ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——– o0o ———
NGUYỄN THỊ QUỲNH

ĐỊNH LÝ CEVA MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

THÁI NGUYÊN – 2024

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o ————–

NGUYỄN THỊ QUỲNH

ĐỊNH LÝ CEVA MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải
TS. Lê Hồng Quang

Thái Nguyên – 2024

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên
dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Trịnh Thanh Hải và TS. Lê Hồng Quang.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai Thầy giáo, Người đã hướng
dẫn và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình học tập và hoàn
thiện luận văn này.

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại
học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho em
trong suốt quá trình em học tập ở trường.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung Tâm giáo dục nghề nghiệp - giáo
dục thường xuyên Tiên Du, Bắc Ninh cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã
tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian đi học Cao học. Đồng thời, tơi cũng xin
gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tơi trong
q trình học tập và hồn thành luận văn tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái
Nguyên.

Tôi xin chân thành cảm!

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2024
Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh

Mục lục

Mở đầu 1


Chương 1. Mở rộng định lý Ceva 3

1.1. Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Một số kết quả mở rộng định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Định lý Ceva trong trường hợp điểm P tiến đến ∞ . . . . . . . 10

1.3.2. Định lý Ceva ở dạng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. Định lý Ceva ở dạng véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4. Định lý Ceva ở dạng biểu diễn qua các tỉ số tọa độ ri = pi . . . . 13

qi

Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Ceva trong giải toán 18

2.1. Ứng dụng của định lý Ceva trong đa giác có số cạnh lẻ . . . . . . . . . 18

2.2. Ứng dụng của định lý Ceva vào bài toán đồng quy trong tứ diện . . . . 20

2.3. Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

1


Mở đầu

Trong chương trình tốn phổ thơng, các bài tốn hình học phẳng là một phần quan
trọng trong các chuyên đề tốn học và đồng thời nó cũng là một chủ đề khó trong
chương trình tốn THPT chun. Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia,
thi Olympic Tốn quốc tế và khu vực, những bài tốn Hình học phẳng cũng hay được
đề cập và thường được xem là bài tốn khó của kì thi. Trong các dạng tốn liên quan
đến hình học phẳng thì bài tốn đồng quy, thẳng hàng vừa được coi là bài toán quen
và lạ, vừa dễ vừa khó.

Các em học sinh thường gặp một số khó khăn khi tiếp cận các dạng toán liên quan
đến bài toán đồng quy, thẳng hàng nói riêng và bài tốn hình học phẳng nói chung bởi
khơng biết phải bắt đầu từ đâu và khó khăn khi định hướng vẽ hình phụ. Để hiểu và
vận dụng tốt một số dạng toán cơ bản và vận dụng kiến thức Hình học phẳng vào giải
tốn đồng quy thẳng hàng thì thơng thường học sinh phải có kiến thức nền tảng hình
học tương đối đầy đủ và chắc chắn trên tất cả các lĩnh vực của nó và định lý Ceva là
một công cụ hỗ trợ đắc lực khi giải các bài tốn khó về hình học.

Định lý Ceva là định lý mang tên nhà tốn học người Italia là Giovanni Ceva
(1647-1734), người tìm ra định lý này vào năm 1698.

Đã có một một số giáo viên dạy khối chuyên toán như Đặng Thành Trung, Nguyễn
Tố Uyên,... tìm hiểu về định lý Ceva và ứng dụng của định lý vào giải toán. Cũng có
một vài học viên cao học tìm hiểu về chủ đề định lý Ceva ví dụ như: Luận văn thạc
sĩ của Nịnh Mạnh Cường, Trường Đại học Khoa học (2014), Vũ Văn Đức (2011) với
luận văn: “Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng”... Định lý Ceva đã thu hút
được sự quan tâm của những người u tốn và trong thời gian gần đây đã có thêm
những kết quả mở rộng định lý Ceva cũng như ứng dụng định lý Ceva vào giải tốn
được cơng bố trên các bài báo, tạp chí, diễn đàn tốn học quốc tế,... chẳng hạn như

[2], [3], [4], [5], [6].

Với mong muốn tìm hiểu thêm và một số kết quả mới liên quan đến định lý Ceva

2

mở rộng và ứng dụng kết quả này vào giải toán trung học phổ thông, chúng tôi chọn
đề tài luận văn: “Định lý Ceva mở rộng và ứng dụng” làm chủ đề cho luận văn thạc
sĩ của mình. Đã có có một vài luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ
cấp đề cập đến định lý Ceva nhưng luận văn đã cố gắng tìm các kết quả cơng bố trong
thời gian gần đây để đảm bảo tính đề cập được những ứng dụng mới.

Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày một số kết quả mở rộng của Định lý Ceva
trong những năm gần đây và ứng dụng các kết quả này vào giải quyết một số bài tốn
hình học.

Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương như
sau:
Chương 1: Mở rộng định lý Ceva

1.1. Một số kiến thức cơ bản.
1.2. Định lý Ceva.
1.3. Một số kết quả mở rộng định lý Ceva.
1.3.1. Định lý Ceva trong trường hợp điểm P tiến đến ∞.
1.3.2. Định lý Ceva ở dạng lượng giác.
1.3.3. Định lý Ceva ở dạng véctơ.
1.3.4. Định lý Ceva ở dạng biểu diễn qua các tỉ số tọa độ ri = pi .

qi
Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Ceva trong giải toán


2.1. Ứng dụng của định lý Ceva trong đa giác có số cạnh lẻ.
2.2. Ứng dụng của đinh lý Ceva vào bài toán đồng quy trong tứ diện.
2.3. Một số bài toán liên quan.

3

Chương 1. Mở rộng định lý Ceva

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về định lý Ceva, mối quan hệ của
các định lý Ceva và Menelaus trong không gian Euclide n chiều và một số dạng mở
rộng của định lý Ceva.

1.1. Một số kiến thức cơ bản

−→
Định nghĩa 1.1. Trên trục d cho hai điểm A và B. Khi đó độ dài đại số của AB, kí

−→ →−
hiệu: AB; là số dương nếu AB cùng hướng với vectơ đơn vị e của đường thẳng d và

là số âm nếu chúng ngược hướng.

Tính chất 1.1. Độ dài đại số có các tính chất sau:

i) AB = −BA;

ii) AB + BC = AC (A, B, C thẳng hàng);

iii) A1A2 + A2A3 + · · · + An−1An = A1An (với mọi Ai thẳng hàng, i = 1, n).


Định nghĩa 1.2. Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với một

số điểm trên cạnh đối của đỉnh.

BA
Định nghĩa 1.3. Hàng điểm gồm ba điểm thẳng hàng A, B, C thì ta có tỷ số = k.

BC
AB
Ký hiệu (AC, B) = = k được gọi là tỷ số đơn, ta cịn nói B chia đoạn AC theo tỷ
BC
số k.

4

Định nghĩa 1.4. Hàng điểm gồm ba điểm thẳng hàng A, B, C, D thì ta có tỷ số

CA DA CA DA
: = k. Ký hiệu (AB, CD) = : = k được gọi là tỷ số kép, ta cịn nói
CB DB CB DB

là A, B chia đoạn D, C theo tỷ số k.

Định nghĩa 1.5. Cho hàng điểm (AB, CD) nếu tỷ số kép (AB, CD) = −1 thì ta
gọi (AB, CD) là hàng điểm điều hồ, (AB, CD) = −1 thì (AB, CD) = (AB, CD)
= (BA, DC) = (CD, AB) = (BC, DA) = (BA, CD) = (AB, DC) = (BC, AD) =
(CD, BA) = −1.

Định nghĩa 1.6. Điểm Nagel là điểm đồng quy của ba đoạn thẳng nối đỉnh và tiếp

điểm của đường tròn bàng tiếp góc tương ứng lên cạnh đối diện.

Định nghĩa 1.7. Điểm Gergonne là điểm trong tam giác giác, nằm trong tam giác và
có thể được tạo bằng cách sử dụng điểm nối chính giữa các cạnh với điểm tiếp xúc của
đường phân giác. Điểm Gergonne là điểm giao của các phân giác trong tam giác giác.

Định nghĩa 1.8. Điểm Fermat của một tam giác, cũng được gọi là điểm Torricelli
hoặc điểm Fermat-Torricelli, là một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến
các đỉnh của tam giác là bé nhất.

Định nghĩa 1.9. Cho x1, ..., xn là một hệ điểm trên một đa diện của không gian afin

A. Nếu một điểm p thuộc A, n n
hay
p ai = aixi

i=1 i=1

(a1 + a2 + · · · + an)p = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn

và có ít nhất một trong a1, ..., an không bị triệt tiêu nên ta nói rằng dãy các hệ
số (a1, a2, ..., an) là một tọa độ Barycentric của p có mối quan hệ với dãy x1, ..., xn.
Bản thân các đỉnh của chúng có tọa độ x1 = (1, 0, 0, ..., 0), x2 = (0, 1, 0, ..., 0), xn =
(0, 0, ..., 1). Các tọa độ Barycentric không phải là duy nhất. Với mọi b = 0, ba1, ..., ban
cũng là tọa độ Barycentric của p. Nếu tọa độ không âm, p nằm trong bao lồi của
x1, ..., xn. Vậy trong một đa diện, điểm của nó được xem như là một đỉnh.

5

Định nghĩa 1.10. Cho góc hình học tạo bởi hai đường thẳng x và y. Nếu coi x là

cạnh đầu và y là cạnh cuối thì ta nói góc giữa hai đường thẳng x và y đã được định
hướng (hoặc gọi là góc định hướng (x, y)). Số đo của góc định hướng (x, y) là số đo của
góc định hướng giữa hai tia có chung đỉnh O và hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x
và y.

Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng nếu α là số đo góc giữa hai tia nằm
trên x và y thì số đo của góc định hướng giữa x và y là:

Sđ(x, y) = α + kπ (k ∈ Z) hoặc (x, y) = α (mod π).
Trong đó α được gọi là giá trị chính.
Định nghĩa 1.11. Cho hai góc (x, y) = α, (x , y ) = β. Khi đó (x, y) = (x , y ) (mod
π) khi và chỉ khi giá trị chính của hai góc bằng nhau.
Định nghĩa 1.12. Cho hai góc (x, y) = α, (x , y ) = β. Khi đó

(x, y) ± (x , y ) = α + β.
k(x, y) = kα (k = 0).

1.2. Định lý Ceva

Định lý 1.1 (Ceva). Cho tam giác ABC. Gọi A , B , C là 3 điểm tương ứng nằm trên

các cạnh BC, CA, AB và 3 điểm này khác các đỉnh của tam giác. Khi đó AA , BB , CC

đồng quy khi và chỉ khi

AB BC CA
· · = 1.
AC BA CB

6


Hình 1.1

AB
Chứng minh. Giả sử ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy ta đi chứng minh ·
AC
BC CA
· = 1.
BA CB

Giả sử BB , CC cắt đường thẳng qua A song song với BC lần lượt tại I và K. Áp

dụng định lí Thales có:

B C BC C A AK
=; =.
B A AI C B BC

Hơn nữa ta có

AI AM AK A B AI
= = ⇒ =.
A B M A A C A C AK

Vậy ta suy ra

A B B C C A AI BC AK
· · = ·· = 1.
A C B A C B AK AI BC


Ngược lại, giả sử ta có hệ thức

AB BC CA (1)
· · =1
AC BA CB

ta cần chứng minh ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy. Gọi P là giao điểm của

AA và BB , D là giao điểm của CP và AB. Khi đó áp dụng phần trên ta có

A B B C DA (2)
· · = 1.
A C B A DB

Từ (1) và (2) ta có C A DA ⇒ C ≡ D (Vì C và D cùng thuộc cạnh AB). Vậy ba
=
C B DB

đường thẳng AA , BB , CC đồng quy tại P . Suy ra điều phải chứng minh.

Từ định lý Ceva, thuật ngữ “cevian” đã được thiết lập để chỉ một đoạn thẳng kẻ từ
một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện của đỉnh đó và đi qua điểm P không nằm
trên các cạnh của tam giác.

Các cevian quan trọng nhất là “đường trung tuyến”, “đường phân giác” và “đường
cao” của tam giác. Các đường trung tuyến đi qua trung điểm của cạnh đối diện. Các

7

Hình 1.2: Ba đường trung tuyến, phân giác, đường cao


đường phân giác chia các cạnh đối diện theo tỷ lệ A B |AB|
= − , ... và các đường cao
A C |AC|

lần lượt vng góc với các cạnh đối diện. Hình 1.2 cho thấy các đường này cùng với

các “tam giác cevian” được xác định bởi vết của các cevian tương ứng ở các cạnh đối

diện. Chứng minh rằng các đường thẳng này đi qua các điểm tương ứng {G, I, H} là

một bài toán dễ khi ta sử dụng định lý Ceva. Ba điểm này lần lượt là “trọng tâm, tâm

nội tiếp” và “trực tâm” của tam giác.

Hình 1.3: Tâm đường trịn ngoại tiếp, điểm Gergonne

Có nhiều “tâm, cevian” và “tam giác cevian” tương tự của tam giác ABC được khảo
sát trong “hình học tam giác”. Hình 1.3 chỉ ra rằng ba “tâm tam giác”: tâm của đường
tròn ngoại tiếp “tâm đường tròn”, “điểm đối xứng”, được định nghĩa là giao điểm của ba
“đường trung tuyến” và “điểm Gergonne” được định nghĩa là giao điểm của các đường
nối các đỉnh với các tiếp điểm của “đường trịn” với các cạnh đối diện.

Hình 1.4: Điểm Nagel, điểm Fermat, điểm bất động thứ nhất

8

Hình 1.4 cho thấy ba “tâm tam giác” khác. Đầu tiên là “điểm Nagel”, đi qua các
đường thẳng {AA , ...} nối đỉnh với tiếp điểm của đường tròn ngoại tiếp. Tiếp theo là
điểm “Fermat”, trong đó mỗi cạnh được nhìn dưới một góc 120◦. Điểm thứ ba là “điểm

bất động thứ nhất” cùng với “điểm bất động thứ hai” là giao điểm chung của ba “đường
tròn Apollonian”.

Định lý 1.2 (Menelaus). Cho tam giác ABC và các điểm A , B , C trên các đường

thẳng BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm trên phần kéo dài của

ba cạnh, hoặc một trong ba điểm trên nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai

điểm còn lại nằm trên hai cạnh của tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để A , B , C

thẳng hàng là

AB BC CA
· · =1
AC BA CB

hay

AB BC CA
· · = 1.
AC BA CB

Hình 1.5

AB BC CA
Chứng minh. Giả sử A , B , C thẳng hàng ta chứng minh · · = 1. Từ C

AC BA CB
vẽ đường thẳng song song với AB cắt A C tại M . Áp dụng định lí Thales ta có:


AB AC BC BM
=; = .
AC AM BA BC

Mặt khác, ta có CM B M CM A M C A A M.B C
= và = suy ra = . Do đó ta có
CA BC CB AC C B A C .B M

A B B C C A A C B M ÅA M B C ã (1)
· · = · · · = 1.
AC BA CB AM BC AC BM

9

Ngược lại, giả sử B , C nằm trên hai cạnh của tam giác và A thuộc phần kéo dài

của cạnh còn lại. Gọi D là giao điểm của A C và AC. Khi đó, theo chứng minh trên

ta có

A B DC C A (2)
·· = 1.
A C DA C B

Từ (1) và (2) ta có DC B C ⇒ D ≡ B (vì cùng thuộc cạnh AC). Vậy A , B , C
=
DA B A

thẳng hàng. Suy ra điều phải chứng minh.


Mối quan hệ của định lý Ceva và Menelaus được thể hiện trong Định lý sau.

Định lý 1.3. Cho tam giác ABC và ba điểm A , B , C nằm trên ba cạnh của tam

giác, 3 điểm này khác các đỉnh của tam giác. Khi đó ta có tỷ số độ dài:

|A B| |B C| |C A|
· · =1
|A C| |B A| |C B|

suy ra một trong hai mệnh đề:

1. Các điểm {A , B , C } thẳng hàng.

2. Các đường thẳng {AA , BB , CC } cùng đi qua một điểm. Ngồi ra, nếu C là

điểm điều hịa liên hợp của C ứng với {A, B} thì hai mệnh đề trên được phát như sau

(xem hình 1.6),

- Khi các điểm {A , B , C } thẳng hàng thì các đường thẳng {AA , BB , CC } cùng

đi qua một điểm.

- Khi các đường thẳng {AA , BB , CC } cùng đi qua một điểm thì ba điểm {A , B , C }

thẳng hàng.

Hình 1.6: “Ba cực tuyến” của P ứng với ABC


Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ Định lý Ceva và định lý Menelaus. Nếu tích
của các tỷ số độ dài bằng 1 thì tích tương ứng của các tỷ lệ có dấu bằng 1 hoặc −1.

10

Trong trường hợp đầu tiên, theo định lý Menelaus, ta có các điểm {A , B , C } thẳng
hàng. Theo mối liên hệ giữa các liên hợp điều hòa ta có

(C , C ) ∼ (A, B) ⇒ CA C A
=− ,
CB C B

từ đó suy ra nếu các điểm {A , B , C } thẳng hàng thì các đường thẳng {AA , BB , CC }

cùng đi qua một điểm. Chứng minh tương tự cho hai trường hợp còn lại.

Chú ý: các tính chất tương tự cũng sẽ có giá trị đối với các hàng điều hòa tương

ứng khác, nghĩa là (AA , A ) ∼ (B, C) và (B , B ) ∼ (A, C).

Nhận xét 1.2. Hệ quả cuối cùng cho thấy rằng hai tính chất được thể hiện bởi các
định lý của Menelaus và Ceva có liên quan mật thiết với nhau. Ngoài việc xét ba điểm
{A , B , C } trên các cạnh của tam giác ABC còn phải xét hàng điều hòa {A , B , C }
so với các điểm cuối tương ứng trên các cạnh {BC, CA, AB}. Kết quả được thể hiện
trong Hình 1.6, trong đó tất cả các điểm trùng nhau, ngoại trừ các điểm trùng với
{A , B , C } trên một đường thẳng, là hệ quả của các mệnh đề trước đó. Đường thẳng
chứa các điểm {A , B , C } được gọi là “Ba cực tuyến” của P đối với tam giác ABC.
Hai khái niệm này đóng vai trị quan trọng trong “ Hình học của tam giác”.


1.3. Một số kết quả mở rộng định lý Ceva

1.3.1. Định lý Ceva trong trường hợp điểm P tiến đến ∞

Giả sử điểm P tiến tới vô cực. Khi đó, ba đường thẳng {AA , BB , CC } là ba đường

thẳng song song mà chúng ta coi là đồng quy tại một điểm ở vô cực. Định lý Ceva dưới

đây được suy ra từ định lý của Thales

AB BC CA
· · = 1.
AC BA CB

Hình 1.7 cũng cho ta thấy ba cực tuyến P . Khi thay đổi P nghĩa là thay đổi hướng

của các đường thẳng song song, cũng làm thay đổi vị trí của ba cực tuyến tương ứng.

Hình 1.8 cho ta thấy “đường biên” của tất cả các cực tam tuyến này. Nó là một hình

elip nội tiếp trong tam giác và tiếp tuyến với các cạnh của nó tại trung điểm của chúng.

Đây là hình elip lớn nhất có thể nội tiếp trong tam giác, được gọi là “hình elip Steiner”

của tam giác. Hình này cũng hiển thị đường biên của C A B là một đường hyperbol

tiếp xúc với các đường này tại trung điểm B1 của đoạn thẳng A C . Tâm của hyperbol

11


Hình 1.7: Định lý Ceva cho các đường song song {AA , BB , CC }

Hình 1.8: Hình elip Steiner bao các cực tam tuyến

là đỉnh B và các cạnh {BA, BC} là “tiệm cận” của nó. Có hai hyperbol tương tự bao
tất cả các đường thẳng A B C và tất cả các đường thẳng B C A có tâm tương ứng
tại {C, A}.
1.3.2. Định lý Ceva ở dạng lượng giác

Một dạng khác của định lý Ceva thu được ở dạng lượng giác. Hai góc được xác định
thông qua “cevian” tương ứng và các cạnh của tam giác. Trong hình 1.9, các góc định
hướng (x, y) mod π thỏa mãn:

A = α2 − α1, B“ = β“2 − β“1, C = γ“2 − γ“1.

12

Hình 1.9: Định lý Ceva được biểu diễn qua các góc

Khi đó điều kiện của Ceva tương đương với (1.1)
sin(α2) · sin(β2) · sin(γ2) = 1.
sin(α1) sin(β1) sin(γ1)

Từ định lý sin trong tam giác, ta có

AC = AA , AB = AA , ⇒ A C : sin(α2) = sin(B“) . (1.2)
A B sin(α1) sin(C)
sin(α2) sin(C) sin(α1) sin(B“)

Các đẳng thức tương tự với đẳng thức cuối cùng cũng đúng với các đỉnh khác; nhân

ba đẳng thức tương ứng và biến đổi chúng ta có được đẳng thức (1.1).

1.3.3. Định lý Ceva ở dạng véctơ

Hình 1.10: Định lý Ceva dạng vectơ

Một điều kiện khác của định lý Ceva thu được bằng cách đưa các véctơ đơn vị
{u1, u2, u3} tương ứng với các cạnh {AB, BC, CA} và {w1, w2, w3} theo các cevian

13

{AP, BP, CP }. Khi đó, ký hiệu . . . , . . . là tích trong vécto và J(X) là phép biến đổi

biến mọi véctơ theo π/2, ta có điều kiện của Định lý Ceva tương đương:

u1, J(w2) · u2, J(w3) · u3, J(w1) = −1. (1.3)
u3, J (w2) u1, J (w3) u2, J (w1)

Điều này xuất phát từ mở rộng thứ hai của điều kiện Ceva (phương trình (1.1)) bằng

cách lấy sin của các góc có thể được biểu thị bằng các tích:

sin(α2) = −u3, J(w2) , sin(α1) = u1, −J(w2) ⇒ sin(α2) = u3, J(w2) .
sin(α1) u1, J(w2)

Các cơng thức tương tự cũng có giá trị đối với các góc khác và điều kiện sau được thay

vào điều kiện trước đó.

1.3.4. Định lý Ceva ở dạng biểu diễn qua các tỉ số tọa độ ri = pi .

qi

Các tỉ số tọa độ của tam giác ABC xác định vị trí của điểm P theo các tỉ số
ri = pi/qi được xác định bởi các cevian qua P trên các cạnh của tam giác.

Hình 1.11: Tỉ số tọa độ {ri = pi/qi} của P

Mỗi tỷ lệ xác định “vết” của P trên cạnh của tam giác

r1 = p1 = A B , r2 = p2 = B C , r3 = p3 = C A .
q1 A C q2 B A q3 C B

Theo định lý Ceva r1r2r3 = 1. Vậy ba số không độc lập và hai trong số đó xác định

số thứ ba và hai số đó có thể được đưa ra một cách tùy ý, số thứ ba được xác định

thông qua đẳng thức trước đó. Định lý tiếp theo dẫn đến mối quan hệ của tọa độ này

với “tọa độ tâm” hoặc “tọa độ barycentric” (b1, b2, b3) của điểm P .

Định lý 1.4. Cho các điểm {B , C } trên các cạnh {AC, AB} của tam giác ABC chia
các cạnh tương ứng theo tỉ lệ {B C /B A = p2/q2}, C A/C B = p3/q3, khi đó các phát
biểu sau là đúng.

14

1. p1/q1 = A B/A C = −(p2/q2)−1(p3/q3)−1,
2. QB/QC = −p1/q1,
3. P A/P A = p3/q3 + q2/p2.
Cụ thể, các tỉ số p1/q1 và P A/P A không phụ thuộc vào độ dài cạnh mà chỉ phụ thuộc

vào tỉ số {p2/q2, p3/q3}.

Hình 1.12: Tỉ số P A/P A

Chứng minh. 1. Theo định lý Ceva suy ra p1/q1 = A B/A C = −(p2/q2)−1(p3/q3)−1.

2. Từ (Q, A ) ∼ (B, C) là cặp điều hòa suy ra QB/QC = −p1/q1.

3. Từ vế phải, ta có

p3 = P A , q2 = P A
q3 C B p2 B C

⇒ q2 + p3 Å = P A 1 + 1 ã = P A Å P A + P A ã = P A .
p2 q3 B C C B PA B C C B PA

Hệ quả 1.1. Cho một điểm P không nằm trên một cạnh của tam giác ABC, các trọng

tâm (b1, b2, b3) đối với tam giác ABC có liên quan đến tỉ số tọa độ (r1, r2, r3) của P

thơng qua các phương trình:

1 1 1
b1 = 1 − r3 + r1r3 , b2 = 1 − r1 + r2r1 , b3 = 1 − r2 + r3r2 .

Chứng minh. Theo định lý trên, ta ký hiệu (XY Z) là diện tích của tam giác XY Z, ta

có (xem Hình 1.12)

r3 + r2−1 = P A = 1 − AA = 1 − (ABC) = 1 − b1−1 ⇒

PA PA (P BC)

b1 = −1 1 = r2 = r2 = 1 .
1 − r3 − r2 r2 − r3r2 − 1 r2 − r3r2 + r1r2r3 1 − r3 + r1r3

Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại, suy ra điều phải chứng minh.

15

Nhận xét 1.3. Đối với các điểm nằm trên các cạnh của tam giác, có thể tìm được mối

liên hệ của tỉ số tọa độ tỷ lệ với trọng tâm. Đối với một điểm A thuộc đường thẳng

BC với tỉ số r1 = A B/A C các trọng tâm tương ứng là

Å 1 −r1 ã (1.4)
BC A (r1) : 0, , , (1.5)
1 − r1 1 − r1 (1.6)

CA B (r2) : Å −r2 , 0, 1ã ,

1 − r2 1 − r2

Å 1 −r3 ã,
AB C (r3) : ,0 .
1 − r3 1 − r3

Ví dụ áp dụng trong trường hợp này, sử dụng cơng thức diện tích các trọng tâm

trong đó các cột của định thức biểu thị các trọng tâm tuyệt đối của {A , B , C }


a1 b1 c1 (1.7)
(A B C ) = (ABC) a2 b2 c2 ,

a3 b3 c3

ta có thể tính diện tích của tam giác cevian A B C của các điểm P phụ thuộc vào tỉ
số tọa độ của P ,

0 1 −r1 1−r1 1−r1 1 − r1r2r3

(A B C ) = (ABC) −r2 0 1 = · (ABC). (1.8)
1−r2 1−r2 (1 − r1)(1 − r2)(1 − r3)

1 −r3 1−r3 1−r3 0

Mà r1r2r3 = −1 suy ra

(A B C ) = 2 · (ABC). (1.9)

(1 − r1)(1 − r2)(1 − r3)

Sử dụng định lý Ceva, chúng ta nghiên cứu một số tính chất của hình tạo bởi các
điểm trên các cạnh của tam giác và tỉ số tương ứng xác định trên các điểm đó.

Hình 1.13 Minh họa một bài tốn điển hình liên quan đến định lý Ceva: Để xác
định tọa độ của các giao điểm khác nhau của ba cevian {AA , BB , CC }, ta đưa ra
các tỉ số {r1 = p1/q1, r2 = p2/q2, r3 = p3/q3}. Áp dụng định lý Ceva ta tìm được:

A1B = −(r2r3)−1, b1C = −(r3r1)−1, C1A = −(r1r2)−1.

A1C B1A C1B

Từ đó suy ra tỉ số tọa độ của các điểm {A , B , C } là:

A (r1, −(r3r1)−1, r3), B (r1, r2, −(r1r2)−1), C (−(r2r3)−1, r2, r3).

16

Hình 1.13: Vị trí các giao điểm

Chúng ta có thể giải một bài toán cổ điển liên quan đến việc xác định diện tích của
tam giác bằng cách sử dụng lại cơng thức diện tích trọng tâm trong đó các cột của
định thức biểu thị các tâm tuyệt đối tương ứng của các điểm {A , B , C }.

a1 b1 c1
(A B C ) = (ABC) a2 b2 c2 .

a3 b3 c3
Sử dụng các biểu thức đã biết và Hệ quả 2.1, ta được

1
(a1, b1, c1) = 1 − r3 + r3r1 (1, −r3, r3r1),

1
(b1, b2, b3) = 1 − r1 + r1r2 (r1r2, 1, −r1),

1
(c1, c2, c3) = 1 − r2 + r2r3 (−r2, r2r3, 1).
Điều này một lần nữa cho thấy rằng ba cevian {AA , BB , CC } cùng đi qua một điểm
khi


0 = (A B C ) ⇔ r1r2r3 = −1.
Ví dụ 1.1. Tỉ số tọa độ của các điểm {A2, B2, C2} tương ứng là

(a1, b1, c1) = (−r12r2r3, −(r3r1)−1, −(r1r2)−1),
(b1, b2, b3) = (−(r2r3)−1, −(r3r1)−1, −(r2r32r1)),
(c1, c2, c3) = (−(r2r3)−1, −(r1r22r3), −(r1r2)−1)