„I HÅC THI NGUY–N

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M
TR†N THÀ NGHžA

ÀNH L KIšU PERRON
CHO PH×ÌNG TRœNH VI PH…N KHỈNG ỈTỈNỈM

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

ThĂi Nguyản, nôm 2021

„I HÅC THI NGUY–N

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M
TR†N THÀ NGHžA

ÀNH L KIšU PERRON
CHO PH×ÌNG TRœNH VI PH…N KHỈNG ỈTỈNỈM

Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH
M¢ sè: 8.46.01.02

LUŠN V‹N THC S TON HC
CĂn bở hữợng dăn khoa håc: PGS.TSKH O€N THI SÌN

Th¡i Nguy¶n, n«m 2021

i

Lới cam oan

Tổi xin cam oan luên vôn thÔc sắ toĂn giÊi tẵch vợi à t i " nh lẵ kiu
Perron cho phữỡng trẳnh vi phƠn khổng ổtổnổm" l kát quÊ nghiản

cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS.TSKH o n ThĂi Sỡn. Trong quĂ
trẳnh nghiản cựu thỹc hiằn luên vôn, tĂc giÊ Â ká thứa nhỳng th nh tỹu
cừa cĂc nh khoa hồc vợi sỹ trƠn trång v bi¸t ìn.

Ng֒i cam oan

Tr¦n Thà Ngh¾a

ii

Lới cÊm ỡn

Luên vôn n y ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn v hộ trủ tên tẳnh cừa

PGS.TSKH o n ThĂi Sỡn. Tổi xin ữủc gỷi án thƯy sỹ kẵnh trồng

v lỏng biát ỡn sƠu sưc và sỹ tên tƠm cừa thƯy ối vợi bÊn thƠn trong suốt
thới gian l m luên vôn.

Tỉi cơng xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tợi Ban chừ nhiằm khoa ToĂn v
cĂc thƯy cổ giĂo khoa ToĂn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản
 quan tƠm, giúp ù, tÔo mồi iÃu kiằn  tổi ho n th nh luên vôn n y.

BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy
tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ quan tƠm, gõp ỵ cừa cĂc quỵ thƯy cổ v cĂc bÔn
 luên vôn cừa tổi ữủc ho n thi»n hìn.


Ci cịng, tỉi xin gûi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b nhỳng ngữới ¢
gióp ï v hé trđ tỉi trong st thíi gian hồc têp v ho n th nh luên vôn
cừa mẳnh.

Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 04 n«m 2021

T¡c gi£

TrƯn Th Nghắa

iii

Mưc lưc

Trang b¼a phư i

Líi cam oan ii

Líi c£m ìn iii

Möc löc iv

Líi nâi ¦u 1

Chữỡng 1 Tẵnh ch½nh quy cõa sè mơ Lyapunov 2

1.1 Sè mô Lyapunov v phê Lyapunov cho phữỡng trẳnh vi phƠn


tuyán tẵnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 T½nh ch½nh quy cõa sè mô Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 11

Chữỡng 2 nh lỵ kiu Perron cho phữỡng trẳnh vi phƠn

khæng ætænæm 12

2.1 D¡ng i»u ti»m cªn cõa phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh . . 14

2.2 nh lẵ kiu Perron cho phữỡng trẳnh vi phƠn khổng ổtổnổm 16

Kát luên 30

T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iv

Lới nõi Ưu

DĂng iằu tiằm cên cừa nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn khổng ổtổnổm
l mởt vĐn à nghiản cựu quan trồng cừa lỵ thuyát nh tẵnh phữỡng trẳnh vi
phƠn. Thổng thữớng  c trững cho dĂng iằu cừa nghiằm, ta s so sĂnh
tốc ở tông trững cõa nghi»m vỵi h m mơ. Khi â, tèc ë tông trững cừa
nghiằm s ữủc c trững bi số mụ Lyapunov cõa nghi»m v d¡ng i»u
cõa nghi»m cõa mët ph÷ìng trẳnh s ữủc c trững bi têp hủp tĐt cÊ cĂc
số mụ Lyapunov cừa cĂc nghiằm khổng tƯm thữớng cừa hằ.

Mửc ẵch cừa luên vôn l trẳnh bƯy khĂi niằm số mụ Lyapunov cho

nghiằm cừa mởt phữỡng trẳnh vi phƠn, phờ cừa phữỡng trẳnh vi phƠn khổng
tuyán tẵnh. Tiáp theo, luên vôn nghiản cựu tẵnh t chnh trong cĂch nh
nghắa thổng qua giợi hÔn cừa cừa số mụ Lyapunov cừa phữỡng trẳnh vi phƠn
khổng ổtổnổm phi tuyán. Bố cửc cừa luên vôn bao gỗm cõ hai chữỡng nởi
dung chẵnh, phƯn M Ưu, Kát luên v danh mửc cĂc t i liằu tham khÊo.

Chữỡng 1. Trẳnh b y v· sè mô Lyapunov v phê Lyapunov cho phữỡng

trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh

Chữỡng 2. Trẳnh b y dĂng iằu tiằm cên cừa phữỡng trẳnh vi phƠn

tuyán tẵnh, nh lỵ kiu Perron, v mởt số ựng dửng cừa chúng. Cuối cũng
l phƯn kát luên tõm tưt nhỳng kát quÊ Ôt ữủc v danh mửc t i liằu tham
kh£o.

1

Chữỡng 1
Tẵnh chẵnh quy cừa số mụ Lyapunov

Trong chữỡng n y, khõa luên giợi thiằu mởt số kh¡i ni»m cì b£n v· sè mơ
Lyapunov, phê Lyapunov v t½nh ch½nh qui cõa sè mơ Lyapunov. Nëi dung
ch½nh cõa chữỡng n y ữủc trẳnh bƯy dỹa theo t i li»u tham kh£o [1,2,3].

1.1 Sè mô Lyapunov v phê Lyapunov cho phữỡng
trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh

Ta bưt Ưu bơng khĂi niằm và h m sè mơ Lyapunov.


ành ngh¾a 1.1.1. (Sè mơ Lyapunov) Cho V l mët khỉng gian vectì thüc

n−chi·u. Mët h m sè χ : V → R ∪ { − ∞} ÷đc gåi l câ °c tr÷ng sè mơ
Lyapunov (hay cán gồi l số mụ Lyapunov) trản V náu:

1. χ(α, v) = χ(v) vỵi méi v ∈ V v α ∈ R\{0};
2. χ(v + w) ≤ max {χ(v), χ(w)} vỵi méi v, w ∈ V ;
3. (0) = (tẵnh chĐt chuân).
BƠy giớ, ta s trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa số mụ Lyapunov.

nh lỵ 1.1.2. CĂc tẵnh chĐt sau Ơy l úng:

1. Náu v, w V v thọa mÂn (v) = (w) thẳ

χ(v + w) = max {χ(v), χ(w)} ;

2

2. N¸u v1, ..., vm ∈ V v α1, ..., αm ∈ R\{0} th¼

χ (α1v1 + ... + αmvm) ≤ max {χ(vi) : 1 ≤ i m}

Náu trong tờng trản, tỗn tÔi mởt số i sao cho χ(vi) > χ(vj) vỵi måi j = i
th¼

χ (α1v1 + ... + mvm) = (vi);

3. Náu vợi méi v1, ..., vm ∈ V \0, c¡c sè χ(v1), ..., (vm) phƠn biằt thẳ cĂc
vectỡ v1, ..., vm ởc lêp tuyán tẵnh;


4. H m số khổng Ôt ữủc quĂ n giĂ tr hỳu hÔn.

Chựng minh. GiÊ sû r¬ng χ(v) < χ(w). Ta câ

χ(v + w) ≤ χ(w) = χ(v + w − v) ≤ max {χ(v + w), χ(v)} .

N¸u χ(v + w) < χ(v) th¼ χ(w) ≥ χ(v) i·u n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát.
Do õ, (v + w) ≤ χ(v) v do â χ(v + w) = χ(w). M»nh · 1 óng. M»nh
· 2 ÷đc suy ra trüc tiáp tứ mằnh à 1 v tẵnh chĐt 1, 2 cõa ành ngh¾a sè
mơ Lyapunov. º chùng minh m»nh · 3 ta giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng cĂc vectỡ
v1, ..., vm phử thuởc tuyán tẵnh v 1v1 + ... + mvm = 0 vợi cĂc hằ số i
khổng ỗng thới bơng 0, trong õ (v1), ...., (vm) phƠn biằt. Tứ mằnh Ã
2 v tẵnh chĐt 3 trong nh nghắa cừa sè mô Lyapunov ta câ

−∞ = χ (α1v1 + ... + αmvm) = max {χ(vi) : 1 ≤ i ≤ m, i = 0} = .

iÃu n y mƠu thuăn vợi mằnh à 3. Mằnh à 4 ữủc suy ra tø m»nh ·
3.

Tø ành l½ 1.1.2, ta thĐy số mụ Lyapunov ch cõ th nhên hỳu hÔn giĂ
tr phƠn biằt trản V \0. Ta xĂc nh chóng bði

χ1 < ... < s

vợi mội s n. Nhẳn chung, 1 cõ th nhên giĂ tr . Vợi mội 1 i s,

°t

Vi = {v ∈ V : χ(v) ≥ χi}. (1.1.1)


3

°t V0 = {0}. Tø ành l½ (1.1.2) ta câ Vi l mởt khổng gian con tuyán tẵnh
cừa V v
Vs = V. (1.1.2)
{0} = V0 V1 ...

Ta gåi mët tªp hđp V = {Vi : i = 0, ..., s} cõa khỉng gian con tuy¸n tẵnh

cừa V thọa mÂn iÃu kiằn (1.1.2) l mởt lồc tuyán tẵnh hay thữớng gồi l
mởt lồc cừa V. Kát quÊ sau Ơy cho ta mởt c trững tữỡng ữỡng cừa số

mụ Lyapunov trong iÃu kiằn lồc.

nh lỵ 1.1.3. Mởt h m sè χ : V → R ∪ { − ∞} l mët sè mơ Lyapunov

n¸u v ch¿ n¸u tỗn tÔi số 1 < ... < s vợi mội 1 ≤ s ≤ n v mët låc
V = {Vi : i = 0, ..., s} cõa V sao cho:

1. χ(v) ≤ χi vỵi méi c ∈ Vi;
2. χ(v) = χi vỵi méi v ∈ Vi\Vi−1;
3. χ(0) = −∞.

Chùng minh. N¸u χ l mët sè mơ Lyapunov th¼ låc

V = {Vi : i = 0, ..., s}

x¡c ành bði (1.1.1) thäa m¢n i·u ki»n 1 v 3 cừa nh lẵ. Hỡn nỳa, vợi
mội v ∈ Vi\Vi−1 ta câ χi−1 < χ(v) ≤ χi. V¼ khổng nhên bĐt kẳ giĂ tr
n o giỳa i1 v i, nản ta thu ữủc (v) = i v i·u ki»n 2 óng. Gi£

sû r¬ng h m sè χ v låc V thäa m¢n i·u ki»n cõa α ∈ R\{0}. Gi£ sû r¬ng
v ∈ Vi\Vi−1 khi v ch¿ khi αv ∈ Vi\Vi−1 vỵi méi v1, v2 ∈ V . Cho χ(vj) = χij
vỵi j = 1, 2. Tø i·u kiằn 1 v 2 cõ th thĐy rơng khổng gian con Vi câ thº
°c tr÷ng bði (1.1.1). Do â, vj Vij vợi j = 1, 2. Khổng mĐt tẵnh têng
qu¡t, gi£ sû r¬ng i1 < i2. Tø â suy ra v1 + v2 ∈ Vi1 ∪ Vi2 = Vi2. Do â, tø
i·u ki»n 1 ta câ:

χ(v1 + v2) ≤ χi2 = max{χ(v1), χ(v2)},

v do â χ l mët sè mô Lyapunov.

Låc V = {Vi : i = 0, ..., s} x¡c ành bði (1.1.1) ÷đc gåi l lồc tữỡng ựng
vợi số mụ Lyapunov . Số

ki = dimVi − dimVi−1

4

l bëi cõa c¡c gi¡ trà χi v c°p

SP χ = {(χi, ki) : 1 ≤ i ≤ s}

÷đc gåi l phê Lyapunov cõa χ.

Cho låc V = {Vi : i = 0, ..., s} cõa V v c¡c sè χ1 < ... < χs, x¡c ành
h m sè χ : V → R ∪ {−∞} bði χ(v) = χi vỵi méi v ∈ Vi\Vi−1, 1 ≤ i s,
v (0) = . Dạ d ng thĐy ữủc h m cũng vợi lồc V thọa mÂn c¡c
i·u ki»n cõa ành l½ 1.1.3, do â nâ x¡c ành mët sè mơ Lyapunov tr¶n V .

Vỵi méi låc V = {Vi : i = 0, ..., s} cừa V cõ th liản kát vợi mởt cỡ s


tữỡng ựng vợi nõ. Ta gồi mởt cỡ s v = (v1, ..., v2) cừa V l trỹc chuân

tữỡng ựng vợi V náu vợi mội 1 i s tỗn tÔi mởt cỡ s cừa Vi bao gỗm ni

vectì {v1, ..., vn}. Mët cì sð trüc chu©n v l cõ thự tỹ náu vợi mội 1 i s,

cĂc vectỡ v1, ..., vni tÔo th nh mởt cỡ s cừa Vi.
Chú ỵ rơng vợi mội lồc V tỗn tÔi mởt cỡ s trỹc chuân v câ thù tü èi

vỵi V. Hìn núa, hai låc trịng nhau khi v ch¿ khi méi cì sð trüc chuân ối
vợi lồc n y cụng l cỡ s trỹc chuân ối vợi lồc kia.

Cho V l mởt lồc tữỡng ựng vợi số mụ Lyapunov v v l mởt cỡ s

trỹc chuân ối vợi V. Chú ỵ r¬ng, trong sè c¡c sè χ(v1), ..., χ(vn) gi¡ trà i
xÊy ra chẵnh xĂc ki lƯn, vợi mội i = 1, ..., s. Do â

n s

χ(vj) = kiχi. (1.1.3)

j=1 i=1

Chóng ta s³ sû dửng nhên xt n y  chựng minh kát quÊ sau Ơy.

nh lỵ 1.1.4. Cỡ s v l trỹc chuân èi vỵi Vχ khi v ch¿ khi

 
n n


inf χ(wj) = χ(vj) (1.1.4)

 j=1  j=1

trong â, w l mët cì sð cõa V .

Chùng minh. Trữợc tiản, ta chựng minh bờ Ã sau:

Bờ Ã 1.1.5. Cho v l mët cì sð trüc chu©n câ thự tỹ v w l mởt cỡ s

bĐt kẳ cừa V thäa m¢n χ(w1) ≤ ... ≤ χ(wn). Khi â

5

1. χ(wj) ≥ χ(vj) vỵi méi 1 ≤ j ≤ m v χ(wn) = χ(vn);
n n
2. χ(wj) ≥ χ(vj);

j=1 j=1
3. w l trüc chu©n khi v ch¿ khi χ(wj) = χ(vj) vỵi méi 1 ≤ j ≤ n;

4. w l trüc chu©n khi v ch¿ khi

n n

χ(wj) = χ(vj).

j=1 j=1


Chùng minh. Do χ1 l gi¡ tr nhọ nhĐt cừa trản V \{0}, nản (wj) ≥

χ(vj) = χ1 vỵi måi j = 1, ..., n1. Gi£ sû χ(wn1+1) = χ1. Do â χ(w1) =
... = χ(wn1+1) = χ1 v

n1 ≥ dimspan{w1, ..., wn1+1} = n1 + 1,

trong â span Z l khổng gian tuyán tẵnh sinh bi têp cĂc vectỡ cừa Z. iÃu
n y l mƠu thuăn nản suy ra χ(wn1+1) ≥ χ2 v do â χ(wj) ≥ χ(vj) = χ2
vỵi méi j = n1 + 1, ..., n2.

Tiáp tửc quĂ trẳnh trản hỳu hÔn lƯn ta thu ữủc (wj) (vj) vợi mội
1 j n. °c bi»t, χ(wn) = χ(vn) do χ(vn) l gi¡ tr lợn nhĐt cừa .
Mằnh à 1 l úng. Mằnh à 2 ữủc suy ra trỹc tiáp tứ mằnh à 1.

Tø (1.1.1), χ(wj) = χ(vj) vỵi méi 1 ≤ j ≤ n n¸u v ch¿ n¸u w1, ..., wni

l mët cì sð cõa Vi vỵi méi 1 ≤ i ≤ s v do â n¸u v ch¿ náu cỡ s w l

trỹc chuân. Tứ õ suy ra m»nh · 3. M»nh · ci cịng ÷đc suy ra trỹc
tiáp tứ mằnh à 2 v mằnh à 3.

BƠy giớ, chúng ta chựng minh nh lẵ. Tứ bờ Ã trản, lĐy cên dữợi úng

trong (1.1.4) ta cõ n s

inf χ(wj) = kiχi.

j=1 i=1


trong â w l mët cì sð trüc chu©n cõa V. Trong dÔng cừa mằnh à 4 cừa
bờ Ã trản, cỡ s v l trỹc chuân náu v ch náu quan h» (1.1.3) l óng v

do â n¸u v ch¿ náu quan hằ (1.1.4) úng. nh lẵ ữủc chựng minh.

Cõ mởt cĐu trúc hỳu ẵch cừa cĂc cỡ s trỹc chuân cừa Lyapunov m
chúng ta s trẳnh b y sau Ơy. Trữợc tiản, chúng ta xt cỡ sð ν = (v1, ..., vn)

6

cừa V, cĐu trúc n y xĂc nh mởt dÂy c¡c c§u tróc wi = (wi1, ..., win), i ≥
0, w0 = v. i·u n y l m cho têng (wij) giÊm khi i tông. Do nhên n

j=1

hỳu hÔn cĂc giĂ tr nản quĂ trẳnh n y s kát thúc sau hỳu hÔn bữợc. Ch½nh

n

xĂc hỡn nỳa, giÊ sỷ rơng tỗn tÔi mởt tờ hủp tuyán tẵnh x = jvj trong

j=1

â cĂc hằ số j khổng ỗng thới bơng 0, sao cho

χ(x) < max{χ(vj) : 1 ≤ j ≤ n, αj = 0}.

Chån vectì vk thäa m¢n

χ(vk) = max{χ(vj) : 1 ≤ j ≤ n, αj = 0}


v °t nâ b¬ng vectì x. Do αk = 0, c¡c vectì v1, ..., vk1, x, vk+1, ..., vn l

ởc lêp tuyán tẵnh v do õ nõ tÔo th nh mởt cỡ s w1. Tiáp tửc quĂ trẳnh
trản theo mởt cĂch tữỡng tỹ ta thu ÷đc mët cì sð w = (w1, ..., wn) vỵi

n

tẵnh chĐt mội tờ hủp tuyán tẵnh x = jvj trong â c¡c h» sè αj khæng

j=1

ỗng thới bơng 0, sao cho

(x) < max{χ(wj) : 1 ≤ j ≤ n, αj = 0}. (1.1.5)

Chóng ta kh¯ng ành r¬ng cì sð w l trỹc chuân. Náu khổng thẳ, tỗn tÔi

mởt số i sao cho sè vectì trong mët cì sð cõa Vi s³ ½t hìn sè chi·u cõa Vi.

Do â, nhúng vectì n y s khổng tÔo th nh mởt cỡ s cừa Vi v tỗn tÔi mở

vectỡ x Vi l ởc lêp tuyán tẵnh cừa cĂc vectỡ (x) i. M°t kh¡c,

n

ta câ th biu diạn x = jvj vợi mởt số số αj = 0 thäa m¢n vectì wj

j=1


nơm bản ngo i cừa khổng gian Vi. Do (wj) > i iÃu n y l mƠu thuăn

vợi (1.1.5). Do â, ta suy ra cì sð w l cì s trỹc chuân.

BƠy giớ, chúng ta s nghiản cựu trÔng thĂi cừa cỡ s trỹc chuân dữợi

php bián ời tuyán tẵnh.

Cho v l mởt cỡ s trỹc chuân cõ thự tỹ ối vợi lồc

V = {Vi : i = 0, ..., s}

cõa khỉng gian vectì V , v A : V V l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh ngữủc.

7

nh lỵ 1.1.6. . CĂc tẵnh chĐt sau Ơy l t÷ìng ÷ìng:

1. (Av1, ..., Avn) l mët cì s trỹc chuân cõ thự tỹ;
2. nh xÔ A b£o to n låc V, tùc l AVi = Vi vỵi méi 1 ≤ i ≤ s;
3. nh xÔ A ối vợi cỡ s cõ dÔng khèi tam gi¡c th§p hìn:

 

A1 0 · · · 0 ..
A2 ...
 
 
 ... 0 


As

trong â méi Ai l mët ma trªn ki ì ki vợi det Ai = 0.

Cho V v W l c¡c låc cõa V . Nhữ mởt hằ quÊ cừa nhên xt trản, ta cõ
th thĐy rơng tỗn tÔi mởt cỡ s trỹc chuân tữỡng ựng vợi cÊ hai lồc cừa V .

Thêt vêy, lĐy v l mët cì sð trüc chu©n câ thù tü ối vợi W. Do õ tỗn tÔi
mởt ma trên tam giĂc thĐp hỡn n ì n sao cho w = (Av1, ..., Avn) l mởt
cỡ s trỹc chuân ối vợi V. Tứ nh lẵ 1.1.5 suy ra rơng cỡ s w luổn trỹc

chuân ối vợi W.
Xt khổng gian vectỡ ối ngău W lản khổng gian vectỡ V. Chú ỵ rơng

W gỗm cĂc h m tuyán tẵnh trản V . N¸u v ∈ V v w ∈ W thẳ v, w xĂc

nh giĂ tr cừa w trản v. L§y v = (v1, ..., vn) l mët cì sð trong V v
w = (w1, ..., wn) l mët cì s trong W. Ta nõi rơng v l ối ngău tợi w náu

v, w = ij vợi mội j v i.
Cho χ l mët sè mô Lyapunov tr¶n V v χ˜ l mët sè mơ Lyapunov trản

W. Ta nõi rơng số mụ v l ối ngău v kẵ hiằu náu vợi mội cỡ

s ối ngău v v w, v vợi mội 1 ≤ i ≤ n ta câ

χ(vi) + χ˜(wi) ≥ 0.

Ta k½ hi»u χ1 ≤ ... ≤ χn l gi¡ tr cừa ám ữủc tẵnh cÊ bởi cừa chúng,


tực l i = (vi) vợi mội cỡ s trỹc chuân cõ thự tỹ v cừa V. Tữỡng tỹ, ta

kẵ hiằu χ˜1 ≥ ... ≥ χ˜n l gi¡ trà cõa χ˜ ám ữủc tẵnh cÊ bởi cừa chúng.
Ta câ c¡c kh¡i ni»m sau

1. H» sè ch½nh quy cõa χ v χ˜:

γ (χ, χ˜) = min max {χ(vi) + χ˜(wi) : 1 ≤ i ≤ n} ,

8

trong â, gi¡ trà nhọ nhĐt ữủc lĐy trản to n bở hai khổng gian ối

ngău v v w cừa V v W ;

2. H» sè Perron cõa χ v χ˜:

π (χ, χ˜) = max {χi + χ˜i : 1 ≤ i ≤ n} .

nh lẵ sau Ơy s thiát lêp mởt v i mối quan hằ cừa hai hằ số trản.

nh lỵ 1.1.7. C¡c m»nh · sau ¥y l óng

1. π (χ, χ˜) ≤ γ (χ, χ˜)
2. N¸u χ ∼ χ˜ th¼

0 ≤ π (χ, χ˜) ≤ γ (χ, χ˜) ≤ nπ (χ, χ˜) .

Chựng minh. Trữợc tiản, ta xt bờ Ã sau:


Bờ Ã 1.1.8. Cho c¡c sè λ1 ≤ ... ≤ λn v µ1 ≥ ... ≥ µn, v mët ho¡n và σ

cõa {1, ..., n}. Ta câ

min{λi + µσ(i) : 1 ≤ i ≤ n} ≤ min{λi + µi : 1 ≤ i ≤ n},
max{λi + µσ(i) : 1 ≤ i ≤ n} ≥ max{λi + µi : 1 ≤ i ≤ n}.

Chùng minh. Ta th§y b§t ¯ng thùc thù hai ữủc suy ra tứ bĐt ng thực

thự nhĐt thổng qua mèi quan h» sau:

max λi + µσ(i) : 1 ≤ i ≤ n = − min −µσ(i) − λi : 1 ≤ i ≤ n
= − min −µi − λσ−1(i) : 1 ≤ i ≤ n
≥ − min {−µi − λi : 1 ≤ i ≤ n} ,
= max {λi + µi : 1 ≤ i ≤ n} .

BƠy giớ, chúng ta s chựng minh bĐt ng thực Ưu tiản. GiÊ sỷ khổng
l hoĂn v ỗng nhĐt (náu khổng thẳ kát quÊ l tƯm thữớng). Cố nh mët
sè nguy¶n i sao cho 1 ≤ i ≤ n. Náu i (i) thẳ à(i) ài v

min{λi + µσ(i) : 1 ≤ i ≤ n} ≤ λi + µσ(i) ≤ λi + µi.

9

Náu i > (i) thẳ tỗn tÔi số k < i sao cho i (k). Náu khổng thẳ, ta câ
σ(1), ..., σ(i − 1) ≤ i − 1 v do â σ(i) ≥ i. i·u n y suy ra r¬ng

min{λi + µσ(i) : 1 ≤ i ≤ n} ≤ λk + µσ(k) ≤ λi + ài.

Bờ Ã ữủc chựng minh


BƠy giớ, ta tián h nh chùng minh ành l½. X²t hai cì sð ối ngău v v
w. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ rơng (v1) ... (vn).

LĐy σ l mët ho¡n và cõa {1, ..., n} sao cho cĂc số à(i) = (wi) thọa mÂn
à1 ... ≥ µn. Ta câ χ(vi) ≥ χi v µi ≥ χ˜i. Tø Bê · 1.1.8, ta câ

max{χ(vi) + χ˜(wi) : 1 ≤ i ≤ n} ≥ max{χ(vi) + µi : 1 ≤ i ≤ n}
≥ max{χi + χ˜i : 1 ≤ i ≤ n}
= π(χ, χ˜).

Do â, γ(χ, χ˜) ≥ π(χ, χ˜) v m»nh · 1 óng.

Gi£ sû r¬ng χ ∼ χ˜. Ta câ thº chån hai cỡ s v v w ối ngău v cÊ hai
cì sð n y ·u trüc chu©n. Cư thº, x²t cð sð v cõa V l cì sð trüc chu©n ối

vợi lồc V v V (phƯn lồc sau bao gỗm ph¦n bị trüc giao cõa khỉng gian

con trong Vχ˜). Khi õ, cỡ s w cừa W ối ngău vợi v, l cỡ s trỹc chuân

ối vợi V.

GiÊ sỷ r¬ng, cì sð v l câ thù tü. Tø â suy ra (vi) = i v ài = i vợi

mội i. Do â

γ(χ, χ˜) ≤ max{χ(vi) + χ˜(wi) : 1 ≤ i ≤ n}

n


≤ (χ(vi) + χ˜(wi))

i=1
n

= (χi + χ˜i)

i=1

≤ n max{χi + χ˜i : 1 ≤ i ≤ n}
= nπ(χ, χ˜).

Cuèi còng, do χ ∼ χ˜ n¶n ta câ γ(χ, χ˜) ≥ 0. i·u n y suy ra r¬ng π(χ, χ˜) ≥
0, v m»nh · óng.

10

1.2 T½nh ch½nh quy cõa sè mơ Lyapunov

BƠy giớ, chúng ta nghiản cựu và tẵnh chẵnh quy cõa c°p sè mơ Lyapunov
χ v χ˜ trong hai khỉng gian ối ngău V v W. Nõi mởt cĂch ỡn giÊn, tẵnh
chẵnh quy nghắa l lồc V v V thẵch nghi tốt vợi nhau (c biằt, chúng l
phƯn bũ cừa nhau). i·u n y thº hi»n mët v i t½nh ch§t cõa sè mơ Lyapunov
v x¡c ành vai trá quan trồng trong lỵ thuyát ờn nh. ThoÔt nhẳn, cĂc yảu
cƯu và tẵnh chẵnh quy khĂ mÔnh, tuy nhiản nõ s úng trong mởt số trữớng
hủp in hẳnh.

nh nghắa 1.2.1. Cp số mụ Lyapunov (, ) ữủc gồi l chẵnh quy n¸u

χ ∼ χ˜ v γ(χ, χ˜) = 0.


Tứ nh lẵ 1.1.7, ta thĐy iÃu n y úng khi v ch¿ khi π(χ, χ˜) = 0 v do
â khi v ch khi i = i.

nh lỵ 1.2.2. Náu cp (, ) l chẵnh quy thẳ lồc V = {Vi : i = 0, ..., s}

v Vχ˜ = {Wi : i = 0, ..., r} l ph¦n bị cõa nhau, tùc l s = r, dimVi +
dimWs−i = n v v, w = 0 vỵi méi v ∈ Vi v w ∈ Ws−i.
Chùng minh. °t mi = n − dimWs−i + 1. Khi â

Ws−i = {w ∈ W : χ˜(w) ≤ mi

v mi = mi (theo nh lỵ 1.1.7). LĐy v l mët cì sð trüc chu©n câ thù
tü cõa V v w l mởt cỡ s cừa W ối ngău vợi v. Do , nản ta cõ

Ws−i = {w ∈ W : χmi + χ˜(w) < 0}
= {w ∈ W : χ(vi) + χ˜(w) < 0; i < mi}
= span{wmi, ..., wn}.

i·u n y suy ra r¬ng w l trỹc chuân v cõ thự tỹ. Vợi mội i v vợi mội

cỡ s trỹc chuân cõ thự tỹ v = (v˜1, ..., v˜ni, vni+1, ..., vn) cõa V v cỡ s ối
ngău w cừa W gỗm n ni th nh ph¦n ci cịng cõa w ph£i trịng vợi

th nh phƯn cừa w. Suy ra r = s, v

Ws−i = span {wni+1, ..., wn} = Vi

nh lỵ ữủc chựng minh.


11

Chữỡng 2
nh lỵ kiu Perron cho phữỡng
trẳnh vi phƠn khổng ổtổnổm

Xt phữỡng trẳnh tuyán tẵnh

x = A(t)x (2.0.1)

v ph÷ìng trẳnh phi tuyán

x = A(t)x + f (t, x) (2.0.2)

trong õ A(t) l h m ma trên phực liản tửc cĐp n ì n . LĐy s 0 v
xs Cn, khi õ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm to n cửc x(t) cừa phữỡng trẳnh
(2.0.1) vợi x(s) = xs. Chúng ta xƠy dỹng nh nghắa toĂn tỷ tián hõa tữỡng
ựng T (t, s) : Cn Cn vợi mội t ≥ s bði T (t, s)xs = x(t).

Sè mô Lyapunov λ : Cn → R ∪ { , +} liản kát vợi phữỡng trẳnh
(2.0.1) thẳ ữủc nh nghắa bi

1
t→+∞ λ(x0) = lim sup t log x(t) ,

trong â x(t) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh vợi x(0) = x0, vợi quy ữợc
log0 = . Ta giÊ sỷ cĂc giÊ thiát sau:

A1. Tỗn tÔi mởt phƠn tẵch khổng gian


Cn = F1 ⊕ F2 ⊕ ... ⊕ Fp

12

vỵi sè chi·u cõa c¡c khỉng gian con Fi = ki sao cho A(t) câ thº vi¸t
ữủc th nh dÔng

A(t) = A1(t) ... 0
0 ... Ap(t)

trong õ Ai(t) l ma trên cĐp ki ì ki vợi mội i;

A2. Tỗn tÔi mởt số thüc λ1 < ... < λp sao cho vỵi méi i = 1, ..p v

x0 ∈ Fi\{0}, 1
lim log x(t) = λi,
t→+∞ t

trong â x(t) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.0.1) vợi x(0) = x0.

Cho T (t, s) l mët to¡n tû ti¸n hâa trong khỉng gian Cn. °c bi»t hìn,
cho T (t, s) : Cn Cn

l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh vỵi méi t, s ≥ 0, sao cho T (t, s) = Id vỵi t ≥ 0,

v

T (t, s)T (s, r) = T (t, r) (2.0.3)

vỵi méi t, s, r ≥ 0. Sè mô Lyapunov λ : Cn → R {, +} liản kát vợi

toĂn tỷ tián hõa T (t, s) bơng nh nghắa

1 (2.0.4)
λ(x) = lim sup log T (t, 0)x ,

t→+∞ t

vỵi quy ữợc rơng log 0 = . Trong phƯn n y, chúng ta giÊ sỷ rơng toĂn tỷ
tián hõa l mởt dÔng khối, vợi mội khối tữỡng ựng vợi mởt số mụ Lyapunov.
Hỡn nỳa, ta cõ th giÊ sỷ rơng:

B1. Tỗn tÔi khai trin Cn = F1(t) F2(t) .... ⊕ Fn(t) vỵi méi t ≥ 0, sè
chi·u cõa khæng gian con dim Fi(k) = ki vỵi méi t, s ≥ 0 v i = 1, ..., p,

T (s, t)Fi(s) = Fi(t); (2.0.5)

B2. Vỵi méi i = 1, ..., p số i hỳu hÔn v vợi mội x Fi(0)\ {0} , (2.0.6)
1

lim log T (t, 0)x = λi;
t→∞ t

13

B3. Vỵi méi S ⊂ {1, ..., p}, vỵi 1 < cardS < p,

1 (2.0.7)
lim log ∠ ⊕ Fi(t), ⊕ F j(t) = 0.
t→∞ t i∈S
j∈/S


Chúng ta cõ th dạ d ng thĐy rơng, vỵi méi i ta câ:

Ei = ⊕ Fj(0)

j≤i

trong â Ei = {x ∈ n : λ(x) ≤ λi}.

2.1 D¡ng i»u ti»m cªn cõa phữỡng trẳnh vi phƠn
tuyán tẵnh

Trong phƯn n y, chóng ta s³ mi¶u t£ mët v i h» qu£ cõa i·u ki»n tø

B1-B3. Cho b l mët sè thüc nh÷ng khỉng l sè mơ Lyapunov, x²t khai

triºn

Cn = E(t) ⊕ F (t) (2.1.1)

trong â E(t) = ⊕ Fi(t) v F (t) = ⊕ Fi(t) vỵi méi t ≥ 0. Trong â, E(t)
λi<b λi>b

v F (t) l c¡c khæng gian con. Gåi P (t) v Q(t) l cĂc php chiáu tữỡng

ựng vợi khai triºn cõa (2.1.1). Khi â, tø (2.0.5) ta câ T (t, s)E(s) = E(t)

v T (t, s)F (s) = F (t) vỵi méi t, s ≥ 0. Do â

T (t, s)P (s) = P (t)T (t, s); T (t, s)Q(s) = Q(t)T (t, s) (2.1.2)


vỵi méi t, s ≥ 0. L§y c¡c sè thüc a < b < c sao cho oÔn [a; c] khổng chựa
số mụ Lyapunov.

nh lỵ 2.1.1. GiÊ sỷ cĂc iÃu ki»n B1 − B3 l óng. Khi â

1.

E(0) = {x ∈ Cn : λ(x) < b}

v λ(x) > b vỵi méi x ∈ F (0)\{0};

2. Vỵi méi > 0, tỗn tÔi M = M() > 0 (ởc lêp vợi b) sao cho vợi mội
t 0, ta câ

P (t) ≤ M eεt; Q(t) ≤ M eεt (2.1.3)

14

3. Vợi mội > 0, tỗn tÔi K = K() > 0 (ởc lêp vợi b) sao cho

T (t, s)P (s) ≤ Kea(t−s)+εs, t ≥ s (2.1.4)

v

T (t, s)−1Q(t) ≤ Kec(st)+t, t s.

Chựng minh. Tẵnh chĐt 1 ữủc suy ra trỹc tiáp tứ iÃu kiằn B1 v B2. Vợi

tẵnh chĐt 2, trữợc hát chúng ta ch ra rơng


1 21 2 (2.1.5)
≤ P (t) ≤ ; ≤ Q(t) ≤
α(t) α(t) α(t) α(t)

trong â α(t) l mët gâc giúa hai khæng gian E(t) v F (t). Hìn núa, ta câ:

E(t) = ⊕ Fi(t); F (t) = ⊕ Fj(t)
i∈S
j/S

vợi mội têp S = {i ∈ {1, ..., p} : λi < b}. Do õ, tứ iÃu kiằn B3, lĐy > 0,
tỗn tÔi M > 0 sao cho

α(t) = ∠(E(t), F (t)) ≥ M e−εt

vỵi méi t ≥ 0. Kát hủp vợi (2.1.5) thẳ tẵnh chĐt 2 ữủc chựng minh. Vợi
tẵnh chĐt cuối cũng, trữợc tiản ta giÊ sỷ rơng cõ th lĐy ữủc > 0, tỗn tÔi
L = L(ε) > 0 sao cho

T (t, s)|E(s) ≤ Lea(t−s)+εs, t ≥ s

v
T (t, s)−1|F (t) ≤ Lec(s−t)+εt, t ≥ s.

Do â

T (t, s)P (s) ≤ T (t, s)|E(s) . P (s)
≤ L(ε/2)ea(t−s)+(ε/2)sM (ε/2)e(ε/2)s
= K(ε)ea(t−s)+εs,


15