Một số không gian tựa metric trong lý thuyết đa thế vị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.64 MB, 30 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ HUY HỒNG
MỘT SỐ KHƠNG GIAN TỰA METRIC TRONG
LÝ THUYÊT ĐA THÊ VỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, năm 2023
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRUONG DAI HOC SU PHAM
VU HUY HOANG
MOT SO KHONG GIAN TUA METRIC
TRONG LY THUYET DA THE VI
Ngành: Toán Giai Tich
Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: GŒS.TSKH. NGUYÊN QUANG DIỆU
Thái Nguyên, năm 2023
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tơi khơng
trùng với bất kỳ cơng trình nghiên cứu nào của các tác giả khác, những số liệu
trong luận văn là trung thực, được điều tra trong quá trình thực hiện luận văn.
Trong q trình nghiên cứu luận văn có tham khảo các cơng trình nghiên
cứu khoa học của các nhà khoa học.
Thai Nguyên, thang 8 nam 2023
Tac gia
Vii Huy Hoang
Loi cam ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thái Nguyên dưới sự
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của GS. TSEKH. Nguyễn Quang Diệu. Tơi xin
bày tổ lịng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn đã định hướng
chọn đề tài và tận tình chỉ bảo để tơi hồn thành luận văn này. Tơi cũng
muốn bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phịng Sau đại học, các Thầy, cơ
và các bạn học viên cùng với nhữnnhững người thân đã giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập và hồn thành luận văn.
Thái Nguyên, 2023
Vũ Huy Hoàng
Mục lục
Lời cảm ơn
Mục lục ii
Phần mở dau 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Ham rmm—- điều hòa dưới .................... 3
1.2 Khong gian tifa metric .............0 000000. 10
Chương 2 Khơng gian tựa metric các hàm ?nm— điều hịa dưới 14
2.1 Tựa metric trên nón pm. .... .. . Ặ c So. 14
2.2 Tinh day của không gian pm .. 2. 2.2. .. ee 20
Kết luận 25
Tài liệu tham khảo 26
li
Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.2 về tính tựa metric và tính tựa metric đầy của
(Epm; Jp) khi p > 0 và khi p > 1.
Do đây là một đề tài không đơn giản pha trộn nhiều kiến thức của giải
tích phức và của lý thuyết đa thế vị phức và cũng do vốn hiểu biết của tác
giả cịn hạn hẹp nên khơng tránh khỏi những thiếu sót khi trình bày. Tơi
mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cơ và các bạn đồng nghiệp để
bản luận văn. được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, 2023
Vũ Huy Hoàng
Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta sẽ trình bày một số kết quả về hàm điều hòa dưới hàm m— điều
hòa dưới cùng với miền rm—siêu lồi. Sau đó, ta sẽ đề cập tới các lớp năng
lượng Cegrell trên những miền siêu lồi bị chặn. Những phần này được lấy
trong các tài liệu tham khảo [1| và [3].
1.1 Hàm m— điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1 Cho 6: > 2 và 1 < rn < n và D C C" là một miền bị
chặn. Cho œ là một hàm điều hòa dưới trên () thì chúng ta nói rang u lA m-
điều hòa dưới nếu bất đẳng thức dưới đây thỏa mãn
dd“u \ ay A ...dm— 8B"1—mA> 0.
Trong đó ơi,..., œ„ — 1 € L„, là các phần tử tùy ý. Ta ký hi¢u SH,,(D) là
tập tất cả các hàm m-điều hịa dưới được định nghĩa trên 2.
Dat o; là đa thức đối xứng với k phần tử của ?ø biến
Ơk(#1, ..., #p) := » Lj++ ,Lip
1S?1<7?a<...
Ta có thể chứng minh rằng một hàm + € Œ^(OQ) là rm- điều hòa dưới nếu và
chỉ nếu
on(u(z)) = o¢(A1(Z), ..., An(z)) = 0
3
với tất cả k = 1,...,m và tất cả z e Q Ở đây À:(2),..., Az(2z) là các giá trị
riêng của ma trận Hessian phức
6u 1
Ban a)
74h
Đối với hàm rm-điều hòa dưới trơn u trén C?, todn tử rn-Hessian được định
nghĩa bởi Hm(u) = (dd9)” A (dd#lzl?)””
= 4"m! (n — m)!om (u(z)) dVan.
Ư đó đW2„ là độ đo Lebesgue trong C”.
Mệnh đề 1.1.2. ¡) Nếu u thuộc lớp C2 thà u là m-diéu hoa dudi néu va
chỉ nếu dạng dd°u là mm-dương trong Ô.
¡) Nếu u,u € SHm(O) thà Àu + tu € ŠH(„(©), VÀ, > 0.
iit) Néu u la m-diéu hòa dưới trong Q thà u * x¿ cũng là mm-điều hoà dưới
trong Qe: = {4 ED: d(x, OQ) > e}.
iv) Nếu (uj)CSHm(Q) bt chặn trên đều địa phuong va u = sup wy. Khi do
u*(z)= lim u(z) € SHp,(Q).
0N3wz
v) PSH(Q) = SH,(Q) C... C SHm(Q) C... C SH,(Q) = SH(Q).
vi) Giả sử Ú AU C D la tép con mé sao cho sao cho OU NQ la compact
trong ©. Nếu u,u € SHm(©) uà
lim 0ƒ) < uly)
uới rỗi G OU NQ. thi ham w xdc dinh bdi :
w(2) = u(z), néuzEQ\U
max(u(z),u(z)), nếu z€ Ũ
là m-diéu hoa dưới trong ©.
Ví dụ 1.1.3 SH›;(C). Hơn
1) Xét hàm 0(#, #a, #3) = 6|zạ|[Ÿ + 4|za|2 — |za|. Khi đó u
nữa ma trận Hermite của 0 có dạng
Do đó ta có
51(0)(2)=6+(—1)+4=9>0,
5%a(z)=6x(1)†+4x(—I1)+5x4>0.
Điều đó chứng tỏ u € 9H;(C). Tuy nhiên, nếu lấy ƒ là ánh xạ chỉnh hình
từ C3 —> CỞ cho bởi
f (x1, 2, 3) — (0, Z2, 0)
thì
uo ƒ(z) = —|z:ÏÏ
va, do d6 A(vo f) = —4. Vậy nó khơng là hàm điều hịa dưới trên C3. Do
đó nó khơng thuộc S7/7;(Œ3).
Trong luận văn này chúng ta cần khái niệm 7n-siêu lỗi dưới đây.
Định nghĩa 1.1.4 Cho n > 2 val < m < một miền bị chặn D C C”
được gọi là n-siêu lồi nếu nó thừa nhận một số khơng âm và hàm zn-điều hịa
dưới vét cạn có nghĩa là tồn tại một hàm zm-điều hòa dưới ¿ : J —> |0, œ)
sao cho bao đóng của tập hợp {z € D : ¿@(z) < c} la compact trong trong
D với Ve € (—oo, 0).
Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm quan trọng dưới đây gọi là
các năng lượng Cegrell với hàm rm— điều hòa dưới. Với p > 0,p € R và
mm = Ì,...,m, ta ký hiệu
©0;„() := | mau
D
Sam(0) :— f (=u)? Hu)
D
Ta g0i €pm(u) 1& (p,m)— nvang lượng của u. Ching ta néi rang mot ham
m—diéu hoa duéi y dudc dinh nghia trén mot mién m-siéu 16i D thudc vé
E2 (D) néu:
(i) ¿ là bị chặn;
(ii) lim y(z) = 0 véi VE € OD;
ze
(iii) ƒ H„(Q) < œ.
D
Định nghĩa 1.1.5 Cho œ > 2, < rn < n vàp > 0. Giả sử D là một miền
m-siéu 16i bi chặn trong C”. Chúng ta nói rang u € Ếpm„(]D) nếu các điều
kiện sau thỏa mãn:
() u là một hàm ?n-điều hịa dưới trên D;
(ii) Tén tai một dãy khơng gidm {y,;}, y; € Ep (D) hội tụ điểm tới u trên
@, khi 7 tiễn ra œ;
ill) sup em) < 00
Trong [3| thì người ta đã được chttng minh néu u € €,,,(D) thi toan ttt
mn-Hessian phức, H„(u) được xác định theo công thức
Hm(u) :—= (dd tu)” A (dd|z|?)””
œ
C y
Orn
d=0+0,d° = V-1(0- 0).
Một hệ quả trực tiếp của nguyên lý so sánh nói trên là kết quả sau về so
sánh độ đo m-Hessian của các hàm m-điều hòa dưới trong lớp F,,(D).
Bồ đề 1.1.6. Cho D € C” la mot miền mm—siêu lồi uà u,v € Fm(D). Gid
sửtu > U trên một lân cận của OL. Khi dé
[acu Aw ™ < [(aavyn Am,
D D
Chúng ta cũng cần kết quả bổ trợ sau.
Bo dé 1.1.7. Cho D € C" là một miền tn— siêu lồi uà u € T„(D). Khi đó
các khẳng định sau đâu là đứng:
(a) Với mợi dãy uy € €t(D) thỏa mãn tu; | u trên D chúng ta có
lim | (dd°u,;)™ Aw" ™ = / (dd°u)™ Aw ™:
J—-›œ
D D
(b) Nếu u € SH,„(D) uàu >u thà u € Zm(©).
Chứng mỉnh. (a) Theo tính chất hội tụ của độ do m—Hessian ching ta
có
liminf | (ddffu;)”Au*""»> [acu Aw ™
J->oo D D
Mặt khác theo 1.1.6
/ (dd°uy)™ A w™™ < / (ddeuy™ Aw, 5 > 1.
D D
Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh
(b) Chọn một dãy œ; € £?(D) sao cho 0; | 0 trên D. Khi đó t; > u với
mọi 7. Theo Bổ đề 1.1.6
Jtd#e,)" Aw ™ < [acum A0*” < œ.
D D
Bởi vậy v € Fm(D).
Định ly 1.1.8. Gid séD © C” la mét mién m-siéu loi. Khi dé néu vo, V1, «.., Um €
€sm(©) thà tơn, tại hằng số Ở > 1 sao cho
[nai A....dd“Ưưm ^ (dd°|z|2)""™
D
< Ceo (U9) ™ Cp (V1)? ...€p(Um) PF.
Kết quả kỹ thuật sau đây sẽ được sử dụng nhiều ở chương sau.
Bo dé 1.1.9. Cho D € C” la mién m— siéu loi. Khi dé véi moi v, u,b €
Eym(D) théa main v
[ (— v)PHr(v) < (maxdp,1) + 1)" |D (0 = u)?Hn(u)
Chứng minh. Ta ký hiệu
UỊ := U— ,UỊ := tU —
T = (dd’ + dd)" 0 B™™,
Khi đó
|D (—u)P(dd° + dd’v,) AT = /D (—wy)Pdd#b A T+
+ / (—u,)?dd°v, AT =l+ 5.
D
Chú ý rằng khi p> 1 ta có
dd°(—(—u)?) = p(L— p)(—ui)?*?dui A d°ui + p(—0t)P!dd°ui
< p(—ui)?"}(dd°ui + dd),
và với ø < Ì thì ta lại có
dđ°(—(—ui)?) = p(L— p)(—u1)?””dui A d°ui + p(—t)P!dd°ui
< p(1— p)(—u1)? *duy A duy + p(—v,)? 1 (dd°uy + dd°w),
Như thế ta có đánh giá
h= | (—uq)°dd*°U AT
D
< / (—uy )Pdd°w AT +p | (—u,)?-*duy ^ đ ưi AT
D D
= |D (-mplddry + deus) AT
Mặt khác, khi p > Ì ta có
Ts = | (—u,)?dd°v, AT
D
cịn với Ư < p< 1 thì ta lại có
b= [ (—u)’dd’v, AT
= | (-wae(—(-m)") AT
< p(1—p) [ (—i)(—wi)Pˆ2đụi A d°ui+
+p [ (—v)(—u)P(dd’un, + dd) AT
<(1—p) [ (—uy)Pdđ°uạ AT + p [ (—n)?(dd?uy + dd’s) AT
< | (—uy)?(dd°u; + dd) AT.
D
Cuối cùng, với mọi p > 0 ta có
/D (—v1)?(dd°m, + dd) AT < /D (—u,)°(dd°uy + dd’) AT
< (max(p, 1) +1) [ (—w:)P(dd°ui + dd) AT
< (max(p, 1) + 1)” [ ( — u)P(dd°u)™ A Br-™.
Kết hợp những điều trên ta kết thúc chứng minh của bố đề.
Bo dé 1.1.10. Cho D la mién m— siêu lồi bị chặn trong C". Khi đó tới
mọi U,tu € Ếym(D) ta có các đánh giá sau:
(¡) Nếu 0u < u thà
, | (u— 0)"Hm(u) < | (u— 0)*Hm(0).
D
(ii) Nếu không có điều kién nao dat trén u,v thi ta lai c6
J — v)PHm(u) < / {u
1.2 Kh6ng gian tua metric
Ta nhắc lại khái niệm cô điên sau đây.ZS°veona2^~
Định nghĩa 1.2.1 Cho X là tập khác rỗng. Một metric trên X là một hàm
d: X x X — |0,œ) thỏa mãn các tính chất sau:
() d(à,b) =0 ©a=b;
(ii) d(a, b) = d(b, a) với mọi a,b € X;
(iii) (bat dang thức tam giác) Với moi a,b,c € X ta có
d(a, b) + d(b,c) > d(a,c).
Ví dụ 1.2.2 Cho R” 1& khong gian Eulid thuc n chiéu. Trén khong gian
10
này ching ta co metric Euclid sau day
d(x,y) = (ar = ys)? +e + (n= Yn)? = (đ1,*tt ;8n),U— (MU; 'hh Yn):
Một khơng gian metric chính là một cặp (X, đ) như trên. Khái niệm rộng
hơn sau đây cũng có nhiều ứng dụng trong giải tích ngẫu nhiên và học máy.
Định nghĩa 1.2.3 Cho X là tập khác rỗng. Một metric trên X là một hàm
d: X x X — |0,œ) thỏa mãn các tính chất sau:
() d(ø,b) =0 ©a=b;
(ii) d(a, b) = d(b, a) véi moi a,b E X;
(1) (bất đẳng thức tựa tam giác) Tồn tại hằng số C > 0 chi phu thuộc
X sao cho
d(a,b) < Cmax{d(a,c), d(b,c)}, véi moi a,b,c € X.
Một không gian tựa metric chính là một cặp (X, đ) như trên. Hàm ở có tính
chất trên được gọi là một C—tua metric trén X.
Ta có định lý sau nói về mối liên hệ giữa không gian metric và tựa metric.
Dinh ly 1.2.4. Cho p là một C— tựa metric trên tập X # uới C € (0,2.
Khi do xét hàm d:XxxX— >R*
cho bởi n
d(z, Z) = inf Ö _ Ø(Z, Z/+1),2,2Z€ X
¡=0
Uổi Zo — Z,*'* ,Zn+1ì = 2. Thid là một metric trên Ä 0à ta có
Chứng minh. I
ah =O =P
Trước hết ta có các khẳng định sau
d(z, z) = d(z, z), d(z, zZ) > 0
11
với mọi z,z” € X. Hơn nữa
d(x,y) + d(y, z) > d(a, z)
do x,y, z chính là một dây chuyền nối z và z. Hơn nữa ta cũng có đ < p
bởi vì bản thân z, z” là một dây chuyền (tầm thường) nối z và z”. Do vậy ta
chỉ cần chứng minh sp < d. Ta sẽ sử dụng
dài của các dây chuyền øơ = {z = zg,---,Z phương phấp qui nạp theo độ
= Zzg¿1},|ơ| = k+ 2 đánh giá
sau day
k—1
0(z, 2z) < S(ø) := Œ o(zo, z¡) + 2 » 0(2¡; 2+1) + 0(Z:, 2ki1)|-
m
Với k — 1 thì đây chính là bất đẳng thức tam giác của ø. Giả sử ta chứng
minh bất đẳng thức với mọi dây chuyền có độ dài < k + 1 ta sẽ xét một
dây chuyền ơ với độ dài k + 2. Với mỗi p € {1,- -- ,&k — 1} ta xét
Or = { 20, s3 sØp+1]h 05 —= { Zp, Tà” , Zhi}
Khi đó
S(ø) = S(ø,) + S(ơp).
Do
plz, Z) < C max‡/(2, Zp); p( Zp; z')}
nên tồn tại một chỉ số lớn nhat p € {0,1,--- ,k} sao cho
p(z, 2’) < Co(Zp, 2’).
Nhu vay plz, Z) < Colz, Zp+1)-
Bây giờ ta giá sử 0(z, Z) > S(ø).
12
Điều này kéo theo
0(z, 2z) > Co(z, 21), plz, 2’) > Co(Zp, 2’).
Điều nay cho ta thấy p € {1,2, - -- ,k — 1} và theo giả thiết qui nạp
0(2, Zp+1) + 0(2p, 2) S S(0,) + S(øy) = S(ø) < plz, z).
Mặt khác ta lại có
p(z, 2) < Ở min{p(2p, 2), 02. Zp+1)} Š 0p, Z)) + p(2, Zp+1)
do Œ < 2. Kết hợp lại ta có mâu thuẫn và như vậy định lý được chứng
minh.
13
Chương 2
Ehỡng gian tua metric cac ham m—
điều hịa dưới
2.1 Tua metric trén non €, ,,
Ta dinh nghia ham J sau day trén Eym x Epm. Ta sé chttng minh J là một
tựa metric trên Ep m.
Dinh nghia 2.1.1 Cho D C C”. Với các hàm 0, € Ếsm(D) và p > 0 thì
ta ký hiệu
J,(v, u) := (/ lở — u|?°(H„(o) + Hạ)”,
S(u, 0) :—= sup{U € ấy m(D) : tu < min(u, 0)}”.
Kết quả sau đây sẽ tổng hợp các tính chất của .J„(u, 0).
Mệnh đề 2.1.2. Cho u,v, w € Epm(D). Khi đó ta có các khẳng định sau:
(1) Jp(u,v) < 00;
(2) Jp(u,v) =0 khi va chi khi u = v = 0;
(3) Jp(u,v) = Jp(0, 9);
(4) Jp(u, vj? = Jp(u, max(u,0))?”"" + J»(u, max(u, 0))}P 1”;
(5) Nếu u < 0 < tu thà
pt2
J›{(u, 0) < 27+ J,(u, w)
14
0ò Jpœ, pm < (max(p, 1) + 1)" Jp(u, w)Pr™,
Chứng minh. (1) Theo bất đẳng thức Hưlder ta có
J„(u,0)P"< [(Tu— 0} (Hm+(Hum()0))
2
(m, P)€pm(u + 0)Ptm lep(u) ”!? + ep(u) ™'?| < &.
(2) Hiển nhién J,(u,u) = 0. Bay gid ta giả sử Jp(u,u) = 0. Khi đó
H„(u)({u < v}) = 0. Vay theo nguyên lý so sánh ta có > 0. Đổi vai
tro u và 0 ta có H,„(0)({u < u}) =0. Do vậy 0 > u.
(3) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa của J,(u, v).
(4) Theo nguyên lý so sánh ta có
Hm(max(u,0)) = H,„(u)
trên tập hợp {u > 0} và tương tự
Hm(max(u,0)) = Hm(0)
trên tập hợp {0 > u}. Do đó ta có các đánh giá
(u,v) = fv — ƑP(Hm(9)+ H(t)
-J U>u ,JmaXÊU, ,) — ÌP|Hm() + Hm(max(, u)]|+
" J maxtor u) — v)?[Hm(v) + Hm(max(v, u)|
= J,(u, max(v, u))?*™ + J,(v, max(u, v))??™.
(5) Theo giả thiết ta có
0<—0<++—U0.
l5
Vậy sử dụng (4) ta có các đánh giá
(u, 9)!" < 2( [ (v — w)P/1„(w)
< 2+( [ (w — 0)PH„(u) + [ (w — u)? Hu)
< 2 7 (u,w)P™.
(6) Theo nguyên lý so sánh ta có
Jg(0,1u)P'm — [ (w — 0)P[H„(ø) + Hạ„(u) — v)? Hm(w)
= [w — v)?Him(v) + [w — v)? Hm(w)
< |max(øp, 1) + 1ƒ | — 1)? H„(u) + |
= [max(p, 1) + 1]Jp(u, w)?™.
(7) Theo kết quả trong (6) ta có
Jp(ut, max(v, u))P+™ = [ Imax(v, u) — u]?(Hm(u) + H(max(v, u))
= Je — u)?| Hiy(u) + Hm (max(v, u))]
_ | {v>u} (0 — u)?[Hm(w) + Hm(v)].
16
