lOMoARcPSD|31122810

Bài giảng Giải tích 1 - Nguyễn Hữu Hiệp
Giải tích 1 (Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Đà Nẵng)

Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()


lOMoARcPSD|31122810

Đại học Quốc gia TP.HCM
Trường Đại học Bách Khoa
Bộ môn Tốn Ứng dụng
.

Bài Giảng Giải Tích 1

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
E-mail:

Ngày 8 tháng 9 năm 2014

Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()


lOMoARcPSD|31122810

Mục tiêu mơn học
• Mơn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình
vi phân.

• Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính tốn, biết vận dụng giải các
bài tốn cụ thể.
• Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.

Tài liệu tham khảo
1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005
2) Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập tốn cao cấp 1.
3) Đỗ Cơng Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia

Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()


lOMoARcPSD|31122810

MỤC
1

2

3

Giới hạn và liên tục
1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bài tập . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . . .
1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . .
1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . .
1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . . .
1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . .

1.2.6 Các hàm lượng giác ngược
1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . .
1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . .
1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . .
1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . .
1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . .
1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . .
1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . .
1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . .

LỤC
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


5
5
10
11
11
12
14
15
16
16
17
18
18
19
19
21
22
26
29

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

33
33
33
36
37
38
41
41
45
52
52
54
57
58
61

Tích phân
3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
65

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


Đạo hàm và vi phân
2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . .
2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa
2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . .
2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


lOMoARcPSD|31122810

MỤC LỤC

3.2
3.3


4

MỤC LỤC

3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định
3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ . . . . . . .
3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác . . . . .
3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ . . . . . . . .
Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . .
3.3.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . .
3.3.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . .
3.3.3 Thể tích vật thể trịn xoay . . . . . . .
3.3.4 Diện tích mặt trịn xoay . . . . . . . .

Phương trình vi phân
4.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . .
4.1.1 Phương trình vi phân tách biến .
4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp .
4.1.3 Phương trình vi phân tồn phần
4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính
4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli .
4.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . .
4.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . .
4.2.1 PTVP cấp 2 thuần nhất . . . . . .
4.2.2 PTVP cấp 2 - dạng 1 . . . . . . .
4.2.3 PTVP cấp 2 - Dạng 2 . . . . . . .
4.2.4 PTVP cấp 2 - dạng 3 . . . . . . .

4.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . .
4.3.1 Ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . .
4.3.2 Hệ phương trình vi phân . . . .
4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ . . . . . . . . . . .
4.5 Đề thi cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . .

Đại học Bách khoa TPHCM

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

Trang 4

Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

65
66
68
70
73
75
78
78
79
80
81


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

83
83
83
85
86
88
90
91
95
95
95
97

97
98
98
98
101
102

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


lOMoARcPSD|31122810

CHƯƠNG 1. GIỚI
1.1

HẠN VÀ LIÊN TỤC

Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf của tập hợp) Cho tập A ⊂ R.
• Cận trên nhỏ nhất của tập A gọi là Supremum, ký hiệu sup(A).
• Cận dưới lớn nhất của A gọi là infimum, ký hiệu inf(A).
Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0.
Chú ý tập max(A) = 0 nhưng min(A) không tồn tại. Khái niệm sup và inf là mở rộng của max
và min.
1
b) A = { |n ∈ N } thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0.
n
c) A = (−∞, 3) thì sup(A) = 3 nhưng khơng có inf
Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R.

u : N −→ R
n 7→ u(n) := un .
Ký hiệu 1 dãy số (un )+∞
n=1 hay đơn giản (un ). un gọi là số hạng thứ n của dãy.
Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un ) = {1; −2; 1; 4; 0; −5, 8; −3;
Số hạng thứ 5 là u5 = 0.
b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un ) : un =

√

3, − 13 , ...}.

(−1)n + n
.
n2 + 1

3
(−1)7 + 7
= .
2
7 +1
25
(
u1 = 1
c) Cho dãy số dạng truy hồi (un ) :
un+1 = 2un + 3, n ≥ 1.
Ta có u2 = 2u1 + 3 = 5, u3 = 2u2 + 3 = 13, ...
Số hạng thứ 7 là u7 =

Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) .

Dãy số (xn ) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N
Dãy số (xn ) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N
Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt).
Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu.
Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn ) : xn =

n+1
.
n+2

Ta có

(n + 2)2 − (n + 1)(n + 3)
1
(n + 1) + 1 n + 1
−
=
=
> 0, ∀n.
xn+1 − xn =
(n + 1) + 2 n + 2
(n + 3)(n + 2)
(n + 3)(n + 2)
=⇒ xn+1 > xn suy ra (xn ) là dãy tăng.
5
Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()


lOMoARcPSD|31122810


1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Cách khác
1
x+1
> 0.
, x ≥ 1 =⇒ f ′ (x) =
Xét f (x) =
x+2
(x + 2)2
Vậy f (x) đồng biến nên (un ) là dãy tăng.
Định nghĩa 1.4 (Dãy số bị chặn) .
Dãy (xn ) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤ M, ∀n.
Dãy (xn ) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m, ∀n.
Dãy (xn ) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Dãy (xn ) bị chặn khi và chỉ khi (|xn |) bị chặn trên.
Ví dụ 1.4 Xét tính bị chặn của dãy số (xn ) : xn =
Ta có 0 <

n
.
n+1

n
< 1, ∀n ∈ N . Suy ra (xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn.
n+1

Định nghĩa 1.5 (Dãy con) .

Cho dãy (xn ). Dãy con của (xn ) là một dãy (xnk )k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn ) theo
thứ tự tăng dần của chỉ số.
Ví dụ 1.5


n
3 2 5 3
= −1, 1, , , , , . . . .
Cho dãy (xn ) : xn = 2
n −2 
7 7 23 17

3 5 3
Dãy vn = −1, , , , . . . là một dãy con của xn .
7 23 17

2n
2 3
Dãy x2n =
= 1, ,
. . . là dãy con các chỉ số chẵn của xn .
(2n)2 − 2
7 17

3 5
2n + 1
= −1, , , . . . là dãy con các chỉ số lẻ của xn .
Dãy x2n+1 =
(2n + 1)2 − 2
7 23

n→+∞

Định nghĩa 1.6 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim un = a hay un −−−−→ a được định nghĩa
n→+∞

∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε

Ta nói dãy (un ) hội tụ về a.
Nếu (un ) không hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ.

n→+∞

Định nghĩa 1.7 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim un = +∞ hay un −−−−→ +∞ được
n→+∞

định nghĩa

∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A.

Ta nói dãy (un ) hội tụ về a.
Nếu (un ) khơng hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ.
Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞.

Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có
i)
ii)

lim (xn ± yn ) = a ± b.

iii)


lim (xn .yn ) = ab.

iv)

n→+∞

n→+∞

Đại học Bách khoa TPHCM

lim

n→+∞

xn
a
= , b 6= 0.
yn
b

lim |xn | = |a|.

n→+∞

Trang 6

Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp



lOMoARcPSD|31122810

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

Định lý
1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất.
2. Dãy hội tụ thì bị chặn.
3. Cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ n0 .
(
xn −→ a
=⇒ yn −→ a.
zn −→ a
4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5.
xn → a ⇐⇒

(

x2n → a
x2n+1 → a.

Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn =
dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu

n

1
lim 1 +
=e
n→∞
n



1
1+
n

n

là

Số e là số vơ tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828...

Các giới hạn cơ bản
1
i) lim α = 0, α > 0.
n→∞ n
1
ii) lim α = 0, α > 0.
n→∞ ln n

iv) lim

n→∞


v) lim

n→∞

iii) lim q n = 0, |q| < 0.

√
n


nα = 1, ∀α.

1+

a n
= ea , ∀a.
n

n→∞

Các dạng vô định
0 ∞
, , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , +∞0 , 00+
0 ∞
Khi tính giới hạn dạng vơ định, ta dùng cơng thức hoặc biến đổi
đại số để khử dạng vô định.
Nếu giới hạn khơng phải dạng vơ định, ta tính bình thường.
Đại học Bách khoa TPHCM

Trang 7


Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


lOMoARcPSD|31122810

1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Quy tắc

1
1
= ∞,
= 0.
0
∞

lnα n ≪ nβ (β > 0) ≪ an (a > 1) ≪ n! ≪ nn

Dấu ≪ chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ
chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần
về vơ cùng.
Ví dụ 1.6
ln5 n
a) lim √ = 0.
n→∞

n

3n
= 0.
n→∞ n!

b) lim

2n
= +∞.
n→∞ n100

c) lim

log52 n
= 0.
d) lim
n→∞ 3n

Ví dụ 1.7 Tính các giới hạn sau
2n3 − 3n
.
a) I = lim
n→∞ 4n + 3n2
∞
Dạng . Đại lượng n3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho n3 .
∞
3
2− 2
n = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0).

I = lim
3
n→∞ 4
+
2
n
n
2n3 − 4n+1
b) I = lim n
.
n→∞ 3 − 22n−1 + 5n7
∞
Dạng . Đại lượng 4n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n .
∞
n3
2 n −4
0−4
4
I = lim
=
= 8.
7
1
n→∞ 3
1
n
n
0− +0
( ) − +5 n
2

4
2
4
√
c) I = lim n2 + 4n − n + 1.
n→∞

Dạng ∞ −√∞. Nhân lượng
√ liên hợp.
2
6n2 +4n− 6n2
∞
( n + 4n − n)( n2 + 4n + n)
√
+ 1 lim √
+ 1. Dạng .
I = lim
n→∞
n→∞
∞
n2 + 4n + n
n2 + 4n + n
Chia cả tử và mẫu cho n.
4
4
I = lim q
+ 1 = 3.
+1= √
n→∞
1+0+1

1 + n4 + 1
√
n

r

√ 4
1
1 1
n4 (3 − 4 ) = lim n n (3 − 4 ) n = 1.30 = 1.
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
√
Tương tự, ta có thể chứng minh n Pm → 1 với mọi đa thức Pm .
v
v
1

u
u
4n n
4n
4n
r
u
u
2− n

2− n
2− n
n+1
2u
− 4n
n 2
2 = 2 . Vì lim u
2 = lim 
2 
n
n
u
u
e) I = lim
=
lim
 =

n→∞
n→∞ 3 t
n→∞ t
n→∞
5n3
5n3
5n3
3n + 5n3
3
1+ n
1+ n
1+ n

3
3
3
20 = 1.

d) I = lim

3n4 − 4n3 = lim

Đại học Bách khoa TPHCM

n

Trang 8

Downloaded by Nguy?n Thanh Quang ()

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


lOMoARcPSD|31122810

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ


2
ln 2
ln2 (2n)

(ln 2 + ln n)2
f) I = lim
+ 1 = (0 + 1)2 = 1.
= lim
= lim
n→∞ ln2 n
n→∞
n→∞
ln n
ln2 n
√
n sin n!
.
g) I = lim
n→∞
n + 1


√
√

n sin n!

n




.
Ta có 0 ≤


≤


n+1 √ n+1



√
√

n sin n!

n
n sin n!




Vì lim 0 = lim
= 0 =⇒ lim
= 0 nên lim

= 0.