Một số đề toán thi học sinh giỏi doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.75 MB, 164 trang )
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
1
MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009
Bài 1 (6 ñiểm)
1/ So sánh hai số 2009
2010
và 2010
2009
.
2/ Tìm giới hạn
2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x
→
−
+ +
+ + + +
.
Bài 2 (4 ñiểm)
1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x
2009
+ y
2009
+ z
2009
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của
F = x
2
+ y
2
+ z
2
.
2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng
1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
C C C 2007
n+
+ + + <
.
Bài 3 (4 ñiểm)
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180
o
và các cạnh bên
SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn
3
.
Bài 4 (4 ñiểm)
1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng
2 2 2
1 2 2+ 3
+ - m + n + p
m n p
≤
.
2/ Giải hệ phương trình
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz
+ + + = +
+ + + = −
+ + + = +
.
Bài 5 (2 ñiểm)
1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ
giác ñó.
2/ Cho y = a
0
x + a
1
x
3
+ a
2
x
5
+ … + a
n
x
2n+1
+ … thoả mãn (1 – x
2
)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1).
Tìm các hệ số a
0
, a
1
, a
2
, …,
a
n
.
2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007
BÀI 1: (3 ñiểm)
Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này:
(
)
(
)
2 2 2 2 2
cos 4 4 . cos 4 2 2 0
tan x a tan x a
π π
− − − + + ≤
.
BÀI 2: (3 ñiểm)
Với những giá trị nào của a thì hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1 3 1 2 sin sin
3 2 3
x x
f x x a a a
π
= − + − + +
có không quá
hai ñiểm cực trị trên khoảng (
; 5
π π
) ?
BÀI 3: (4ñiểm)
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
2
Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x
nguyên.
(
)
(
)
(
)
144
2
+≤++− aaxaaxx
.
ðÁP ÁN
BÀI 1 (3 ñiểm)
ðặt t =
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
−
, với
1
t tan
≤
. Dễ thấy rằng với
[
]
0
1, 1
t tan tan
∈ −
phương trình
(
)
2 2
0
cos 4
tan x t
π
− =
có số nghiệm hữu hạn. Do ñó ta tìm tất cả a sao cho hệ
2
4 2 2 0
1 1
t at a
tan t tan
− + + ≤
− ≤ ≤
có số
nghiệm hữu hạn. ðiều này chỉ có thể khi hệ có ñúng một nghiệm.
Nếu biểu thức
∆
của tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm.
Nếu
∆
= 0, tức là a = 1 hay a =
2
1
− , thì nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ sẽ chỉ là
một ñiểm t = 2a. Từ hai giá trị tìm ñược của a chỉ có a =
2
1
− là thích h
ợp, với a =
2
1
− ta
ñược
t = 1
[
]
1; 1
tan tan
∈ −
từ ñây suy ra
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
− = 1 hay
π
π
π
nx +−=−
4
4cos
22
, với
n Z
∈
.
Phương trình này có nghiệm chỉ khi n = 0. Lúc ñó
4
4cos
22
π
π
−=− x
hay
π
π
ππ
2
4
arccos4
22
kx +
−±=−
, với k
Ζ
∈
. Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm:
2
2
4
arccos4
±−±=
π
ππ
x
.
Nếu
∆
> 0 thì nghiệm của bất phương trình sẽ là ñoạn
[
]
21
,tt
, ñoạn này phải có chỉ một ñiểm
chung với ñoạn
[
]
1, 1
tan tan
−
. Suy ra t
1
= tan1 hay t
2
= -tan1 . Lúc ñó giá trị cần tìm của tham số ñược
tìm bằng cách giải tập hợp hai hệ sau :
(
)
0
1 0
1
f tan
tan t
=
<
hay
(
)
0
1 0
1
f tan
tan t
− =
− >
với f(t) = t
2
– 4at +2 + 2a .
Suy ra
2
1 2
4 1 2
1
1
2
tan
a
tan
a tan
+
=
−
>
hay
(
)
2
1 2
4 1 2
1
1
2
tan
a
tan
a tan
− +
=
+
< −
.
Dễ thấy rằng hệ thứ nhất có nghiệm , còn hệ thứ hai vô nghiệm. Giá trị vừa tìm của tham số tương
ứng t = tan1. Suy ra
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
−
= tan1,
ππ
nx +=− 14cos
22
, n
Ζ
∈
. Phương trình này chỉ có
ba nghiệm x
1
= 0 , x
2
= -2
π
, x
3
= 2
π
.
Kết luận :
N
ếu a =
2
1
thì
2
2
4
arccos4
±−±=
π
ππ
x
.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
3
N
ếu
2
1 2
4 1 2
tan
a
tan
+
=
−
, thì x
1
= 0 , x
2
= -2
π
, x
3
= 2
π
.
Với các giá trị còn lại của a phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm .
BÀI 2 (3 ñiểm)
Ta có
( ) ( )
3
2
cos
3
cos211
'
xx
aaxf +−+−=
. Nghiệm của phương trình
(
)
0
'
=xf
sẽ là các ñiểm
tới hạn của hàm f . Ta viết :
( )
0
3
2
cos
3
cos211 =+−+−
xx
aa
Dễ thấy rằng phương trình này tương ñương với tập hợp:
=
−=
a
x
x
3
cos
2
1
3
cos
.
Ph
ương trình thứ nhất của tập hợp có hai nghiệm x
1
=
π
2
và x
2
=
π
4 trên khoảng (
π
,
π
5
). Các
ñiểm này là ñiểm tới hạn của hàm f . Khi viết ñạo hàm dưới dạng
( )
−
+= a
xx
xf
3
cos
2
1
3
cos2
'
dễ thấy rằng các ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị chỉ khi a
2
1
−≠
(nếu a =
2
1
−
thì ñạo hàm không ñổi
dấu , và do ñó hàm f không có ñiểm cực trị ).
Như vậy nếu
2
1
−≠a
thì hàm f có ít nhất hai ñiểm cực trị trên khoảng ñược xét . Do ñó , cần tìm
các giá trị a sao cho phương trình thứ hai không có thêm ñiểm cực trị .
Trên khoảng (
π
,
π
5
) hàm y = cos
3
x
nhận tất cả các giá trị thuộc ñoạn
1
1;
2
−
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-4
-2
2 4 6 8
10
12
14
16
F
E
D
Nếu
−∈
2
1
,1a
và
2
1
−≠a
thì hàm f sẽ có 4 cực trị . Có nghĩa là với những giá trị a khác hàm
f s
ẽ có không quá hai cực trị .
K
ết luận :
2
1
≥a
,
2
1
−=a
,
1
−
≤
a
.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
4
BÀI 3 (4
ñiểm)
Bất phương trình ñã cho tương ñương với tập hợp hai hệ:
+≥
≤
4
2
ax
ax
hay
+≤
≥
4
2
ax
ax
. Nhờ tập
hợp này ta biểu diễn nghiệm của bất phương trình ban ñầu. Kẻ các ñường thẳng x = k , với
Ζ
∈
k
.
14
12
10
8
6
4
2
-5
5
10
15
- 6 12
x=a+4
x=a
2
A
Lúc ñó giá trị a
0
mà với nó ñường thẳng a = a
0
cắt các ñường thẳng x = k không quá 4 ñiểm
trong tập hợp ñã ñược ñánh dấu, sẽ là giá trị cần tìm. Căn cứ vào hình vẽ ta có các giá trị a cần tìm là :
06 <−
,
1
0
<
<
a
,
121 << a
.
3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007
Câu 1: (4 ñiểm)
Giải hệ phương trình:
3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +
+ = +
+ = +
.
Câu 2: (4 ñiểm)
Cho dãy số
{
}
n
x
thoả mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x
x x x
+ +
=
− = +
. Tìm
lim
n
n
x
→+∞
.
Câu 3:
(4 ñiểm)
Tìm t
ất cả các hàm số f(x) liên tục trên
*
+
R
và thoả mãn:
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
5
2 2
2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=
− = − ∀ >
Câu 4: (4 ñiểm)
Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng
sau:
1) T
2
= 2.MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
.
2) T
1
= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5: (4 ñiểm)
Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con “ngoan ngoãn” nếu với bất
kì x, y
∈
T (có thể x = y) thì | x – y |
∈
T.
1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A.
2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005.
4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007)
Bài 1: (4ñ) Giải phương trình :
1
( 3) 2 1
x x
−
− =
.
Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
yx +
nếu :
3 2 6
7 3 4
x y
x y
+ ≤
− ≤
.
Bài 3: (4ñ) Cho dãy
n21
x, ,x,x
, với
=+=
=
+
, )2,1n(,xxx
2
1
x
n
2
n1n
1
. Hãy tìm phần nguyên của A
biết
1x
1
1x
1
1x
1
A
10021
+
++
+
+
+
=
.
Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a
n
) với :
−−
=
=
+
2
a11
a
2
1
a
2
n
1n
1
. Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ
hơn 1,03.
Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song
với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại
111
C,B,A
. Tìm vị trí của M ñể thể
tích hình tứ diện
111
CBMA
lớn nhất.
5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN
Câu 1
: Giải BPT:
x
x
xxxxxx
2
23234
1
ln)ln()1222ln(
−
≤+−+−++
.
Câu 2:
Cho tam giác ABC ñều. Tìm tập hợp các ñiểm M nằm trong tam giác thoả mãn hệ thức:
222
MCMBMA += .
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
6
Câu 3
: Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1. Tìm min của biểu thức: A=
xy
yx
8
11
22
+
+
.
Câu 4: Cho dãy )(
n
x xác định:
1
1
2
2
n n
x
x x
+
=
= +
(n >0). Tìm lim
n
x .
Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Trên dt (d) vng góc với mf (ABC) tại A lấy điểm M tuỳ ý.
Gọi H là trực tâm tam giác MBC. Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC)
Câu 6: Tìm các đa thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1
Câu 7: Với mỗi số tự nhiên n, gọi P(n) là tập hợp các số tự nhiên k sao cho:
1
50750
+
<<
nkn
. Kí hiệu S
là số phần tử của P(n). CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có: S=2 hoặc S=3; và CMR tồn tại vơ số số tự nhiên
k sao cho S = 3.
6. KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x
2
+ (m
2
- m)x - m
3
+1 = 0 có một nghiệm nguyên.
b) Giải bất phương trình.
Bài 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x - 4sin
2
x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0.
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2
x
1
+2sin
2
x
2
+…+ nsin
2
x
n
= a, với n là số nguyên dương, a là
số thực cho trước,
( 1)
0
2
n n
a
+
≤ ≤ . Xác đònh các giá trò của x
1
, x
2,
… , x
n
sao cho tổng
S = sin2x
1
+2sin2x
2
+ … + nsin2x
n
đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n.
Bài 3: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 .Chứng minh :
6 2 2 6 2 2 6 2 2
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện
cot (cot 2cot )
2cot( ) cot .
2
2cot( ) cot
2
A A B A B
B
A B
B
+ +
= −
+
+
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’
và CC’ đồng qui tại điểm M. Gọi S
1
, S
2
và S
3
lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA,
MAB và đặt
' ' '
, , .
MA MB MC
x y z
MA MB MC
= = =
Chứng minh rằng: (y + -1) S
1
+(x + z-1)S
2
+(x + y -1)S
3
= 0.
Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {u
n
} , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : .
Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+ u
2
+…+ u
n .
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x
3
+ ax
2
+ bx + b có ba nghiệm x
1
, x
2
, x
3
và đa thức g(x) = x
3
+ bx
2
+ bx + a. Tính
tổng S = g(x
1
) + g(x
2
) + g(x
3
) theo a, b.
2)12(log13)12(log
22
≤+−++−
xx
1
2
1
1
1 1
.
0
n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=
+ −
=
>
])
2
1
(1[
4
1
1−
−+≥
n
π
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
7
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài 1: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(3 điểm) + Biến đổi:
x(x+m
2
) -m(x+m
2
) = -1.
+ (x+m
2
)(x-m) = -1.
+ (a)
hoặc
2
1
(b)
1
x m
x m
+ = −
− =
+Giải (a) m =1 hoặc m =-2.
+Giải (b) vô nghiệm.
+Vậy m =1 hoặc m =-2.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm)
+ Biến đổi:
(1)
+Vì
nên
+
+Vậy
2 1 2 1
log 2 3log 2
x
+ +
≤ ≤
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
21)12(log3)12(log
22
≤−+++−
xx
BABA
xx
+≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log
22
⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log
22
xx
⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log(
22
xx
3)12((log1
2
≤+≤
x
−=−
=+
1
1
2
mx
mx
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
8
a)(2 điểm)
Biến đổi 4sin
2
5x+1-sin
2
x+4sin5xcosx=3sin
2
x
4sin
2
5x+4sin5xcosx+cos
2
x=3sin
2
x
(2sin5x+cosx)
2
=3sin
2
x
Vậy nghiệm hoặc hoặc
hoặc
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(3 điểm)
+ Biến đổi
+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:
+Dấu = xảõy ra khi
hay
hay
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1 2
2 2 2
1 2
tan tan tan
sin 2sin sin
sin 2 0
n
n
i
x x x
x x n x
x
= = =
+ + +
>
)cos.sin cos2.sin2cos(sin2
2211 nn
xnxnxxxxS +++=
)cos cos2)(cossin sin2(sin2
2
2
2
1
22
2
2
1
2
nn
xnxxxnxxS ++++++≤
)sin sin22sin1(2
2
2
2
1
2
n
xnnxxaS −++−+−≤
)]sin sin2(sin) 21[(2
2
2
2
1
2
n
xnxxnaS +++−+++≤
]
2
)1(
[2 a
nn
aS −
+
≤
n
n
xn
xn
x
x
x
x
cos
sin
cos2
sin2
cos
sin
2
2
1
1
===
≤≤
=
+
====
π
α
α
i
n
x
a
nn
xxx
20
sin
2
)1(
2
21
⇔±=+ xxx sin3cos5sin2
⇔−±= xxx cos
2
1
sin
2
3
5sin
)
6
5
sin(5sin
)
6
sin(5sin
π
π
−=
−=
xx
xx
2
24
π
π
kx +−=
3
36
7
π
π
kx +=
2
24
5
π
π
kx +−=
3
36
11
π
π
kx +=
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
9
Vậy Max S=
( 1)
2 [ ]
2
n n
a a
+
−
khi
1 2
2
sin
( 1)
0
2
n
x x x
a
n n
α
α
π
α
= = = =
=
+
≤ ≤
0.5
Bài 3: (4 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm)
p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 6 2 2 6 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 6 2 2
1 1 1
( )( ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
1 1 1
( . . . )
1 1 1
( )
( )
( )
1 1 1
(
( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b c b c a
+ + + + + + + ≥
+ + +
≥ + + + + + =
+ + +
= + +
+ +
=
= + + ⇒
+ +
+ +
2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2 4 4 4
( )
)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
.
2 2 2
b c c a a b
c a b a b c b c a c a b
b c c a a b a b c
+ +
≥ =
+ + + + + +
+ +
= ≥ =
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm)
+Biến đổi ,ta có
+Biến đổi vế trái
+
+ Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B
Vậy tam giác ABC cân tại C.
0.5
0.5
0.5
0.5
.
3
4
=x
2 2
(cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( )
2 2
A B A B
A B A B
+ +
+ = ⇔ + =
sin( ) 2sin( ) 2sin( )
cot cot
sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( )
A B A B A B
A B
A B A B A B A B
+ + +
+ = = ≥
− − + − +
2
( ) ( )
4sin cos
( )
2 2
cot cot 2cot
( )
2
2sin
2
A B A B
A B
A B
A B
+ +
+
+ ≥ =
+
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
10
Bài 4: (2 điểm).
Câu Đáp án Điểm
2 điểm
+ Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có
Ta có
+Suy ra
+Suy ra
1 1
1 2 3
1 2 3
( )
s s
x x s x s s
s s s s
= ⇒ = ⇒ = +
− +
.
+Tương tự
Vậy (y+z-1) s
1
+(x+z-1)s
2
+(x+y-1)s
3
=0
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
2 điểm
+Đặt
ta có
+Vì
mà
+
+ Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 6: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
321
SSSS ++=
'
'
'
'
1
1
MA
AA
s
s
AA
MA
s
s
=⇒=
xMA
MA
MA
MAAA
s
ss 1
''
''
1
1
==
−
=
−
2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2
( ), ( ); ( ) ( ) ( )
s y s s s z s s S s s s x s s y s s z s s
= + = + = + + = + + + + +
tan 0,0
2
n
u
π
α α
= > < <
2
1
1
1
1 tan 1
cos
tan
sin
tan 2
cos
n
u
α α
α
α
α
α
+
−
+ −
= = =
0 tan
2
π
α α α
< < ⇒ <
nn
uuus +++=
21
1 2
2
1 tan tan tan , , tan
4 2.2 2.2 2.2
n
n
u u u
π π π π
= = = ⇒ = =
2
1
2 2
tan tan tan
2.2 2.2 2.2
1 1 1
1 1 ( ) 1 (1 ( ) )
2.2 2.2 2 2 2 4 2
n
n
n
n n
s
π π π
π π π π
−
= + + + ≥
≥ + + + = + + + = + −
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
11
2 điểm
+Theo đònh lý Vi ét,ta có
p
1
=x
1
+x
2
+x
3
=-a ; p
2
=x
1
x
2
+x
2
x
3
+x
3
x
1
=b, p
3
=x
1
x
2
x
3
=-b.
+Ta có
+
+
0.5
0.5
0.5
0.5
Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa
học vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
7. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995
Bài I. Xét đường cong:
3 2
y mx nx mx n= − − + (C). Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm
c
ủa (C) với trục hồnh có hai giao điểm cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C)
đến trục hồnh là 2000 đơn vị.
Bài II
Với những giá trị nào của m thì ∀ x ∈
0;
2
π
ta ln có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α
+ ≤ .
Bài III
Cho hai dãy số
( )
n
a và
( )
n
b trong đó với mọi i = 1, 2, 3… ta ln có:
3
1
4
i
i i
a
a a
+
= − và
i i
b a= .
Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của
i
a sao cho dãy
( )
n
b có giới hạn khác 0.
Bài IV
Cho hình Elíp
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = với tâm O và các tiêu điểm
1 2
,
F F
. Qua O,
1
F
vẽ các đường song song
MOM', MF
1
N'. Tính tỉ số:
1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
.
8. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1996
Bài I
Cho dãy ( )
n
x
xác định bởi điều kiện: x
1
= a ;
2
1
3
4
n n n
x x x
+
− + = ; ( n = 1; 2; 3…).
Tìm giá trị của a sao cho: x
1996
= x
1997
.
babappppxxx
bappxxx
3333
22
3
321
3
1
3
3
3
2
3
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
−+−=+−=++
−=−=++
axxxbxxxbxxxS 3)()()(
321
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
3
1
+++++++++=
)32)((
3)()2()33(
2
23
++−−=
+−+−+−+−=
babaS
aabbabbabaS
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
12
Bài II
Hàm số f(x) ñược xác ñịnh bằng hệ thức:
2
(1 ) 2 ( ) sin
f x f x x
− + = .
Chứng minh rằng:
2
sinf(x) <
2
.
Bài III
Cho phương trình:
( )
3 2
cos2 3 cos2 8sin 2cos 2 sin 4x m x m m
α α α
+ + = − + + + .
Hãy xác ñịnh giá trị của m sao cho với mọi giá trị của
α
thì phương trình có nghiệm.
Bài IV
Trên mặt phẳng toạ ñộ vuông góc Oxy, cho các ñiểm A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ ñường
thẳng
( )
∆ vuông góc với AB tại H và ñường tròn (C) nhận AB làm ñường kính. Tìm quỹ tích tâm I của
ñường tròn tiếp xúc với
( )
∆ và tiếp xúc trong với (C) sao cho ñiểm M nằm ở bên ngoài ñường tròn (I).
9. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1997
Câu 1 (5 ñiểm): Cho hàm số
( )
2
2
x
e
f x
e e
=
+
.
1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên ñoạn ln 2;ln 5
.
2. Tính tổng
1 2 3 1996 1997
( )
1998 1998 1998 1998 1998
S f f f f f
= + + + + +
.
Câu 2 (5 ñiểm):
Tìm a ñể phương trình sau có ñúng 3 nghiệm:
( )
( )
( )
2
2
4
2 sin 1
1
3 log 4 6 3 log 0
2 sin 1 1
x x
x a
x x
x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
.
Câu 3 (5 ñiểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤ . Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3+1
1 1 1 1
cotx +cotx +cotx +cotx + + +
cotx cotx cotx cotx
3
≤
.
Câu 4 (5 ñiểm):
Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn xOy cho ñường thẳng (d) có phương trình:
3 17
4 12
y x= + .
1. Tìm ñiểm M(a; b) với ,a b Z∈ sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và ñộ dài ñoạn OM ngắn
nhất.
2. Cho
ñường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy. Tìm tập hợp tâm các ñường tròn tiếp xúc với Ox và
tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C).
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
13
10. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998
Câu 1 (5 ñiểm):
Cho họ ñường cong (C
m
):
3 2
3 4y x x mx m= − + + − ( m là tham số). ðường thẳng (d): y=3-x cắt một
ñường cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến
tại B của (C) lần lượt cắt ñường cong tại ñiểm thứ hai là M và N. Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (5 ñiểm):
Giải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π
−
=
+ = +
< <
.
Câu 3 (5 ñiểm):
Chứng minh bất ñẳng thức:
1 1 1
2
1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c
+ + >
+ + −
, với a∀ làm vế trái có nghĩa.
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ ñể có một bất ñẳng thức ñúng và mạnh hơn không?
Câu 4 (5 ñiểm):
Cho 2 ñường tròn thay ñổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một ñường thẳng lần lượt tại 2 ñiểm A và A' cố
ñịnh. Tìm quỹ tích giao ñiểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một góc
α
cho trước
(
α
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai ñường tròn tại M ).
11. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1999
Câu 1 (5 ñiểm):
Cho hai hàm số ( )
1
x
f x
x
=
+
và ( ) arctanxg x = .
1. Cmr: ñồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phương trình: ( ) ( )
f x g x x
≥ + .
Câu 2 (5 ñiểm):
Cho tam giác ABC thoả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b c
m m m
A B C
abc
A B C
+ +
=
+ +
.
Cmr: tam giác ABC ñều.
Câu 3 (5 ñiểm):
Tìm tham số a sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên
( )
( )
( )
2 2
2
1
4 4
log 5 10 34 2 0
4 2 2 2 4
a
x a x a
x x a x a
π
π
π π π
π π
+ +
− − + − − − + + =
− − − − +
.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
14
Câu 4
(5 ñiểm):
Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
2 2
4x y+ = .
1. Tìm tham số m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng 4 ñiểm sao cho qua mỗi ñiểm có 2 ñường thẳng tạo
với nhau góc 45
0
và chúng ñều tiếp xúc với ñường tròn (C).
2. Cho 2 ñiểm A(a;b), B(c;d) thuộc ñường tròn (C) chứng minh:
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .
12. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2001
Câu 1 (4 ñiểm):
Cho hàm số
4 2 2
2y x m x n= − + .
Tìm các giá trị của tham số m và n ñể ñồ thị có 3 ñiểm cực trị là các ñỉnh của một tam giác ñều ngoại tiếp
một ñường tròn có tâm là gốc toạ ñộ.
Câu 2 (4 ñiểm):
Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn ñiều kiện
1
2
a
−
≥ và 1
a
b
> sao cho bi
ểu thức
( )
3
2 1a
P
b a b
+
=
−
ñạt
giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ñó.
Câu 3 (4 ñiểm):
Giải bất phương trình:
3
2 log
6
1 2 1
x
x x
+
<
− −
.
Câu 4 (4 ñiểm):
Tìm các giá trị của x, ñể với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn:
( )
3
1
2
sin os 2x+
2 3 2 osx
y
x y z y c
c
π
−
+ + = + +
.
Câu 5 (4 ñiểm):
Cho Elíp (E) có 2 tiêu ñiểm là F
1
và F
2
. Hai ñiểm M và N trên (E). Chứng minh rằng: 4 ñường thẳng MF
1
,
MF
2
, NF
1
, NF
2
cùng tiếp xúc với một ñường tròn.
13. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2003
Câu 1 (4 ñiểm):
Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:
3 2 3
( 2) 2003( 3) 0
n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + = (với n là số tự nhiên lẻ cho trước).
Câu 2
(4 ñiểm):
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
15
Cho
ñường cong (C) có phương trình
4 2
4 3y x x= − + − .Tìm m và n ñể ñường thẳng
y mx n= +
cắt ñường
cong (C) tại 4 ñiểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho
1
2
AB CD BC= = .
Câu 3 (4 ñiểm):
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R' lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác có ñộ dài 3 cạnh là GA, GB, GC. Chứng minh nếu có
9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñều.
Câu 4 (4 ñiểm):
Giải các phương trình sau:
1./ 2cosx+sin19x-5 2 sin 21 3 2 sin10
x x
= − .
2./
5 3
32 40 10 3 0x x x− + − = .
Câu 5
(4 ñiểm):
Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho Parabol (P):
2
2y px= (p > 0), tiêu ñiểm là F. Từ một ñiểm I kẻ 2 ñường
thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N.
1. Cmr:
FIM
∆ ñồng dạng với
FIN
∆ .
2. Một ñường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'.
Cmr:
FQ.FQ'
FT
không phụ thuộc vị trí của (d).
14. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2004
Bài 1 (4 ñiểm):
Cho hàm số: f(x) = 1
5
4
54
+− xmx và 122004
3
)(
3
2
−−= xx
m
xg có ñồ thị là (C) và (C’). Hẵy tìm tất cả
cac giá trị của tham số m ñể tồn tại 4 ñường thẳng khác nhau, cùng song song với trục tung và mỗi ñường
trong chúng ñều cắt (C) và (C’) tại hai ñiểm sao cho tiếp tuyến tương ứng của (C)và (C’) tại hai ñiểm ñó
song song với nhau.
Bài 2 (4ñiểm):
Cho bất phương trình:
222
2222 xxaaxxxxx
xx
−+−<− .
1.Giải bpt khi a = -1.
2.Tìm a ñể bpt có nghiệm x >1.
Bài 3 (4ñiểm):
Giải phương trình:
2
( ) 3 9 4( )
2 2
cos sin
3 2 2 2
x x
x x
π π
− −
+ = + .
Bài 4 (4ñiểm):
Một tứ giác có ñộ dài ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng
4
33
. Hãy tính
ñộ dài cạnh còn lại và ñộ lớn các
góc c
ủa tứ giác ñó.
Bài 5 (4ñiểm):
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
16
Cho t
ứ diện ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi một vuông góc với nhau. Một ñiểm M tuỳ ý thuộc khối tứ
diện.
1.Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là , ,
α β γ
. Cmr: 2sinsinsin
222
=++
γβα
.
2.Gọi
DCBA
SSSS ,,, lần lượt là diện tích các mặt ñối diện với ñỉnh A, B, C, D của khối tư diện. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
DCBA
SMDSMCSMBSMAQ +++= .
15. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2006
Câu 1 (5 ñiểm):
Gọi
( )
m
C là ñồ thị của hàm số
4 2 2 4
6 4 6y x m x mx m= − + + ( m là tham số).
1. Tìm các giá trị của m ñể
( )
m
C có 3 ñiểm cực trị A, B, C.
2. Chứng minh rằng tam giác ABC có trọng tâm cố ñịnh khi tham số m thay ñổi.
Câu 2 (3 ñiểm):
Giải các phương trình sau:
1.
5 3
15 11 28 1 3
x x x
+ + = − . 2.
( )
2 2
4 1 1 2 2 1
x x x x
− + = + + .
Câu 3 (3 ñiểm):
Tam giác ABC có ñộ dài các cạnh là a, b, c và bán kính R của ñường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức:
( )
3 2bc R b c a
= + −
. Chứng minh rằng tam giác ñó là tam giác ñều.
Câu 4 (4 ñiểm):
Tìm các giá trị của tham số a ñể hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 1
y y y
12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin
2 2 2 3
3
2 1 2
4
x y
c c c
x y a x y a
π
π π π
− −
− − − + + = −
+ − − = + − −
.
Câu 5 (5 ñiểm):
Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1. Các ñiển M, N lần lượt chuyển ñộng trên các ñoạn AB, AC sao
cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). ðặt AM = x, AN = y.
1. Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một ñường phẳng cố ñịnh và x + y = 3xy.
2. Xác ñịnh vị trí của M, N ñể diện tích toàn phần tứ diện ADMN ñạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các
giá trị ñó.
16. ðỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008
Bài 1: (2.0 ñiểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng:
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
17
4
3
)1)(1()1)(1()1)(1(
333
≥
++
+
++
+
++ ba
c
ac
b
cb
a
.
Bài 2: (3.0 ñiểm) Giải phương trình:
( )
2
2
2
x x-5 log x-2x 6 0
log
+ + =
.
Bài 3: (3.0 ñiểm) Tìm ña thức P (x) thỏa mãn ñiều kiện:
(3) 6
( 1) ( 3) ( ), x
P
xP x x P x R
=
− = − ∀ ∈
.
Bài 4: (2.0 ñiểm) Cho dãy số dương
)
(
n
x
xác ñịnh xác ñịnh như sau:
1
0
45
1
45 7 (n 0)
2 1
x
x
x x x
n
n n
=
=
= − ≥
+ +
.
1) Xác ñịnh số hạng tổng quát
n
x
theo n
2) Tính số ước dương của biểu thức
2
.
2
1
+
−
+
n
x
n
x
n
x
.
Bài 5
: (3.0 ñiểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong ñường tròn tâm O. Các ñường thẳng AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC
cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M. Các ñường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N.
Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng.
Bài 6 : (2.0 ñiểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
3
+ (x + 1)
3
+ + (x + 7)
3
= y
3
(1).
Bài 7: (2.0 ñiểm) Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có:
+ + <
+ + +
sin sin sin
2
sin sin sin sin sin sin
A B C
B C C A A B
.
Bài 8: (3.0 ñiểm) Giải hệ phương trình:
1.
−=+−
−=+
yxyxyx
xyx
1788
493
22
23
; 2.
=−+
=−+
=−+
16)(
30)(
2)(
23
23
23
yxzz
xzyy
zyxx
.
17. TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A – NGHỆ AN
Bài 1. (6.0 ñiểm )
a) Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm:
( 3) (2 ) 3 0.
m x m x m
− + − + − =
b) Chứng minh rằng:
3
( ) , (0; ).
2
sinx
cosx x
x
π
> ∀ ∈
Bài 2. ( 6.0 ñiểm )
1. Cho hai số thực x , y thoả mãn:
0; 1; 3
x y x y
≥ ≥ + =
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
P =
3 2 2
2 3 4 5
x y x xy x
+ + + −
.
2. Giải hệ phương trình
2 2
sinx
siny
3 8x 3 1 6 2 2 1 8
, (0; )
4
x y
e
y y y
x y
π
−
=
+ + = − + +
∈
.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
18
Bài 3
. ( 2,5 ñiểm )
Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại duy nhất số thực
n
x
sao cho
1
0.
2008
n
n
x
x n
− + =
Xét dãy số (
n
x
)tìm giới hạn :
1
lim( )
n n
x x
+
− .
Bài 4. ( 5,5 ñiểm )
a) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết A(2;-3) , B(3,-2) và trọng
tâm G thuộc ñường thẳng d có phương trình : 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính ñường tròn nội tiếp △ABC.
b) Trong mặt phẳng có ñường tròn tâm O , bán kính R và ñường thẳng d tiếp xúc với ñường tròn (O,R) tại
ñiểm A cố ñịnh . Từ ñiểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài ñường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới ñường
tròn (O, R) (T là tiếp ñiểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Chứng minh rằng ñường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một ñường tròn cố ñịnh khi M di
ñộng trên mặt phẳng sao cho: MT = MH.
18. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2007 QUẢNG NAM
Câu 1 (3 ñiểm): Giải bất phương trình sau :
( )
4
1 2 0
1
x
x
x
−
− + ≥
−
.
Câu 2 (3 ñiểm): Giải hệ phương trình sau :
2 2 2
3 2
2 0
2 3 6 12 13 0
x y x y
x x y x
− + =
+ + − + =
.
Câu 3 (3 ñiểm): Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn :
3 3
, , 1
1 1
x x
f f x x R x
x x
− +
+ = ∀ ∈ ≠
+ −
.
Câu 4 (3 ñiểm): Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
– 4xy + 6y
2
– 2x – 20y = 29.
Câu 5 (3 ñiểm): Tìm số hạng tổng quát u
n
của dãy số (u
n
) thỏa mãn ñiều kiện sau:
( )
1 2
1
2 *
3
2 1
, , ,
. ,
n n n
u a u b a R b R
u u u n N
+ +
+ +
= = ∈ ∈
= ∀ ∈
.
Câu 6 (3 ñiểm): Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy ñiểm D và E sao cho DE song song với
cạnh BC và tiếp xúc với ñường tròn nội tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: DE ≤
1
8
( AB + BC + CA).
Câu 7 (2 ñiểm): ðặt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, với a, b, c là các số nguyên tố. Cho biết
x
2
= y và hiệu
z y
−
là bình phương của một số nguyên tố. Xác ñịnh tất cả giá trị của a, b, c.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
19
19. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000.
Bài 1: ( 2.5 ñiểm) Cho phương trình:
5 2
4
x 34x a (x 1)(x 33) 1
− + − − − =
.
a/ Giải phương trình khi a = 64.
b/ Tìm a ñể phương trình có nghiệm.
Bài 2:(2.5 ñiểm) Cho hai số a
1
, b
1
với 0 < b
1
=
1
a
< 1. Lập hai dãy số (a
n
), (b
n
) với n = 1, 2,
theo quy tắc sau:
n 1 n n
1
a (a b )
2
+
= + ,
n 1 n 1 n
b a .b
+ +
= .
Tính:
n
n
lim a
→+∞
và
n
n
lim b
→+∞
.
Bài 3:(2.5 ñiểm)
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng và ba ñiểm A, B, C ( khác ñiểm 0) lần lượt
trên Ox, Oy, Oz.
Dãy số (a
n
) là một cấp số cộng có a
1
> 0 và công sai d > 0. Với mỗi số n nguyên dương, trên các tia
Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các ñiểm A
n
, B
n
, C
n
sao cho OA = a
n
.OA
n
; OB = a
n+1
.OB
n
; OB = a
n+2
.OC
n
.
Chứng minh các mặt phẳng (A
n,
B
n
, C
n
) luôn luôn ñi qua một ñường thẳng cố ñịnh.
Bài 4:(2.5 ñiểm)
Tập hợp M gồm hữu hạn ñiểm trên mặt phẳng sao cho với mọi ñiểm X thuộc M tồn tại ñúng 4 ñiểm
thuộc M có khoảng cách ñến X bằng 1.
Hỏi tập hợp Mcó thể chứa ít nhất là bao nhiêu phần tử?
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2.5 ñiểm)
Câu a: ( 2 ñiểm)
+(0.25 ñ) ðặt u =
5
2
x 34x a
− +
v =
4
(x 1)(x 33)
− −
+(0.25 ñ) Ta có hệ
5 4
u (u 1) a 33
(I).
v u 1 0
− − = −
= − ≥
+(1.00 ñ) Hàm số f(u) = u
5
– (u – 1)
4
có f’(u) = 5u
4
– 4(u – 1)
3
> 0 ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) tăng trên
[1; + ∞).
+(0.50 ñ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: (u = 2,v = 1) từ ñó ta có
nghiệm của phương trình là: x = 17
257
± .
Câu b: ( 0.5 ñiểm)
+ f(u) tăng trên [1; + ∞) mà f(1) = 1 nên phương trình có nghiệm khi a – 33 ≥ 1 hay a ≥ 34.
Bài 2: (2.5 ñiểm)
+(0.50 ñ) Tính a
2
, b
2
với 0 < b
1
=
1
a
< 1 ta có thể chọn 0 < a <
2
π
sao cho: b
1
= cosa,
suy ra a
1
= cos
2
a.
2 2
2
1 1 a
a (cos a cosa) cosa(cosa 1) cosa.cos
2 2 2
= + = + =
2
2
a a
b cosacos cosa cosacos
2 2
= =
+(0.75 ñ) Bằng quy nạp, chứng minh ñược:
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
20
n
n 1 n 1
a a a
a cosacos cos cos (1)
2 2 2
− −
=
n
n 1
a a
b cosacos cos (2)
2 2
−
=
+(0.75 ñ) Nhân hai vế của (1) và (2) cho
n 1
a
sin
2
−
và áp dụng công thức sin2a ñược:
n 1
n n
n n
n 1 n 1
a
sin 2a.cos
sin 2a
2
a , b
a a
2 .sin 2 .sin
2 2
−
− −
= = .
+(0.50 ñ) Tính giới hạn:
n n
n n
sin 2a sin 2a
lima , lim b
2a 2a
→∞ →∞
= =
Bài 3: (2.5 ñiểm)
+(0.50 ñ) Phát biểu và chứng minh mệnh ñề:
Nếu hai ñiểm X,Y phân biệt. ðiều kiện cần và ñủ ñể ñiểm S thuộc ñường thẳng XY là tồn tại cặp số
thực x, y thỏa:
OS xOX yOY
x y 1
= +
+ =
, với ñiểm O tùy ý.
+(0.25 ñ) Từ giả thiết: (a
n
) là cấp số cộng công sai d > 0 nên: a
n+1
= a
n
+ d
n 1 n
a a
1
d d
+
− =
.
+(0.75 ñ) áp dụng nhận xét trên, ta có:
n 1 n
n n
a a
OI OB OA
d d
+
= −
thì I ∈ A
n
B
n
.
và
n n n 1 n n n 1
OA a OA ; OB a OB ( do a ,a 0)
+ +
= = >
Thế vào trên ta ñược:
OB OA 1
OI AB , n=1,2
d d d
= − = ∀
suy ra I cố ñịnh, nên ñường thẳng A
n
B
n
luôn
ñi qua một ñiểm cố ñịnh I.
+(0.50 ñ) Tương tự, chứng minh ñược:
• B
n
B
n
luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh J xác ñịnh bởi:
1
OJ BC
d
=
.
• A
n
C
n
luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh K xác ñịnh bởi:
1
OK AC
2d
=
Vậy các ñường thẳng A
n
B
n
, B
n
C
n
, A
n
C
n
lần lượt ñi qua ba ñiểm I, J, K cố ñịnh.
+(0.50 ñ) Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng:
Ta có:
1
OI AB
d
=
,
1
OJ BC
d
=
,
1
OK AC
2d
=
.
Do ñó:
1 1 1 1
OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ)
2d 2d 2d 2
= = + = + = +
Vậy I, J, K thẳng hàng. ðiều này chứng tỏ mặt phẳng A
n
B
n
C
n
luôn ñi qua một ñường thẳng cố ñịnh.
Bài 4: (2.5 ñiểm)
+(0.50 ñ) Rõ ràng có ít nhất hai ñiểm P,Q thuộc M sao cho PQ ≠ 1.
Ký hiệu : M
P
= {X ∈ M / PX = 1}. Từ giả thiết |M
P
| = 4 ta có: |M
p
∩ M
q
| ≤ 2.
N
ếu tồn tại P, Q sao cho |M
p
∩ M
q
| ≤ 1 thì M chứa ít nhất 9 ñiểm.
+(1.50
ñ) Trường hợp với mọi P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |M
p
∩ M
q
| = 2.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
21
Khi
ñó M
p
∩ M
q
= {R,S}, lúc ñó M
P
= {R,S,T,U} và M
q
= {R,S,V,W} và giả sử
M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ 1.
• Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy ra M
t
∩ Mq = M
u
∩ M
q
= {V,W} suy ra T hay U trùng với Q, vô
lý.
• Nếu TR,TS,UR,US có một số bằng 1: Không giảm ñi tính tổng quát, giả sử TV = 1 lúc ñó TS ≠ 1
và TV = 1 hay TW = 1. Giả sử TV = 1 lúc ñó TW≠ 1 suy ra TU = 1, và M
t
= {P,R,U,V} và
M
u
= {P,T,V,W} lúc ñó UTV, RPT,UTV là các tam giác ñều cạnh 1, ta có hình 1. ðiều này mâu thuẫn vì
VR>2.
+(0.50 ñ) Vậy M chứa ít nhất là 9 ñiểm. Dấu bằng xảy ra với hình2.
Vậy M có thể chứa ít nhất là 9 ñiểm.
20. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999.
Bài 1 (5 ñiểm)
Cho phương trình:
cos
3
x + asinx.cosx + sin
3
x = 0.
a/ Giải phương trình khi a =
2
.
b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.
Bài 2 (5 ñiểm)
Giả sử phương trình x
3
+ x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức: a
2
– 3b.
Bài 3 (5 ñiểm)
Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số:
y =
1
x
x
(1 + a )
, (a > 0).
Bài 4
(5 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c.
K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC.
a/ Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của SA và BK.
b/ Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của ñoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các ñường thẳng BM và MN
vuông góc nhau.
A
4
A
8
A
6
A
5
A
9
A
7
A
1
A
2
A
3
V
T
R
U
P
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
22
H
ƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 5ñiểm) cos
3
x + asinx.cosx + sin
3
x = 0.
(0.5 ñ) + ðặt t = sinx + cosx =
2 cos(x ), |t| 2.
4
π
− ≤
cos
3
x + sin
3
x = (cosx + sinx)(sin
2
x + cos
2
x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx)
vì t
2
= 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx =
2
t 1
2
−
và cos
3
x + sin
3
x =
2
t
(3 t )
2
−
.
(0.5 ñ) + Phương trình (1) trở thành:
2
t
(3 t )
2
−
+ a.
2
t 1
2
−
= 0 ⇔ t
3
– at
2
– 3t + a = 0 (2).
Câu a /
(1 ñ) + Với a =
2
: (2) trở thành:
t
3
–
2
t
2
– 3t +
2
= 0 ⇔ (t +
2
)(t
2
- 2
2
t + 1) = 0
⇔ (t +
2
)(t -
2
+ 1)(t -
2
- 1) = 0
⇔ t = -
2
hay t =
2
- 1 hay t =
2
+ 1.
(1 ñ) + so lại ñiều kiện: | t | ≤
2
nên phương trình (1) tương ñương với:
5
cos(x ) 1 x k2
2 cos(x ) 2
4 4
4
,k Z
2 1 2 1
2 cos(x ) 2 1
cos(x ) x arcos k2
4
4 4
2 2
π π
π
− = − = + π
− = −
⇔ ⇔ ∈
π
π − π −
− = −
− = = ± + π
.
Câu b /
(0.25ñ) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t
3
– at
2
– 3t + a = 0 có nghiệm
t ∈[-
2
;
2
]
(1.25ñ) + f(t) liên tục trên R
f(-
2
) =
2
- a ; f(
2
) = -
2
- a; f(0) = a.
• a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 ∈ [-
2
;
2
]
• a < 0: f(-
2
).f(0) = a(
2
- a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(-
2
;0).
• a > 0: f(0).f(
2
) = a(-
2
- a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(0;
2
).
(0.25ñ) + Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a.
Bài 2: ( 5ñiểm) y = f(x) = x
3
+ x
2
+ ax + b
(0.5 ñ) + Tập xác ñịnh: R.
y’ = 3x
2
+ 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số ∆’ = 1 – 3a.
(0.5 ñ) + Pt: x
3
+ x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
f(x
1
).f(x
2
)< 0.
(0.25 ñ) + Suy ra:
1 2
1 3a 0
f(x ).f (x ) 0
− >
<
(x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình 3x
2
+ 2x + a = 0).
(1 ñ) + Thực hiện phép chia ña thức ta ñược:
f(x) = x
3
+ x
2
+ ax + b =
[ ]
1 1 1
x y' (6a 2)x 9b a
3 9 9
+ + − + −
.
Suy ra f(x
1
) =
[ ]
1
1
(6a 2)x 9b a
9
− + −
; f(x
2
) =
[ ]
2
1
(6a 2)x 9b a
9
− + −
(0.5
ñ) + f(x
1
).f(x
2
) < 0 ⇒ (6a-2)
2
x
1
x
2
+ (6a-2)(9b-a)(x
1
+ x
2
) + (9b-a)
2
< 0.
www.VNMATH.com
Nguyn Vn Xỏ
thi HSG mụn Toỏn
Trang
23
(1
ủ) + Vỡ x
1
, x
2
l 2 nghim ca phng trỡnh: 3x
2
+ 2x + a = 0
nờn x
1
+ x
2
=
2
3
; x
1
.x
2
=
a
3
.
Do ủú:
2 2
a 2
(6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 0
3 3
+ <
suy ra: 4(3a 1)(a
2
3b) + (9b a)
2
< 0
(1 ủ) + Vỡ (9b a)
2
0 v 3a 1 < 0 nờn a
2
3b > 0.
Bi 3: ( 5ủim)
+ Tỗm tióỷm cỏỷn õổùng:
Tỏỷp xaùc õởnh: R\{0}.
x 0
+
thỗ
1
x
+
vaỡ a
x
1.
Do õoù :
1
x
x
(1 + a )
x 0
lim
nón x = 0 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn õổùng.
a/+ Xeùt trổồỡng hồỹp: 0 < a 1
+ x (0; + ): 0 < 1 + a
x
2
Do õoù:
1
x
x
0 < (1 + a )
2
( vỗ
1
0
x
>
) nón:
1
x
x
x +
1 lim (1 + a )
1
x
x
lim 2 1
+
=
Do õoù:
1
x
x
x 0
lim(1 a ) 1
+
+ =
nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh phaới.
+ x (- ; 0):
x
1
0 < 1 +
a
2
.
Do õoù:
1
x
x
1
1 > 1 +
a
1
x
2
( vỗ
1
0
x
<
) nón
1
x
x
x - x -
1
1 lim 1 + lim
a
1
x
2 1
=
Do õoù:
x
x -
1
lim 1 + =1
a
Suy ra
x
x -
1
lim 1 + = a
a
1
x
x
x
lim (1 a ) a
+ =
Vỏỷy y = a laỡ tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi.
b/+ Xeùt trổồỡng hồỹp a > 1.
+ x (- ; 0) : 0 < 1 + a
x
< 2
Do õoù:
1
x
x
1> (1 + a )
1
x
2
>
( vỗ
1
0
x
<
) nón:
1
x
x
x
1 lim (1 + a )
1
x
x
lim 2 1
=
Do õoù:
1
x
x
x
lim (1 a ) 1
+ =
nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi.
+ x (0; + ):
x
1
1 < 1 +
a
2
<
.
Do õoù:
1
x
x
1
1 < 1 + <
a
1
x
2
( vỗ
1
0
x
>
) nón
1
x
x
x x
1
1 lim 1 + lim
a
1
x
2 1
+ +
=
Do õoù:
1
x
x
x
1
lim 1 + =1
a
+
nón
1
x
x
x
1
lim 1 + = a
a
1
x
x
x
lim (1 a ) a
+ +
+ =
(1
õ
)
(1
õ
)
(1
õ
)
(1
õ
)
(1
õ
)
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
24
Váûy y = a laì âæåìng tiãûm ngang nhaïnh phaíi.
Bài 4
: ( 5ñiểm)
Câu a / (2.5 ñiểm)
+ Theo giả thiết ta ñược: SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD).
Mà BK ⊂ (SAC) và BK ⊥ AC ⇒ BK ⊥ SA.
+ Gọi H là hình chiếu của K xuống SA
⇒ HK ⊥ SA và HK ⊥ BK ( vì HK ⊂ (SAC))
⇒ HK là ñoạn vuông góc chung của SA và BK.
Suy ra ñược: BH ⊥ SA và ∆HBK vuông tại K.
+ Do ∆ABC vuông ñỉnh A nên:
2 2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 a b
BK
BK AB BC a b
= + ⇒ =
+
.
+ ∆SAB cân ñỉnh S, BH là ñường cao nên
2
2
a
c .a
SI.AB
4
HB
SA c
−
= =
+ Do ∆HBK vuông tại K nên:
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
(4c a )a a b
HK HB BK
4c a b
−
= − = −
+
2 2 2 4 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
(4c a b )a a (4c a b )
HK HK
4c (a b ) 2c (a b )
− − − −
= ⇒ =
+ +
Câu b (2.5 ñiểm)
+
2BM BA BK
= +
( vì M là trung ñiểm của AK)
+
1 1
MN MB BC CN (AB KB) BC BA
2 2
= + + = + + +
+
1
MN KB BC
2
= +
.
+ Do ñó:
_
D
_
C
_
B
_
A
_
S
_
O
_
K
_
M
_
N
(0.25
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(1.75
â
)
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
25
4BM.MN (BA BK).(KB 2BC)
= BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC
= BA.KB BK.KB 2BK.BC
= KB
= + +
+ + +
+ +
.(BA BK 2.BC)
= KB.(BA BC BK BC)
= KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0
+ −
− + −
+ = + =
V
ậy: BM ⊥ MN.
( Có thể tính và áp dụng ñịnh lý Pythagor).bv
21. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12
Câu 1 : (2,5 ñiểm)
Cho hàm s
ố f : [0;1]→ [0;1] liên tục trên ñoạn [0;1], có ñạo hàm trong khoảng (0;1) và f(0) = 0 và f(1) = 1.
a) Chứng minh rằng tồn tại số c thuộc khoảng (0;1) sao cho : f(c) = 1-c.
b) Chứng minh rằng tồn tại hại số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho : f '(a).f '(b) = 1.
Câu 2 : (2,5 ñiểm) : Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn ñiều kiện : x - 2y + 4 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 89161045126
2222
+−−+++−−+ yxyxyxyx .
Câu 3 :
(3ñiểm) Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng sao cho :
a) MCMBMCMBMA +=++
2
3
.
b) 2 4
MA MB MB MC
+ = −
.
Câu 4 : (2 ñiểm)
a) Chứng minh rằng tan 2 1
8
π
= − .
b) Cho dãy số (u
n
) xác ñịnh bởi :
=
−+
−+
=
=
+
, )3,2,1(
)21(1
12
2
1
1
n
u
u
u
u
n
n
n
. Tính
2006
u .
ðÁP ÁN + BIỂU ðIỂM CHẤM TOÁN 12 (HỌC SINH GIỎI)
Câu 1 : (2,5 ñiểm) a)
* ðặt g(x) = f(x) + x -1 với x thuộc ñoạn [0;1] thì g(x) cũng liên tục trên ñoạn [0;1] (0,5ñ)
* g(0) = -1 <0 , g(1) = 1 >0. Suy ra tồn tại c thuộc khoảng (0;1) sao cho g(c)= 0
⇔ f(c) +c -1 = 0 hay f(c) = 1-c (0,5ñ)
b) áp dụng ñịnh lí Lagrăng cho f(x) trên ñoạn [0;c] và ñoạn [c;1] ta có :
∃a thuộc(0;c) sao cho : f '(a) =
c
cf
c
fcf )(
0
)0()(
=
−
−
(0,5ñ)
∃b thuộc (c;1) sao cho : f '(b) =
c
cf
c
cff
−
−
=
−
−
1
)(1
1
)()1(
(0,5
ñ)
* Rõ ràng a khác b và tích f '(a).f '(b) =
1
1
.
1
1
)(1
.
)(
=
−
−
=
−
−
c
c
c
c
c
cf
c
cf
(0,5ñ)
www.VNMATH.com
