ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN TRUNG DŨNG

HAI THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI HỆ BÀI TOÁN
CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI
TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Hướng dẫn 1: TS. Nguyễn Song Hà
Hướng dẫn 2: TS. Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2023

ii

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Ban Giám hiệu, Khoa Tốn-Tin,

Phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi

điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Song Hà và

TS. Đinh Diệu Hằng đã tận tình hướng dẫn và đưa ra những lời khuyên bổ

ích giúp em giải quyết được các vấn đề gặp phải, trong suốt quá trình nghiên

cứu và hồn thành luận văn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn khó tránh những thiếu sót nhất

định. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô giáo

và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Trung Dũng

Mục lục

Trang bìa phụ i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt iv

Danh sách bảng v


Mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức cơ sở 3

1.1. Sơ lược về cấu trúc hình học khơng gian Banach . . . . . . . . 3

1.2. Phép chiếu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Một số loại ánh xạ, hàm số thường dùng . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Hai thuật toán chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn

hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 21

2.1. Mơ hình bài tốn nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Thuật toán chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Thuật toán chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Các thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt


E Không gian Banach thực

E∗ Không gian đối ngẫu của E

E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai của E

PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C
ΠC (x) Phép chiếu tổng quát phần tử x lên tập C
ak → a Dãy {ak} hội tụ mạnh đến a
ak ⇀ a Dãy {ak} hội tụ yếu đến a
∥a∥ Chuẩn của phần tử a
⟨a, x∗⟩ Giá trị của x∗ ∈ E∗ tại a ∈ E

J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

I Ánh xạ đơn vị của E

S[a, r] Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0

int(S[a, r]) Phần trong của S[a, r]

∂S[a, r] Biên của S[a, r]

S[0, 1] Hình cầu đơn vị của E

∂S[0, 1] Mặt cầu đơn vị của E

lim inf xn Giới hạn dưới của dãy {xn}
Giới hạn trên của dãy {xn}

n→∞ Tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát

lim sup xn

n→∞

GMEP(Θ, Ψ, φ)

Fix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T

Danh sách bảng

2.1 Kết quả tính toán số với αn = 1/100 . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Kết quả tính tốn số với αn = 1/1000 . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Kết quả tính tốn số với TOL=10−4, M = N = 100 . . . . . . 42

Mở đầu

Cho E∗ là không gian đối ngẫu thứ nhất của không gian Banach thực E.
Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E. Cho j ∈ {1, 2, . . . , M } và
i ∈ {1, 2, . . . , N }. Giả sử Θj : C × C → R là các song hàm, Ψj : E → E∗ và
Ti : C → C là các ánh xạ phi tuyến còn φj : C → R là các hàm số thực.

Hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát có dạng:

M (0.1)

Tìm u ∈ GMEP(Θj, Ψj, φj),

j=1


trong đó, GMEP(Θj, Ψj, φj) tương ứng là tập nghiệm của bài toán cân bằng
hỗn hợp tổng quát, đó là tập hợp tất cả các phần tử u ∈ C có tính chất

Θj(u, y) + ⟨Ψj(u), y − u⟩ + φj(y) − φ(u) ≥ 0, ∀y ∈ C,

với mỗi j = 1, 2, . . . , M .
Bài toán điểm bất động chung được phát biểu như sau:

N (0.2)

Tìm u ∈ Fix(Ti),

i=1

trong đó, Fix(Ti) = {x ∈ C : Ti(x) = x} lần lượt là tập điểm bất động của
các ánh xạ Ti với mỗi i = 1, 2, . . . , N .

Hai bài tốn trên là mơ hình tổng qt của nhiều bài tốn lí thuyết và
thực tiễn quan trọng. Chẳng hạn, trong trường hợp M = 1, Bài tốn (0.1)
khơng chỉ bao hàm nhiều lĩnh vực lí thuyết đa dạng khác nhau như lí thuyết
tối ưu (Θ1 = 0, Ψ1 = 0), bài toán cân bằng (Ψ1 = 0, φ1 = 0), bất đẳng thức
biến phân (Θ1 = 0, φ1 = 0), bài toán cân bằng hỗn hợp (Ψ1 = 0), bài toán
cân bằng tổng quát (φ1 = 0), bất đẳng thức biến phân hỗn hợp kiểu Browder
(Θ1 = 0) . . . mà còn liên hệ chặt chẽ với nhiều bài toán thực tế như khơi
phục tín hiệu, xử lí ảnh, xử lí tín hiệu băng tần, kiểm sốt năng lượng, phân
phối băng thơng . . . Bên cạnh đó, trong trường hợp N = 1, Bài toán (0.2)

2


được biết đến là một trong những công cụ rất hữu ích và hiệu quả của tốn
học. Nó cung cấp một nền tảng lí thuyết thống nhất để nghiên cứu và giải
quyết nhiều vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực khoa học
khác nhau như vật lí, cơ học, y sinh, kinh tế hay quân sự, . . . (có thể xem
[1, 2, 3, 4, 5] cùng tài liệu dẫn để biết thêm chi tiết). Vì tính tiện ích to lớn
và khả năng ứng dụng rộng rãi nên nhiều thuật toán đã được thiết lập để tìm
nghiệm của các bài tốn nói trên. Đây cũng là cơ sở quan trọng để đưa các
nghiên cứu lí thuyết ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

Năm 2023, Nguyễn Song Hà và Trương Minh Tun [5] đã nghiên cứu kết
hợp mơ hình Bài tốn (0.1) và Bài tốn (0.2). Đó là bài tốn:

Tìm u ∈ N M (0.3)

Fix(Ti) GMEP(Θj, Ψj, φj) .

i=1 j=1

Các tác giả đã đề xuất hai thuật tốn lặp mới tìm nghiệm của Bài toán (0.3).
Thuật toán thứ nhất sử dụng phương pháp chiếu co hẹp. Phương pháp kiểu
loại này được đề xuất lần đầu bởi Takahashi và đồng sự năm 2008 trong [9].
Trong khi đó, thuật tốn thứ hai sử dụng phương pháp chiếu lai ghép, được
giới thiệu đầu tiên bởi Haugazeau năm 1968 trong [6]. Điểm nổi bật là hai
thuật toán đó có thể tính tốn song song và có thể ứng dụng giải các bài toán
đã đề cập ở trên như một trường hợp riêng.

Theo đó, mục đích chính của luận văn là trình bày lại có hệ thống về các
kết quả công bố trong [5]. Với mục tiêu như vậy, cấu trúc luận văn gồm phần
mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1
dùng để sơ lược những kiến thức cơ bản về giải tích hàm và giải tích lồi trong

không gian Banach. Chương 2 dành để giới thiệu chi tiết nội dung, sự hội
tụ mạnh của hai thuật toán chiếu nêu trên cùng các kết quả tính tốn thử
nghiệm số.

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụ
cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu trúc của
chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày sơ lược về
cấu trúc hình học các khơng gian Banach. Mục 1.2 dành để nhắc lại các khái
niệm và tính chất thường dùng về phép chiếu tổng quát. Một số khái niệm cơ
bản về ánh xạ đơn điệu, liên tục và không giãn được chi tiết trong Mục 1.3.
Phần cuối chương, Mục 1.4 nhắc lại một số bổ đề thường dùng trong các ước
lượng hoặc chứng minh. Nội dung phần này chủ yếu tham khảo từ [2, 3, 5].

1.1. Sơ lược về cấu trúc hình học khơng gian Banach

Cho E là không gian Banach thực, E∗ và E∗∗ lần lượt là không gian đối
ngẫu thứ nhất và thứ hai của E. Nếu khơng sợ nhầm lẫn thì chuẩn trên các
không gian này đều được viết là ∥ · ∥.
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach E được gọi là:
(i) lồi chặt nếu với hai phần tử phân biệt a, b ∈ ∂S[0, 1] bất kì ta đều có

∥(1 − t)a + tb∥ < 1, ∀t ∈ (0, 1).

(ii) lồi đều nếu với mọi 0 < ε ≤ 2 và với mọi phần tử a, b ∈ E có tính chất
∥a∥ ≤ 1, ∥b∥ ≤ 1, ∥a − b∥ ≥ ε thì tồn tại một số δ = δ(ϵ) > 0 sao cho
a+b

≤ 1 − δ.
2

(iii) trơn nếu với mỗi a ∈ ∂S[0, 1] tồn tại duy nhất một phiếm hàm x∗ ∈ E∗
có tính chất ⟨a, x∗⟩ = ∥a∥ và ∥x∗∥ = 1.

(iv) trơn đều nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
a ∈ S[0, 1] và b ∈ S[0, δ] thì bất đẳng thức sau bảo đảm
∥a + b∥ + ∥a − b∥
− 1 < ε∥b∥.
2

4

Mệnh đề 1.1. [1, 2] Ta có các khẳng định sau:

(i) Khơng gian Banach lồi đều là lồi chặt.

(ii) Không gian Banach trơn đều là trơn.

Chú ý 1.1. Mọi không gian Hilbert thực đều là lồi đều [1, 2] và vì thế cũng
là lồi chặt.

Chú ý 1.2. Mọi không gian Hilbert thực đều là trơn đều [1, 2] và vì thế cũng
là trơn.

Ví dụ 1.1. Ta có

n 1


2

(a) Không gian Rn với chuẩn ∥x∥ = xi2 là không gian trơn đều và

i=1

lồi đều. Tuy nhiên, nếu xét với chuẩn ∥x∥ = max {|xi|} thì nó không lồi

1≤i≤n

chặt và cũng không lồi đều.

(b) Không gian lp các dãy số thực khả tổng bậc 1 < p < ∞ là không gian
Hibert khi và chỉ khi p = 2 (xem [1, 2]). Do đó, l2 là khơng gian lồi đều,
trơn đều, trơn và lồi chặt.

(c) Không gian l∞ các dãy số thực bị chặn không lồi đều nên cũng không
lồi chặt. Chẳng hạn, trong l∞ ta lấy hai phần tử a = (1, 1, 1, 0, . . . , 0) và
b = (1, 1, −1, 0, . . . , 0). Khi đó, ta có a̸ = b, ∥a∥ = ∥b∥ = 1 và ∥a − b∥ =
2 > 1 = ε nhưng
a+b
= 1 > 1 − δ, ∀δ > 0.
2

(d) Khơng gian Lp[a, b] các hàm số khả tích bậc 1 < p < ∞ trên [a, b] ⊂ R
là các không gian Banach trơn. Các không gian Banach c0, l1, L1[a, b] và
l∞ là không trơn.

Định nghĩa 1.2. Hàm δE(ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là môđun lồi của E nếu
a+b


δE(ε) = inf 1 − 2 : ∥a∥ ≤ 1, ∥b∥ ≤ 1, ∥a − b∥ ≥ ε .
Chú ý 1.3. [1, 2] Ta có δE(0) = 0 và δE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Hơn nữa,
môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng
trên đoạn [0, 2].

5

Định nghĩa 1.3. Hàm ρE : R+ → R+ được gọi là môđun trơn của E nếu

ρE(t) = sup ∥a + b∥ + ∥a − b∥
− 1 : ∥a∥ = 1, ∥b∥ = t
2

= sup ∥a + tb∥ + ∥a − tb∥ − 1 : ∥a∥ = ∥b∥ = 1 , t ≥ 0.

2

Chú ý 1.4. [1, 2] Ta có ρE(0) = 0 và ρE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Hơn nữa,
môđun trơn của không gian Banach E là hàm lồi, tăng và liên tục.

Ví dụ 1.2. Cho H là không gian Hilbert thực. Ta có

(a) δH(ε) = 1 − ε2
1 − , ε ∈ (0, 2].

4

(b) ρH(t) = 1 + t2 − 1.


Mệnh đề 1.2. [1, 2] Ta có các khẳng định sau:

(i) Không gian Banach E lồi đều nếu và chỉ nếu δE(ε) > 0 với mọi ε > 0.
(ii) Không gian Banach E lồi chặt nếu và chỉ nếu δE(2) = 1 .
(ii) Không gian Banach trơn đều nếu và chỉ nếu ρE(t)/t → 0.
Định nghĩa 1.4. Chuẩn của E được gọi là:

(i) khả vi Gâteaux tại điểm s ∈ ∂S[0, 1] nếu với mỗi y ∈ ∂S[0, 1] đều tồn tại

giới hạn

lim ∥s + λy∥ − ∥s∥ := ⟨y, ∇∥s∥⟩.

λ→0 λ

Ta gọi ∇∥s∥ là gradient của hàm chuẩn ∥x∥ tại x = s.

(ii) khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm của ∂S[0, 1].

(iii) khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ ∂S[0, 1] giới hạn trên tồn tại đều
theo x ∈ ∂S[0, 1].

Ví dụ 1.3. Chuẩn trên khơng gian Hilbert thực H là khả vi Gâteaux tại mọi
x

x̸ = 0 và ∇∥x∥ = .
∥x∥

Mệnh đề 1.3. [1, 2] Không gian Banach E trơn khi và chỉ khi chuẩn của E
là khả vi Gâteaux trên E\{0}.


6

Mệnh đề 1.4. [1, 2] Cho E là không gian Banach phản xạ (tức là, E = E∗∗).
Ta có các khẳng định sau:
(i) E∗ là không gian lồi đều nếu và chỉ nếu E là không gian trơn đều.
(ii) E∗ là không gian trơn đều nếu và chỉ nếu E là không gian lồi đều.
(iii) E∗ là không gian lồi chặt nếu và chỉ nếu E là không gian trơn.
(iv) E∗ là không gian trơn nếu và chỉ nếu E là không gian lồi chặt.

Để kết thúc phần này, chúng tôi nhắc lại một khái niệm cơ bản sau đây về
sự hội tụ của một dãy trên các không gian Banach.

Định nghĩa 1.5. Dãy {ak} ⊂ E được gọi là:

(i) hội tụ mạnh tới a ∈ E khi k → ∞ nếu lim ∥ak − a∥ = 0 và được kí hiệu

k→∞

là ak → a.

(ii) hội tụ yếu tới a ∈ E khi k → ∞ nếu với mọi x∗ ∈ E∗ ta có

lim ⟨ak, x∗⟩ = ⟨a, x∗⟩

k→∞

và được viết là ak ⇀ a.

Nhận xét 1.1. Nếu ak → a thì ak ⇀ a. Nếu E là khơng gian hữu hạn chiều

thì ak ⇀ a ⇔ ak → a.

Ví dụ 1.4. [3] Dãy cơ sở trực chuẩn {ek} trong khơng gian Hilbert thực H có
tính chất ek ⇀ 0 khi k → ∞. Tuy nhiên, ek ↛ 0 vì ∥ek∥ = 1 với mọi k ∈ N.

Nhận xét 1.2. [1, 2, 4] Trên không gian Banach lồi đều, nếu dãy {ak} thỏa
mãn ak ⇀ a và ∥ak∥ → ∥a∥ khi k → ∞ thì ak → a. Khơng gian có tính chất
như vậy cịn gọi là khơng gian có tính chất Kadec-Klee.

1.2. Phép chiếu tổng qt
Định nghĩa 1.6. Một ánh xạ đa trị J : E ⇒ E∗ xác định bởi

J(a) = {z∗ ∈ E∗ : ⟨a, x∗⟩ = ∥a∥∥z∗∥ và ∥z∗∥ = ∥a∥},
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.

7

Chú ý 1.5. Ánh xạ J tồn tại trên mọi không gian Banach. Khẳng định này
được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lí Hahn-Banach [2, 4]. Nếu
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta sẽ kí hiệu là j.

Ví dụ 1.5. [1, 2, 4] Sau đây là một vài ví dụ cơ bản về J:
1

(a) J(a) = ∂(∥a∥) với mọi a ∈ E.
2

(b) Nếu E ≡ H là không gian Hilbert thực H thì J = I.
(c) Nếu E ≡ l2 thì J(a) = (|a1|sgn(a1), |a2|sgn(a2), . . . , |ak|sgn(ak), . . .) với


a = {ak} ∈ l2 và ở đây sgn là hàm dấu.
Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được phát biểu
trong mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.5. [1, 2, 4] Ta có các khẳng định sau:

(i) J(0) = {0}.

(ii) J(a) là tập lồi đóng, bị chặn và khác rỗng với mỗi a ∈ E.

(iii) J(αa) = αJ(a) với mọi a ∈ E và α ∈ R.
(iv) J là ánh xạ đơn điệu, bức và thỏa mãn

⟨a − b, j(a) − j(a)⟩ ≥ (∥a∥ − ∥b∥)2 ∀j(a) ∈ J(a), j(b) ∈ J(b), ∀a, b ∈ E.

Mệnh đề 1.6. [1, 2, 4] Các khẳng định sau tương đương:

(i) E là không gian trơn.

(ii) J là đơn trị.
(iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với ∇∥a∥ = ∥a∥−1J(a).

Mệnh đề 1.7. [1, 2, 4, 7] Nếu khơng gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux
(đều) thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ liên tục (đều) mạnh-yếu∗
(mạnh-mạnh) trên các tập con bị chặn của E.
Chú ý 1.6. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ được gọi là liên tục
mạnh-yếu∗ nếu với mọi dãy {xk} hội tụ mạnh tới điểm a thì j(xk) hội tụ tới
j(a) theo tôpô yếu∗ trong E∗.

8


Bây giờ, cho E là không gian Banach trơn. Ta xét phiếm hàm Lyapunov
Φ : E × E → R có dạng

Φ(b, a) := ∥b∥2 − 2⟨b, J(a)⟩ + ∥a∥2
với mỗi a, b ∈ E.
Nhận xét 1.3. Từ biểu thức xác định hàm Φ, các khẳng định sau bảo đảm:
(i) ∥a∥2 + ∥b∥2 − 2∥a∥∥b∥ ≤ Φ(b, a) ≤ ∥a∥2 + ∥b∥2 + 2∥a∥∥b∥, ∀a, b ∈ E.
(ii) Với mọi a, b, z ∈ E và α ∈ [0, 1] ta có

Φ(b, J−1(αJ(a) + (1 − α)J(z))) ≤ αΦ(b, a) + (1 − α)Φ(b, z).

(iii) Φ(z, a) + Φ(a, b) = Φ(z, b) + 2⟨a − z, J(a) − J(b)⟩, ∀a, b, z ∈ E.
(iv) Nếu E là không gian lồi đều và trơn thì với mọi a, b ∈ E ta có

Φ(b, a) = 0 ⇔ a = b.

(v) Nếu E là khơng gian Hilbert H thì ta có
Φ(b, a) = ∥b − a∥2, ∀a, b ∈ H.

(vi) Φ(·, a) là hàm lồi và liên tục theo biến thứ nhất với mỗi a ∈ E cố định.

Tiếp theo, cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Banach

phản xạ, lồi chặt và trơn E. Khi đó, với mỗi x ∈ E đều tồn tại duy nhất

x0 ∈ C sao cho

ϕ(x0, x) = inf Φ(y, x). (1.1)


y∈C

Thật vậy, từ Nhận xét 1.3 (i), nếu ∥bk∥ → ∞ thì Φ(bk, x) → ∞. Do đó, kết
hợp với tính phản xạ của E cùng tính chất (vi) trong Nhận xét 1.3 dẫn đến

tồn tại phần tử x0 ∈ C thỏa mãn (1.1) (Nhận xét 4.5 trong [1]). Mặt khác,
vì E lồi chặt nên hàm ∥ · ∥2 là lồi chặt và vì thế Φ(·, x) cũng là hàm lồi chặt.

Do đó, phần tử x0 nói trên là duy nhất (Nhận xét 4.6 trong [1]).
Do đó, ta hồn tồn xác định ánh xạ ΠC : E → C xác định bởi

ΠC(x) = x0.

Ánh xạ trên được gọi là phép chiếu tổng quát từ E lên C.

9

Hiển nhiên, nếu E là khơng gian Hilbert H thì khái niệm phép chiếu tổng
quát trên trùng với khái niệm phép chiếu mêtric, tức là

ΠC(x) = PC(x) := x0,

với x0 ∈ C là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ H bởi C, tức là

∥x0 − x∥ = inf ∥x0 − z∥.

z∈C

Trong trường hợp này, chúng ta biết rằng, khi C là tập con đóng, lồi và khác
rỗng thì ln tồn tại phần tử xấp xỉ tốt nhất của x trên C [1, 3]. Tuy vậy, khi

C khơng có cấu trúc đặc thù, việc xác định phần tử như thế vốn dĩ không
dễ dàng, thậm chí là cả ở trên các khơng gian hữu hạn chiều. Để có thể xây
dựng ví dụ ở phần cuối Chương 2, chúng tôi giới thiệu lại hai công thức tường
minh xác định phép chiếu mêtric từ một không gian Hilbert H lên các nửa
khơng gian đóng và hình cầu đóng của nó.

Ví dụ 1.6. [3] Cho ζ ∈ R và a ∈ H là phần tử cố định. Cho

Cζ = {x ∈ H : ⟨a, x⟩ ≤ ζ}

là nửa khơng gian đóng trong H.

(a) Nếu a = 0 và ζ ≥ 0 thì PCζ = I.
(b) Nếu a = 0 và ζ < 0 thì C = ∅.

(c) Nếu a̸ = 0 thì C̸ = ∅ và với mọi x ∈ H ta có



x nếu ⟨a, x⟩ ≤ ζ,
nếu ⟨a, x⟩ > ζ.
PCζ (x) = ζ − ⟨a, x⟩
x + ∥a∥2 a

Ví dụ 1.7. [3] Cho a ∈ H và số thực 0 < r < ∞. Cho

S[a, r] := {x ∈ H : ∥x − a∥ ≤ r}

là hình cầu đóng tâm a ∈ H và bán kính r. Khi ấy, với mọi x ∈ H ta có




x nếu ∥x − a∥ ≤ r,
nếu ∥x − a∥ > r.
PS[a,r](x) = x−a
a + r ∥x − a∥

10

1.3. Một số loại ánh xạ, hàm số thường dùng

Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach E và E∗ là không gian
đối ngẫu của E.
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ Ψ : C → E∗ được gọi là:

(i) đơn điệu trên C nếu

⟨x − y, Ψ(x) − Ψ(y)⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ C. (1.2)

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu (1.3)
⟨x − y, Ψ(x) − Ψ(y)⟩ > 0, ∀x̸ = y ∈ C.

(iii) α-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương α sao cho (1.4)
⟨x − y, Ψ(x) − Ψ(y)⟩ ≥ α∥x − y∥2, ∀x, y ∈ C.

Nhận xét 1.4. Ta có (1.4) ⇒ (1.3) ⇒ (1.2) nhưng (1.4) ⇏ (1.3) ⇏ (1.2).

Ví dụ 1.8. Ánh xạ Ψ : R → R lần lượt xác định bởi:

(a) Ψ(x) = x4 − 4x + 2023 không đơn điệu.


 nếu x < −1
nếu − 1 ≤ x < 0
x + 1 nếu x ≥ 0



(b) Ψ(x) = 0


x3

là đơn điệu nhưng không đơn điệu chặt.

 nếu x ≥ 0
x2 + 2 nếu x < 0
(c) Ψ(x) =
2 − x2

là đơn điệu chặt không đơn điệu mạnh.

Ví dụ 1.9. Cho ánh xạ Ψ : R2 → R2. Ta có

(a) Ψ(x) = αI(x) là α-đơn điệu mạnh và vì thế nó là đơn điệu và đơn điệu
chặt (ở đây λ là số thực dương).

(b) Nếu Ψ là ánh xạ đơn điệu thì I + βΨ là 1-đơn điệu mạnh (ở đây β là số
thực dương).

11


(c) Ánh xạ Ψ(x1, x2) = (γx2, −γx1) là ánh xạ đơn điệu nhưng không đơn
điệu chặt và cũng không đơn điệu mạnh (ở đây γ là số thực dương).

Định nghĩa 1.8. Cho ánh xạ T : C → C xác định trên C ⊂ E. Phần tử
p ∈ C được gọi là

(i) điểm bất động của T nếu p nghiệm đúng phương trình

T (p) − p = 0.

Ta dùng kí hiệu là Fix(T ) để chỉ tập tất cả các điểm bất động của ánh
xạ T .

(ii) điểm bất động tiệm cận của T nếu C chứa dãy {ak} mà ak ⇀ p và

ak − T (ak) → 0.

Tập các điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T được viết là F(T ).
Ví dụ 1.10. Cho ánh xạ T : R2 → R2. Ta có

(a) Nếu T (x) = αI(x) thì nếu α̸ = 1
nếu α = 1.

{(0, 0)}
Fix(T ) =
R2

(b) Nếu T (x1, x2) = (a11x1 + a12x2 − b1, a21x1 + a22x2 − b2) thì Fix(T ) là tập
nghiệm của hệ phương trình


a11x1 + a12x2 = b1,
a21x1 + a22x2 = b2,

trong đó a11, a12, a21, a22, b1, b2 là các số thực.

Ví dụ 1.11. Cho ánh xạ T : (0, 1) → (0, 1) có dạng

T (x) = x.

Khi đó, Fix(T ) = (0, 1) nhưng F(T ) = [0, 1]. Thật vậy, ta có
1

ak = k + 1 ∈ (0, 1) ∀k ≥ 1, ak → 0, ak − T (ak) = 0 → 0,
và

k
ak = k + 1 ∈ (0, 1) ∀k ≥ 1, ak → 1, ak − T (ak) = 0 → 0.

12

Định nghĩa 1.9. Ánh xạ T : C → C được gọi là đóng nếu với mọi dãy
{ak} ⊂ C mà ak → a và T (ak) → b thì T (a) = b.

Ví dụ 1.12. Cho ánh xạ T : E → E.

(a) Mọi ánh xạ liên tục là đóng.

(b) Nếu E = R và T : R → R có dạng nếu x = 0
nếu x̸ = 0


1
T (x) =
x4

1
thì T khơng là ánh xạ đóng. Bởi vì, mặc dù ta có ak = k + 1 → 0 và

1
T (ak) = (k + 1)4 → 0 nhưng T (0) = 1.

Định nghĩa 1.10. Ánh xạ T : C → C được gọi là

(i) không giãn nếu

∥T (a) − T (b)∥ ≤ ∥a − b∥, ∀a, b ∈ C.

(ii) không giãn tương đối nếu F(T ) = Fix(T ) và
Φ(p, T (a)) ≤ Φ(p, a), ∀a ∈ C, ∀p ∈ Fix(T ).

(iii) Φ-không giãn nếu
Φ(T (a), T (b)) ≤ Φ(a, b), ∀a, b ∈ C.

(iv) tựa Φ-không giãn nếu
Φ(p, T (a)) ≤ Φ(p, a), ∀a ∈ C, ∀p ∈ Fix(T ).

Ví dụ 1.13. Sau đây là một số ví dụ đơn giản về các khái niệm nêu trên.
(a) Ánh xạ T : R2 → R2 có dạng

T (x) = 1x1 + 1x2, −1x1 + 1x2 , ∀x = (x1, x2) ∈ R2,

4884

là ánh xạ không giãn.

13

(b) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều
và T : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, T là khơng giãn tương đối.
Chú ý rằng, sự hội tụ mạnh và yếu trên không gian hữu hạn chiều là như
nhau và vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục đều trên C. Do đó, nếu
ak → p thì T (ak) → T (p) hay suy ra F (T ) = Fix(T ). Mặt khác, ta có
Φ(p, T (a)) = ∥p − T (a)∥2 = ∥T (p) − T (a)∥2 ≤ ∥p − a∥2 = Φ(p, a),

với mọi a ∈ C và p ∈ Fix(T ).
(c) Trong không gian Hilbert thực, mọi ánh xạ không giãn đều là Φ-khơng

giãn vì
Φ(T (a), T (b)) = ∥T (a) − T (b)∥2 ≤ ∥a − b∥2 = Φ(a, b), ∀x, y ∈ C.

(d) Mọi ánh xạ Φ-không giãn, không giãn tương đối đều là tựa Φ-không giãn.
(e) Ánh xạ T : [0, 1) → [0, 1) xác đinh bởi T (x) = x là tựa Φ-không giãn

nhưng không là khơng giãn tương đối vì F(T )̸ = Fix(T ).
Định nghĩa 1.11. Tập C ⊆ E được gọi là:
(i) lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó, tức là với

mọi x, y ∈ C và với mọi t ∈ [0, 1] ta có

tx + (1 − t)y ∈ C.


(ii) đóng nếu với mọi dãy {ak} trong C mà ak → a thì a ∈ C.
Ví dụ 1.14. Cho x∗ ∈ E∗, a ∈ E, ζ ∈ R và số thực r > 0. Khi đó, các tập
hợp sau:
(a) Cζ := {x ∈ E : ⟨x, x∗⟩ ≤ ζ} (nửa khơng gian đóng),
(b) S[a, r] := {x ∈ E : ∥x − a∥ ≤ r} (hình cầu đóng),
là các tập hợp lồi, đóng.

Trong khi đó, ta có
(c) int(Cζ) = {x ∈ E : ⟨x, x∗⟩ < ζ} là tập lồi nhưng khơng đóng,
(d) ∂S[a, r] := {x ∈ E : ∥x − a∥ = r} là tập đóng nhưng khơng lồi.

14

Định nghĩa 1.12. Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không gian
Banach E. Hàm φ : C → R được gọi là lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và
với mọi t ∈ [0, 1] ta có

φ(tx + (1 − t)y) ≤ tφ(x) + (1 − t)φ(y). (1.5)

Ví dụ 1.15. Hàm φ : C → R xác định bởi



(a) φ(x) = 0 nếu x < 0

x4 + x2 nếu x ≥ 0

là hàm lồi. nếu x < −1
nếu − 1 ≤ x < 0
 nếu x ≥ 0


x + 1


(b) φ(x) = 0


x3 + x

là hàm không lồi.

Định nghĩa 1.13. Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Banach E
và φ : C → R ∪ {±∞} là ánh xạ xác định trên C. Khi đó, φ được gọi là:

(i) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {ak} các phần tử trong C
mà ak → x ta đều có

φ(x) ≥ lim sup φ(ak),

k→∞

hoặc tương đương với

φ(x) ≥ lim sup φ(y).

y→x

(ii) nửa liên tục trên trên C nếu nó nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ C.

(iii) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {ak} các phần tử trong C

mà ak → x ta đều có
φ(x) ≤ lim inf φ(ak),

k→∞

hoặc tương đương với
φ(x) ≤ lim inf φ(y).

y→x

(iv) nửa liên tục dưới trên C nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ C.

15

Chú ý 1.7. Một ánh xạ φ : C → R là liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới. Nếu φ nửa liên tục dưới tại x ∈ C thì −φ nửa liên tục
trên tại x ∈ C và ngược lại.

Ví dụ 1.16. Hàm số φ : R → R xác định bởi:

 nếu x̸ = 0
x2 nếu x = 0
(a) φ(x) =
1

là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không nửa liên tục dưới tại điểm

này.

 nếu x̸ = 0

x2 nếu x = 0
(b) φ(x) =
−1

là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không nửa liên tục trên tại điểm

này.


sin 1
x nếu x̸ = 0
(c) φ(x) = nếu x = 0

1

là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không tồn tại giới hạn trái (không
liên tục trái) và giới hạn phải.

(d) φ(x) = max{m ∈ Z : m ≤ x} là nửa liên tục trên tại mọi x ∈ R.
(e) φ(x) = min{m ∈ Z : m ≥ x} là nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ R.

1.4. Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số kết quả bổ trợ thường được sử
dụng trong các ước lượng hoặc chứng minh các nội dung chính của luận văn
ở Chương 2.

Bổ đề 1.1. [5] Cho E là khơng gian Banach lồi đều. Khi đó, tồn tại một hàm
lồi, tăng chặt và liên tục g : [0, ∞) → [0, ∞) mà g(0) = 0 thỏa mãn


∥αx + (1 − α)y∥2 ≤ α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2 − α(1 − α)g(∥x − y∥),

với mọi x, y ∈ S[0, r] và α ∈ [0, 1].