ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

DƯỚI VI PHÂN CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
CẬN BIÊN CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU

Ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. DƯƠNG THỊ VIỆT AN
2. TS. VŨ THỊ HƯỚNG

THÁI NGUYÊN - 2024

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Ánh xạ đa trị lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tối

ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Dưới vi phân của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đa trị . . . . . . . . 27
2.3. Công thức đánh giá trên cho dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận
biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

Danh mục ký hiệu

R trường số thực
∅ tập rỗng
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
M ∩N giao của hai tập hợp M và N
|x| giá trị tuyệt đối của x
∥x∥ chuẩn của véctơ x
⟨x, y⟩ tích vơ hướng của hai véctơ
int A phần trong của tập A
A¯ bao đóng của tập A
D◦ nón cực âm của nón D
N (Ω; x¯) nón pháp tuyến của Ω tại x¯
ψΩ hàm chỉ của tập Ω
epi f trên đồ thị của hàm f
dom f miền hữu hiệu của hàm f
∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x
dS hàm khoảng cách


2

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A
F :X⇒Y ánh xạ đa trị
dom F miền xác định của ánh xạ đa trị F
gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F
epi F trên đồ thị của ánh xạ đa trị F
D∗F (x, y) đối đạo hàm của ánh xạ đa trị F tại (x, y)
∂W F (x¯, y¯) dưới vi phân yếu đối với y¯ của F tại x¯.

3

Mở đầu

Các hàm giá trị cận biên/tối ưu (marginal/optimal value function) là
một trong những đối tượng nghiên cứu cơ bản nhất của giải tích biến phân.
Các hàm này chưa bao giờ được nghiên cứu nghiêm túc trong khn khổ
của giải tích cổ điển do tính khơng trơn nội tại của chúng. Sẽ khơng q
lời khi nói rằng các hàm cận biên thể hiện bản chất của các kỹ thuật hiện
đại trong giải tích biến phân liên quan đến các quá trình nhiễu và xấp xỉ
với việc chuyển tiếp đến giới hạn.

Các nghiên cứu về tính chất khả vi của hàm giá trị cận biên trong tối
ưu có tham số được xếp vào chủ đề tính ổn định vi phân của các bài tốn
tối ưu. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất
nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước từ thập niên 70 của thế kỷ trước.

Dưới vi phân của hàm giá trị cận biên đánh giá sự thay đổi theo tham
số nhiễu của hàm giá trị cận biên. Bên cạnh các vấn đề về phân tích độ
nhạy thì việc đánh giá dưới vi phân của các hàm giá trị cận biên đã được

công nhận là một công cụ quan trọng để nghiên cứu độ nhớt và nghiệm cực
tiểu của phương trình Hamilton-Jacobi, quy hoạch động xác định và ngẫu
nhiên, thiết kế điều khiển phản hồi, lý thuyết trò chơi, tối ưu ngẫu nhiên,
điều khiển, lập trình hai cấp độ, mơ hình tăng trưởng kinh tế, v.v.(xem [7,
tr. 188]).

Trong nhiều tình huống thực tế, chúng ta thường gặp các bài tốn khơng
chỉ liên quan đến một mục tiêu mà đòi hỏi phải tối ưu đồng thời nhiều

4

mục tiêu xung đột (conflict) với nhau. Với các bài tốn như vậy, chúng ta
khơng thể mơ hình hố nó dưới dạng một bài toán tối ưu một mục tiêu
cũng như khơng thể tìm được phương án nào đáp ứng được tất cả các tiêu
chí. Vì vậy khái niệm tối ưu theo nghĩa thông thường không thể áp dụng
cho các bài tốn tối ưu có nhiều mục tiêu.

Khái niệm nghiệm hữu hiệu/tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu được
đưa ra đầu tiên bởi một nhà kinh tế học người Ý, V. Pareto (1848-1923),
từ năm 1906. Một phương án được gọi là một cải thiện/cải tiến Pareto
của một phương án cho trước nếu nó cải tiến được ít nhất một tiêu chuẩn
của phương án này nhưng khơng làm cho các tiêu chí khác trở nên xấu/tồi
tệ hơn. Một phương án được gọi là hữu hiệu hay tối ưu Pareto nếu khơng
cịn một cải thiện Pareto nào khác của nó.

Trong đề án, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài tốn
tối ưu đa mục tiêu có tham số với ràng buộc là ánh xạ đa trị theo như các
kết quả trong bài báo [11]. Lưu ý rằng giá trị tối ưu của bài tốn tối ưu
đa mục tiêu có tham số là một ánh xạ đa trị. Do đó các kĩ thuật và cơng
cụ để xử lí vấn đề ở đây phức tạp hơn nhiều so với bài toán tối ưu (một

mục tiêu) có tham số.

Mục đích của đề án này là trình bày các cơng thức ước lượng dưới vi
phân cho ánh xạ đa trị cận biên của bài toán tối ưu đa mục tiêu trên cơ
sở đọc hiểu các nội dung liên quan trong bài báo [11]. Bên cạnh việc biên
dịch, sắp xếp lại một cách có hệ thống các kết quả trong bài báo [11],
chúng tơi cũng trình bày chi tiết và rõ ràng hơn các lập luận chứng minh
của Định lý 2.2 và Định lý 2.4.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu và danh mục tài liệu
tham khảo. Nội dung đề án được viết trong hai chương.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị nhắc lại một số khái niệm và tính
chất cơ bản về ánh xạ đa trị lồi, anh xạ đa trị lồi theo nón, các khái niệm

5

nghiệm tối ưu Pareto và nghiệm tối ưu Pareto yếu của của bài toán tối ưu
đa mục tiêu. Trong phần cuối của chương chúng tôi thu thập các kết quả
bổ trợ liên quan đến nón pháp tuyến của tập lồi, dưới vi phân của hàm
lồi, mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài tốn
tối ưu vơ hướng tương ứng.

Chương 2 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài
toán tối ưu đa mục tiêu, trong chương này đầu tiên chúng tôi nhắc lại
định nghĩa dưới vi phân của ánh xạ đa trị và quy tắc tính dưới vi phân của
tổng hai ánh xạ đa trị. Nội dung chính của chương được trình bày trong
mục 2.3. Cụ thể dựa vào quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đa
trị ta thu được công thức đánh giá trên cho dưới vi phân của ánh xạ đa trị
cận biên của bài toán tối ưu đa mục tiêu đang xét. Ngồi điều kiện chính

quy để đảm bảo cho quy tắc dưới vi phân của một tổng, ta cần thêm tính
chất minicomplete của ánh xạ đa trị cận biên.

6

Lời cảm ơn

Đề án được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Thị Việt An, Trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên và TS. Vũ Thị Hướng, Viện Toán học,
Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam. Tơi xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới hai Cô, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng
dẫn để tơi hồn thành đề án này.

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt q trình học tập và hồn thành đề án.

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn
thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi
để tơi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện đế án của mình.

Xin chân thành cảm ơn.

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2024
Người viết đề án

Nguyễn Thị Thương

7


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Cho X, Y, U là các không gian Banach với không gian liên hợp tương
ứng là X∗, Y ∗ và U ∗. Trong chương này chúng tơi trình bày các kiến thức
chuẩn bị liên quan đến ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ đa trị lồi theo nón, phát
biểu bài tốn tối ưu đa mục tiêu, định nghĩa nghiệm Pareto, nghiệm Pareto
yếu và một số kết quả bổ trợ nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết quả
chính ở chương sau. Nội dung của chương được tham khảo trong các tài
liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8] và [10].

1.1 Ánh xạ đa trị lồi

Cho C là tập con của X, ta kí hiệu phần trong, bao đóng của C tương
ứng là int C và C¯. Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau:

- C được gọi là một nón (cone), có đỉnh tại gốc, nếu λx ∈ C với mọi
x ∈ C và λ ≥ 0.

- C được gọi là một nón lồi (convex cone) nếu λ1x1 + λ2x2 ∈ C với mọi
λ1, λ2 ≥ 0, x1, x2 ∈ C.

- Nón C được gọi là có đỉnh (pointed) nếu C ∩ (−C) = {0}.
Cho Y + ⊂ Y là một nón lồi. Trong đề án này ta xét một quan hệ thứ

8

tự "≤Y +" tương ứng với nón lồi Y + như sau

x ≥Y + y nếu và chỉ nếu x − y ∈ Y +,

x >Y + y nếu x ≥Y + y và khơng có y ≥Y + x,
Khi int Y + khác rỗng

x ≫Y + y có nghĩa x >K y với K = {0} ∪ int Y +.
Ví dụ 1.1. Xét Y = Rn và Y + = Rn+ (nón orthant không âm). Với mọi
véctơ x = (x1, x2, ..., xn) và y = (y1, y2, ..., yn) ta có
• x ≥Y + y nếu và chỉ nếu xi ≥ yi, với mọi i = 1, 2, ..., n.
• x >Y + y nếu và chỉ nếu xi ≥ yi với i = 1, 2, ..., n và có ít nhất một bất
đẳng thức là chặt.
• x ≫Y + y nếu và chỉ nếu xi > yi với i = 1, 2, ..., n.

Cho F là một ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y . Đối với một nón đóng D của Y , ta kí hiệu nón cực âm (negative
polar) của D là D◦, tức là

D◦ := {y∗ ∈ Y ∗ : ⟨y∗, y⟩ ≤ 0, ∀y ∈ D}.

Miền hữu hiệu dom F , đồ thị gph F và trên đồ thị epi F của F lần lượt
là các tập

dom F := {x ∈ X : F (x)̸ = ∅},
gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x), x ∈ dom F },
epi F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) + Y +, x ∈ dom F }.

Ánh xạ F được gọi là chính thường nếu dom F̸ = ∅.
Định nghĩa 1.1. Cho F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và Y + là một nón
trong Y .


9

(i) F được gọi là lồi nếu đồ thị gph F là một tập lồi trong X × Y , tức
là với mọi x1, x2 ∈ X và λ ∈ (0, 1), ta có

λF (x1) + (1 − λ)F (x2) ⊂ F (λx1 + (1 − λ)x2).
(ii) F được gọi là Y +- lồi nếu trên đồ thị epi F là tập lồi trong X × Y ,
tức là với mọi x1, x2 ∈ X, λ ∈ (0, 1) ta có

λF (x1) + (1 − λ)F (x2) ⊂ F (λx1 + (1 − λ)x2) + Y +.
Ánh xạ profile của F là F + Y + : X ⇒ Y được cho bởi (F + Y +)(x) =
F (x) + Y + với mọi x ∈ X. Khi đó, ta có gph (F + Y +) = epi F.
Mệnh đề sau đây cho ta mối quan hệ giữa ánh xạ đa trị lồi và ánh xạ
đa trị lồi theo nón.
Mệnh đề 1.1. Cho F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và Y + là một nón
trong Y . Nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ Y +-lồi.

Chứng minh. Giả sử F là ánh xạ đa trị lồi. Lấy bất kỳ x1, x2 ∈ X và
λ ∈ (0, 1). Vì F là ánh xạ đa trị lồi nên

λ(F + Y +)(x1) + (1 − λ)(F + Y +)(x2)
= λ(F (x1) + Y +) + (1 − λ)(F (x2) + Y +)
⊂ (λF (x1) + (1 − λ)F (x2)) + Y +
⊂ F (λx1 + (1 − λ)x2)) + Y +
= (F + Y +)(λx1 + (1 − λ)x2),

điều này có nghĩa rằng F + Y + là lồi. Vậy F là Y +- lồi.

Ví dụ 1.2. Cho X = R, Y = R2, Y + = R2+. Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y
được xác định bởi F (x) = (|x|, |x|). Khi đó F là ánh xạ Y +- lồi nhưng F


1
không lồi. Thật vậy, với x1 = 1 ∈ R, x2 = −1 ∈ R và λ = 2 ∈ (0, 1), khi
đó ta có

λF (x1) + (1 − λ)F (x2) = λ(|x1|, |x2|) + (1 − λ)(|x2|, |x2|)

1 1
= (1, 1) + (1, 1) = (1, 1).
2 2

10

Trong khi đó,

F (λx1 + (1 − λ)x2) = (|λx1 + (1 − λ)x2|, |λx1 + (1 − λ)x2| = (0, 0).

Vậy λF (x1) + (1 − λ)F (x2)̸ ⊂ F (λx1 + (1 − λ)x2). Do đó F khơng lồi.

Cho F1 : X ⇒ Y và F2 : X ⇒ Y là các ánh xạ đa trị. Tổng của hai
ánh xạ đa trị F1 và F2 được định nghĩa như sau:

(F1 + F2)(x) = F1(x) + F2(x), x ∈ X.

Mệnh đề 1.2. Ta có các khẳng định sau.
(i) Ánh xạ đa trị F là Y +- lồi nếu và chỉ nếu F + Y + là ánh xạ đa

trị lồi.
(ii) Nếu F1 : X ⇒ Y và F2 : X ⇒ Y là các ánh xạ đa trị lồi thì F1 + F2


cũng là ánh xạ đa trị lồi.
(iii) Nếu F1 : X ⇒ Y và F2 : X ⇒ Y là Y +- lồi thì F1 + F2 cũng là

Y +- lồi.

1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu

Cho F là một ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y , và Y + ⊂ Y là một nón lồi, đóng, nhọn (Y + ∩ −Y + = {0}) với
phần trong khác rỗng xác định một quan hệ thứ tự bộ phận trong Y.

Cho V là một tập con khác rỗng của X, ta kí hiệu

F (V ) = F (x).

x∈V

Định nghĩa 1.2. Cho A là một tập con khác rỗng của Y và y¯ ∈ Y.
(i) y¯ được gọi là một điểm cực tiểu Pareto của A theo Y + nếu
(A − y¯) ∩ (−Y +) = {0}.

Tập hợp tất cả các điểm cực tiểu Pareto của A được kí hiệu là MinY +A.

11

(ii) y¯ được gọi là một điểm cực tiểu Pareto yếu của A theo Y + nếu
(A − y¯) ∩ (− int Y +) = ∅.

Kí hiệu WMinY +A là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu Pareto yếu của A.
Ta có định nghĩa cực tiểu Pareto và cực tiểu Pareto yếu (xem [6, Defi-


nition 2.1]) tương ứng như sau.

Định nghĩa 1.3. Cho A là một tập con khác rỗng của Y và y¯ ∈ Y.
(i) y¯ ∈ MinY +A nếu và chỉ nếu khơng có phần tử y ∈ A nào mà

y¯ >Y + y.
(ii) Trong trường hợp Y +̸ = Y , y¯ ∈ WMinY + A nếu và chỉ nếu khơng

có phần tử y ∈ A sao cho y¯ ≫Y + y.
Mối quan hệ giữa tập nghiệm Pareto và Pareto yếu được cho trong

mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.3. (xem [6, Proposition 2.2]) Ta ln có

MinY + A ⊂ WMinY + A.

Bao hàm thức trên có thể chặt. Ta xét một số ví dụ minh hoạ sau.
Ví dụ 1.3. Xét A là tam giác được tạo bởi a = (0, 0)T , b = (1, 0)T và
c = (0, 1)T trong R2, Y + = R2+ là nón orthant khơng âm trong R2. Khi
đó MinR2+ A = Min A = {a} và WMinR2+ A = WMin A = [a, b] ∪ [a, c].
Ví dụ 1.4. Trong khơng gian R2 với nón Y + = R2+, cho
A = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≤ 1, y ≤ 0}∪{(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, 0 ≥ y ≥ −1}.

Khi đó
MinR2A = MinA ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, 0 > x, 0 > y}
∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)}.

12


y

y

WMin A

A c
c

ab x a b

x

Hình 1.1: Hình minh hoạ cho Ví dụ 1.3.

y

0

1 x

A

−1

Hình 1.2: Hình minh hoạ tập A trong Ví dụ 1.4.
13

WMinR2A = WMinA ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, 0 > x, 0 > y}

∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)} ∪ {(x, y) : y = −1, x > 0}.

y

y

1 0 x 0
MinA −1
1 W M inA x

−1

Hình 1.3: Hình minh hoạ các tập nghiêm Pareto cho Ví dụ 1.4

Cho E là một tập con khác rỗng của X, xét bài toán

Minimize F (x) với x ∈ E. (P)

Tập E được gọi là tập hợp tất cả các điểm chấp nhận được (feasible points)
của bài toán (P).

Định nghĩa 1.4. (i) Một điểm (x¯, y¯) ∈ gph F với x ∈ E được gọi là một
điểm cực tiểu Pareto địa phương (tương ứng, điểm cực tiểu Pareto địa
phương yếu) theo Y + của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận V của x¯
sao cho

y¯ ∈ Min F (V ∩ E)
(tương ứng, y¯ ∈ WMin F (V ∩ E)).

(ii) Một điểm (x¯, y¯) ∈ gph F với x ∈ E được gọi là một điểm cực tiểu

Pareto toàn cục (tương ứng, điểm cực tiểu Pareto toàn cục yếu) theo Y +

14

của bài toán (P) nếu

y¯ ∈ Min F (E)
(tương ứng, y¯ ∈ WMin F (E)).

Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa trên, một điểm (x¯, y¯) ∈ gph F với x ∈ E
được gọi là một điểm cực tiểu Pareto địa phương (tương ứng, điểm cực
tiểu Pareto địa phương yếu) theo Y + của bài toán (P) nếu tồn tại một lân
cận V của x¯ sao cho với mọi x ∈ V ∩ E ta có

F (x) ⊂ y¯ + (Y \ −Y +) ∪ {0}
(tương ứng, F (x) ⊂ y¯ + Y \ (− int Y +)).

Mối quan hệ giữa nghiệm cực tiểu Pareto yếu toàn cục và nghiệm cực
tiểu Pareto yếu địa phương được cho bởi mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.4. Nếu E là tập lồi và nếu ánh xạ đa trị F là Y +- lồi trên E
thì (x¯, y¯) ∈ gph F với x ∈ E là một điểm cực tiểu Pareto yếu địa phương
của (P) khi và chỉ khi nó là một cực tiểu Pareto yếu tồn cục của (P).

Chứng minh. Hiển nhiên mọi điểm cực tiểu Pareto yếu toàn cục là cực tiểu
Pareto yếu địa phương.

Giả sử (x¯, y¯) là cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P). Khi đó tồn tại
lân cận V của x¯ sao cho


F (x) ⊂ y¯ + Y \ (− int Y +) với mọi x ∈ V ∩ E. (1.1)

Giả sử rằng (x¯, y¯) khơng phải là cực tiểu Pareto yếu tồn cục của (P). Khi
đó tồn tại x0 ∈ E, y0 ∈ F (x0) sao cho

y¯ − y0 ∈ int Y +. (1.2)

Lấy λ ∈ (0, 1). Từ tính lồi của E ta có xλ = x¯ + λ(x0 − x¯) ∈ E. Vì F là
Y +- lồi, khi đó

(1 − λ)F (x¯) + λF (x0) ⊂ F (xλ) + Y +,

15

suy ra

(1 − λ)y¯ + λy0 ⊂ F (xλ) + Y +.

Vì xλ ∈ V với λ đủ nhỏ, nên từ (1.1) ta có

λy0 − λy¯ ∈ F (xλ) − y¯ + Y + ⊂ Y \ (− int Y +) + Y + ⊂ Y \ (− int Y +)

và vì thế

y0 − y¯ ∈ Y \ (− int Y +),

điều này mâu thuẫn với (1.2). Vậy (x¯, y¯) là cực tiểu Pareto yếu toàn cục
của (P).

Bây giờ ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có tham số,


Minimize G(u, x) với điều kiện x ∈ H(u), (Pu)

ở đó G : U × X → Y và H : U ⇒ X, x là biến, u là tham số của bài toán.
Ta có thể định nghĩa một ánh xạ đa trị F : U ⇒ Y bởi

F (u) := G(u, H(u)) = {y ∈ Y : ∃x ∈ H(u), y = G(u, x)}

khi đó F được gọi là ánh xạ mục tiêu (objective map).
Ánh xạ đa trị cận biên (marginal multifunction) M : U ⇒ Y của bài

toán (Pu) được định nghĩa bởi

M (u) = MinY + F (u) = MinY + G(u, H(u)) với mọi u ∈ U.

Ánh xạ M cũng được gọi là ánh xạ nhiễu (perturbation map) hay ánh xạ
điểm hữu hiệu (frontier map). Theo [10, Proposition 3.1.2] ta có

M (u) = MinY +F (u) = MinY +(F (u) + Y +) = MinY +(F + Y +)(u).

Trong tối ưu vơ hướng thơng thường, ở đó Y = R, K = R+ và f là ánh
xạ đơn trị, khi đó M là hàm đơn trị và được biết đến là hàm giá trị cận
biên/hàm giá trị tối ưu

m(u) := min{f (u, x) : x ∈ C(u)}.

16

Như đã giới thiệu ở phần mở đầu, các nghiên cứu về dưới vi phân của hàm
giá trị cận biên có nhiều ứng dụng và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của

nhiều nhà toán học từ thập niên 70 của thế kỷ trước.

Mục đích của đề án là nghiên cứu các công thức đánh giá trên cho dưới
vi phân yếu của ánh xạ đa trị cận biên M.

1.3 Một số kết quả bổ trợ

Cho tập lồi C ⊂ X, nón pháp tuyến của C tại x¯ ∈ C được cho bởi
N (C; x¯) = {x∗ ∈ X∗ : ⟨x∗, x − x¯⟩ ≤ 0, ∀x ∈ C}.

Cho f : X → R = R ∪ {+∞} là một hàm lồi. Ta nói x∗ ∈ X∗ là dưới
gradient của f tại x¯ nếu

f (x) − f (x¯) ≥ ⟨x∗, x − x¯⟩, ∀x ∈ X.

Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x¯ được gọi là dưới vi phân của
hàm f tại x¯, được kí hiệu là ∂f (x¯). Khi đó,

∂f (x¯) = {x∗ ∈ X∗ : f (x) − f (x¯) ≥ ⟨x∗, x − x¯⟩, ∀x ∈ X}.

Mệnh đề 1.5. (xem [8, Proposition 3.29]) Cho f : X → R là hàm lồi và
x¯ ∈ dom f . Khi đó f đạt cực tiểu tại x¯ nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (x¯).
Mệnh đề 1.6. (xem [8, Theorem 3.48]) Cho f1 : X → R và f2 : X → R
là các hàm lồi. Khi đó

∂(f1 + f2)(x) ⊂ ∂f1(x) + ∂f2(x), ∀x ∈ dom f1 ∩ dom f2.
Nếu một trong hai hàm f1, f2 liên tục tại một điểm u ∈ dom f1 ∩ dom f2
thì ta có

∂(f1 + f2)(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x), ∀x ∈ dom f1 ∩ dom f2.


17

Hàm chỉ của tập C ,C là tập lối, được định nghĩa bởi

 nếu x ∈ C
nếu x ∈/ C.
0
ψC(x) =

+∞

Khi đó, với x ∈ C,
∂ψC(x) = {x∗ ∈ X∗ : ⟨x∗, u − x⟩ ≤ ψC(u), ∀u ∈ X}.

Với u ∈/ C thì ψC(u) = +∞ nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy
∂ψC(x) = {x∗ ∈ X∗ : ⟨x∗, u − x⟩ ≤ 0, ∀u ∈ C} = N (C; x).

Mệnh đề 1.7. (xem [8, Theorem 3.10]) Cho D1, D2 là hai tập con lồi khác
rỗng của X và x¯ ∈ D1 ∩ D2. Nếu int D1 ∩ D2̸ = ∅ hoặc D1 ∩ int D2̸ = ∅,
thì ta có

N (D1 ∩ D2; x¯) = ∂ψD1∩D2(x¯) = ∂(ψD1 + ψD2)(x¯) = N (D1; x¯) + N (D2; x¯).

Chú ý rằng ta ln có

N (D1; x¯) + N (D2; x¯) ⊂ N (D1 ∩ D2; x¯),

với mọi x¯ ∈ D1 ∩ D2 mà không cần điều kiện chính quy nào. Điều kiện
chính quy int D1 ∩ D2̸ = ∅ hay D1 ∩ int D2̸ = ∅ để đảm bảo cho bao hàm

thức ngược lại.

Ta xét một ví dụ đơn giản sau để thấy vai trị của điều kiện chính
quy này.

Ví dụ 1.5. Cho D1 và D2 là hai tập con trong R2 được xác định như sau:

D1 := {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2},

D2 := {(x, y) ∈ R2 : y ≤ −x2}.
Xét tại (x¯, y¯) = (0, 0), ta có D1 ∩ D2 = {(0, 0)}, do đó ta có

18

D1 N (D2; (x¯, y¯)) = {0} × [0, +∞)
0
0
N (D1; (x¯, y¯)) = {0} × (−∞, 0] D2

Hình 1.4: Hình minh hoạ cho Ví dụ 1.5.

N (D1 ∩ D2; (x¯, y¯)) = R2.

Trong khi đó

N (D1; (x¯, y¯)) = {0} × (−∞, 0];

N (D2; (x¯, y¯)) = {0} × [0, +∞).

Vậy N (D1; (x¯, y¯))+N (D2; (x¯, y¯)) = {0}×R. Rõ ràng ở đây int D1∩D2 = ∅

(xem Hình 1.5).

Nhắc lại rằng hàm f : Y → R được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một
hằng số ℓ > 0 sao cho

|f (y1) − f (y2)| ≤ ℓ∥y1 − y2∥,
với mọi y1, y2 ∈ Y.

Trong các phần tiếp theo, ta sử dụng một hàm đặc biệt được giới thiệu
trong tối ưu bởi Hiriart-Urruty [5]. Hàm này có các tính chất tốt cho phép
ta vơ hướng hóa bài tốn (P). Đối với tập con S của Y , hàm này được xác
định bởi công thức

∆S(y) := dS(y) − dY \S(y),
với dS(·) là hàm khoảng cách thông thường

dS(y) = inf{∥ u − y ∥: u ∈ S}.

19