ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TRỤC VÍT VÀ ỨNG
DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC

Mã số: T2022-06-26

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Phú Sinh

Đà Nẵng, 11/2023

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TRỤC VÍT VÀ ỨNG
DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC
Mã số: T2022-06-26

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài

KT. HIỆU TRƯỞNG (ký, họ tên)
PHÓ HIỆU TRƯỞNG

PGS. TS. Võ Trung Hùng TS. Nguyễn Phú Sinh

Mẫu 3. Thông tin kết quả nghiên cứu đề tài KH&CN cấp Trường

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thơng tin chung:
- Tên đề tài: Nghiên cứu lý thuyết trục vít và ứng dụng trong giải các bài tốn cơ

học
- Mã số: T2022-06-26
- Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Phú Sinh
- Thành viên tham gia:
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật
- Thời gian thực hiện: 3/2023 – 11/2023

2. Mục tiêu:
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết trục vít (screw theory)
- Ứng dụng lý thuyết trục vít để giải các bài tốn về cơ học

3. Tính mới và sáng tạo:
- Lý thuyết trục vít hiện được sử dụng rộng rãi trên thế giới trong việc giải
quyết các bài toán cơ học nhưng hiện nay lý thuyết vít vẫn chưa được nghiên
cứu phổ biến trong nước. Chính vì vậy tác giả đề xuất nghiên cứu này để tạo
tiền đề cho việc nghiên cứu, ứng dụng lý thuyết vít trong giải quyết các bài tốn

cơ học trong nghiên cứu và dạy học.

4. Tóm tắt kết quả nghiên cứu:
- Nghiên cứu này trình bày về cơ sở lý thuyết trục vít và ứng dụng trong phân
tích topology cơ cấu cũng như áp dụng phương pháp tính tích các hàm mũ tự
nhiên PoE để giải bài toán động học của cánh tay robot nối tiếp. Cơ sở lý
thuyết đã được áp dụng trong một số ví dụ phân tích topology chuỗi động học
hở và chuỗi động học kín. Sau đó, tác giả trình bày một ví dụ để giải bài tốn
động học thuận robot công nghiệp ABB-IRB 120 của hãng ABB. Kết quả
được kiểm nghiệm và so sánh với dữ liệu của nhà sản xuất. Lý thuyết trình bày
trong bài báo là cơ sở để nhóm cùng các nhà khoa học tiếp tục nghiên cứu và
áp dụng lý thuyết này để giải các bài tốn về mơ hình vận tốc, gia tốc và động
lực học robot.

1

5. Tên sản phẩm: Báo cáo về lý thuyết trục vít và ứng dụng trong giải các bài tốn
cơ học
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng
áp dụng:

- Kết quả nghiên cứu là cơ sở lý thuyết để áp dụng giải các bài toán cơ học. Nó
tạo tiền đề để giải các bài toán phức tạp trong cơ học.

- Kết quả nghiên cứu có thể để sử dụng làm cơ sở phát triển thành nội dung
giảng dạy tại các trường Đại học trong nước.

- Phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu: Báo cáo đề tài sẽ được nộp cho
Khoa Cơ khí và Thư viện, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật – Đại học Đà
Nẵng phục vụ cho giảng dạy và nghiên cứu của giảng viên và sinh viên.


7. Hình ảnh, sơ đồ minh họa chính

TM. Hội đồng Khoa Ngày 10 tháng 11 năm 2023
Chủ tịch
Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên) (ký, họ và tên)

XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
KT. HIỆU TRƯỞNG
PHÓ HIỆU TRƯỞNG

PGS. TS. Võ Trung Hùng

Mẫu 4. Thông tin kết quả nghiên cứu bằng tiếng Anh

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1. General information:
Project title: Screw theory and its application to mechanism analysis
Code number: T2022-06-26
Coordinator: TS. Nguyễn Phú Sinh
Implementing institution: University of Technology and Education – The
University of Da Nang
Duration: from 3/2023 to 11/2023

2. Objective(s):
- Study basics of screw theory
- Application of Screw theory to mechanism analysis


3. Creativeness and innovativeness:
Screw theory is widely used worldwide for solving mechanical problems

such as topology or structure model, kinematic analysis, velocity models…
However, this theory has not yet been studied and applied in Viet Nam. Therefore,
the author proposes this research to create a basis for researching and applying
screw theory in solving mechanical problems in both research and teaching.
4. Research results:

This study presents a theoretical foundation of the screw theory and its
application in topology or structure model as well as application of the product
of exponentials (POE) method to solve the kinematic problems of the serial
manipulators. This theory has been applied for topology analysis of open and closed
mechanisms. Then, the author also presents an example to solve the forward
kinematics model of an industrial manipulator ABB-IRB 120. Results are evaluated
by comparing with manufacturer data. The theory presented in this study is the
foundation for further research on solving inverse kinematics, velocity model,
acceleration and dynamics.
5. Products:

- A report of the screw theory and its application to mechanism analysis

6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability:
- This study results in the theoretical foundation for solving mechanical problems.
- This research results can be continued to improve and be used as a basis to
develop teaching content at universities.
- This study result will be transferred to the Department of Mechanical
Engineering and the Library of University of Technology and Education – The
University of DaNang for teaching and research purposes.


MỤC LỤC
MỤC LỤC....................................................................................................................... i
DANH MỤC HÌNH ẢNH............................................................................................iii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT........................................................................................iv
MỞ ĐẦU........................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRỤC VÍT............................................................4

1.1. Giới thiệu về lý thuyết trục vít...........................................................................4
1.2. Giới thiệu lý thuy ết trục vít h ữu hạn (Finite screw theory)...............................6
1.3. Lý thuyết trục vít t ức thời (Instantaneous screw theory).................................11
1.4. Một số phép tính v ề lý thuyết trục vít..............................................................13
1.5. Mối liên h ệ giữa trục vít h ữu hạn vàtr ục vít t ức thời........................................15
1.6. Thuật ngữ Twist vàWrench trong lý thuy ết trục vít........................................17
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TRỤC VÍT TRONG PHÂN TÍCH
TOPOLOGY CỦA KHỚP VÀ CHUỖI ĐỘNG HỌC...................................................20
2.1. Mơ hình topology c ủa các kh ớp.............................................................................20
2.2. Mô hình topology c ủa cơ cấu hở hay chuỗi động học hở.................................25
2.3. Mơ hình topology c ủa cơ cấu kín hay chu ỗi động học kín...................................31
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TRỤC VÍT PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC TAY
MÁY............................................................................................................................. 33
3.1. Phép bi ến đổi hệ trục tọa độ....................................................................................33

3.1.1 Biểu diễn vị tríc ủa một điểm trong khơng gian ba chi ều...............................33
3.1.2. Biểu diễn hướng của vật rắn vàma tr ận quay................................................34
3.1.3. Phép bi ến đổi thuần nhất..................................................................................37
3.2. Giải bài toán động học thuận tay máy b ằng phương pháp DH.............................41
3.3. Giải bài toán động học thuận tay máy b ằng lý thuyết trục vít............................48
3.3.1. Cơng th ức Rodrigues’......................................................................................48
3.3.2. Phép bi ến đổi sử dụng lý thuyết trục vít..........................................................50
3.3.3. Ứng dụng phép bi ến đổi của lý thuyết trục vít để giải bài tốn động học

robot ABB-IRB120...............................................................................................53

i

KẾT LUẬN.................................................................................................................. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................56
THUYẾT MINH ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG
HỢP ĐỒNG TRIỂN KHAI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP
TRƯỜNG
PHỤ LỤC HỢP ĐỒNG
MỤC LỤC MINH CHỨNG SẢN PHẨM ĐỀ TÀI

ii

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1. Lý thuy ết trục vít được giới thiệu bởi Robert Stawell Ball năm 1900................5
Hình 2. Lý thuyết trục vít h ữu hạn................................................................................7
Hình 3. Biểu diễn mơ hình v ận tốc tức thời................................................................12
Hình 4. Kh ớp quay.....................................................................................................21
Hình 5. Kh ớp tịnh tiến................................................................................................21
Hình 6. Khớp vít..........................................................................................................22
Hình 7. Khớp trụ.........................................................................................................23
Hình 8. Khớp U...........................................................................................................24
Hình 9. Khớp cầu........................................................................................................25
Hình 10. Cấu trúc chu ỗi động học hở [1]....................................................................26
Hình 11. Cấu trúc chu ỗi động học hở PPR.................................................................28
Hình 12. Chuỗi động hở UP........................................................................................31
Hình 13. Chuỗi động học kín.......................................................................................32
Hình 14. Bi ểu diễn tọa độ của điểm P trong hệ trục tọa độ Oxyz...............................34

Hình 15. Mơ hình robot cơng nghi ệp...........................................................................42
Hình 16. B ộ thơng s ố Denavit – Hartenberg....................................................................44
Hình 17. Robot RRR....................................................................................................46
Hình 18. Cơ sở lý thuy ết trục vít – Screw theory............................................................51
Hình 19. H ệ tọa độ và kích thước của robot ABB IRB120 (hình b cung c ấp bởi nhàs ản
xuất).............................................................................................................................. 53

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

DoF – Degrees of Freedom
P – Prismatic joint
R – Revolute
joint S – Spherial
joint
SM – Serial Mechanism
U – Universal

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên c ứu
Lý thuyết trục vít hay lý thuy ết vít (screw theory) làm ột trong các cơng c ụ toán h ọc
khá m ạnh để giải quyết các bài tốn v ề hình h ọc. Ngày nay, nó đã và đang được nhiều
nhàkhoa h ọc nghiên c ứu vàhoàn thi ện lý thuy ết này để hướng tới việc ứng dụng nó
để giải các bài tốn v ề cơ học máy như các cơ cấu truyền động, thiết kế, phân tích
robot... Lý thuyết trục vít được nghiên c ứu và phát tri ển bởi Ngài Robert Stawell Ball
[1] d ựa trên các nghiên c ứu của Julius Plücker về hình h ọc đường thẳng (geometry of
lines) vào thế kỷ 19 [2, 3]. Sau này, lýthuy ết này đã được Hunt [4] đề xuất để giải bài
toán v ận tốc trong robot. Trong nghiên c ứu này, Hunt đã đề xuất phương pháp mới xây
d ựng mơhình vận tốc của một cơ cấu robot song song bằng lý thuy ết trục vít. Angeles
và T sai [5,6] tiếp tục nghiên c ứu và phát tri ển phương pháp này để xây d ựng các ma
tr ận Jacobean của lực. Vànhi ều nghiên c ứu khác v ề lýthuyết trục vít trong cơ học như

Byungwoo Lee và Kazuhiro Saitou [ 11] trình bày phương pháp phân tích lắp ghép c ấu
trúc 3D dựa trên lýthuyết vít. Keerthi Sagar et. al. [ 12] trình bày k ết quả xây d ựng
chương trình có tên là STORM (Screw Theory Toolbox For Robot Manipulator and
Mechanisms), đây là công cụ được phát tri ển bằng ngôn ng ữ Python hỗ trợ phân tích
động học robot vàc ơ cấu cơ khíb ằng lý thuy ết trục vít. Qingcheng Chen et al. [ 13]
trình bày phương pháp biến đổi hệ trục tọa độ và ứng dụng trong giải bài toán động học
của một cánh tay robot 6 b ậc tự do. Rongbo Zhao et al. [14] đã trình bày phương pháp
phân tích động học của cánh tay robot nối tiếp 6 bậc tự do bằng lý thuyết trục vít
thay cho phương pháp truyển thống dùng B ảng thơng s ố động học DH (Danavit –
Hatenberg). Zhiwei Liao và các c ộng sự
[15] đã nghiên cứu và trình bày các phương pháp phân tích động học vàmơhình vận tốc
của cơ cấu robot song song kiểu 3-PSP dựa vào lý thuy ết trục vít. Qua đó chúng ta
nhận thấy rằng lý thuyết trục vít hi ện đang được nghiên c ứu và áp d ụng trong nhiều bài
toán cơ học trên th ế giới.

Theo tìm hi ểu của tác gi ả qua mạng internet vàcác bài báo trên các t ạp chíkhoa
học trong nước, tác gi ả nhận thấy rằng lý thuy ết này hi ện nay vẫn chưa được quan tâm,

1

nghiên c ứu và v ận dụng nhiều trong việc giải quyết các bài toán cơ học. Hầu hết các
phương pháp được áp d ụng phổ biến là phương pháp giải tích hoặc phương pháp hình
học. Chính vìv ậy nhóm tác gi ả đề xuất nghiên c ứu này để tạo tiền đề cho việc nghiên
cứu, ứng dụng lýthuyết trục vít trong gi ải quyết các bài tốn cơ học trong nghiên c ứu và
dạy học.

2. Mục tiêu
- Nghiên c ứu cơ sở lý thuyết trục vít hay lý thuyết trục vít (screw theory)
- Ứng dụng lý thuy ết trục vít để giải các bài tốn v ề cơ học


3. Phương pháp tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
- Nghiên c ứu các bài báo khoa h ọc về lý thuyết vít để tìm hi ểu các v ấn đề liên
quan đến lý thuyết vít.
- Nghiên c ứu lý thuyết và ứng dụng

4. Đối tượng nghiên c ứu

- Nghiên c ứu lý thuy ết trục vít
 Screw – Wrench - Twist
 Algebra of screws
 Coordinate transformation of screws
 Twists as elements of a Lie algebra

-Ứng dụng lý thuy ết giải các bài toán trong cơ học

5. Nội dung nghiên c ứu

Nghiên c ứu này trình bày v ề cơ sở lý thuyết trục vít và ứng dụng trong phân tích
topology cơ cấu cũng như áp dụng phương pháp tính tích các hàm mũ tự nhiên PoE để
giải bài toán động học của cánh tay robot n ối tiếp. Cơ sở lýthuyết đã được áp d ụng trong
một số víd ụ phân tích topology chu ỗi động học hở và chu ỗi động học kín. Sau đó, tác
giả trình bày m ột víd ụ để giải bài tốn động học thuận robot cơng nghi ệp ABB-IRB 120
của hãng ABB. K ết quả được kiểm nghiệm vàso sánh v ới dữ liệu của nhàs ản xuất. Lý
thuyết trình bày trong bài báo là cơ sở để nhóm cùng các nhà khoa h ọc tiếp tục nghiên

cứu và áp d ụng lý thuy ết này để giải các bài tốn v ề mơ hình v ận tốc, gia tốc và động
lực học robot.

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRỤC VÍT


1.1. Giới thiệu về lý thuy ết trục vít

Lý thuyết trục vít hay lý thuy ết vít (Screw theory) là m ột cơng c ụ toán h ọc
dùng để giải các bài toán v ề động học và động lực học các h ệ truyền động cơ khí. Năm
1763, Mozzi là người đầu tiên đề xuất lýthuyết này, mơt ả vận tốc góc c ủa vật rắn xung
quanh một trục và v ận tốc dài d ọc theo trục đó. Mozzi đặt tên cho tr ục này là tr ục
tức thời (Instantaneous axis) [1]. Nhưng đến năm 1900, ngài Robert Stawell Ball mới
hệ thống hóa thành lý thuy ết trong báo cáo “A Treatise on The Theory of
Screws”(hình 1) [2, 3]. Tuy nhiên, lýthuy ết này không thu hút được sự quan tâm c ủa
các nhàkhoa h ọc. Đến năm 1978, Hunt đã trình bày nghiên cứu đầu tiên ứng dụng lý
thuy ết trục vít c ủa Ball trrong việc giải bài tốn cánh tay robot [4]. Trong nghiên c ứu
này, Hunt trình bày phương pháp xây d ựng ma trận Jacobean dựa trên v ận tốc của tấm
di động thông qua các twist. Mơhình tốn h ọc thể hiện được sự liên h ệ giữa vận tốc của
khâu di động vàv ận tốc của cơ cấu chấp hành. Năm 1999 và năm 2004 Tsai và Hunt đã
phát triển lýthuy ết này tr ong việc giải các bài tốn động học hình h ọc [1]. Sau này,
Angeles và Tsai đề xuất phương pháp l ập ma trận Jacobean liên quan đến lực cũng như
ma trận Jacobean tổng quát bằng lý thuyết trục vít [5, 6]. Joshi và Tsai [ 8], Huang và
Liu [ 9, 10] giải bài toán động học cho robot nối tiếp vàsong song. Vànhi ều nghiên c ứu
khác v ề lý thuy ết trục vít trong cơ học như Byungwoo Lee và Kazuhiro Saitou [11]
trình bày phương pháp phân tích lắp ghép c ấu trúc 3D d ựa trên lý thuy ết vít. Keerthi
Sagar et. al. [ 12] trình bày kết quả xây dựng chương trình có tên là STORM (Screw
Theory Toolbox For Robot Manipulator and Mechanisms), đây là công cụ được phát tri
ển bằng ngôn ng ữ Python hỗ trợ phân tích động học robot và cơ cấu cơ khí bằng lýthuyết
trục vít. Qingcheng Chen et al. [13] trình bày phương pháp biến đổi hệ trục tọa độ và
ứng dụng trong giải bài toán động học của một cánh tay robot 6 b ậc tự do. Rongbo
Zhao et al. [14] đã trình bày phương pháp phân tích động học của cánh tay robot n ối

tiếp 6 bậc tự do bằng lý thuy ết trục vít thay cho phương pháp truyển thống dùng B
ảng thơng s ố động học DH (Danavit – Hatenberg).


Zhiwei Liao vàcác c ộng sự [15] đã nghiên cứu và trình bày các phương pháp phân tích
động học và mơ hình v ận tốc của cơ cấu robot song song kiểu 3-PSP dựa vào lý th uyết
trục vít. Qua đó chúng ta nhận thấy rằng lýthuy ết trục vít hi ện đang được nghiên c ứu và
áp d ụng trong nhiều bài toán cơ học trên th ế giới.

Hình 1. Lý thuy ết trục vít được giới thiệu bởi Robert Stawell Ball năm 1900
Theo tài li ệu [1], lý thuyết trục vít chia thành hai nhóm lý thuy ết là lý thuy ết trục

vít t ức thời (Instantaneous Screw Theory) và lý thuy ết trục vít h ữu hạn (Finite Screw
Theory).

Theo định lý Chasles hay Mozzi –Chasles' theorem cho rằng bất cứ chuyển động
của vật rắn có th ể được xem là sự tổ hợp của chuyển động quay quanh một trục vàt
ịnh tiến theo phương của trục đó. Độ dịch chuyển này cịn được gọi là d ịch chuyển trục
vít vàtr ục này có tên g ọi làtr ục Mozzi hay asse di Mozzi trong tiếng Italy.

Trong một số tài li ệu thìthu ật ngữ trục vít này b ắt nguồn từ định lý Mozzi mơ t ả
vận tốc góc c ủa vật rắn quay quanh một trục và theo đó là vận tốc tuyến tính c ủa vật rắn
dọc theo trục đó. Độ lớn của trục vít t ức thời được xác định bằng vận tốc góc và bước
vít (pitch), trong đó bước trục vít được xác định bằng tỷ số giữa vận tốc tuyến tính và
vận tốc góc. Nh ờ lý thuy ết này màchúng ta có th ể xác định được chuyển động tức thời
của vật rắn nhờ vào tr ục vít t ức thời biểu diễn bởi một cặp véc tơ, được gọi là t ọa độ
Plücker ( Plücker coordinates).

Nếu một vật rắn chuyển động dọc theo một quỹ đạo liên t ục thì có hai nhóm
chuyển động liên quan đến vị trí và hướng (pose) của vật rắn. Nhóm đầu tiên là quan
tâm đến toàn b ộ chuyển động (total motion) của vật rắn đối với vị trí ban đầu. Nhóm
chuyển động này g ọi là chuy ển động hữu hạn (Finite motion). Nhóm th ứ hai thìkhơng
quan tâm đến vị trí ban đầu của vật rắn, nóch ỉ quan tâm đến vận tốc tức thời của vật rắn
ở thời điểm hiện tại. Do đó nhóm này được gọi là chuy ển động tức thời (Instantaneous

motion)

Trong một số tài li ệu thì2 lý thuy ết trục vít hữu hạn vàtr ục vít t ức thời này được
gọi chung làlý thuy ết FIS (Finite and Instantaneous Screw Theory)

1.2. Giới thiệu lý thuy ết trục vít h ữu hạn (Finite screw theory)

Theo định lý Chales thìb ất cứ chuyển động của vật rắn có th ể xem là sự tổ chợp
của chuyển động quay quanh 1 trục vàt ịnh tiến song song với trục đó” (Hình 2). Chuyển
động này được gọi làs ự dịch chuyển trục vít (Screw displacement). Như vậy cóba thành
phần chính để biểu diễn chuyển động vít là: Tr ục Chasles hay cịn g ọi làtr ục vít h ữu hạn
(Finite Screw Axis), góc quay θ xung quanh trục đó và quãng đường dịch chuyển tịnh

tiến một đoạn t theo trục Chasles. Trước đây, việc biểu diễn chuyển động trục vít thì
thường biểu diễn dưới dạng ma trận nhóm Lie ho ặc dual quaternion. Sau này, m ột số
nhà khoa h ọc đã phát triển cách bi ểu diễn bằng dual quaternion sang biểu diễn bởi
cặp véc tơ hay gọi làdual vectors.

Hình 2. Lý thuyết trục vít h ữu hạn
Chuyển động hữu hãn của một vật rắn có v ị trí và hướng ban đầu đến một vị trí
và hướng mới bất kỳ thìcó th ể được biểu diễn bởi một dual quaternion đơn vị:

𝑫 = cos 𝜃̂ 𝜃̂ (1.1)
+ 𝑺
2 sin 2

Trong đó

𝑺 = 𝒔𝒇 + 𝜀(𝒓𝒇 × 𝒔𝒇) được gọi làdual vector mơ t ả trục vít (tr ục vít Chasles).


𝒔𝒇 là véc tơ đơn vị của trục vít Chasles

𝒓𝒇 là véc tơ vị tríc ủa 1 điểm bất kỳ nằm trên tr ục vít đối với hệ trục tọa độ tham chiếu.

𝜀 làdual unit v ới tính ch ất 𝜀2 = 0

𝜃̂= 𝜃 + 𝜀𝑡 làdual angle

Sau đó bằng cách tuy ến tính hóa hàm sin( 𝜃̂) vàcos( 𝜃̂)

Chúng ta có th ể biểu diễn Cơng th ức (1.1) thành m ột dual scalar vàm ột dual véc tơ:

𝜃+𝗌𝑡 𝜃+𝗌𝑡
𝑫 = cos + sin (1.2)
(𝒔 + 𝜀(𝒓 × ))
𝒔
2𝒇 𝒇 𝒇
2

Áp dụng công th ức Taylor:

cos 𝜃 + 𝜀𝑡 = cos − 𝜃 𝑡 sin 𝜃
2 2𝜀 2 2

sin 𝜃 + 𝜀𝑡 = sin + 𝜃 𝑡 cos 𝜃
2 2𝜀 2 2

Ta có:

𝑫 =(c𝒔os 𝜃 − 𝜀𝑡 sin𝜃 ) + ( sin𝜃 +(𝒓 𝜀 (sin 𝜃 × 𝒔 ) 𝑡 𝜃 )) (1.3)

2 𝒇 𝒇 + 2 cos 2 𝒔𝒇
2 22 2 𝒇

Chia phương trình (1.3) cho 1 cos 𝜃 vàs ắp xếp lại ta sẽ được một quasi vector sáu chi ều

2 2

(six-dimensional quasi-vector) như sau:

𝜃 𝒔𝒇 𝟎

𝑺𝒇 = 2𝑡𝑎𝑛 2 (𝒓𝒇 × 𝒔𝒇) + 𝑡 ( 𝒔𝒇) (1.4)

Với cách bi ểu diễn này, ta d ễ dàng th ấy 𝑺𝒇 có 2 thành ph ần: thành ph ần trước dấu
“+” biểu diễn chuyển động quay còn thành ph ần sau dấu “+” biểu diễn chuyển động tịnh
tiến.