ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

TRẦN HUY HOÀNG

GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN GỐI - TỰA ĐƠN GIẢN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

TRẦN HUY HOÀNG

GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN GỐI - TỰA ĐƠN GIẢN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thanh Hường

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, tơi cũng đã hồn
thành nội dung luận văn tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên. Luận văn được hồn thành khơng chỉ là cơng sức
của bản thân mà cịn có sự giúp đỡ, hỗ trợ tích cực, tận tình của Cơ giáo
- Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường.

Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và gửi lời cảm ơn chân thành
và sâu sắc nhất đến Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường, người trực
tiếp hướng dẫn cho luận văn của tôi. Cô đã dành cho tôi nhiều thời gian,
tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa cho tôi những
chi tiết nhỏ trong luận văn, giúp luận văn của tơi được hồn thiện hơn về
mặt nội dung và hình thức và ln ln quan tâm, động viên, nhắc nhở
trong suốt quá trình lựa chọn đề tài đến khi thực hiện và hồn thiện.

Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc khoa Toán -
Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng
dạy và giúp đỡ tơi hồn thành khóa học. Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến gia đình, bạn bè, các anh/chị cùng lớp cao học Tốn K13A2,
các em học sinh vì đã luôn động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong q
trình học tập và thực hiện luận văn và hồn thành khóa học


Tơi xin chân thành cảm ơn!!

i

Danh mục các chữ viết tắt và các
ký hiệu

R Tập các số thực

R+ Tập các số thực không âm

RK Không gian Euclide K chiều

C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

Ck[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục

trên [a, b]

x Chuẩn của phần tử x

x ωh Chuẩn trên lưới ωh của phần tử x

ii

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . . ii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Nguyên lý cực đại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài
toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn
với điều kiện biên gối - tựa đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Phương pháp lặp giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của luận văn

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thơng
qua mơ hình hóa tốn học dẫn đến việc giải các bài tốn biên đối với
phương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau. Lớp các bài
toán biên cho phương trình vi phân ln là chủ đề thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agarwal,
E. Alves, P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Đặng
Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân
Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, ... Xét chẳng hạn bài tốn biên
cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn mô tả độ võng của dầm trên
nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản dạng


u(4)(x) = f (x, u(x), u (x)), 0 < x < 1, (0.0.1)
u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0,

trong đó f : [0, 1] × R2 → R là hàm liên tục. Ta sẽ điểm qua một số kết
quả nghiên cứu quan trong đối với bài toán trên. Năm 1986, Aftabizadeh
[3] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán này với giả thiết về sự giới
nội của hàm f (x, u, v) trong toàn miền [0, 1] × R2. Tính duy nhất của
nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quan đến đạo hàm
riêng của f theo u và v. Năm 1997, Ma và cộng sự [6] bằng phương pháp

1

đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên đã xây dựng hai dãy
hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài tốn. Ở đó các tác giả
thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu
tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác định
bởi nghiệm dưới và nghiệm trên. Sau đó, vào năm 2004, khi nghiên cứu
bài tốn (0.0.1), Bai và cộng sự [4] độc lập với Ma cũng xây dựng hai dãy
hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán. Giả thiết f thỏa
mãn điều kiện Lipshitz một phía theo từng biến u và v trong miền được
định nghĩa phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên. Ý tưởng này cũng
được sử dụng trong bài báo năm 2010 của Li [5]. Bằng phương pháp lặp
đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới, tác giả đã thiết lập được
sự tồn tại nghiệm của bài toán. Cần nhấn mạnh rằng, trong phương pháp
đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên ln ln cần
thiết nhưng việc tìm chúng khơng hề dễ dàng.

Khác với các cách tiếp cận nêu trên, năm 2017, trong cơng trình [2],
D.Q. A và các cộng sự đã đề xuất một cách tiếp cận mới tới bài toán

(0.0.1). Kết quả đạt được là thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự
hội tụ của phương pháp lặp giải bài tốn mà khơng cần đến các giả thiết
phức tạp như ở các cơng trình nghiên cứu trước đó. Thay vì đặt điều kiện
đối với hàm f (x, u, v) trên tồn khơng gian cho tất cả các biến, các tác
giả chỉ xét hàm này trong một miền giới nội. Cách tiếp cận hiệu quả này
nằm ở chỗ đưa bài tốn đã cho về phương trình tốn tử đối với hàm vế
phải thay vì đối với ẩn hàm u(x) như các tác giả khác đã làm. Với một
số điều kiện dễ kiểm tra, toán tử này được chứng minh có tính chất co,
điều đó bảo đảm bài tốn gốc có nghiệm duy nhất sinh bởi điểm bất động
của toán tử và sự hội tụ của phương pháp lặp xây dựng nghiệm gần đúng.
Thêm vào đó, các tác giả cũng chỉ ra rằng các ví dụ trong một số bài báo

2

của các tác giả trước đây [3, 4, 5, 6] (chỉ kết luận sự tồn tại của nghiệm)
thỏa mãn các điều kiện đặt ra, do đó bài tốn có nghiệm duy nhất. Ngồi
ra việc thực hiện giải số bài tốn ban đầu dẫn đến giải số liên tiếp hai bài
toán biên tuyến tính cấp hai trên mỗi bước lặp, điều này dẫn đến ý tưởng
xây dựng các phương pháp số có độ chính xác cao giải bài tốn.

Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong cơng trình
[2] đối với bài tốn (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ
cả định tính lẫn định lượng của lớp các bài tốn biên cho phương trình vi
phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn với các loại điều kiện
biên khác, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Giải gần đúng một bài tốn biên phi
tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn
giản".

2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận văn


Trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biên phi tuyến cho
phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản (0.0.1),
luận văn:

- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của
nghiệm, tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm) bằng cách sử dụng Định lý
điểm bất động Banach và Nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng
trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm vế phải;

- Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán ở mức liên tục và chứng
minh sự hội tụ của phương pháp lặp;

- Trình bày các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó
có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp được trình bày so với
phương pháp của một số tác giả khác;

- Bổ sung thêm ví dụ chưa được đưa ra trong [2] ở trường hợp đã biết

3

trước nghiệm đúng để kiểm tra hiệu quả của các kết quả lý thuyết.

3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu

+ Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán ban đầu về phương trình
tốn tử đối với hàm vế phải, cùng với các cơng cụ của tốn giải tích, giải
tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu sự tồn tại duy nhất
nghiệm, tính dương của nghiệm, tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm;

+ Cũng trên cơ sở phương trình tốn tử, nghiên cứu phương pháp lặp

tìm nghiệm của các bài tốn và chứng minh sự hội tụ của phương pháp
lặp;

+ Trình bày các ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc khơng
biết trước nghiệm đúng để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý
thuyết và thực hiện tính tốn trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ
của phương pháp lặp tìm nghiệm.

4. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính
của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gian
hàm; Định lý điểm bất động Banach; hàm Green đối với một số bài toán;
Nguyên lý cực đại. Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trị rất
quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương 2.
Nội dung của Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 7, 8, 9].

Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài tốn biên
cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa
đơn giản, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình tốn tử
đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, luận văn

4

nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, nghiên
cứu phương pháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ của phương
pháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm. Một số ví dụ trong
cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng đã minh

họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương
pháp lặp tìm nghiệm. Phải nhấn mạnh thêm rằng, ví dụ trong trường hợp
đã biết trước nghiệm đúng chưa được đưa ra trong cơng trình [2].

Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực
nghiệm tính tốn được lập trình trong mơi trường MATLAB.

5

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kết quả bổ trợ cho Chương 2 của luận
văn. Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu
[1, 7, 8, 9].

1.1. Không gian Banach

Định nghĩa 1.1. (Xem [1]) Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một metric
trên X là một ánh xạ d : X × X −→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau:
a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,
c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X, (X, d) được gọi
là không gian metric.
Định nghĩa 1.2. (Xem [1]) Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) được
gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim d(xn, x0) = 0.


n→∞

Khi đó, ta viết lim xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là giới hạn của

n→∞

dãy {xn}.
Định nghĩa 1.3. (Xem [1]) Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy

6

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu

tức là, lim d(xn, xm) = 0,

n,m→∞

với ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε.

Định nghĩa 1.4. (Xem [1]) Một không gian metric (X, d) được gọi là đầy
đủ nếu trong X mọi dãy Cauchy đều hội tụ.

Định nghĩa 1.5. (Xem [1])
Cho X là một không gian véc tơ trên trường K (thực hoặc phức). Một

chuẩn trên X là một ánh xạ . : X −→ R+ thỏa mãn các tính chất sau:
a) x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0;
b) λx =| λ | x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;
c) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X.

Khơng gian tuyến tính X cùng với một chuẩn . xác định trên nó được
gọi là khơng gian tuyến tính định chuẩn.

Nhận xét 1.1. Khơng gian tuyến tính định chuẩn X cũng là khơng gian
metric với khoảng cách

d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X.

Do đó, sự hội tụ trong khơng gian tuyến tính định chuẩn X được định nghĩa
giống như sự hội tụ trong không gian metric. Dãy {xn} trong không gian
tuyến tính định chuẩn X được gọi là sự hội tụ về x0 ∈ X nếu xn − x0
−→ 0 khi n −→ ∞.

Định nghĩa 1.6. (Xem [1]) Không gian Banach là một khơng gian tuyến
tính định chuẩn đầy đủ.

7

Một số ví dụ về khơng gian Banach:
1) R và C là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi:

x = | x |; x ∈ R (x ∈ C).

2) Rn là không gian Banach với chuẩn

n 1/2

x= xi2 ; x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.

i=1


3) C[a, b] là không gian Banach với chuẩn

x C[a,b]= max | x(s) |.

s∈[a,b]

4) C1[a, b] là không gian Banach với chuẩn

u C1[a,b]= u C[a,b] + u C[a,b] .

1.2. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp
lặp

Cho ánh xạ T : A → A, trong đó A là khơng gian Banach. Mỗi
nghiệm x của phương trình x = T x được gọi là một điểm bất động của
ánh xạ T .

Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được
sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng.
1. Định lý điểm bất động Banach cho các toán tử co với hệ số co q.
2. Định lý điểm bất động Brouwer cho các tốn tử liên tục trong khơng
gian hữu hạn chiều.
3. Định lý điểm bất động Schauder cho các tốn tử hồn toàn liên tục trên
một tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạn
chiều). Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer.

8

Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụng

nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phi
tuyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compact
trên một tập con lồi, khác rỗng, bị chặn của không gian Banach.

Cùng với các định lý điểm bất động, lý thuyết bậc Brouwer (Brouwer
degree) và lý thuyết chỉ số điểm bất động (fixed point index) cũng là
những công cụ quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn
tại điểm bất động của các ánh xạ liên tục cũng như sự tồn tại nghiệm của
các phương trình vi phân phi tuyến. Trong số các định lý điểm bất động,
Định lý điểm bất động Banach khơng những khẳng định sự tồn tại mà cịn
chỉ ra sự duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháp lặp
tìm điểm bất động. Dưới đây ta sẽ xét cụ thể định lý này.

Xét phương trình phi tuyến

x = T x. (1.2.1)

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co.

Định nghĩa 1.7. (Xem [9]) Toán tử T : D ⊆ X → X trên không gian
metric (X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1
sao cho

d(T x, T y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ D.

Định lý 1.1. (xem [9]) (Định lý điểm bất động Banach (1922)).
Giả sử rằng
(i) T : D ⊆ X → D là một ánh xạ từ D vào chính nó;
(ii) D là tập đóng, khác rỗng trong không gian metric đầy đủ (X, d);
(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co q.

Khi đó ta có các kết luận sau đây:
a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.2.1) có duy nhất nghiệm

9

x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên D.

b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong

D, dãy xấp xỉ liên tiếp {xn} hội tụ tới nghiệm x.

c) Đánh giá sai số: Với mọi n = 0, 1, 2, ... ta có các đánh giá sai số tiên

nghiệm

qn
d(xn, x) ≤ 1 − q d(x0, x1),

và đánh giá hậu nghiệm

q
d(xn+1, x) ≤ 1 − q d(xn, xn+1).

d) Tốc độ hội tụ: Với mọi n = 0, 1, 2, ... ta có

d(xn+1, x) ≤ qd(xn, x).

Định lý điểm bất động Banach có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết
toán học và ứng dụng. Cụ thể, từ định lý này có thể giải quyết được các
vấn đề sau:

(A) Sự tồn tại nghiệm;
(B) Sự duy nhất nghiệm;
(C) Sự ổn định của nghiệm dưới nhiễu nhỏ của phương trình;
(D) Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ;
(E) Đánh giá sai số tiên nghiệm;
(F) Đánh giá sai số hậu nghiệm;
(G) Đánh giá tốc độ hội tụ;
(H) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ.

Định lý điểm bất động Banach có ứng dụng quan trọng trong giải
phương trình phi tuyến và trong chứng minh sự tồn tại nghim ca phng
trỡnh vi phõn thng (nh lý PicardLindelăof). Ngoi ra, ứng dụng của
định lý trong giải phương trình đại số tuyến tính, giải phương trình tích

10

phân tuyến tính, phương trình tốn tử tuyến tính có thể tìm thấy chi tiết
trong [9].

1.3. Hàm Green

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trị

biên. Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại và

duy nhất nghiệm của các bài toán.

Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất

dny dn−1y

L[y(x)] ≡ p0(x)dxn +p1(x)dxn−1 +...+pn(x)y = 0, a < x < b, (1.3.1)

i n−1 dky(a) i dky(b)
Mi(y(a), y(b)) ≡ αk k + βk k = 0, i = 1, 2, ..., n,
dx dx
k=0

(1.3.2)

trong đó pi(x) với i = 0, 1, 2, ..., n là các hàm liên tục trên (a, b); p0(x) = 0
tại mọi điểm x thuộc (a, b); các hệ số αki , βik với i = 1, 2, ..., n và k =
0, 1, 2, ..., n − 1 là các số thực.

Định nghĩa 1.8. (Xem [7]) Hàm G(x, t) được gọi là hàm Green của bài
toán giá trị biên (1.3.1), (1.3.2) nếu xem như hàm của biến x, nó thỏa mãn
các điều kiện dưới đây với mọi t ∈ (a, b) :
(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới
cấp n và thỏa mãn phương trình (1.3.1) trên (a, t) và (t, b), tức là:

L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b).

(ii) G(x, t) phải thỏa mãn các điều kiện biên trong (1.3.2), tức là

Mi(G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, 2, ..., n.

11

(iii) Tại x = t, G(x, t) và tất cả các đạo hàm riêng theo biến x tới cấp

(n − 2) là các hàm liên tục


∂kG(x, t) − lim ∂kG(x, t)
lim − k = 0, k = 0, 1, 2, ..., n − 2.
+ k
x→t ∂x x→t ∂x

(iv) Đạo hàm riêng cấp (n − 1) theo biến x của G(x, t) là gián đoạn khi

x = t, cụ thể

lim ∂n−1G(x, t) − lim ∂n−1G(x, t) 1
+ − n−1 = − .
x→t ∂x n−1 x→t ∂x p0(t)

Định lý sau chỉ ra điều kiện về sự tồn tại và duy nhất của hàm Green.

Định lý 1.2. (Xem [7]) (Tồn tại và duy nhất). Nếu bài toán giá trị biên
thuần nhất với các điều kiện biên thuần nhất (1.3.1), (1.3.2) chỉ có nghiệm
tầm thường thì tồn tại duy nhất hàm Green của bài tốn đó.

Xét phương trình tuyến tính khơng thuần nhất

dny dn−1y
L[y(x)] ≡ p0(x)dxn + p1(x)dxn−1 + ... + pn(x)y = −f (x), (1.3.3)

với các điều kiện biên thuần nhất

Mi(y(a), y(b)) ≡ i n−1 dky(a) i dky(b)
αk k + βk k = 0, i = 1, 2, ...n,
dx dx

k=0

(1.3.4)

ở đây hàm vế phải f (x) là hàm liên tục trong (a, b).

Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.3),

(1.3.4) với bài toán thuần nhất tương ứng.

Định lý 1.3. (Xem [7]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng

với (1.3.3), (1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài tốn (1.3.3), (1.3.4)

có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng

b

y(x) = G(x, t)f (t)dt,

a

trong đó G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng.

12

Ví dụ dưới đây chỉ ra cách xác định hàm Green đối với bài toán giá trị
biên cụ thể.

Ví dụ 1.1. Xét bài tốn 0 < x < 1, (1.3.5)


 u (x) = −ϕ(x),

 u(0) = u(1) = 0.

Hàm Green được tìm dưới dạng sau



 A1 + A2x, 0≤x≤t≤1 (1.3.6)
G(x, t) = 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,

 B1 + B2(1 − x),

trong đó A1, A2 và B1, B2 là các hàm của t. Hàm Green này thỏa mãn
điều kiện (i). Do hàm Green G(x, t) thỏa mãn bài toán biên với các điều

kiện biên thuần nhất (ii) ta suy ra được A1 = B1 = 0. Do đó, hàm Green

của bài tốn là 0≤x≤t≤1 (1.3.7)
0 ≤ t ≤ x ≤ 1.

 A2x,
G(x, t) =
 B2(1 − x),

Điều kiện liên tục (iii) cho ta phương trình

B2(1 − t) − A2t = 0. (1.3.8)


Từ điều kiện (iv) ta được

B2 + A2 = 1. (1.3.9)

Ta có thể tìm các hệ số A2, B2 bằng cách giải các phương trình (1.3.8) và

phương trình (1.3.9). Kết quả ta được A2 = 1 − t, B2 = t.

Thay các hệ số tìm được vào phương trình (1.3.7) ta được hàm Green

 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
 x(1 − t), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
G(x, t) =
 t(1 − x),

Do đó, nghiệm của bài tốn (1.3.5) biểu diễn được dưới dạng

1

u(x) = G(x, t)ϕ(t)dt.

0

13

1.4. Nguyên lý cực đại

Như ta đã biết, nếu hàm u(x) liên tục trên [a, b] thì nó sẽ đạt cực đại
tại điểm thuộc [a, b]. Nếu u(x) có đạo hàm cấp hai liên tục và u đạt cực
đại tại điểm c ∈ (a, b) thì


u (c) = 0; u (c) ≤ 0. (1.4.1)

Giả sử trong (a, b), hàm u thỏa mãn

L[u] ≡ u + g(x)u > 0, (1.4.2)

ở đây g(x) là hàm bị chặn. Khi đó rõ ràng điều kiện (1.4.1) không thỏa
mãn tại bất cứ điểm c nào trong (a, b). Từ đây suy ra nếu (1.4.2) thỏa
mãn thì cực đại của u khơng thể đạt được tại bất cứ điểm nào trong (a, b),
chỉ có thể đạt được tại a hoặc b. Đây chính là trường hợp đơn giản nhất
của Nguyên lý cực đại.

Chú ý rằng lập luận trên đòi hỏi điều kiện L[u] > 0. Tuy nhiên dễ thấy
rằng bất đẳng thức L[u] ≥ 0 ln có nghiệm là hằng số u = const, hàm
hằng đạt cực đại tại mọi điểm. Do đó khi nghiên cứu về phương trình vi
phân và một vài ứng dụng khác ta sẽ dùng điều kiện L[u] ≥ 0. Cụ thể xét
định lý sau

Định lý 1.4. (Xem [8]) (Nguyên lý cực đại)
Giả sử u = u(x) thỏa mãn bất đẳng thức

L[u] ≡ u + g(x)u ≥ 0, a < x < b,

ở đây g(x) là hàm bị chặn. Khi đó, nếu cực đại M của u đạt được tại điểm
c ∈ (a, b) thì u ≡ M .

Chú ý rằng bằng cách áp dụng định lý trên đối với hàm −u ta thu được
Nguyên lý cực tiểu. Nguyên lý này hàm ý rằng nếu hàm u không phải hàm


14

hằng thỏa mãn bất đẳng thức L[u] ≤ 0 thì nó khơng thể đạt cực tiểu tại
bất kỳ điểm nào trong (a, b).

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Chương 1 đã trình bày một số kiến thức bổ trợ bao gồm: Không gian
Banach, Định lý điểm bất động Banach, Hàm Green, Nguyên lý cực đại.
Đây là những kiến thức cơ sở được sử dụng rất nhiều trong nghiên cứu
định tính cũng như phương pháp giải cho nhiều bài toán biên phi tuyến
cho phương trình vi phân với các loại điều kiện biên khác nhau. Các kết
quả bổ trợ này được sử dụng trong chương tiếp theo của luận văn khi
nghiên cứu một bài toán biên phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối -
tựa đơn giản.

15