] là miền Euclid;
(iii) R[x] là miền chính.

Hệ quả 1.1.8. Z[x] khơng là miền chính.

Nếu D là một miền nguyên thì theo Hệ quả 1.1.4, D[x] là miền
nguyên. Do đó theo định nghĩa ước chung lớn nhất của hai phần tử không
đồng thời bằng không trên một miền nguyên, d(x) ∈ D[x] là ước chung
lớn nhất của hai đa thức không đồng thời bằng không f (x), g(x) ∈ D[x]
nếu

(i) d(x) chia hết f (x) và g(x).
(ii) Nếu d (x) là một đa thức khác chia hết f (x) và g(x), thì
d (x) chia hết d(x).
Ta có các ước chung lớn nhất nếu tồn tại thì sai khác nhau một
nhân tử khả nghịch của D. Đặc biệt nếu D là trường F thì hai đa thức
bất kì khơng đồng thời bằng 0 ln có ước chung lớn nhất, hơn nữa cịn
tồn tại thuật tốn tìm ước chung lớn nhất đó vì F [x] là vành Euclid
(xem Định lí 1.1.7). Các phần tử khả nghịch của trường là các phần tử
khác khơng do đó nếu t(x) = anxn + . . . + a1x + a0, trong đó an = 0,
là một ước chung lớn nhất của hai đa thức f (x) và g(x) thì các ước

4

chung lớn nhất của f (x) và g(x) là và chỉ là các đa thức có dạng rt(x)
với 0 = r ∈ F. Đặc biệt, đa thức d(x) = a−n 1t(x) là ước chung lớn nhất

duy nhất của f (x) và g(x) mà có có hệ tử cao nhất bằng 1. Khi đó ta
viết d(x) = gcd(f (x), g(x)). Để tiện theo dõi ta đưa ra định nghĩa ước
chung lớn nhất của hai đa thức với hệ số trên trường là đa thức monic
như vừa nêu.

Định nghĩa 1.1.9. Cho F là một trường và f (x), g(x) ∈ F [x]. Ước
chung của f (x) và g(x) là đa thức h(x) ∈ F [x] thỏa mãn h(x)|f (x)
và h(x)|g(x). Nếu f (x) và g(x) khơng đồng thời bằng 0 thì ước chung
lớn nhất của f (x) và g(x), được ký hiệu bởi gcd(f (x), g(x)) là đa thức
monic d(x) ∈ F [x] sao cho

(i) d(x) chia hết f (x) và g(x).
(ii) Nếu d (x) là một đa thức khác chia hết f (x) và g(x), thì d (x)
chia hết d(x).
Hai đa thức f (x) và g(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
gcd(f (x), g(x)) = 1.

Định lý 1.1.10. Cho F là một trường và f (x), g(x) ∈ F [x] khơng đồng
thời bằng khơng. Khi đó, tồn tại duy nhất ước chung lớn nhất d(x) của
f (x) và g(x). Hơn nữa, tồn tại các đa thức u(x) và v(x) sao cho

d(x) = f (x)u(x) + g(x)v(x).

Định nghĩa 1.1.11. Cho R ⊆ S là các vành giao hoán. Cho

f (x) = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ R[x].

Với v ∈ S, ta có f (v) = anvn + · · · + a1v + a0 ∈ S và được gọi là giá
của đa thức f (x) tại x = v. Nếu f (v) = 0 thì v được gọi là nghiệm hay
không điểm của f (x) hay của phương trình f (x) = 0 trong S.


√
Ví dụ 1.1.12. Các số ± 2 ∈ R là các nghiệm của đa thức f (x) =
x2 −2 ∈ R[x]; các số ±i là các nghiệm của đa thức g(x) = x2 +1 ∈ C[x].

5

Kết quả sau giúp ta tính giá trị của đa thức f (x) tại x = a ∈ R,
từ đó kiểm tra a có là nghiệm của f (x). Phương pháp này thường dễ
dàng hơn việc thay trực tiếp x = a vào đa thức, đặc biệt khi ta phối
hợp với Lược đồ Horner.

Định lý 1.1.13 (Định lí dư). Cho f (x) ∈ R[x] và a ∈ R. Khi đó tồn tại
q(x) ∈ R[x] thỏa mãn

f (x) = (x − a)q(x) + f (a).

Để xác định f (a) theo Định lí dư ta cần thực hiện phép chia
f (x) cho x − a và f (a) là phần dư trong phép chia đó. Phương pháp
Horner giúp ta thực hiện phép chia và xác định f (a) dễ dàng hơn.
Phần tiếp theo của mục ta xét phép chia đặc biệt, chia đa thức f (x) =
anxn + · · · + a1x + a0 ∈ R[x], an = 0 cho đa thức bậc nhất monic x − a,
a ∈ R theo phương pháp Horner . Theo Định lí 1.1.5

f (x) = (x − a)g0(x) + r0,

trong đó r0 = f (a) và g0(x) = bn−1xn−1 +· · ·+b1x+b0 ∈ R[x], bn−1 = 0.
So sánh hai vế, ta có



bn−1 = an
..
 .








bi−1 = ai + abi (1.2)

 ...




b0 = a1 + ab1



r0 = a0 + ab0.

Ta có thể đặt các cơng thức trên vào bảng sau và gọi là Lược đồ Horner

an an−1 . . . a1 a0
a bn−1 bn−2 . . . b0 r0

Ví dụ 1.1.14. Chia x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − 8 cho x + 1.


6

Ta có Lược đồ Horner
1 −2 0 5 6 −8

−1 1 −3 3 2 4 −12

Vì vậy

x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − 8 = (x + 1)(x4 − 3x3 + 3x2 + 2x − 4) − 12.

Từ đó ta cũng có f (−1) = −12.

Sử dụng Lược đồ Horner ta có thể suy ra Đa thức Taylor. Nhắc lại
f (x) = (x − a)g0(x) + r0, r0 = f (a) và đa thức g0(x) có bậc n − 1.
Tương tự ta có

g0(x) = (x − a)g1(x) + r1,

g1(x) = (x − a)g2(x) + r2,
...

gn−2(x) = (x − a)gn−1(x) + rn−1,

trong đó gk(x) là đa thức bậc n − k − 1. Cuối cùng gn−1(x) = an là đa
thức hằng. Đặt rn = an, ta có biểu diễn

f (x) = rn(x − a)n + rn−1(x − a)n−1 + · · · + r1(x − a) + r0


n

= ri(x − a)i.

i=0

Ví dụ 1.1.15. Cho f (x) = x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − 8 ∈ Q[x], a = −1.
1 −2 0 5 6 −8

−1 1 −3 3 2 4 −12
−1 1 −4 7 −5 9
−1 1 −5 12 −17
−1 1 −6 18
−1 1 −7

Khi đó

f (x) = x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − 8
= (x + 1)5 − 7(x + 1)4 + 18(x + 1)3 − 17(x + 1)2 + 9(x + 1) − 12.

7

Hệ quả 1.1.16 (Định lí Bezout). Cho f (x) ∈ R[x] và a ∈ R. Khi đó,
x − a chia hết f (x) nếu và chỉ nếu a là một nghiệm của f (x).

Mệnh đề sau cho ta phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức
với các hệ số nguyên.

Mệnh đề 1.1.17. Cho n là một số nguyên dương và p, q là các số
nguyên khác không và 0 = f (x) = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ Z[x]. Giả sử


p
p, q nguyên tố cùng nhau. Nếu f ( ) = 0 thì

q
(i) p|a0 và q|an;

p
(ii) Nếu f (x) là monic thì là số nguyên;

q
(iii) (p − mq)|f (m), với mọi m ∈ Z. Đặc biệt, (p − q)|f (1) và (p +
q)|f (−1).

Ví dụ 1.1.18. Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức f (x) = x3 − 6x2 −
15x − 14. Ta có f (1) = 34 = 0, f (−1) = −6 = 0. Theo Mệnh đề
1.1.17, đa thức này nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là số
ngun và là ước của 14. Vậy nghiệm của f (x) chỉ có thể là số nguyên
p ∈ {±1, ±2, ±7, ±14}. Hơn nữa cũng theo Mệnh đề 1.1.17, ta có (p −
1)|f (1) và (p + 1)|f (−1). Vậy p = 2. Thử lại ta có 2 là nghiệm hữu tỉ
duy nhất của đa thức đã cho.

Định nghĩa 1.1.19. Cho f (x) ∈ R[x] và k là một số nguyên dương.
Phần tử a ∈ R là một nghiệm bội k của f (x) nếu f (x) chia hết cho
(x − a)k nhưng f (x) không chia hết cho (x − a)k+1. Nếu k = 1 thì a
được gọi là nghiệm đơn. Nếu k = 2 thì a được gọi là nghiệm kép.

Bổ đề 1.1.20. Cho R là một miền nguyên, f (x) ∈ R[x], a ∈ R và k là
số nguyên dương. Khi đó a là nghiệm bội k của f (x) nếu và chỉ nếu


f (x) = (x − a)kg(x),

với g(x) ∈ R[x] thỏa mãn g(a) = 0.

8

Mệnh đề 1.1.21. Cho R là một miền nguyên và 0 = f (x) ∈ R[x]. Giả
sử a1, a2, . . . , ar ∈ R là các phần tử phân biệt và tương ứng là nghiệm
bội k1, k2, . . . , kr của f (x). Khi đó

f (x) = (x − a1)k1(x − a2)k2 · · · (x − ar)krg(x),
trong đó g(x) ∈ R[x] và g(ai) = 0 với mọi i = 1, . . . , r.

1.2. Đa thức bất khả quy và sự phân tích

Tiếp theo ta định nghĩa đa thức bất khả quy. Trước hết ta nhắc
lại định nghĩa phần tử bất khả quy trên một miền nguyên.
Định nghĩa 1.2.1. Cho p ∈ D là một phần tử khác 0 và không khả
nghịch (khác ước của đơn vị).

(i) p được gọi là phần tử bất khả quy nếu p khơng có ước thực sự.
(ii) p được gọi là phần tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ D, p|ab kéo
theo p|a hoặc p|b.
Nhận xét 1.2.2. Như vậy phần tử p ∈ D là bất khả quy nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau
(i) p khác 0 và p khơng khả nghịch;
(ii) Nếu có sự phân tích p = uv trong R thì u hoặc v khả nghịch.

Trong vành Z các số nguyên, các phần tử nguyên tố là các số
nguyên tố và số đối của chúng. Hơn nữa, các phần tử bất khả quy trong

Z là và chỉ là các phần tử nguyên tố.

Phần tử bất khả quy trên miền nguyên đã được đưa ra trong Định
nghĩa 1.2.1. Nếu R là miền nguyên thì R[x] là miền nguyên. Phần tử
bất khả quy trên R[x] còn được gọi là đa thức bất khả quy. Để tiện theo
dõi ta đưa thành định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.3. Cho R là một miền nguyên. Đa thức f (x) ∈ R[x]
được gọi là đa thức bất khả quy trong R[x] hay đa thức bất khả quy trên
R nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

9

(i) f (x) khác 0 và f (x) khơng khả nghịch;
(ii) f (x) khơng có ước thực sự hay nếu có sự phân tích f (x) =
g(x)h(x) trong R[x] thì g(x) hoặc h(x) khả nghịch.

Ví dụ 1.2.4. (i) 2, 2x + 1 là các đa thức bất khả quy trong Z[x] nhưng
2 không bất khả quy trong Q[x].

(ii) 2x + 4 bất khả quy trong Q[x] nhưng không bất khả quy trong
Z[x].

Tiếp theo ta tìm hiểu một số tính chất của các đa thức bất khả
quy với hệ số trên một trường. Trước hết tính bất khả quy của đa thức
f (x) ∈ F [x] phụ thuộc vào trường F . Ví dụ f (x) = x2 + 1 bất khả quy
trong R[x], nhưng có sự phân tích thành (x + i)(x − i) trong C[x] tức
là f (x) không bất khả quy trong C[x]. Ta có đặc trưng quan trọng sau
của đa thức bất khả quy trên trường.

Mệnh đề 1.2.5. Cho F là một trường và f (x) ∈ F [x] là một đa thức

bậc n. Khi đó f (x) bất khả quy nếu và chỉ nếu n ≥ 1 và f (x) khơng có
sự phân tích trong F [x] thành tích hai đa thức mà các nhân tử có bậc
nhỏ hơn n.

Lưu ý rằng F khơng là trường thì đặc trưng này của đa thức bất
khả quy là khơng đúng. Ví dụ 3x+3 = 3(x+1) không bất khả quy trong
Z[x] nhưng trong mọi phân tích, sẽ phải có một nhân tử bậc khơng và
nhân tử cịn lại có bậc 1.

Bổ đề 1.2.6. Cho F là một trường. Nếu p(x) là đa thức bất khả quy
trong F [x] thì gcd(p(x), f (x)) = 1 với mọi đa thức f (x) ∈ F [x] thỏa
mãn điều kiện f (x) không chia hết cho p(x).

Theo Hệ quả 1.1.6, F [x] là miền phân tích duy nhất tức là mọi
đa thức khác hằng f (x) ∈ F [x] có thể phân tích trong F [x] thành tích
các đa thức bất khả quy và sự phân tích là duy nhất nếu không kể đến
thứ tự các nhân tử. Đây là kết quả thú vị, có nhiều ứng dụng thể hiện

10

sự quan trọng của đa thức bất khả quy tương tự như số nguyên tố nên
luận văn trình bày lại ở đây.

Bổ đề 1.2.7. Cho p(x) là đa thức bất khả quy trong F [x]. Nếu p(x) chia
hết r(x)s(x), trong đó s(x), r(x) ∈ F [x] thì p(x) chia hết r(x) hoặc chia
hết s(x) trong F [x].

Định lý 1.2.8. Mọi đa thức khác hằng f (x) ∈ F [x] có thể phân tích
trong F [x] thành tích các đa thức bất khả quy. Sự phân tích là duy nhất
nếu khơng kể đến thứ tự các nhân tử.


Nhận xét 1.2.9. Sự phân tích duy nhất có thể khơng đúng khi vành
các hệ số khơng phải là miền ngun. Ví dụ trong Z8[x].

x2 − 1 = (x + 1)(x + 7) = (x + 3)(x + 5).

Chú ý các nhân tử bậc nhất là bất khả quy.

Nhận xét 1.2.10. Trong toán học, sự phân tích là việc viết một đối
tượng tốn học (số, đa thức, ...) thành tích một số nhân tử mà mỗi nhân
tử là đối tượng thường nhỏ hơn hoặc đơn giản hơn và cùng kiểu (số, đa
thức, ..). Ví dụ 3.7 là sự phân tích của số nguyên 21, (x − 1)(x + 1) là
sự phân tích của đa thức x2 − 1. Sự phân tích đa thức đã được nghiên
cứu từ lâu đời. Trong đại số sơ cấp, việc phân tích đa thức quy bài tốn
tìm nghiệm của đa thức về việc tìm nghiệm của các nhân tử. Đa thức
với hệ số trên trường, trên vành các số nguyên hay tổng qt hơn là
trên miền phân tích duy nhất có tính phân tích duy nhất, một phiên
bản của Định lí cơ bản của Số học mà số nguyên tố được thay bằng các
đa thức bất khả quy.

Đặc biệt đa thức với hệ số phức có sự phân tích duy nhất (sai khác
thứ tự) thành tích các đa thức bậc nhất (xem Hệ quả 1.2.13). Trong
trường hợp này, sự phân tích được thực hiện bằng việc tìm nghiệm.
Tương tự trên trường các số thực, các đa thức bất khả quy có bậc
khơng q 2 (xem Hệ quả 1.2.21), trong khi tồn tại đa thức bậc bất kỳ

11

bất khả quy trên trường số hữu tỉ (xem Ví dụ 2.1.11). Trường hợp các
đa thức với hệ số nguyên là vấn đề cơ bản trong Đại số máy tính. Có

các thuật tốn tính tốn hữu hiệu tìm sự phân tích của đa thức với hệ
số hữu tỉ.

Định lý 1.2.11 (Định lí cơ bản của Đại số). Mọi đa thức với hệ số phức
và khác đa thức hằng đều có ít nhất một nghiệm phức.

Hệ quả 1.2.12. Đa thức f (x) ∈ C[x] bất khả quy trên C nếu và chỉ
nếu deg f (x) = 1.

Chứng minh. Giả sử deg f (x) = 1. Ta có f (x) bất khả quy theo định
nghĩa. Giả sử f (x) ∈ C[x] là đa thức bất khả quy. Ta có deg f (x) ≥ 1.
Giả sử deg f (x) > 1. Theo Định lí cơ bản của Đại số, f (x) có nghiệm trên
C. Điều này kéo theo f (x) không bất khả quy, vơ lý. Do đó deg f (x) =
1.

Hệ quả 1.2.13. Mọi đa thức có hệ số phức với bậc dương đều phân tích
được thành tích của các nhân tử tuyến tính.

Chứng minh. Cho f (x) ∈ C[x]. Ta chứng minh quy nạp theo n =
deg(f (x)). Khẳng định luôn đúng khi n = 1, vì lúc này f (x) là nhân tử
tuyến tính của chính nó. Giả sử n > 1. Theo Định lí cơ bản của Đại số,
tồn tại nghiệm z1 của f (x) và f (x) = (x−z1)g(x), trong đó g(x) ∈ C[x]
và deg g(x) < n. Theo giả thiết quy nạp, g(x) phân tích được thành
tích các nhân tử tuyến tính, do đó f (x) cũng phân tích thành tích các
nhân tử tuyến tính.

Nhận xét 1.2.14. Ta có thể sử dụng Hệ quả 1.2.12 và sự phân tích của
đa thức thành tích các đa thức bất khả quy trên một trường (xem Định
lí 1.2.8) để đưa ra chứng minh khác cho Hệ quả 1.2.13.


Cho f (x) ∈ C[x] là đa thức có bậc n dương. Khi đó f (x) có sự
phân tích duy nhất f (x) = c(x − λ1)(x − λ2) · · · (x − λn), trong đó
λ1, λ2, . . . , λn ∈ C là các nghiệm của f (x) và c ∈ C \ {0}.

12

Hệ quả 1.2.15. Mọi đa thức một biến bậc n > 0 với hệ số phức đều có
n nghiệm phức.

Tiếp theo ta sử dụng Định lí cơ bản của Đại số để phân loại các
đa thức bất khả quy với hệ số thực.

Bổ đề 1.2.16. Cho f (x) ∈ R[x]. Nếu f (z) = 0, thì f (z) = 0 (Nghiệm
phức của các đa thức thực liên hợp theo từng cặp).

Bổ đề 1.2.17. Cho z ∈ C. Khi đó (x − z)(x − z) ∈ R[x].

Bổ đề 1.2.18. Giả sử f (x) ∈ R[x] có nghiệm z ∈ C \ R. Khi đó f (x)
chia hết cho (x − z)(x − z) trong R[x].

Hệ quả 1.2.19. Mỗi đa thức với hệ số thực bất khả quy khi và chỉ khi
đa thức đó có bậc 1 hoặc bậc 2 và khơng có nghiệm trên R.

Chứng minh. Cho f (x) ∈ R[x]. Nếu deg f (x) = 1 hoặc deg f (x) = 2
thỏa mãn f (x) khơng có nghiệm thực thì f (x) bất khả quy trên R.

Ngược lại, giả sử f (x) ∈ R[x] bất khả quy trên R và deg f (x) ≥ 2.
Khi đó f (x) khơng có nghiệm thực. Theo Định lí cở bản của Đại số,
f (x) có một nghiệm z ∈ C \ R. Theo Bổ đề 1.2.18, f (x) chia hết cho
(x − z)(x − z) trong R[x]. Khi đó tồn tại g(x) ∈ R[x] thỏa mãn f (x) =

(x − z)(x − z)g(x). Vì f (x) bất khả quy trên R nên deg(g(x)) = 0. Do
đó deg f (x) = 2 và f (x) khơng có nghiệm thực.

Nhận xét 1.2.20. Đa thức ax2 + bx + c ∈ R[x] khơng có nghiệm thực
nếu và chỉ nếu b2 − 4ac < 0.

Hệ quả 1.2.21. Cho f (x) ∈ R[x] là đa thức bậc n dương. Khi đó f (x)

có sự phân tích duy nhất

r s

f (x) = c (x − λi) (x2 + αjx + βj),

i=1 j=1

trong đó λ1, λ2, . . . , λr ∈ R là các nghiệm của f (x) và c, α1, β1, . . . , αs, βs
là các số thực thỏa mãn α2j − 4βj < 0 với mọi j = 1, ..., s.

13

Chương 2

Tính bất khả quy của tam thức

2.1. Một asốa tiêu chuẩn cổ điển và tínha bấta khả quy của
tam thức đặc biệt

Từ Hệ quả 1.2.12 ta suy ra các đa thức bất akhảa quy trên C là
và chỉ là các đa thức bậc nhất. Từ Hệ quả 1.2.19 ta có các đa thức abất

khả aquy trên R là và chỉ là các đa thức bậc nhất và đa thức bậc hai
khơng có nghiệm trên trường số thực. Cho đến nay, bài toán phân loại
các đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ Q vẫn là bài tốn mở.
Hơn nữa với n bất kỳ ln tồn tại đa thức bậc n bấta khả quy, chẳng
hạn f (x) = xn + 2. Luận văn tập trung nghiên cứu a tính bất a khả quy
trên Q của một lớp đa thức đặc biệt là các tam thức. Phần đầu của mục
ta nhắc lại các tiêu chuẩn kiểm tra tính bất a khả a quy của đa thức
trong Q[x] dựa vào việc kiểm tra sự tồn tại nghiệm hữu tỉ của đa thức.

Trước hết ta nhắc lại khái niệm đa thức bất khả quy trên trường
và xét tínha bất a khả a quy của đa a thức a bậc thấp trên trường
tổng quát. Giả sử F là một trường và f (x) ∈ F [x]. Khi đó f (x) a bất
khả a quy a trong F [x] khi và chỉ khi deg(f (x)) ≥ 1 và trong F [x],
đa thức f (x) không viết được dưới dạng f (x) = g(x)h(x) trong đó
deg g(x), deg h(x) < deg(f (x)).

Mệnh đề 2.1.1. Giả sử F là một trường và f (x) ∈ F [x].
(i) Nếu f (x) là đa thức bậc nhất thì f (x) bấta khả a quy trên F .
(ii) Nếu deg(f (x)) > 1 và f (x) có một nghiệm trong F thì f (x) không

14

bất a khả a quy.
(iii) Giả sử f (x) ∈ F [x] là đa thức bậc hai hoặc bậc ba. Khi đó, f (x)

bất a khả a quy trong F [x] khi và chỉ khi f (x) khônga có a nghiệm a
trong F .

Chứng minh. (i) Hiển nhiên theo định nghĩa hoặc theo Mệnh đề 1.2.5.
(ii) Giả sử α ∈ F là nghiệm của f (x). Theo Hệ quả 1.1.16,


f (x) = (x − α)g(x) trong đó g(x) ∈ F [x].

Ta có deg(x − α) < deg(f (x)) và deg(g(x)) < deg(f (x)). Do đó f (x)
khơng bất a khả a quy theo Mệnh đề 1.2.5.
(iii) Theo (ii), bậc thực sự lớn hơn 1 và đa thức bất khả quy khơng có
nghiệm trong F . Ngược lại nếu f (x) khơng bất khả a quy thì a f (x) có
biểu diễn f (x) = g(x)h(x), trong đó g(x) và h(x) là các đa thức có bậc
dương. Vì deg(f (x)) = deg(g(x)) + deg(h(x)) nên ít nhất một nhân tử
có bậc 1 và kéo theo f (x) có nghiệm trong F .

Chú ý Hệ quả 2.1.1 (iii) khơng cịn đúng nếu f (x) là đa thức bậc
lớn hơn hoặc bằng 4. Chẳng hạn xét đa thức

af (x)a = x4 + 2x2 + 1 = a(x2 + 1)2 ∈ R[x].

Như vậy đa thức không bất khả quy. Tuy nhiên, đa thức khơng có
nghiệm thực.
Ví dụ 2.1.2. Đa thức f (x) = x3 − 3n2x + n3, với n nguyên dương là
bất khả quy.

Thật vậy, ta có deg(f (x)) = 3. Giả sử f (x) có nghiệm hữu tỉ a,
ta có a3 − 3n2a + n3. Vì n = 0 nên (a/n)3 − 3(a/n) + 1. Điều này kéo
theo đa thức y3 − 3y + 1 có nghiệm hữu tỉ. Đây là điều vơ lý. Vậy f (x)
khơng có nghiệm hữu tỉ. Theo Mệnh đề 2.1.1, ta có f (x) là đa thức bất
khả quy trên Q.

15

Mệnh đề 2.1.3. Cho F là một a trường a và lấy đa thức f (x) ∈ F [x],

a, b ∈ F, a = 0. Khi đó f (x) bất khả quy nếu và chỉ nếu f (ax + b) bất
khả quy.

Chứng minh. Trước hết ta chú rằng deg(f (x)) = deg(f (ax+b)) với mọi
a, b ∈ F và a = 0. Giả sử f (x) a bất a khả a quy và f (ax + b) khônga a
a bất khả quy. Khi đó f (ax + b) = g(x)h(x), trong đó g(x), h(x) ∈ F [x]
và deg(g(x)), deg(h(x)) < deg(f (x)). Thay x bởi a−1x−b, ta có f (x) =
g(a−1x − b)h(a−1x − b). Hơn nữa deg(g(a−1x − b)), deg(h(a−1x − b)) <
deg(f (x)) là các đa thức trong F [x]. Điều này kéo theo f (x) không bất
khả quy. Đó là điều vơ lý và kéo theo f (ax + b) bất khả quy. Chiều
ngược lại được chứng minh tương tự.

Với f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 là đa thức bậc n, ta
ký hiệu f (x) là đa thức tương hỗ của f (x) và cho bởi

f (x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = xdeg f f (1/x).

Chú ý nếu f (x) có hệ tử cao nhất a0, f (x) = a0 (x − r1) · · · (x − rn) và
f (0) = 0 thì f (x) = f (0) (x − 1/r1) · · · (x − 1/rn) . Ta dễ thấy một số
tính chất sau của đa thức tương hỗ

ˆ nếu f (0) = 0 thì deg f = deg f và f˜˜ = f ,

ˆ nếu f = gh thì f = gh,

ˆ với mọi hằng số c, ta có cf = cf˜,

ˆ nếu f (x) = n aixi có bậc n thì hệ số của xn của đa thức f (x)f (x)
i=0


là a20 + a21 + · · · + a2n.

Mệnh đề 2.1.4. Cho f (x) ∈ F [x] có số hạng tự do khác khơng (tức là
f (0) = 0). Khi đó f (x) bất khả quy khi và chỉ khi đa thức tương hỗ f (x)
bất khả quy.

Chứng minh. Giả sử f (x) bất khả quy và f (x) không a bất a khả a quy.
Vì f (0) = 0 nên deg(f (x)) = deg(f (x)). Vì vậy f (x) khơng bất khả

16