ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

TRẦN LAN CHI
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDER
VÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM

TRẦN LAN CHI

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDER
VÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2022

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận
văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ
tương đồng 24%. Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã
nộp để bảo vệ trước hội đồng. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022
TÁC GIẢ

Trần Lan Chi

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn,
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành
luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng tồn thể các thầy cơ
giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã truyền
thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi
những ý kiến đóng góp q báu trong suốt q trình học tập và thực hiện
luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã quan
tâm giúp đỡ, động viên tôi trong suốt q trình làm luận văn.

Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022
Người viết luận văn


Trần Lan Chi

ii

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Định lí điểm bất động Browder . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Ánh xạ đa trị và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Một số tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Định lí điểm bất động Browder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Định lý điểm bất động kiểu Browder và cân bằng
Nash trong lý thuyết trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Định lý điểm bất động kiểu Browder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt


R tập các số thực
tập số thực không âm
R+ tập số thực không dương
không gian véctơ Euclide n− chiều
R− tập các véctơ không âm của Rn
Rn tập các véctơ không dương của Rn
tập tất cả các tập con của X
n ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y
ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y
R+ miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F
đồ thị của ánh xạ đa trị F
n A được định nghĩa bằng B
tập rỗng
R− A là tập con của B
2X A không là tập con của B
f :X→Y hợp của hai tập hợp A và B
F : X → 2Y giao của hai tập hợp A và B
dom F hiệu của hai tập hợp A và B
gph F
A := B iv
∅
A⊂B
A̸ ⊂ B
A∪B
A∩B
A\B

B tích Descartes của hai tập hợp A và B
cl A bao đóng tơpơ của tập hợp A
int A phần trong tôpô của tập hợp A

co A bao lồi của tập hợp A
u.s.c nửa liên tục trên
l.s.c nửa liên tục dưới
2 kết thúc chứng minh

v

Mở đầu

Đến nay, lý thuyết điểm bất động đã ra đời và phát triển mạnh mẽ trong
năm thập kỷ gần đây. Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer
(1912) đã hình thành hướng chính của lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ
liên tục. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong chứng minh sự
tồn tại điểm cân bằng trong mơ hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu của
nhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu. Một định lý điểm bất động nổi tiếng
khác được Browder [4] xây dựng trên không gian vectơ tôpô Hausdorff là
mở rộng của định lý điểm bất động Brouwer. Năm 1987, Tarafdar [8] đã
chứng minh một suy rộng của định lý điểm bất động Browder mà nó tương
đương với định lý Fan – Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz (FKKM)
đã được chứng minh bởi Ky Fan [5]. Định lý FKKM được sử dụng để
chứng minh nhiều định lý khác như định lý điểm bất động, định lý điểm
trùng và bất đẳng thức minimax. Năm 2020, J. Liu, M. Wang và Y. Yuan
[7] đã chứng minh một số suy rộng của định lý điểm bất động Browder
trên không gian vectơ tơpơ Hausdorff mà họ gọi đó là định lý điểm bất
động kiểu Browder. Ngồi ra, tác giả cịn thiết lập một số ứng dụng vào
sự tồn tại cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suy rộng với
tập chiến lược khơng compact.

Vì những lý do đó, chúng tơi chọn đề tài "Định lí điểm bất động kiểu
Browder và cân bằng Nash trong lý thuyết trị chơi" làm luận văn tốt

nghiệp. Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của J. Liu, M.
Wang và Y. Yuan trong cơng trình [7].

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài

1

liệu tham khảo.
Chương 1 dành cho việc trình bày một số kiến thức về giải tích đa trị.

Ngồi ra chúng tơi trình bày Định lí điểm bất động Browder và một số áp
dụng của nó vào bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tương giao.

Chương 2 trình bày một số định lý điểm bất động kiểu Browder và áp
dụng vào bài toán cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suy
rộng.

2

Chương 1

Định lí điểm bất động Browder

Giải tích đa trị được hình thành từ những năm 30 của thế kỷ 20 do
chính nhu cầu của các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn và cuộc sống. Từ
khoảng 10 năm trở lại đây với công cụ giải tích đa trị, các ngành tốn
học như lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất
đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết
điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế, ... phát
triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc. Trong chương này,

chúng tơi trình bày một số kiến thức và kết quả quen biết về giải tích đa
trị được chúng tơi trích ra từ cuốn sách chun khảo về giải tích đa trị [1].
Ngồi ra, chương này chúng tơi trình bày định lý điểm bất động Browder
và một số áp dụng của nó vào bài tốn bất đẳng thức biến phân và bài
tốn tương giao trong cơng trình [4].

1.1. Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là khơng gian tuyến tính. Tập A ⊆ X được
gọi là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A ta ln có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1].
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I, với I là

3

tập chỉ số bất kì. Khi đó tập A = ∩ Aα lồi.

α∈I

Chứng minh. Lấy x, y ∈ A. Khi đó x, y ∈ Aα, với mọi α ∈ I. Do Aα là lồi
với mọi α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα, với mọi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do đó
λx + (1 − λ)y ∈ A. Vậy A là tập lồi.

Mệnh đề 1.1.3. Giả sử Ai ⊆ X là tập lồi và λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m).
Khi đó λ1A1 + λ2A2 + · · · + λmAm là tập lồi.

Chứng minh. Đặt A = λ1A1 +λ2A2 +· · ·+λmAm. Lấy x, y ∈ A, khi đó tồn
tại xi ∈ Ai, yi ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1x1 + λ2x2 + · · · + λmxm,
y = λ1y1 + λ2y2 + · · · + λmym.

Ta có

λx + (1 − λ)y = λ(λ1x1 + · · · + λmxm) + (1 − λ)(λ1y1 + · · · + λmym)
= λ1[λx1 + (1 − λ)y1] + · · · + λm[λxm + (1 − λ)ym].

Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai, với mọi λ ∈ [0, 1] và với mọi
i ∈ {1, 2, ..., n}. Từ đó suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1]. Vậy
A là tập lồi.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là khơng gian tuyến tính, A là một tập con
của X. Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của
tập A và kí hiệu là co A.

Định lý 1.1.5. Giả sử A là tập con của khơng gian tuyến tính X. Khi đó
co A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là

n n

co A = αixi : xi ∈ A, αi ≥ 0, αi = 1 .

i=1 i=1

Chứng minh. Ta có co A là tập lồi. Vì A ⊂ co A nên co A chứa tất cả các
tổ hợp lồi của A. Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và chứa A,
do đó nó chứa co A (vì co A là tập lồi nhỏ nhất chứa A). Vậy co A trùng
với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.

4

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là không gian véctơ trên trường K.

(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của

X nếu các phép tốn cộng và nhân vơ hướng là các ánh xạ liên tục.
(ii) Một khơng gian tơpơ tuyến tính hay khơng gian véctơ tơpơ trên

trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường
K và τ là một tơpơ tương thích với cấu trúc đại số của X.
Định nghĩa 1.1.7. Khơng gian tơpơ tuyến tính X được gọi là khơng gian
lồi địa phương (và tơpơ của nó là tơpơ lồi địa phương), nếu trong X có
một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi
địa phương X đồng thời là khơng gian Hausdorff thì X được gọi là khơng
gian lồi địa phương Hausdorff.

Ví dụ 1.1.8. Khơng gian định chuẩn, khơng gian Hilbert là các không
gian lồi địa phương Hausdorff.

1.2. Ánh xạ đa trị và ví dụ

Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của
X.

Định nghĩa 1.2.1. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần
tử x ∈ X cho một tập con của Y , được ký hiệu F : X → 2Y .

Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tập
con của X × Y , ký hiệu là gph F và được xác định bởi

gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) .

Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F .

Miền xác định của F , ký hiệu dom F , xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x)̸ = ∅ .

5

Ví dụ 1.2.2. Xét hệ phương trình tuyến tính với hệ số thực

 a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2






.

.
 .
 am1x1 + am1x2 + ... + amnxn = bm.

Quy tắc cho ứng mỗi ma trận A = (aij)i=1,2,...,m;j=1,2,...,n ∈ Matm×n(R)
với tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên, kí hiệu bởi F (A), cho
ta một ánh xạ đa trị

F : Matm×n(R) → 2Rn

từ khơng gian các ma trận thực Matm×n(R) vào khơng gian Rn.


Định nghĩa 1.2.3. Cho X, Y là các khơng gian tuyến tính và ánh xạ đa
trị F : X → 2Y . Ta nói rằng:

(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y , với mọi x ∈ X.
(ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y.

Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y là
ánh xạ đa trị. Ta nói rằng:

(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y , với mọi x ∈ X.
(ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y.
(ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y.
(iii) F là ánh xạ compact nếu cl(F (X)) là tập compact trong Y.

Ta dễ dàng chứng minh được kết quả đơn giản dưới đây.

Mệnh đề 1.2.5. Giả sử X, Y là các không gian tơpơ tuyến tính và ánh
xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó:

(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng.
(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở.
(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi.

6

(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi
(1 − t)F (x) + tF (x′) ⊆ F ((1 − t)x + tx′) với mọi x, x′ ∈ X và t ∈ [0, 1].

Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc là

ánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng.
Ví dụ 1.2.6. Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau

F (n) = co 1, 2, ..., n − 1 , nếu n ≥ 2,
{0}, nếu n=1.

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Tuy nhiên F khơng là ánh xạ
lồi.

Ví dụ 1.2.7. Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi
F (x) = [0, 1], nếu x = 0,
R, trong trường hợp còn lại.

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng. Mặt khác ta có
gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)

là tập khơng đóng trong R2 và như vậy F khơng là ánh xạ đóng.

Định nghĩa 1.2.8. Cho X, Y, Z là các khơng gian tuyến tính và các ánh
xạ đa trị F, G : X → 2Y , H : Y → 2Z.
(i) Ánh xạ tổng của F và G là ánh xạ đa trị F + G : X → 2Y xác định bởi

(F + G)(x) = F (x) + G(x) với mọi x ∈ X.

(ii) Ánh xạ giao của F và G là ánh xạ đa trị F ∩ G : X → 2Y xác định
bởi

(F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x) với mọi x ∈ X.
(iii) Ánh xạ hợp của F và G là ánh xạ đa trị F ∪ G : X → 2Y xác định
bởi


(F ∪ G)(x) = F (x) ∪ G(x) với mọi x ∈ X.

7

(iv) Ánh xạ hợp thành của F và H là ánh xạ đa trị H ◦ F : X → 2Z xác

định bởi

(H ◦ F )(x) = H(F (x)) = H (y).

x∈X x∈X y∈F (x)

(v) Ánh xạ tích Descartes của F và G là ánh xạ đa trị F × G : X → 2Y 2
xác định bởi

(F × G)(x) = F (x) × G(x).

(vi) Ánh xạ bao lồi của F là ánh xạ đa trị co F : X → 2Y xác định bởi

co F (x) = co(F (x)) với mọi x ∈ X.

Định nghĩa 1.2.9. Cho X, Y là các khơng gian tơpơ. Ánh xạ bao đóng
của F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của
đồ thị của ánh xạ F , tức là

gph(cl F ) = cl(gph F ).

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta
gọi ánh xạ ngược của F , ký hiệu là F −1 : Y → 2X, được xác định bởi


F −1(y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , với y ∈ Y.

Ta nói F −1(y) là ảnh ngược của y.

1.3. Một số tính chất của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là không gian tôpô và hàm g : X → R. Ta
nói rằng:

(a) g nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x¯ ∈ X nếu mỗi ε > 0, tồn
tại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) ≤ g(x¯) + ε với mọi x ∈ U.

8

(b) g nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) tại x¯ ∈ X nếu mỗi ε > 0, tồn
tại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) ⩾ g(x¯) − ε với mọi x ∈ U.

(c) g liên tục tại x¯ ∈ X nếu nó là u.s.c và l.s.c tại x¯.

Nhận xét. Nếu X là khơng gian metric thì g là u.s.c (tương ứng, l.s.c)
tại x¯ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {xn} hội tụ tới x¯, ta ln có

lim sup g(xn) ≤ g(x¯)(tương ứng, lim inf g(xn) ≥ g(x¯)).
n→∞
n→∞


Điều này cũng tương đương: với mỗi α ∈ R, tập {x ∈ X : g(x) ≤ α}

(tương ứng, {x ∈ X : g(x) ≥ α}) là đóng trong X.

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử X, Y là các không gian tôpô. Ánh xạ F : X →
2Y được gọi là

(a) nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x¯ nếu với mỗi tập mở U chứa
F (x¯), tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (N ) ⊂ U .

(b) nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) tại x¯ nếu với mỗi tập mở U trong
Y thỏa mãn F (x¯) ∩ U̸ = ∅, tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (x) ∩ U̸ = ∅
với mọi x ∈ N .

(c) liên tục tại x¯ nếu nó là u.s.c và l.s.c tại x¯.
(d) u.s.c (l.s.c, liên tục) trên X nếu F là u.s.c (l.s.c, liên tục) tại mọi
điểm trên X.

Các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge
là hồn tồn khác nhau. Các ví dụ dưới đây minh họa cho điều khẳng định
đó.

Ví dụ 1.3.3. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức
F (x) = R, nếu x = 0,
{0}, nếu x̸ = 0.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là u.s.c tại x0 = 0, nhưng
F không l.s.c tại x0 = 0.


9

Ví dụ 1.3.4. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức
F (x) = {0}, nếu x = 0,
R, trong trường hợp cịn lại.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là l.s.c tại x0 = 0, nhưng
F không u.s.c tại x0 = 0.

Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục
dưới và nửa liên tục trên.

Mệnh đề 1.3.5. Giả sử X, Y là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị
F : X → 2Y . Khi đó

(i) F là l.s.c trên X nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong Y , tập
F −1(V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V̸ = ∅}

là mở trong X.
(ii) F là u.s.c trên X nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong Y , tập
F −(V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V }

là mở trong X.

Chứng minh. (i) Giả sử F là l.s.c trên X và V là tập mở trong Y . Ta
chứng minh tập

F −1(V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V̸ = ∅}

là mở trong X. Thật vậy, nếu F −1(V ) = ∅ thì F −1(V ) là tập mở. Giả sử

F −1(V )̸ = ∅. Lấy x ∈ F −1(V ) bất kỳ. Từ đó suy ra F (x) ∩ V̸ = ∅. Vì F
là l.s.c tại x nên tồn tại lân cận U của x sao cho

F (x) ∩ V̸ = ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F.

Điều này chứng tỏ U ⊂ F −1(V ). Vậy F −1(V ) là tập mở.
Ngược lại, lấy x0 ∈ dom F tùy ý và V là là tập mở Y thỏa mãn F (x0)∩V̸ =

10

∅. Từ đó suy ra x0 ∈ F −1(V ). Vì F −1(V ) mở trong X nên tồn tại lân cận
U của x0 sao cho U ⊂ F −1(V ). Điều này chứng tỏ F (x) ∩ V̸ = ∅ với mọi
x ∈ U ∩ dom F . Vậy F là l.s.c.
(ii) Giả sử F là u.s.c trên X và V là tập mở trong Y . Ta chứng minh tập

F −(V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V }

là mở trong X. Nếu F −(V ) = ∅ thì F −(V ) là tập mở. Giả sử F −(V )̸ = ∅.
Lấy x0 ∈ F −(V ) bất kỳ. Từ đó suy ra F (x0) ⊂ V . Vì F là u.s.c tại x0 nên
tồn tại lân cận U của x0 sao cho

F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U ∩ dom F.

Điều này chứng tỏ U ⊂ F −(V ). Vậy F −(V ) là tập mở.
Ngược lại, lấy x0 ∈ dom F tùy ý và V là là tập mở Y thỏa mãn F (x0) ⊂ V .
Từ đó suy ra x0 ∈ F −(V ). Vì F −(V ) mở trong X nên tồn tại lân cận
U của x0 sao cho U ⊂ F −(V ). Điều này chứng tỏ F (x) ⊂ V với mọi
x ∈ U ∩ dom F . Vậy F là u.s.c.
Bổ đề 1.3.6. Giả sử F : X → 2Y và G : X → 2Y là hai ánh xạ đa trị
sao cho F là l.s.c và G có giá trị mở. Khi đó H = F ∩ G là l.s.c.


Chứng minh. Với mọi tập con mở V trong Y , ta có

{x ∈ X : H(x) ∩ V̸ = ∅} = {x ∈ X : (F ∩ G)(x) ∩ V̸ = ∅}
= {x ∈ X : (F (x) ∩ G(x)) ∩ V̸ = ∅}
= {x ∈ X : F (x) ∩ (G(x) ∩ V )̸ = ∅}.

Từ G(x) và V là mở trong Y nên G(x) ∩ V là mở trong Y . Điều này kéo
theo

{x ∈ X : G(x) ∩ V̸ = ∅}
là mở trong X. Bởi F là l.s.c nên

{x ∈ X : F (x) ∩ (G(x) ∩ V )̸ = ∅}

là mở trong X. Vậy H = F ∩ G là l.s.c.

11

Mệnh đề 1.3.7. (Xem [6])Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không
gian tôpô Hausdorff X vào khơng gian tơpơ Hausdorff Y . Khi đó:

(i) Nếu F là u.s.c với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng.
(ii) Nếu F là ánh xạ đóng và Y compact thì F là u.s.c.
(ii) Nếu F có giá trị compact thì F là l.s.c tại x0 ∈ X nếu và chỉ nếu
với mỗi y0 ∈ F (x0) và dãy suy rộng {xα} trong X hội tụ về x0, tồn tại
dãy suy rộng {yα}, yα ∈ F (xα) với mọi α, sao cho yα → y0.
Định nghĩa 1.3.8. Một hàm f : D → R xác định trên tập lồi D được
gọi là
(i) lồi nếu với mọi x, y ∈ D và λ ∈ [0, 1] ta ln có


f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

(ii) lõm nếu −f là lồi.
(iii) tựa lồi nếu x, y ∈ D và λ ∈ [0, 1] ta ln có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}.

(iv) tựa lõm nếu −f là tựa lồi.

1.4. Định lí điểm bất động Browder

Định lý 1.4.1. (Định lí phân hoạch đơn vị, [10]) Giả sử D là tập không
rỗng compact của không gian lồi địa phương Hausdorff X và {Uα}α∈I là
phủ mở của D. Khi đó tồn tại các hàm liên tục ψi : D → R, (i = 1, 2, ..., s)
sao cho
(1) 0 ≤ ψi(x) ≤ 1, với mọi x ∈ D và i = 1, 2, ..., s;

s

(2) ψi(x) = 1, với mọi x ∈ D;

i=1

(3) Với mỗi i ∈ {1, 2, ..., s}, tồn tại j(i) ∈ {1, 2, ..., s} thỏa mãn

supp ψi ⊆ Upj(i), ở đây supp ψi := {x ∈ D : ψi(x) > 0}.
Năm 1912, Brouwer [3] đã chứng minh điểm bất động cho ánh xạ đơn
trị liên tục trên không gian hữu hạn chiều.


12

Định lý 1.4.2. (Định lý điểm bất động Brouwer, [3]) Cho D là tập con
không rỗng, lồi, compact của không gian hữu hạn chiều X. Giả sử ánh xạ
đơn trị T : D → D liên tục. Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x = T x.

Năm 1968, Browder [4] đã mở rộng kết quả trên cho ánh xạ đa trị trên
không gian vô hạn chiều.

Định lý 1.4.3. (Định lý điểm bất động Browder, [4])
Cho D là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô

Hausdoff X. Giả sử ánh xạ đa trị T : D → 2D thỏa mãn các điều kiện:
(i) T có giá trị không rỗng và lồi;
(ii) Với mỗi y ∈ D, tập T −1(y) := {x ∈ D : y ∈ T x} là mở trong D.

Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ T x.

Chứng minh. Với mỗi y ∈ D, tập T −1(y) := {x ∈ D : y ∈ T x} là mở

trong D nên D = y∈D T −1(y). Vì D compact nên tồn tại họ hữu hạn

{y1, y2, ..., yn} của D sao cho D = n T −1(yi). Khi đó {T −1(yi)}ni=1 là
i=1

phủ mở của D. Theo Định lý 1.4.1, tồn tại các hàm liên tục ψi : D →

R, (i = 1, 2, ..., n) sao cho

(1) 0 ≤ ψi(x) ≤ 1, với mọi x ∈ D và i = 1, 2, ..., n;


n

(2) ψi(x) = 1, với mọi x ∈ D;

i=1

(3) nếu ψi(x) > 0 thì kéo theo x ∈ T −1(yi).

Xét ánh xạ p : co{yi : i ∈ {1, 2, ..., n}} → co{yi : i ∈ {1, 2, ..., n}} bởi

n

p(x) = ψi(x)yi với mọi x ∈ co{yi : i ∈ {1, 2, ..., n}}.

i=1

Khi đó p là ánh xạ liên tục. Áp dụng Định lý điểm bất động Brouwer, tồn

tại x¯ ∈ D sao cho x¯ = p(x¯). Đặt I(x¯) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : ψi(x¯) > 0}.

n

Từ ψi(x¯) ≥ 0 và ψi(x¯) = 1, ta suy ra I(x¯)̸ = ∅. Hơn nữa, ta có

i=1

x¯ = p(x¯) ∈ co{yi : i ∈ I(x¯)}. (1.1)

13