ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHETSAMAI VILAIPHONE

ĐỐI NGẪU TỰA LIÊN HỢP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHETSAMAI VILAIPHONE

ĐỐI NGẪU TỰA LIÊN HỢP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG LỒI

Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN THẮNG

Thái Nguyên - 2023

Lời cam đoan

TTôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung
luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức
độ tương đồng 17 %. Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã
nộp để bảo vệ trước hội đồng. Nếu sai tơi hồn toàn chịu trách nhiệm.

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2023
Người viết luận văn

Phetsamai Vilaiphone

i

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Thắng, người
đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, nhiệt tình chỉ bảo, tạo điều kiện thuận lợi,
hợp lý giúp tơi hồn thành nội dung của luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể các
thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến
thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp
q báu trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ,
động viên tơi trong suốt q trình làm luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023
Người viết luận văn


Phetsamai Vilaiphone

ii

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Phép biến đổi tựa liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Phép biến đổi tựa liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 2. Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài tốn khơng lồi . . . 15
2.1. Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài tốn tối ưu vơ hướng . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . 22
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt

R tập các số thực
R+ tập số thực không âm

Rn không gian véctơ Euclide n− chiều
R+n tập các véctơ không âm của Rn
f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y
f⋄ hàm tựa liên hợp của f
A := B A được định nghĩa bằng B
∅ tập rỗng
⟨a, x⟩ tích vơ hướng của hai véctơ trong Rn
∥x∥ chuẩn của x ∈ Rn
{xn} dãy số thực hay dãy véctơ
N (x, X) nón véctơ pháp tuyến của tập X tại điểm x
∇f (x) gradient của f tại x
∂f (x) dưới vi phân
∂⋄f (x) tựa dưới vi phân
intX phần trong của tập X
cl(X ) bao đóng của tập X

iv

Mở đầu

Theo G. Dantzig, lý thuyết đối ngẫu được phỏng đoán bởi J. V. Neumann
trong lý thuyết trò chơi ngay sau khi G. Dantzig đưa ra các vấn đề về quy
hoạch tuyến tính. Năm 1951, A. W. Tucker và các cộng sự đã đưa ra một
chứng minh khá đầy đủ về đối ngẫu cho bài toán quy hoạch tuyến tính.
Nhận thấy vai trị quan trọng của lý thuyết đối ngẫu cả về phương diện lý
thuyết lẫn tính toán ứng dụng thực tế nhiều nhà toán học đã dành nhiều
thời gian quan tâm nghiên cứu, trong đó có các nhà tốn học như R. T.
Rockafellar, Hồng Tụy, Y. Sawaragi, J. P. Penot, Phan Thiên Thạch, Z.
M. Li, S. Suzuki, T. Tanino ... Tuy nhiên, cho đến nay, chúng ta chưa thu
được đối ngẫu cho bài toán tối ưu tổng qt và đây vẫn cịn là bài tốn mở

cần được nghiên cứu. Trong một số trường hợp riêng, các nhà toán học đã
thu được một số kết quả nhất định như: đối ngẫu Lagrange hay đối ngẫu
liên hợp Fenchel cho lớp các bài toán tối ưu lồi ([4, 5]); đối ngẫu tựa liên
hợp cho một số lớp bài toán tối ưu tựa lồi với một số kết quả hay được nói
đến là của Phan Thiên Thạch ([7, 8]), Z. M. Li ([2]) hay của J. P. Penot
([3]). Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu, việc xây dựng sơ đồ đối ngẫu trở
lên khó khăn hơn, dẫn tới các kết quả đối ngẫu cho lớp bài toán này còn
chưa nhiều và chủ yếu dựa vào các phương pháp đối ngẫu Lagrange hay đối
ngẫu liên hợp Fenchel. Bài toán đối ngẫu thu được theo các phương pháp
này thường là bài tốn tối ưu vơ hướng hay tối ưu đa trị và sơ đồ đối ngẫu
thu được là không đối xứng. Hơn nữa, để có đối ngẫu mạnh thì bài toán
ban đầu thường phải là bài toán tối ưu lồi ([5, 6]).

1

Trong lý thuyết đối ngẫu liên hợp, bài tốn đối ngẫu của một bài tốn
gốc trong khơng gian H:

max(min){h(x)| x ∈ X ⊂ H}

được xây dựng trong không gian đối ngẫu H∗:
max(min){h∗(p)| p ∈ X ∗ ⊂ H∗},

trong đó h∗ là hàm liên hợp của h và X∗ là tập liên hợp của X. Cặp bài

toán đối ngẫu có nhiều ý nghĩa và ứng dụng nếu hai bài tốn có liên quan

chặt chẽ với nhau, thể hiện qua việc nghiên cứu bài toán đối ngẫu sẽ cung

cấp thơng tin về bài tốn gốc hay để giúp cho việc giải bài toán gốc dễ dàng


hơn trong một số trường hợp. Bằng cách áp dụng phép biến đổi liên hợp

dạng

h♮(p) = 1 ∀p ∈ Rn+,
sup{f (x)| ⟨p, x⟩ ≤ 1, x ≥ 0}

năm 2011, T.V. Thắng và P.T. Thạch thu được sơ đồ đối ngẫu mạnh và

đối xứng cho một lớp bài toán tối ưu vô hướng, tối ưu đa mục tiêu với hàm

mục tiêu là lõm, đa diện, đơn điệu tăng và thuần nhất dương ([8]). Năm

2014, các tác giả đã ứng dụng sơ đồ đối ngẫu ở trên để nghiên cứu một

số bài toán trong kinh tế như bài toán phân bổ nguồn lực, bài toán tối ưu

hai cấp, kết quả nghiên cứu của họ được công bố trong bài báo [9]. Nhận

thấy lớp các hàm đa diện lõm thuần nhất dương và đơn điệu tăng là trường

hợp riêng của lớp các hàm tựa lõm và đơn điệu tăng ngặt (lớp các hàm này

không lồi và bao hàm phần lớn các hàm sản xuất trong các mơ hình kinh

tế, chẳng hạn như các hàm sản xuất Leontief, Cobb-Douglas, Leontief mở

rộng, Cobb-Douglas mở rộng) T.V. Thắng đã tiếp tục mở rộng các kết quả


nghiên cứu về đối ngẫu tựa liên hợp cho lớp hàm này trong bài báo [10].

Trong bài báo [7], P.T. Thạch đưa ra sơ đồ đối ngẫu mạnh và đối xứng
cho một lớp bài tốn tối ưu vơ hướng, tối ưu đa mục tiêu lồi bằng cách sử

2

dụng phép biến đổi liên hợp sau: ∀p ∈ R+n .
h∗(p) = 1
inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0}

Chúng ta biết rằng lớp các hàm tựa lồi là khá rộng, nó bao hàm lớp các hàm
lồi và thường được thấy trong các bài toán tối ưu, trong đó điển hình là bài
tốn tốn cực tiểu hàm chi phí. Do đó, T.V. Thắng và P.N. Anh đã tiếp tục
có các nghiên cứu về phép biến đổi tựa liên hợp, điều kiên tối ưu và sơ đồ
đối ngẫu cho lớp các bài tốn tối ưu vơ hướng, đa mục tiêu mà các hàm mục
tiêu chỉ là tựa lồi. Các kết quả nghiên cứu của các tác giả được đăng trên
bài báo "Optimality condition and quasi-conjugate duality with zero gap in
nonconvex optimization, Optimization Letters, 14, 2021-2037 (2020)". Mục
đích của luận văn là trình bày các kết quả trong cơng trình này.

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài
liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản và cần thiết cho luận văn về
giải tích lồi, định nghĩa về phép biến đổi tựa liên hợp và một số tính chất
về phép biến đổi liên hợp như tính hữu hạn, tính đơn điệu, tính thuần nhất,
tính phản xạ.

Chương 2 trình bày khái niệm tựa dưới vi phân, điều kiện để một hàm

là khả tựa dưới vi phân và và định lý điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng
nguyên lý Fecma mở rộng, đối ngẫu mạnh và đối xứng cho một lớp bài tốn
tối ưu vơ hướng tựa lồi và lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu tựa lồi.

3

Chương 1
Phép biến đổi tựa liên hợp

Phần đầu của chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của Giải
tích giúp cho việc chứng minh các kết quả chính trong luận văn. Sau đó,
chúng tơi trình bày khái niệm phép biến đổi tựa liên hợp và một số tính
chất quan trọng của khái niệm này.

1.1. Một số kiến thức cơ sở

Trong luận án này, với hai véctơ bất kỳ x = (x1, x2, ..., xn)T , x′ =

(x1′ , x2′ , ..., xn′ )T thuộc không gian các véc tơ thực Rn, ký hiệu x ≤ x′ (x < x′)

được hiểu là xi ≤ xi (xi < xi) với mọi i = 1, 2, ..., n..′′

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập con của Rn. Tập X được gọi là tập

lồi nếu

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ X ∀x1, x2 ∈ X , ∀λ ∈ [0; 1].

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một tập con của Rn. Tập liên hợp dưới của
X là


X 0 = {p ∈ Rn+| ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ X }.

Tập liên hợp trên của X là

X ⋄ = {p ∈ Rn+| ⟨p, x⟩ ≥ 1 ∀x ∈ X }.

4

Mệnh đề 1.1.3. (xem [4]) Tập liên hợp dưới (trên) của một tập lồi là tập
lồi.

Cho h : X → R là một hàm số bất kỳ.
Định nghĩa 1.1.4. Hàm h được gọi là lồi trên tập lồi X nếu

h(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λh(x1) + (1 − λ)h(x2) ∀x1, x2 ∈ X , ∀λ ∈ [0; 1].

Hàm h được gọi là lõm trên tập lồi X nếu −h là lồi trên X .
Định nghĩa 1.1.5. Hàm h được gọi là lồi chặt trên tập lồi X nếu
h(λx1 + (1 − λ)x2) < λh(x1) + (1 − λ)h(x2) ∀x1̸ = x2 ∈ X , ∀λ ∈ (0; 1).

Hàm h được gọi là lõm chặt trên tập lồi X nếu −h là lồi chặt trên X .
Định nghĩa 1.1.6. Hàm h được gọi là tựa lồi trên tập lồi X nếu

h(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ max{h(x1); h(x2)} ∀x1, x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1].

Hàm h được gọi là tựa lõm trên tập lồi X nếu −h là tựa lồi trên X .
Định nghĩa 1.1.7. Hàm số h trên R+n được gọi là bức trên R+n nếu

h(x) → +∞ khi x ∈ Rn+, ||x|| → +∞.

Mệnh đề 1.1.8. (xem [4]) Hàm h tựa lồi trên tập lồi X khi và chỉ khi với
mọi α ∈ R tập mức dưới {x ∈ X | h(x) ≤ α} là tập lồi. Hàm h tựa lõm trên
tập lồi X khi và chỉ khi với mọi α ∈ R tập mức trên {x ∈ X | h(x) ≥ α} là
tập lồi.
Định nghĩa 1.1.9. Hàm h được gọi là thuần nhất dương bậc τ > 0 trên X
nếu

h(kx) = kτ h(x), ∀x ∈ X , ∀k > 0.
Định nghĩa 1.1.10. Hàm h được gọi là đơn điệu tăng trên X nếu:

h(x1) ≤ h(x2) ∀x1, x2 ∈ X , x1 ≤ x2.

5

Hàm h được gọi là đơn điệu tăng chặt trên X nếu:

h(x1) < h(x2) ∀x1, x2 ∈ X , x1 < x2.

Hàm h được gọi là đơn điệu giảm (đơn điệu giảm chặt) trên X nếu −h đơn
điệu tăng (đơn điệu tăng chặt) trên X .

Trường hợp h là hàm lõm đa diện, thuần nhất dương và đơn điệu tăng
trên Rn thì h được xác định bởi:

h(x) = min{(qi)T x| i = 1, 2, ..., s}

trong đó q1 ∈ Rn+, q2 ∈ Rn+, ..., qs ∈ Rn+ không đồng thời bằng 0.
Định nghĩa 1.1.11. Hàm h(x) được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X
nếu


lim infh(x) ≥ h(x0).

x→x0

Hàm h(x) được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu

lim suph(x) ≤ h(x0).

x→x0

Nếu h là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi điểm thuộc X , thì h
được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) ở trên X .

Định nghĩa 1.1.12. Hàm h(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu h(x) đồng
thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x0. Nếu h liên tục tại mọi
điểm thuộc X, thì h được gọi là liên tục ở trên X .

Mệnh đề 1.1.13. (xem [4]) Hàm h(x) là nửa liên tục dưới ở trên tập đóng
X khi và chỉ khi với mọi α ∈ R tập mức dưới {x ∈ X | h(x) ≤ α} là tập
đóng. Hàm h(x) nửa liên tục trên ở trên X khi và chỉ khi với mọi α ∈ R
tập mức trên {x ∈ X | h(x) ≥ α} là tập đóng.

Mệnh đề 1.1.14. (xem [4]) Nếu hàm h(x) là nửa liên tục dưới ở trên tập
compact khác rỗng X , thì h(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên X . Nếu hàm h(x)
nửa liên tục trên ở trên tập compact khác rỗng X , thì h(x) đạt giá trị lớn
nhất trên X .

6

1.2. Phép biến đổi tựa liên hợp


Phần này, chúng tơi trình bày một số tính chất của phép biến đổi tựa
liên hợp của hàm h. Từ đây cho đến hết chương ta luôn giả thiết rằng h(x)
hàm số không âm, nhận giá trị hữu hạn, tựa lồi, tăng ngặt, liên tục trên
R+n và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ∈ R+n \{0}. Dễ thấy, nếu h(x) nhận giá
trị hữu hạn, thuần nhất dương và tăng ngặt trên R+n thì h(x) tăng ngặt và
0 = h(0) < h(x) với mọi x ∈ R+n \{0}.

Ký hiệu tập mức dưới của h tại α là
Lα = {x ∈ R+n : h(x) ≤ α}.

Hàm tựa liên hợp của hàm h được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.2.1. Hàm h⋄ được gọi là tựa liên hợp của h nếu

h⋄(p) := inf{τ ≥ 0| p ∈ (L 1 )⋄} ∀p ∈ Rn+, (1.1)
τ

(quy ước 1 = 0, L1 = Rn+).
+∞ 0

Ví dụ 1.2.2. (xem [7]) Cho h là một hàm tuyến tính trong Rn+:

h(x) = ⟨c, x⟩,

trong đó c > 0. Khi đó, chúng ta có
h⋄(p) = max{pj | j = 1, 2, ..., n}.
cj

Tiếp theo, chúng ta nghiên các tính chất của hàm tựa liên hợp h⋄.


Mệnh đề 1.2.3. h⋄ nhận giá trị hữu hạn trên R+n và 0 = h⋄(0) < h⋄(p)
với mọi p ∈ R+n \{0}.

Chứng minh. Trước tiên, ta chứng minh 0 = h⋄(0) < h⋄(p) với mọi p ∈
R+n \{0}. Dễ thấy (L1 )⋄ = {0}, và do đó h⋄(0) = 0. Lấy bất kỳ p ∈

0

7

R+n \{0}. Nếu h⋄(p) = 0 thì ta nhận được h⋄(p) < ϵ với mọi ϵ > 0, điều
này kéo theo tồn tại τ > 0 sao cho τ < ϵ và

p ∈ (L 1 )⋄
τ

1
⇔ ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ≥ 0 thỏa mãn h(x) ≤

τ

1
⇔ h(x) > ∀x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ > 1. (1.2)
τ

Cho x ≥ 0 nhận được ⟨p, x⟩ = 1. Đặt xk = (1 + 1k )x với mọi k ∈ N, khi đó

⟨p, xk⟩ > 1, và vì thế h(xk) > 1 với mọi k ∈ N bởi (1.2). Cho k → +∞ ta
τ


nhận được h(x) ≥ τ1 . Vì thế h(x) ≥ 1 với mọi x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ ≥ 1.
τ

Điều này tương đương với

11
inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0} ≥ > .

τϵ

Cho ϵ → 0 trong bất đẳng thức trên ta nhận được

inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0} = +∞.

Điều này mâu thuẫn với thực tế rằng

inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0} ≤ h(xˆ)̸ = +∞

với xˆ ∈ R+n \{0} thỏa mãn ⟨p, xˆ⟩ ≥ 1. Suy ra h⋄(p) > 0 với mọi p ∈

R+n \{0}.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng h⋄(p) là nhận giá trị hữu hạn trong

Rn+. Giả sử rằng h⋄(p) = +∞ với p ∈ R+n \{0}. Khi đó khơng tồn tại một

số τ ≥ 0 sao cho p ∈ (L 1 )⋄, điều này tương đương với mỗi τ ≥ 0 tồn tại
τ


x′ ≥ 0 sao cho ⟨p, x′⟩ = t > 1 và h(x′) ≤ τ1 . Đặt x = t1x′, chúng ta có
⟨p, x⟩ = 1 và h(x) ≤ h(x′) ≤ τ1 bởi tính đơn điệu tăng của hàm h(x). Chọn

một dãy {τ k} trong R+ thỏa mãn τ k → +∞, khi đó tồn tại một dãy {xk}

trong R+n sao cho ⟨p, xk⟩ = 1 và h(xk) ≤ τk 1 .
Nếu p > 0 thì chúng ta có thể giả thuyết rằng xk → x¯ (bởi vì tập {x ∈

R+n | ⟨p, x⟩ = 1} là compact). Cho k → +∞ trong đẳng thức ⟨p, xk⟩ = 1 ta

nhận được ⟨p, x¯⟩ = 1. Từ h(xk) ≤ 1 và tính liên tục của h(x) chúng ta có
τk

h(x¯) = lim h(xk) ≤ lim k1 = 0.
k→+∞ k→+∞ τ

8

Suy ra x¯ = 0, điều này mâu thuẫn với thực tế rằng ⟨p, x¯⟩ = 1.
Giả sử p là véc tơ không dương, ta đặt I = {i| pi = 0, i = 1, 2, 3, ..., n}

và chọn yk sao cho yki = 0 với mọi i ∈ I, yki = xki với mọi i ∈/ I. Khi đó, với
mọi k chúng ta có

⟨p, yk⟩ = ⟨p, xk⟩ = 1, h(yk) ≤ h(xk) ≤ 1τ k ,
điều này có được do tính đơn điệu tăng của hàm h(x). Đặt

{x ∈ R+n | ⟨p, x⟩ = 1, xi = 0 ∀i ∈ I}.

Dễ thấy là một tập compact. Khơng mất tính tỏng qt, chúng ta có thể

giả thuyết rằng yk → y¯. Bằng cách chứng minh tương tự như trên, chúng
ta có thể thu được y¯ = 0 và ⟨p, y¯⟩ = 1, điều này vô lý.

Ký hiệu L⋄α là tập mức dưới của h⋄ tại α, nghĩa là
Lα⋄ = {p ∈ R+n : h⋄(p) ≤ α}.

Chúng ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.2.4. Các tập mức L⋄1 và Lα là liên hợp dưới của nhau với mọi

α

α ≥ 0.

Chứng minh. Dễ thấy rằng L⋄1 và L0 liên hợp dưới của nhau. Lấy bất kỳ

0

α > 0, chúng ta chứng minh rằng

L 1⋄ = {p ∈ R+n : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα} . (1.3)
α

Cho p ∈ L⋄1 , chúng ta có p ≥ 0 và h⋄(p) ≤ α1 , hay
α

inf{τ ≥ 0| p ∈ (L 1 )⋄} ≤ 1 .
τ¯ α

Nếu inf{τ ≥ 0| p ∈ (L 1 )⋄} < 1 thì tồn tại một số thực không âm τ¯ sao cho

τ α

τ¯ ≤ 1 và p ∈ (L 1 )⋄, điều này tương đương với 1 ≥ α và ⟨p, x⟩ ≤ 1 với mọi
α τ¯ τ¯

x trong L 1 . Vì Lα ⊂ L 1 chúng ta có ⟨p, x⟩ ≤ 1 với mọi x trong Lα.
τ¯ τ¯

9

Nếu inf{τ ≥ 0| p ∈ (L 1 )⋄} = 1 thì với bất kỳ ϵ > 0 chúng ta có
τ α

inf{τ ≥ 0| p ∈ (L 1 )⋄} < 1 + ϵ.
τ α

Bằng chứng minh tương tự như trên chúng ta có ⟨p, x⟩ ≤ 1 với mọi x trong

Lα. Vì thế, với bất kỳ ϵ > 0 thì
1+αϵ

⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ≥ 0, h(x) ≤ α . (1.4)

1 + αϵ

Cho x ≥ 0, x̸ = 0 và h(x) ≤ α, chúng ta sẽ chứng minh rằng ⟨p, x⟩ ≤ 1.
Nếu x > 0 thì dãy {xk = (1 − 1k )x} thỏa mãn xk → x và

h(xk) < h(xk+1) < h(x) ≤ α


với mọi k (bởi vì h là tăng ngặt). Với mỗi k, bởi h(xk) < α, tồn tại ϵk > 0 sao

cho h(x) ≤ 1+αϵk α , và vì thế ⟨p, xk⟩ ≤ 1 bởi (1.4). Cho k → +∞ trong bất
phương trình ⟨p, xk⟩ ≤ 1 và h(xk) < α nhận được ⟨p, x⟩ ≤ 1 và h(x) ≤ α.

Giả sử x khơng phải là một véc tơ dương, khi đó chúng ta chọn dãy {xk},

với

xk = 1 xˆ + (1 − 1 )x, xˆ > 0, h(xˆ) ≤ α
k k

(chúng ta có thể chọn xˆ như vậy bởi tính liên tục của h và h(0) = 0). Vì h là

tựa lồi nên h(xk) ≤ α với mỗi k. Bằng chứng minh tương tự như trên, chúng

ta chỉ ra rằng ⟨p, xk⟩ ≤ 1 với mỗi k. Cho k → +∞ chúng ta có ⟨p, x⟩ ≤ 1

và h(x) ≤ α. Suy ra

L 1⋄ ⊂ {p ∈ R+n : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα} .
α

Ngược lại, cho p ∈ {p ∈ R+n : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα} thì p ∈ (Lα)⋄ = (L 1 )⋄.

α−1

Điều này suy ra rằng

h⋄(p) = inf {τ ≥ 0| p ∈ (L 1 )⋄} ≤ 1

,
τ α

nghĩa là

L 1⋄ ⊃ {p ∈ R+n : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα} .
α

10

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng Lα là liên hợp dưới của L⋄1 . Đặt

α

Γ = x ∈ R+n : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀ p ∈ L 1⋄ .
α

Vì L⋄1 là liên hợp dưới của Lα nên Lα ⊆ Γ. Giả sử rằng x ≥ 0 và x ∈/ Lα.

α

Bởi tính đơn điệu tăng của h, chúng ta có x ∈/ Lα − Rn+. Vì h là liên tục
và tựa lồi nên Lα là một tập đóng và lồi. Theo định lý tách mạnh, tồn tại
q ∈ Rn \{0} và số τ ∈ R sao cho

⟨q, x⟩ < τ ∀x ∈ Lα − Rn+, (1.5)
⟨q, x⟩ > τ. (1.6)

Giả sử tồn tại qi < 0 với i ∈ {1, 2, ...n} thì với x0 ∈ Lα ta có


xk = (x01, ..., xi0 − k, ..., x0n) ∈ Lα − R+n

với mọi k ∈ Rn+, và do đó ⟨q, xk⟩ → +∞ khi k → +∞. Điều này mâu
thuẫn với (1.5). Vì thế, chúng ta có q ≥ 0 và τ > 0 bởi (1.5). Đặt p = 1τ q,
từ (1.5) và (1.6), chúng ta nhận được

⟨p, x⟩ < 1 ∀x ∈ Lα − Rn+, (1.7)
⟨p, x⟩ > 1. (1.8)

Từ (1.7) suy ra rằng ⟨p, x⟩ < 1 ∀x ∈ Lα, điều này dẫn tới p ∈ L⋄1 bởi (1.3).

α

Điều này cùng với (1.8) suy ra rằng x ∈/ Γ.

Mệnh đề 1.2.5. Hàm h cũng là tựa liên hợp của h⋄, tức là

h(x) = inf {τ ≥ 0| x ∈ (L ⋄ )⋄ }.

1

τ

Chứng minh. Chúng ta có h(x) = inf{τ ≥ 0| x ∈ Lτ }. Áp dụng Bổ đề
1.2.4, chúng ta có

h(x) = inf {τ ≥ 0| x ∈ (L ⋄ )⋄ }.

1


τ

Mệnh đề được chứng minh.

11

Mệnh đề 1.2.6. Hàm h⋄ là đơn điệu tăng, nửa liên tục dưới và tựa lồi trên
Rn+.

Chứng minh. Cho 0 ≤ p ≤ p và τ ≥ 0. Nếu ⟨p , x⟩ ≤ 1 với mọi x ∈ L 1 thì′′

τ

⟨p, x⟩ ≤ 1 với mọi x ∈ L 1 . Điều này suy ra rằng h⋄(p) ≤ h⋄(p′).
τ

Với mọi τ ≥ 0 chúng ta có L 1 là một tập hợp đóng và lồi (bởi vì h(x)
τ

là liên tục và tựa lồi). Điều này suy ra (L 1 )⋄ cũng là một tập hợp đóng và
τ

lồi. Theo Bổ đề 1.2.4, các tập mức dưới của h⋄ là đóng và lồi. Suy ra h⋄ nửa

liên tục dưới và tựa lồi. Mệnh đề được chứng minh.

Định lý 1.2.7. Chúng ta có

h⋄(p) = 1 ∀p ∈ Rn+, (1.9)
inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0}


h(x) = inf{h⋄ 1 (p) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, p ≥ 0} ∀x ∈ R+n . (1.10)

Chứng minh. Đặt

h(p) = 1 .

inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0}

⋄

Cho α ≥ 0, ký hiệu Lα là tập mức dưới của h, tức là

Lα⋄ = {p ∈ R+n : h(p) ≤ α}.

Để chứng minh h⋄(p) = h(p) với mọi p ∈ R+n ta cần chứng minh L⋄α = ⋄

Lα

cho bất kỳ α ≥ 0. Rõ ràng, L⋄0 = ⋄ Cho α > 0, p ∈ L⋄α. Khi đó h⋄(p) ≤ α

L0.

hay tương đương với

inf τ ≥ 0| ⟨p, x⟩ ≤ 1, ∀x ∈ L 1 ≤ α.
τ

Điều này suy ra rằng


inf τ ≥ 0| ⟨p, x⟩ ≤ 1, ∀x ∈ L 1 < α + ϵ
τ

12

với mọi ϵ > 0. Khi đó tồn tại τ ≥ 0 sao cho τ < α + ϵ và

⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ≥ 0 thỏa mãn x ∈ L 1 (1.11)
τ

1
⇔ ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ≥ 0 thỏa mãn h(x) ≤

τ
1
⇔ h(x) > ∀x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ > 1.
τ

Cho x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ = 1. Đặt xk = (1 + 1k )x với mọi k ∈ N, khi đó

⟨p, xk⟩ > 1 và do đó h(xk) > 1 với mỗi k ∈ N bởi (1.11). Cho k → +∞,
τ

chúng ta nhận được h(x) ≥ τ1 . Điều này cùng với (1.11) suy ra rằng h(x) ≥ 1
τ

với mọi x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ ≥ 1 hay tương đương với

1
inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0} ≥ .


τ

Điều này cùng với τ < α + ϵ suy ra rằng

h(p) = 1 < α + ϵ.

inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0}

⋄

Cho ϵ → 0 ta nhận được h(p) ≤ α, hay tương đương với p ∈ Lα. Do đó,

Lα⋄ ⊂ Lα⋄ .

⋄

Lấy bấy kỳ p ∈ Lα. Khi đó, chúng ta có

1 (1.12)
≤α

inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0}

1
⇔ inf {h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0} ≥

α
1
⇔ h(x) ≥ ∀ x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ ≥ 1

α

1
⇔ ⟨p, x⟩ < 1 ∀ x ≥ 0 thỏa mãn h(x) < .

α

Cho x ≥ 0, x̸ = 0 thỏa mãn h(x) ≤ α1 . Nếu x > 0 thì dãy {xk = (1 − 1k )x}

thỏa mãn xk → x và h(xk) < h(x) ≤ 1 với mọi k (bởi vì h tăng ngặt), và vì
α

thế ⟨p, xk⟩ < 1 bởi (1.12). Cho k → +∞, chúng ta nhận được ⟨p, xk⟩ ≤ 1.

13

Nếu x không phải là véc tơ dương thì dãy {xk}, xk = 1 xˆ + (1 − 1 )x với xˆ > 0
k k

và h(xˆ) ≤ 1 (chúng ta có thể chọn xˆ bởi tính liên tục của h và h(0) = 0)
α

thỏa mãn xk > 0 và h(xk) ≤ 1 (vì h là tựa lồi). Bằng cách lập luận tương
α

tự như trên, chúng ta chứng minh được rằng ⟨p, xk⟩ ≤ 1 với mỗi k. Cho

k → +∞ trong các bất phương trình ⟨p, xk⟩ ≤ 1 và h(xk) ≤ α1 , chúng ta

nhận được ⟨p, x⟩ ≤ 1 và h(x) ≤ α. Vì vậy, chúng ta có ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀ x ≥ 0


thỏa mãn h(x) ≤ 1α. Điều này tương đương với p ∈ (L 1 )⋄ = L⋄α. Suy ra
α

Lα⋄ = Lα⋄ .

Vậy đẳng thức (1.9) được chứng minh. Bằng các lập luận tương tự như trên,
chúng ta có thể thu được đẳng thức (1.10). Mệnh đề được chứng minh.

Mệnh đề 1.2.8. Nếu h thuần nhất dương bậc τ > 0, thì h⋄ cũng thuần
nhất dương bậc τ.

Chứng minh. Nếu p = 0, thì h⋄(0) = 0.
Nếu p̸ = 0, thì với mỗi θ > 0 chúng ta có

h⋄(θp) = inf α ≥ 0| θp ∈ (L 1 )⋄
α
= inf α ≥ 0| ⟨θp, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ L 1
α
= inf α ≥ 0| ⟨p, θx⟩ ≤ 1 ∀ θx ∈ Lθτ
α
= θτ inf α′ ≥ 0| ⟨p, x′⟩ ≤ 1 ∀ x′ ∈ L 1′
α
= θτ h⋄(p).

Mệnh đề được chứng minh.

14