ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG

----------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 10: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN
GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NĨN VÀ TRỤ TRỊN

GVHD:
Lớp:
Nhóm:

Cơ Huỳnh Thị Vu
L16
10

TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG

----------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 10: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN
GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NĨN VÀ TRỤ TRỊN

GVHD:
Lớp:
Nhóm:

Cơ Huỳnh Thị Vu
L16
10

TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022


DANH SÁCH THÀNH VIÊN

STT

Họ và tên

MSSV

Email

1

Trần Hồng Lam

2110309




2

Nguyễn Thị Mỹ Kim

2113857



3

Lý Quốc Kiệt

2113842



4

Nguyễn Thúc Lễ

2112713



5

Nguyễn Chí Linh


2111645



i


LỜI NĨI ĐẦU
Giải tích là một bộ mơn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vơ cùng
vĩ đại của văn minh lồi người. Nhắc đến Tốn học thì khơng thể khơng nhắc đến
Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa
vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của
bộ môn Đại số tuyến tính.
Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích khơng tập trung thiết lập và
thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ
phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp
dụng những cơng thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến... rồi áp dụng
những cơng thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là
trong các bài tốn kinh tế. Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần
không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ
thuật.
Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại
nghiêng về tính tốn tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những
cơng cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh
học,...
Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Tốn học, từ đó phát triển thành
nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã
được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các mơn đại cương, nhờ có những mơn
học cơ đọng như này mà góp phần có được cơng nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc

biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng.

ii


MỤC LỤC
DANH SÁCH THÀNH VIÊN ........................................................................... I
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................II
MỤC LỤC ........................................................................................................ III
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................. 1
1.1. TÍCH PHÂN KÉP .....................................................................................1
1.2. TÍCH PHÂN BỘI BA ...............................................................................3
1.3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG ..............................................................................5
1.4. TÍCH PHÂN MẶT ....................................................................................5
CHƯƠNG 2. CÁC MƠ HÌNH .......................................................................... 7
2.1. MƠ HÌNH CÂY BÚT CHÌ .......................................................................7
2.1.1. Tính thể tích V của mơ hình ...............................................................7
2.1.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình ..............................................8
2.1.3. Mơ hình trong thực tế .........................................................................9
2.2. MƠ HÌNH HỘP BÁNH ............................................................................9
2.2.1. Tính thể tích V của mơ hình .............................................................10
2.2.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình ............................................10
2.2.3. Mơ hình trong thực tế:......................................................................11
2.3. MƠ HÌNH TONDER ..............................................................................11
2.3.1. Tính thể tích V của mơ hình .............................................................12
2.3.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình ............................................12
2.3.3. Mơ hình trong thực tế .......................................................................14
2.4. MƠ HÌNH ĐỒ GỌT BÚT CHÌ ..............................................................14
2.4.1. Tính thể tích V của mơ hình .............................................................15
2.4.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình ............................................16

2.4.3. Mơ hình trong thực tế .......................................................................17
CHƯƠNG 3. BÀI TẬP .................................................................................... 18
3.1. YÊU CẦU ĐỀ BÀI .................................................................................18
3.2. CODE MATLAB ....................................................................................18

iii


3.3. ĐOẠN CODE VÀ KẾT QUẢ THỂ TÍCH THU ĐƯỢC .....................18
3.4. MƠ HÌNH VẬT THỂ .............................................................................19
CHƯƠNG 4. NHẬN XÉT ............................................................................... 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 21

iv


BẢNG PHÂN CHIA CƠNG VIỆC

Họ và tên

Cơng việc được giao

MSSV

Mức độ
hồn thành

Trần Hồng Lam

2110309


Cơ sở lý thuyết; lời nói đầu; bài tập;
tổng hợp chỉnh sửa file

Đạt

Nguyễn Thị Mỹ Kim

2113857 Mô hình hộp bánh, tính thể tích, diện
tích mặt mơ hình; bài tập

Đạt

Lý Quốc Kiệt

2113842

Mơ hình tonder, tính thể tích, diện
tích mặt mơ hình; bài tập; nhận xét

Đạt

Nguyễn Thúc Lễ

2112713

Mơ hình bút chì, tính thể tích, diện
tích mặt mơ hình; bài tập

Đạt


Nguyễn Chí Linh

2111645

Mơ hình gọt bút chì, tính thể tích,
diện tích mặt mơ hình; bài tập

Đạt

v


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Tích phân kép

Bài tốn: Cho z = f(x, y) > 0 là hàm hai biến xác định trên miền đóng D =
(x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d. Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi:Ω =
(x, y, z) ∈ D : 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ D.
Giải
Chia miền D bằng cách chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ ∆xi và đoạn [c, d]
thành các đoạn nhỏ ∆yi. Chúng ta thu được hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆D = ∆x.∆y.

Ta có thể xấp xỉ được thể tích V cần tìm bằng cách tính tổng các thể tích hình
hộp chữ nhật nhỏ với đáy là Dij có diện tích ∆Dij = ∆xij.∆yij và chiều cao làf (xij ∗ ,
yij ∗ ). Khi cộng tất cả những thể tích của những hình hộp chữ nhật nhỏ, ta sẽ xấp

xỉ được thể tích V cần tìm:

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 1

NHĨM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Khi m, n → ∞, V dần đến một đại lượng tích phân gọi là tích phân kép:

Định lý Fubini: Cho f(x, y) ≥ 0∀(x, y) ∈ D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c
≤ y ≤ d.

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực:

Hệ tọa độ cực (r, φ) xác định một điểm có tọa độ (x, y) như sau:

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 2

NHĨM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN


GIẢI TÍCH 2

r 2 = x2 + y2
x = r cos φ
y = r sin φ
Chuyển từ tọa độ Decartes sang tọa độ cực Nếu hàm z = f(x, y) liên
tục và xác định trên miền D có 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ φ ≤ β, khi đó:

• Tính diện tích miền D:

• Tính khối lượng mảnh phẳng:
với ρ(x, y)là hàm mật độ khối lượng.
• Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z = f(x, y) và z = 0 bao quanh
là các mặt trụ song song với trục Oz:

1.2. Tích phân bội ba

Cho hàm 3 biến f(x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong không
gian Oxyz. Chia V thành n phần không giẫm lên nhau V1, V2, ..., Vn có thể tích
tương ứng là ∆V1, ∆V2, ..., ∆Vn.

GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU

TRANG 3

NHÓM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN


GIẢI TÍCH 2

Ta có thể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ. Khi ấy mỗi
miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz.
Khi đó ta xấp xỉ thể tích V bằng tổng thể tích của các miền nhỏ và đại lượng
này khi có số khoảng chia càng lớn thì tiến dần đến đại lượng tích phân gọi là tích
phân bội ba. Định nghĩa:

Định lý Fubini cho tích phân bội ba: hàm f(x, y, z) xác định và liên tục
trên miền B = [a, b]x[c, d]x[r, s], khi đó:

Ứng dụng của tích phân bội ba:
• Tính thể tích khối Ω:

• Tính khối lượng vật thể:

với ρ(x, y, z) là hàm mật độ khối lượng.

GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU

TRANG 4

NHÓM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2


1.3. Tích phân đường
Bài tốn dẫn đến tích phân đường loại 1: Cho một cung C: y = y(x), a ≤ x
≤ b có khối lượng riêng theo độ dài ρ(x, y). Tìm khối lượng của cung C.
Giải
• Chia C ra làm rất nhiều đoạn nhỏ bởi các điểm chia P0, P1, ..., Pn. Khi ta
chia đủ nhỏ thì mỗi cung xem như một đoạn thẳng và khối lượng trên mỗi
đoạn dây là không đổi.

• Khối lượng của mỗi cung nhỏ là ρ(xi, yi).∆li với ∆li là độ dài cung [Pi−1, Pi]
và

• Từ đó, tổng khối lượng cung C được xấp xỉ bởi công thức:

• Khi n → ∞, ∆li → 0, Sn dần đến một đại lượng tích phân:

Ý nghĩa hình học: Tích phân đường loại một ∫c f(x, y)dl,(f(x, y) ≥ 0) là phần
diện tích giới hạn bởi đường cong C trong hệ trục tọa độ Oxy, các đường sinh song
song với trục Oz và hình chiếu của đường cong C lên mặt cong z = f(x, y).
1.4. Tích phân mặt
Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại 1: Cho mặt cong S : z = z(x; y) có
mật độ khối lượng là ρ(x, y, z). Tính khối lượng mặt cong này.

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 5

NHĨM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN


GIẢI TÍCH 2

Giải
• Chia mặt S thành nhiều mảnh nhỏ Sij với diện tích là ∆Sij và khối lượng riêng
tương ứng là ρij = ρ(xij; yij; zij).
• Khối lượng mặt S được xấp xỉ bởi:

• Khi n, m → ∞, S dần đến một đại lượng tích phân:

• Giả sử một mảnh nhỏ dS có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là một hình chữ
nhật có diện tích dx.dy và tạo với mặt phẳng Oxy một góc φ. Ta có:

Ta chuyển tích phân mặt về tích phân kép:

Tính chất:
• Diện tích mặt S được tính bởi cơng thức:

• Khối lượng mặt cong:

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 6

NHÓM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2


CHƯƠNG 2. CÁC MƠ HÌNH
2.1. Mơ hình cây bút chì
Ta có mơ hình được giới hạn bởi:

x 2 + y 2  − z + 10( paraboloid )
z2
(nón)
9
x 2 + y 2  0.25(hình tru )

x2 + y 2 

Mơ hình vật thể được vẽ trên Geogebra
2.1.1. Tính thể tích V của mơ hình
• Ta có: Tọa độ cực của miền (là đường trịn bán kính 0.5):
x = r cos 
y = r sin 
0    2
0  r  0.5

• Thể tích của mơ hình là:

V =  1dxdydz =  (


D

10 − x 2 − y 2




9 x +9 y
2

1dz )dxdy
2

=  (10 − x 2 − y 2 − 9 x 2 + 9 y 2 )dxdy
D

2

0.5

=  d  (10 − r 2 − 3r )rdr
0

0

=

GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU

71

64
TRANG 7

NHÓM 10



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

2.1.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình
2.1.2.1. Phần mặt paraboloid
2
2
• S: z = 10 − x − y bị chắn bởi trụ: x + y = 0.25

2

•

2

dS = 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy

• Tọa độ cực miền D:
x = r cos 
y = r sin 
0    2
0  r  0.5

• Diện tích:

S paraboloid =  1dS =  1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy
S


2

=

 d 
0

D

0.5

1 + 4r 2 rdr = 0.95736

0

2.1.2.2. Phần mặt nón
• S: z = 3 x 2 + y 2 bị chắn bởi trụ: x2 + y 2 = 0.25
•


x
dS = 1 + 9 
 x2 + y 2


• Tọa độ cực miền D:

2




y
 + 9

 x2 + y 2



2


 = 10dxdy



x = r cos 
y = r sin 
0    2
0  r  0.5

• Diện tích:

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 8

NHÓM 10



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

S nón =  1dS =  10dxdy
S

=

D

2

0.5

0

0

 d 

10rdr = 2.48365

2.1.2.3. Phần bề mặt trụ
•

x2 + y 2 = 0.25 với R=0.5

• Diện tích:


2.1.3. Mơ hình trong thực tế

2.2. Mơ hình hộp bánh
Ta có mơ hình được giới hạn bởi:
𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 1
𝑧 = −√𝑥 2 + 𝑦 2 − 4

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 9

NHĨM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Mơ hình vật thể được vẽ trên Geogebra
2.2.1. Tính thể tích V của mơ hình
2𝜋

cos(𝑥)2 −sin(𝑥)2

1

𝑉 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟
0


0

∫

2𝜋

1

𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(cos(𝑥)2 − sin(𝑥)2 + 𝑟 + 4)𝑑𝑟

−𝑟−4

0

0

2𝜋

1

2𝜋

1

= ∫ cos(𝑥)2 − sin(𝑥)2 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 + ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(𝑟 + 4)𝑑𝑟 =
0

0

0


0

115𝜋
24

2.2.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình
2.2.2.1. Phần mặt nón
• 𝑧 = −√𝑥 2 + 𝑦 2 − 4
−𝑥
• 𝑧′𝑥 = 2 2 ; 𝑧′𝑦 =
√𝑥 +𝑦

−𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2

• 𝑑𝑆 = √1 + (𝑧 ′ 𝑥)2 + (𝑧 ′ 𝑦)2 = √2𝑑𝑥𝑑𝑦
• 𝐷 ∈ 𝑂𝑥𝑦 ∶ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4
• Diện tích:
2𝜋 4

𝑆 = ∬ 𝑑𝑆 = ∫ ∫ √2𝑟𝑑𝑟 = 16√2𝜋
0

0

2.2.2.2. Phần mặt parabolic hyperbolic
• 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2
• 𝑧 ′ 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑧 ′ 𝑦 = −2𝑦
• 𝑑𝑆 = √1 + (𝑧 ′ 𝑥)2 + (𝑧 ′ 𝑦)2 = √1 + 4𝑥 2 + 4𝑦 2

• Diện tích:

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 10

NHĨM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2
2𝜋 1

𝑆 = ∫ ∫ √1 + 4𝑟 2 𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋
0

0

1
(−1 + 5√5)
12

2.2.2.3. Phần mặt trụ lấy mặt trong
• 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 → 𝑦 = √1 − 𝑥 2
• 𝐼 = ∬𝑆 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧
• 𝑛⃗ = (

−𝑥


√𝑥 2 +𝑦 2

; −1; 0)

• Diện tích:
𝑆 = −∬

−𝑥 2 𝑦
√1 − 𝑥 2

2𝜋 1

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑟 3 (cos(𝑥))2 𝑑𝑟 =
0

0

𝜋
3

2.2.3. Mơ hình trong thực tế:

2.3. Mơ hình tonder
Ta có mơ hình được giới hạn bởi:
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4
2 − √𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑧 ≤ 6 − 𝑥 2

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

TRANG 11


NHĨM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Mơ hình vật thể được vẽ trên Geogebra
2.3.1. Tính thể tích V của mơ hình
0≤𝑟≤2
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )
Ta có: {
→ { 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡 )
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡
6−[𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)]2

𝑉 = ∬𝐷 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 ∫2−𝑟

𝑑𝑧

2𝜋

2

2

2𝜋


2

2𝜋

= ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝑟. [4 − (𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )) + 𝑟]𝑑𝑟
2

= ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝑟. (4 + 𝑟)𝑑𝑟 − ∫0 [cos(𝑡 )]2 𝑑𝑡 ∫0 𝑟 3 𝑑𝑟
= 2𝜋. (2𝑟 2 +
=

52
3

𝑟3
3

2

)| − (

𝑡+sin(2𝑡)

0

2

)|

2𝜋

0

𝑟4

2

4

0

∙ ( )|

𝜋

2.3.2. Tính diện tích các bề mặt của mơ hình
2.3.2.1. Phần mặt nón
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)
•
→
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡)

0≤𝑟≤2
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡
2

• 𝑆𝑛ó𝑛 = ∫ 𝑑𝑆𝑛ó𝑛 = ∬𝐷: 𝑥2 +𝑦2≤4 √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑧𝑥′ =


• Ta có: { ′
𝑧𝑦 =

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

−𝑥
√𝑥 2 +𝑦 2
−𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2

TRANG 12

NHÓM 10


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

2

→ √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) = √1 + (

−𝑥
√𝑥 2

+ 𝑦2

)2 + (


2𝜋

2

−𝑦
√𝑥 2 + 𝑦 2

) = √2

2

• Thể tích: 𝑆𝑛ó𝑛 = ∬𝐷 𝑟√2𝑑𝑟𝑑𝑡 = √2 ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝑟𝑑𝑟 = 4√2 𝜋
2.3.2.2. Phần mặt trụ
2
[
2]
• Gọi S1 là phần mặt trụ: {𝑦 = √4 − 𝑥 , 𝑥 ∈ −2;
0 ≤ 𝑧 ≤ 6 − 𝑥2
• 𝑆𝑡𝑟ụ = ∫ 𝑑𝑆𝑡𝑟ụ = 2 ∫𝑦≥0 𝑑𝑆1 = 2 ∬𝐷 √1 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑧

• Ta có: {

𝑦𝑥′

𝑥𝑧

𝑥

= − √4−𝑥2
𝑦𝑧′ = 0

→ √1 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 = √1 +

𝑥2
2
=
4 − 𝑥 2 √4 − 𝑥 2

• Diện tích:
2

𝑆𝑡𝑟ụ = 2 ∫
=

6−𝑥 2

2
√4 −

𝑥2

2

𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑧 = 2 ∫

−2
2
12
2 ∫−2 √4−𝑥2 𝑑𝑥

0


−2
2

2
√4 −

𝑥2

∙ (6 − 𝑥 2 )𝑑𝑥

−2𝑥 2

+ 2 ∫−2 √4−𝑥2 𝑑𝑥

𝑥

2

2

−2

= 2. [12 sin−1 ( )]|

1

𝑥

2


2

2

−2

+ 2. [ 𝑥√4 − 𝑥 2 − 4 sin−1 ( )|

= 24𝜋 − 8𝜋 = 16𝜋
2.3.2.3. Phần mặt para
2

• 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎 = ∫ 𝑑𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎 = ∬𝐷: 𝑥2 +𝑦2≤4 √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦
• Ta có:

𝑧𝑥′ = −2𝑥
{ ′
𝑧𝑦 = 0

2

√1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) = √1 + 4𝑥 2

→

0≤𝑟≤2
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)
0
≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

{
→{
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡)
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡
• Diện tích:
2

𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎 = ∬ 𝑟√1 + 4(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )) 𝑑𝑟𝑑𝑡
𝐷
2𝜋

2
2

= ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑟√1 + 4(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )) 𝑑𝑟
0

GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU

0

TRANG 13

NHĨM 10