BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

NGUYỄN TRUNG HIẾU

BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN 1
(Lưu hành nội bộ)

ĐỒNG THÁP - 2023


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

NGUYỄN TRUNG HIẾU

BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN 1
(Lưu hành nội bộ)

ĐỒNG THÁP - 2023


Mục lục
Lời nói đầu

3

1

Giới hạn và đạo hàm của hàm số một biến số

5

1.1

Giới hạn của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Một số khái niệm cơ bản trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3

Giới hạn hàm số của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.1.4


Tính liên tục cả hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.2.1

Đạo hàm của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.2.2

Vi phân của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.2.3

Ứng dụng của đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67


Tích phân của hàm số một biến số

72

2.1

Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.1.1

Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.1.2

Tính chất của nguyên hàm và nguyên hàm của một số hàm số cơ bản .

74

2.1.3

Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm một biến số . . . . . . . . . .

77

Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


80

2.2.1

Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2.2.2

Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.2.3

Ứng dụng của phép tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . .

94

1.2

2

2.2

2.3

Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1



2.3.1

Khái niệm tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.3.2

Khảo sát tính hội tụ của tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 108

Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3

Lý thuyết chuỗi
3.1

3.2

3.3

115

Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.1

Các định nghĩa và tính chất cơ bản của chuỗi số . . . . . . . . . . . 116

3.1.2

Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


Dãy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2.1

Dãy hàm và sự hội tụ của dãy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2.2

Tính chất hàm số giới hạn của dãy hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . 126

Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.1

Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3.2

Tính chất hàm số tổng của chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . 129

3.3.3

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Tài liệu tham khảo

136

2



Lời nói đầu
Học phần Giải tích cổ điển 1 trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản về
giới hạn và tính liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm, tích phân của hàm số một biến số
và chuỗi số. Đây là học phần bổ sung hồn thiện những kiến thức về giải tích trong tốn học
phổ thơng, địi hỏi kĩ năng tính tốn và lập luận chính xác. Học phần đóng vai trị nền tảng
quan trọng để sinh viên tiếp cận với những kiến thức và kĩ năng trong những học phần thuộc
Giải tích hiện đại trong chương trình đào tạo.
Mục tiêu của học phần này nhằm giúp sinh viên phân tích, vận dụng những kiến thức của
giải tích vào giải được thành thạo một số dạng toán cơ bản và giải quyết được một số vấn đề
có liên quan đến giới hạn và tính liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm, tích phân của hàm
số một biến số và chuỗi số. Đồng thời, học phần này cũng góp phần rèn luyện, phát triển các
thành tố năng lực toán học như tư duy và lập luận tốn học, mơ hình hóa tốn học, giải quyết
vấn đề tốn học, giao tiếp tốn học; hình thành được kỹ năng học tập, nghiên cứu toán học; có
được tinh thần trách nhiệm, ý thức tự học và tự nghiên cứu.
Cụ thể, học viên cần đạt được những mục tiêu sau đây khi kết thúc học phần này:
- Về kiến thức:
(1) Vận dụng được các kiến thức liên quan đến những khái niệm và tính chất cơ bản về giới
hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích phân của hàm số một biến số và
chuỗi số để giải bài tập, giải tốn phổ thơng và giải quyết những học phần có liên quan.
(2) Phân tích được các kiến thức toán liên quan đến những khái niệm và tính chất cơ bản về
giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích phân của hàm số một biến số
và chuỗi số liên hệ được với các nội dung tốn học ở chương trình tốn phổ thông, đáp
ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu.
- Về kĩ năng:
(1) Làm chuẩn xác được ví dụ minh họa cho những khái niệm, tính chất cơ bản; sử dụng linh
hoạt các kiến thức về giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích phân của
3



hàm số một biến số và chuỗi số để giải quyết vấn đề trong nhiều tình huống khác nhau
như trong giải tốn, thuyết trình giải thích vấn đề, trong tự học và tự nghiên cứu.
(2) Thực hiện thành thạo kỹ năng giải thích trình bày vấn đề; vận dụng chuẩn xác các kỹ năng
phát hiện và giải quyết các vấn đề, các kỹ năng giao tiếp toán học, phản biện, kỹ năng tự
học, tự bồi dưỡng, tự đánh giá và kỹ năng thích ứng, làm việc nhóm.
- Về mức độ tự chủ và trách nhiệm:
(1) Thực hiện gương mẫu các nội quy của đơn vị công tác, các quy định pháp luật của Nhà
nước và quy định đạo đức nghề nghiệp của nhà giáo.
(2) Làm việc độc lập hoặc làm việc theo nhóm trong điều kiện thay đổi, chịu trách nhiệm cá
nhân và trách nhiệm đối với nhóm, có thể tự lập kế hoạch, quản lý và điều phối một số
hoạt động như hoạt động tự học, tự nghiên cứu.
Tài liệu được biên soạn dựa vào các tài liệu tham khảo được trình bày ở trang 136 với điểm
khác biệt cơ bản là cấu trúc theo đề cương học phần trong chương trình đào tạo Sư phạm Tốn
học của Trường Đại học Đồng Tháp. Trong mỗi nội dung cụ thể, chúng tôi cố gắng minh họa
phương pháp giải, bài tập cơ bản và bài tập nâng cao.
Dù đã rất cố gắng, tài liệu chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được ý kiến đóng góp. Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ:
TS. Nguyễn Trung Hiếu, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp, 783
Phạm Hữu Lầu, phường 6, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp
Email: ; Phone: 0939 428 941
Đồng Tháp, ngày 05 tháng 9 năm 2023

4


Chương 1
Giới hạn và đạo hàm của hàm số một
biến số
1.1
1.1.1


Giới hạn của hàm số một biến số
Một số khái niệm cơ bản trên tập số thực

Tập hợp số tự nhiên N = {1, 2, 3, . . . } là cơ sở của phép đếm. Do trong N không có những
phần tử mà tổng với 1 hoặc 2 , . . . bằng 0 nên người ta xây dựng tập hợp số nguyên Z =
{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. Sau đó, người ta thấy rằng khơng có phần tử nào trong Z mà tích với
2 hoặc với 3 mà bằng 1. Do đó, người ta xây dựng tập hợp số hữu tỉ Q = { mn : m ∈ Z, n ∈ N}.
√
Tuy nhiên, trong tập hợp số hữu tỉ Q khơng có những số như 2, e, π, . . . . Do đó, cần thiết mở
rộng tập hợp số hữu tỉ thành một hợp hợp số rộng hơn. Tập hợp đó là tập hợp số thực R. Có
nhiều phương pháp xây dựng tập hợp số thực như phương pháp tiên đề, phương pháp lát cắt,
phương pháp dãy số hữu tỉ Cauchy.
Trong mục này, chúng ta tìm hiểu việc xây dựng tập số thực bằng phương pháp dãy số hữu
tỉ Cauchy. Lưu ý rằng trong giải tích, nhiều số thựcn
được xem
n onhư là giới hạn của một dãy số
hữu tỉ, chẳng hạn số e là giới hạn của dãy số hữu tỉ
1 + 1n
. Điều này gợi ý cho việc định
nghĩa một số thực là giới hạn của một dãy số hữu tỉ. Cách làm này chưa thỏa đáng vì hai dãy số
hữu tỉ có cùng một giới hạn phải xem như xác định cùng một số thực. Goi E là tập hợp các số
hữu tỉ có cùng giới hạn. Ta xây dựng trên E một quan hệ tương đương R như sau: Hai dãy số
hữu tỉ Cauchy được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một giới hạn. Khi đó, ta định nghĩa
một số thực là một phần tử của tập thương E/R. Những ý tưởng trên được cụ thể như sau.
Định nghĩa 1.1.1. Dãy số hữu tỉ {rn } được gọi là dãy Cauchy (Cauchy sequence) nếu với mỗi
số hữu tỉ ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho với m, n ≥ N ta có |rm − rn | < ε.
5



n
o
Mệnh đề 1.1.2. Kí hiệu E = {rn } ⊂ Q : {rn } là dãy Cauchy . Khi đó
(1) Nếu {rn } ∈ E thì tồn tại số hữu tỉ M sao cho |rn | ≤ M với mọi n ∈ N.
(2) Nếu {rn }, {sn } ∈ E thì {−rn } ∈ E, {rn + sn } ∈ E và {rn .sn } ∈ E.
n
o
Mệnh đề 1.1.3. Trên E = {rn } ⊂ Q : {rn } là dãy Cauchy , xét hai quan hệ R như sau:
{rn }R{sn } nếu với mỗi số hữu tỉ ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N ta
có |rn − sn | < ε. Khi đó
(1) R là quan hệ tương đương trên E, nghĩa là
(a) {rn }R{rn } với mọi {rn } ∈ E.
(b) Nếu {rn }R{sn } thì {sn }R{rn } với mọi {rn }, {sn } ∈ E.
(c) Nếu {rn }R{sn } và {sn }R{tn } thì {sn }R{tn } với mọi {rn }, {sn }, {tn } ∈ E.
n
o
(2) Lớp tương đương chứa phần tử {rn } ∈ E là [{rn }] = {sn } ∈ E : {rn }R{sn } .
n
o
(3) Tập thương của E theo quan hệ tương đương R là E/R = [{sn }] : {rn } ∈ E .
(4) Nếu {rn }R{sn } và {tn }R{un } thì {rn + tn }R{sn + un } và {rn .tn }R{sn .un }
với mọi {rn }, {sn }, {tn }, {un } ∈ E.
Định nghĩa 1.1.4. Kí hiệu tập thương E/R là R. Các phần tử của R được gọi là các số thực,
nghĩa là mỗi số thực là một lớp tương đương. Tập R được gọi là tập số thực.
Định nghĩa 1.1.5 (Phép cộng và phép nhân số thực). Giả sử x, y ∈ R, {rn } là dãy hữu tỉ Cauchy
thuộc lớp tương đương x và {sn } là dãy hữu tỉ Cauchy thuộc lớp tương đương y. Khi đó
(1) Dãy {rn + sn } là một phần tử của E và lớp tương đương chứa dãy {rn + sn } chỉ phụ thuộc
vào x và y. Ta kí hiệu lớp tương đương này là x + y. Số thực x + y được gọi là tổng của hai
số thực x và y.
(2) Dãy {rn .sn } là một phần tử của E và lớp tương đương chứa dãy {rn .sn } chỉ phụ thuộc vào

x và y. Ta kí hiệu lớp tương đương này là x.y. Số thực x.y được gọi là tích của hai số thực
x và y.
(3) Dãy {−rn } là một phần tử của E. Ta kí hiệu lớp tương đương chứa dãy {−rn } là −x. Số
thực −x được gọi là số thực đối của x.
(4) Lớp tương đương chứa dãy Cauchy (0, 0, . . . ) là phần tử trung hịa đối với phép cộng và
được kí hiệu là 0.
6


(5) Lớp tương đương chứa dãy Cauchy (1, 1, . . . ) là phần tử trung hòa đối với phép nhân và
được kí hiệu là 1.
Nhận xét 1.1.6 (Tính chất của phép cộng và phép nhân trong số thực). (1) Giả sử x, y, z ∈ R,
{rn } là dãy hữu tỉ Cauchy thuộc lớp tương đương x, {sn } là dãy hữu tỉ Cauchy thuộc lớp
tương đương y, {tn } là dãy hữu tỉ Cauchy thuộc lớp tương đương z. Khi đó, (x + y) + z
là lớp tương đương chứa dãy {(rn + sn ) + tn } và x + (y + z) là lớp tương đương chứa dãy
{rn + (sn +tn )}. Vì {(rn + sn ) +tn } = {rn + (sn +tn )} nên (x + y) + z = x + (y + z). Do đó,
phép cộng trong R có tính chất kết hợp.
(2) Bằng lập luận tương tự, chúng ta cũng thấy rằng phép cộng trong R có tính chất giao hốn,
phép nhân trong R có tính kết hợp, giao hốn và có tính phân phối đối với phép cộng.
Bổ đề 1.1.7. Giả sử x là số thực khác 0. Khi đó tồn tại số hữu tỉ α > 0 và dãy số hữu tỉ Cauchy
{rn } thuộc lớp tương đương x sao cho |rn | ≥ α với mọi n ∈ N.
Bằng cách sử dụng Bổ đề 1.1.7, ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.1.8. Giả sử x là số thực khác 0, {rn } là dãy hữu tỉ Cauchy thuộc lớp tương đương
x. Khi đó, bằng cách sử dụng Bổ đề 1.1.7, ta chứng minh được dãy {rn−1 } thuộc E. Ta kí hiệu
lớp tương đương chứa dãy {rn−1 } là x−1 . Số thực x−1 được gọi là phần tử nghịch đảo của số
thực khác không x.
Nhận xét 1.1.9. Xét ánh xạ ϕ : Q −→ R xác định bởi ϕ(r) = [(r, r, . . . )] với r ∈ Q. Khi đó,
ϕ là đẳng cấu từ Q lên ϕ(Q) ⊂ R. Do đó, ta đồng nhất mỗi số hữu tỉ Q với ảnh ϕ(r) của nó
trong R.
Kí hiệu R+ là tập hợp các số thực x mà có dãy hữu tỉ Cauchy {rn } thuộc lớp tương đương

x sao cho rn ≥ 0 với mọi n ∈ N.
Định lí 1.1.10. Trên R+ xét quan hệ ≤ như sau: x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R+ . Khi đó, ≤ là một quan
hệ thứ tự trong R. Hơn nữa, R là tập sắp thứ tự tồn phần.
Để phục vụ cho lí thuyết giới hạn, người ta bổ sung vào tập số thưc R hai kí hiệu là +∞ và
−∞. Khi đó, tập R = R ∪ {±∞} được gọi là tập số thực mở rộng. Các số thực khác ±∞ được
gọi là các điểm hữu hạn của R. Tập R là tập sắp thứ tự tồn phần.
Các phép tốn trên R = R ∪ {±∞} được quy ước như sau:
(1) (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.
(2) (+∞) × (+∞) = +∞, (−∞) × (−∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = (−∞) × (+∞) = −∞.
7



+∞
(3) x × (+∞) = (+∞) × x =
−∞

−∞
(4) x × (−∞) = (−∞) × x =
∞
(5)

x
±∞

= 0 với mọi x ∈ R,

x
0


nếu x > 0
nếu x < 0.
nếu x > 0
nếu x < 0.

= +∞ nếu x > 0, 0x = −∞ nếu x < 0.

√
(6) | ± ∞| = +∞, k +∞ = +∞, −∞ < x < +∞ với mọi x ∈ R.
Trong giải tích, người ta thường xét các tập con sau trong R và được gọi là các khoảng.
(1) [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
(2) (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.
(3) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
(4) (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
(5) Với ε > 0, khoảng có dạng (a − ε, a + ε) được gọi là một lân cận của a với bán kính ε.
Định nghĩa 1.1.11. Cho E là tập con của tập số thực R. Khi đó
(1) Số thực a được gọi là cận dưới (lower bound) của tập E nếu a ≤ x với mọi x ∈ E.
(2) Số thực b được gọi là cận trên (upper bound) của tập E nếu x ≤ b với mọi x ∈ E.
(3) Tập hợp E được gọi là bị chặn dưới (bị chặn trên) nếu E có một cận dưới (cận trên).
(4) Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu E bị chặn dưới và bị chặn trên.
(5) Số thực a được gọi là phần tử bé nhất của tập E nếu a ∈ E và a ≤ x với mọi x ∈ E. Kí hiệu
a = min E.
(6) Số thực b được gọi là phần tử lớn nhất của tập E nếu b ∈ E và x ≤ b với mọi x ∈ E. Kí
hiệu b = max E.
Ví dụ 1.1.12. Xét E = (0, 1]. Khi đó, cận dưới của E là (−∞, 0], cận trên của E là [1, +∞),
max E = 1 và E khơng có phần tử nhỏ nhất. Tập E là tập bị chặn.
Nhận xét 1.1.13. (1) Phần tử bé nhất và phần tử lớn nhất (nếu có) của tập E là duy nhất.
(2) Mọi tập hợp hữu hạn không rỗng E trong R đều có phần tử bé nhất và phần tử lớn nhất.
8



(3) Mọi tập hợp hữu hạn không rỗng E trong R đều bị chặn.
Định nghĩa 1.1.14. Cho E là tập con của tập số thực R. Khi đó
(1) Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của E được gọi là cận dưới đúng (greatest lower
bound) của E. Kí hiệu là inf E.
(2) Phần tử nhỏ nhất trong các cận trên của E được gọi là cận trên đúng (least upper bound)
của E. Kí hiệu là sup E.
Ví dụ 1.1.15. Xét E = (0, 1]. Khi đó, inf E = 0 và sup E = 1.
Nhận xét 1.1.16. (1) Nếu a là phần tử nhỏ nhất (phần tử lớn nhất) của E thì a = sup E (a =
inf E ).
(2) a = inf E khi và chỉ khi −a = sup(−E).
(3) Mọi tập hợp số E đều có cận trên đúng và cận dưới đúng trong R. Hơn nữa




 hữu hạn nếu E khác rỗng và bị chặn trên,
sup E = −∞
nếu E = 0,
/



+∞
nếu E không bị chặn trên
và






 hữu hạn
inf E = +∞



−∞

nếu E khác rỗng và bị chặn dưới,
nếu E = 0,
/
nếu E không bị chặn dưới.

Nhận xét 1.1.17. (1) Với a ∈ R, a = inf E nếu và chỉ nếu a thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) a ≤ x với mọi x ∈ E.
(2) Với mọi a0 > a, tồn tại x0 ∈ E sao cho x0 < a0 .
Lưu ý rằng điều kiện (b) có thể thay bởi: Với mọi ε > 0, tồn tại x0 ∈ E sao cho x0 < a + ε.
(2) Với b ∈ R, b = sup E nếu và chỉ nếu b thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) x ≤ b với mọi x ∈ E.
(2) Với mọi b0 < b, tồn tại x0 ∈ E sao cho x0 > b0 .
Lưu ý rằng điều kiện (b) có thể thay bởi: Với mọi ε > 0, tồn tại x0 ∈ E sao cho x0 > b − ε.

9


Định nghĩa 1.1.18 (Giá trị tuyệt đối). Cho x là số thực. Khi đó, max{x, −x} được gọi là giá
trị tuyệt đối của x và kí hiệu là |x|.
Nhận xét 1.1.19 (Tính chất của giá trị tuyệt đối). Với x, y ∈ R, ta có




nếu x > 0,

x
(1) |x| =

0



−x

nếu x = 0,
nếu x < 0.

(2) −|x| ≤ x ≤ |x|.
(3) |x| = | − x|.
(4) |x + y| ≤ |x| + |y|.








(5)
|x| − |y|
≤ |x − y| ≤ |x| + |y|.
(6) Với M ≥ 0, ta có |x| ≤ M ⇐⇒ −M ≤ x ≤ M.

(7) |xy| = |x|.|y|.

x
|x|



(8)

=
với y 6= 0.
y
|y|

1.1.2

Giới hạn dãy số

Trước hết chúng ta xét một số ví dụ cụ thể như sau.
Ví dụ 1.1.20. Biết rằng một cặp thỏ trưởng thành (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ cuối
mỗi tháng lại sinh ra một cặp thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái). Khi tròn hai
tháng tuổi, sau mỗi tháng, cặp thỏ mới cũng lại sinh một cặp thỏ con mới. Quá trình sinh nở
cứ thế tiếp diễn và khơng có con thỏ nào bị chết. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu cặp thỏ nếu ban
đầu có một cặp thỏ con?
Giải. Số cặp thỏ tháng thứ nhất là u1 = 1.
Số cặp thỏ tháng thứ hai là u2 = 1.
Số cặp thỏ tháng thứ ba là u3 = 1 + 1 = 2.
Số cặp thỏ tháng thứ tư là u4 = 1 + 2 = u2 + u3 .
Tiếp tục quá trình này thì số cặp thỏ tháng thứ n là un = un−2 + un−1 .
Ví dụ 1.1.21. Một người gửi tiết kiệm a đồng với lãi suất khơng đổi r% một kì hạn. Hỏi tổng

số tiền người đó nhận được sau n kì hạn là bao nhiêu?
10


Giải. Số tiền gửi ban đầu là u0 = a.
r
r
Số tiền kì hạn thứ nhất là u1 = u0 + 100
u0 = a(1 + 100
).
r
r 2
Số tiền kì hạn thứ hai là u2 = u1 + 100
u1 = a(1 + 100
) .

Tiếp tục quá trình này thì số tiền kì hạn thứ n là
un = un−1 +

r
r n
un−1 = a(1 +
) .
100
100

Ví dụ 1.1.22. Một cây trong 10 năm đầu mỗi năm cao thêm 1 m. Từ năm thứ 11 trở đi cây đó
cao thêm một nửa chiều cao tăng thêm của năm trước đó. Hãy ước lượng chiều cao tối đa của
cây đó.
Giải. Chiều cao của cây tới hết năm thứ 10 là 10 m.

Chiều cao tính bằng mét của cây tới hết năm thứ 11 là h11 = 10 + 12 .
Chiều cao tính bằng mét của cây tới hết năm thứ 12 là
1 1 1
1 1
h12 = 10 + + . = 10 + + .
2 2 2
2 4
Tiếp tục quá trình này thì chiều cao của cây tới hết năm thứ 10 + n là
1

1
1
1 1 − 2n−1
1
h10+n = 10 + + · · · + n = 10 + .
= 11 − n−1 .
1
2
2
2 1− 2
2
Khi n càng lớn thì

1
2n−1

càng nhỏ. Do đó chiều cao tối đa của cây xấp xỉ 11 m.

Khái niệm dãy số và một số khái niệm thường gặp liên quan đến dãy số được phát biểu
như sau, ở đây tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, · · · , n, · · · } và tập số tự nhiên khác không

N∗ = {1, 2, 3, · · · , n, · · · }; kí hiệu tập các số nguyên là Z, tập các số hữu tỉ là Q, tập các số
thực là R.
Định nghĩa 1.1.23 (Dãy số). Cho ánh xạ u : N∗ −→ R. Khi đó các giá trị u(n) = un với mọi
n ∈ N∗ , được gọi là một dãy số (sequence of numbers) và được kí hiệu là {un }n , {un } hay
u1 , u2 , · · · , un , · · · Ở đây un được gọi là số hạng thứ n (nth -term) của dãy số.
Để xác định dãy số {un } chúng ta thường xác định giá trị của un bằng một công thức tổng
quát hoặc truy hồi, xem Ví dụ 1.1.25 và Ví dụ 1.1.33. Những loại dãy số thường gặp được phát
biểu như sau.
Định nghĩa 1.1.24. Giả sử {un } là một dãy số. Khi đó
(1) Dãy {un } được gọi là tăng (increasing) nếu un ≤ un+1 với mọi n ∈ N∗ .
11