EUREKA! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 1. DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
1. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB
Đại học KTQD. ĐH KTQD.
2. Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010). Giáo trình Giải
tích 1. NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.
3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Tốn học cao cấp tập
II. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục.

Free Video Playlists
1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:

/>
4. GIẢI TÍCH 2:

/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:

/>
5. TOÁN CAO CẤP NEU:

7. KINH TẾ LƯỢNG:

/> />
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />DONATE cho Eureka! Uni
* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh

*Momo: 0986.960.312


2

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

DẠNG 1. DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 2. XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY VÀ TÍNH GIỚI
HẠN
- Dãy đơn điệu và bị chặn
|𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀, 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0
- Cauchy

DẠNG 3. TÍNH GIỚI HẠN Ở DẠNG VƠ ĐỊNH
Các dạng vơ định:
0/0

∞/∞

0∞


Các giới hạn cơ sở:

Giới hạn
lim 𝑛𝑛𝛼𝛼 = +∞ (𝛼𝛼 > 0)
𝑛𝑛→+∞

lim 𝑛𝑛𝛼𝛼 = 0 (𝛼𝛼 < 0)

𝑛𝑛→+∞

lim 𝑎𝑎𝑛𝑛 = +∞ (𝑎𝑎 > 1)

𝑛𝑛→+∞

𝑛𝑛

lim 𝑎𝑎 = 0 (𝑎𝑎 < 1)

𝑛𝑛→+∞

1 𝑛𝑛
lim �1 + � = 𝑒𝑒
𝑛𝑛→+∞
𝑛𝑛

∞−∞
Ví dụ

1∞
lim √𝑛𝑛 = +∞

1
lim 𝑚𝑚 = 0
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛

𝑛𝑛→+∞

lim 2𝑛𝑛 = +∞

𝑛𝑛→+∞

1 𝑛𝑛
lim � � = 0
𝑛𝑛→+∞ 2

Các quy tắc tính giới hạn
Nếu 𝑢𝑢𝑛𝑛 → 𝑎𝑎 và 𝑣𝑣𝑛𝑛 → 𝑏𝑏 ta có:
lim(𝑐𝑐𝑢𝑢𝑛𝑛 ) = 𝑐𝑐𝑐𝑐

lim(𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎𝑎𝑎

lim(𝑢𝑢𝑛𝑛 ± 𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎 ± b

lim (𝑢𝑢𝑛𝑛 /𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎/𝑏𝑏 (𝑏𝑏 ≠ 0)

Quy tắc kẹp
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook



Eureka! Uni - YouTube

3

Eureka Uni (facebook.com)

Nếu 𝑣𝑣𝑛𝑛 < 𝑢𝑢𝑛𝑛 < 𝑤𝑤𝑛𝑛 và lim 𝑣𝑣𝑛𝑛 = lim 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 thì:
𝑛𝑛→+∞

𝑛𝑛→+∞

lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑎𝑎

𝑛𝑛→+∞

Nếu 𝑢𝑢𝑛𝑛 → 0, |𝑣𝑣𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀 thì: lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 0
𝑛𝑛→+∞

Bài 2. Chứng tỏ rằng các dãy sau đây là hội tụ và tìm giới hạn của
chúng, 𝑛𝑛 ≥ 1:

1. 𝑥𝑥𝑛𝑛 =
3. 𝑥𝑥𝑛𝑛 =
Giải

1. 𝑥𝑥𝑛𝑛 =

𝑛𝑛+1

2. 𝑥𝑥𝑛𝑛 =


𝑛𝑛

1

4. 𝑥𝑥𝑛𝑛 =

𝑛𝑛2 +1

𝑛𝑛

𝑛𝑛+1
𝑛𝑛

𝑛𝑛2 +1

𝑛𝑛+1
𝑛𝑛

Với 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có

Lại có:

𝑛𝑛 + 2
𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 2)
=
=
=
<1

𝑛𝑛 + 1 (𝑛𝑛 + 1)2 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 + 1
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛
⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu giảm

1
> 1 ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn dưới.
𝑛𝑛
Từ 2 điều trên ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ.
1
𝑛𝑛 + 1
= lim �1 + � = 1 + 0 = 1
lim
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛
𝑛𝑛→+∞
𝑛𝑛
2. 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có:
𝑛𝑛 + 1
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 + 2 (𝑛𝑛 + 1)2 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 + 1
= 𝑛𝑛 =
=
>1
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 2)
𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
𝑥𝑥𝑛𝑛 = 1 +

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook


Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


4

Eureka! Uni - YouTube

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu tăng.
Lại có:

Eureka Uni (facebook.com)

1
< 1 ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn trên.
𝑛𝑛 + 1
1
𝑛𝑛
= lim �1 −
lim
�=1−0=1
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + 1
𝑛𝑛→+∞
𝑛𝑛 + 1
3. Với 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có.
1
𝑛𝑛2 + 1
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1)2 + 1
=
=
<1

1
(𝑛𝑛 + 1)2 + 1
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛2 + 1
⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu giảm.
𝑥𝑥𝑛𝑛 = 1 −

Lại có 𝑥𝑥𝑛𝑛 > 0 ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn dưới

Suy ra 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ.

4. Dãy số:

1
0
1
𝑛𝑛2
lim 2
= lim
=
=0
1
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + 1
𝑛𝑛→+∞
1
+
0
1+ 2
𝑛𝑛


Với 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có:

𝑥𝑥𝑛𝑛 =

𝑛𝑛
𝑛𝑛2 + 1

𝑛𝑛 + 1
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1)2 + 1 (𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛2 + 1)
=
=
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛[(𝑛𝑛 + 1)2 + 1]
𝑛𝑛2 + 1
𝑛𝑛3 + 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 1
= 3
<1
𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛)
⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu giảm.
Lại có 𝑥𝑥𝑛𝑛 > 0 ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn dưới.
Suy ra 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ.

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


5


Eureka! Uni - YouTube

1
𝑛𝑛

Eureka Uni (facebook.com)

0
𝑛𝑛
=
lim
=
=0
1
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛2 + 1
𝑛𝑛→+∞
1
+
0
1+ 2
𝑛𝑛
lim

Bài 3. Tìm giới hạn của các dãy số sau (nếu hội tụ):

2) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛, 𝑎𝑎 > 0

1) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛

𝑛𝑛


3

3) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + √1 − 𝑛𝑛3
5) 𝑥𝑥𝑛𝑛 =
Giải

4) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = sin 𝑛𝑛
2

sin2 𝑛𝑛−cos3 𝑛𝑛
𝑛𝑛

𝜋𝜋
2

1. 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có:

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1) − �(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1)
=
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛 − √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
(𝑛𝑛 + 1) + �(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1)
=
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛
(𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛�
=
𝑛𝑛 �(𝑛𝑛 + 1) + �(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1)�

=
=

𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + (𝑛𝑛 + 1)√𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛

𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + 𝑛𝑛�(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1)

𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + (𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)

(𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)
𝑛𝑛�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)

𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + 𝑛𝑛�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)

√𝑛𝑛 + 1�(𝑛𝑛 − 1) √𝑛𝑛2 − 1
=
=
<1
𝑛𝑛
√𝑛𝑛2

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


6

Eureka! Uni - YouTube


Eureka Uni (facebook.com)

⇒ (𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) < 𝑛𝑛�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) ⇒

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu giảm.

𝑥𝑥𝑛𝑛+1
<1
𝑥𝑥𝑛𝑛

Lại có: 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 = √𝑛𝑛2 − √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 > 0
⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn dưới.

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ.

Tìm giới hạn

𝐴𝐴2 − 𝐵𝐵2
𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) ⇒ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 =
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵
2

2

lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 = lim �𝑛𝑛 − �𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛2 − (𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛)

𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛
1

1
𝑛𝑛
1
= lim
= lim
=
=
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛
𝑛𝑛→+∞
1 1+1 2
1 + �1 −
𝑛𝑛
2. Với 𝑛𝑛 ≥ 1 và 𝑎𝑎 > 0 ta có:
𝑛𝑛→+∞

𝑛𝑛→+∞

𝑛𝑛→+∞

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 �(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 1 + 𝑎𝑎) − (𝑛𝑛 + 1)
=
𝑥𝑥𝑛𝑛
�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛
=
=
=

�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛
𝑎𝑎(𝑛𝑛 + 1)
×

𝑎𝑎𝑎𝑎
�(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 1 + 𝑎𝑎) + (𝑛𝑛 + 1)
√𝑛𝑛�√𝑛𝑛 + 1 + 𝑎𝑎 + √𝑛𝑛 + 1�

√𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu tăng
Lại có:

𝑥𝑥𝑛𝑛 =

√𝑛𝑛 + 1�√𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 + √𝑛𝑛�
√𝑛𝑛2

+ 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)

𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛2

�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn trên.

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

=

𝑎𝑎𝑎𝑎

�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛


<

>1

𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎
=
2𝑛𝑛 2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


7

Eureka! Uni - YouTube

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ.

Eureka Uni (facebook.com)

lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 = lim ��𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛→+∞

𝑛𝑛→+∞

= lim

𝑛𝑛→+∞

3. Với 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có:


𝑎𝑎

�1 +

3

𝑎𝑎
+1
𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1) − �(𝑛𝑛 + 1)3 − 1
=
3
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛 − √𝑛𝑛3 − 1
=

(𝑛𝑛 +

1)2

3

𝑎𝑎
𝑎𝑎
=
1+1 2

𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 √𝑛𝑛3 − 1 + �(𝑛𝑛3 − 1)2

3

+ (𝑛𝑛 + 1) �(𝑛𝑛 +

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu giảm.
Lại có:

3

=

𝑛𝑛→+∞ �𝑛𝑛(𝑛𝑛

3

1)3

3

− 1 + �((𝑛𝑛 +

3

1)3

𝑎𝑎𝑎𝑎

+ 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛

− 1)^2


<1

3

𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − �𝑛𝑛3 − 1 = �𝑛𝑛3 − �𝑛𝑛3 − 1 > 0

⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn dưới.
⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ.

lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 = lim ��𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛→+∞

𝑛𝑛→+∞

= lim

𝑛𝑛→+∞

𝑎𝑎

�1 +

𝑛𝑛
𝜋𝜋
4) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = sin 𝑛𝑛 ,
2
2


𝑎𝑎
+1
𝑛𝑛

=

𝑛𝑛→+∞ �𝑛𝑛(𝑛𝑛

𝑎𝑎
𝑎𝑎
=
1+1 2

𝑎𝑎𝑎𝑎

+ 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛

sin2 𝑛𝑛 − cos 3 𝑛𝑛
5) 𝑥𝑥𝑛𝑛 =
𝑛𝑛

Cauchy: |𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 đúng với mọi 1 ≤ 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝜀𝜀 > 0

4. Với 𝑘𝑘 ≥ 1 ta có:

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook



8

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

𝜋𝜋
2𝑘𝑘 + 1
𝜋𝜋 2𝑘𝑘
(
)
|𝑥𝑥2𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥2𝑘𝑘 | = �
sin 2𝑘𝑘 + 1 −
sin �2𝑘𝑘 ��
2
2
2
2
1 1
2𝑘𝑘 + 1
2𝑘𝑘 + 1
𝜋𝜋
=�
sin(2𝑘𝑘 + 1) � = �
� = 𝑘𝑘 + >
2 2
2
2
2


1

Dễ thấy với mọi 𝜀𝜀 < thì chuẩn Cauchy khơng được thỏa mãn.
⇒ 𝑢𝑢𝑛𝑛 phân kỳ.

5. Dãy số:

2

1
(sin2 𝑛𝑛 − cos 3 𝑛𝑛)
𝑛𝑛
Với 𝑛𝑛, 𝑚𝑚 ≥ 1 và 𝜀𝜀 > 0 ta có:
𝑥𝑥𝑛𝑛 =

sin2 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) − cos 3 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) sin2 𝑛𝑛 − cos 3 𝑛𝑛
|𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | = �
−
�
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚
𝑛𝑛
sin2 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) cos 3 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) sin2 𝑛𝑛 cos 3 𝑛𝑛
=�
−
−
+
�
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚

𝑛𝑛 + 𝑚𝑚

sin2 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)
sin2 𝑛𝑛
cos3 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)
cos3 𝑛𝑛
≤�
�+�
�+�
�+�
�
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚
𝑛𝑛
1
1
1
1
1
1
1
1
≤�
�+� �+�
�+� �<� �+� �+� �+� �
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚
𝑛𝑛

𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
4
4
= < 𝜀𝜀 ⇔ 𝑛𝑛 >
𝑛𝑛
𝜀𝜀

|𝑎𝑎| − |𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑏𝑏|,

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


9

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

4

Theo 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝑛𝑛0 = � �. Lúc đó, với mọi 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0 và 𝑚𝑚 ∈
𝜀𝜀


ℕ∗ ta ln có:

|𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀

Tiêu chuẩn Cauchy được thỏa mãn, nên dãy đã cho hội tụ.
Tính giới hạn:

Với mọi 𝑛𝑛 ≥ 1 ta có:

|sin2 𝑛𝑛 − cos 3 𝑛𝑛| ≤ |sin2 𝑛𝑛| + |cos 3 𝑛𝑛| ≤ 2

Lại có:

⇒ �sin2 𝑛𝑛 − cos3 𝑛𝑛� bị chặn

1
1
= 0 ⇒ là vô cùng bé
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛
𝑛𝑛
Nên, áp dụng quy tắc kẹp, ta được:
lim

lim

𝑛𝑛→+∞

sin2 𝑛𝑛 − cos3 𝑛𝑛

𝑛𝑛


1
(sin2 𝑛𝑛 − cos3 𝑛𝑛) = 0
𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛

= lim

Bài 4. Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, hãy chứng minh
a) Dãy 𝑢𝑢𝑛𝑛 = sin
b) Dãy số 𝑢𝑢𝑛𝑛 =
c) Dãy số 𝑢𝑢𝑛𝑛 =
Giải

𝑛𝑛𝑛𝑛

phân kỳ;

32
cos 1!
1.2

sin 1
2

+

+

cos 2!
2.3


sin 2
22

+ ⋯+

+ ⋯+

cos 𝑛𝑛!
𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)

sin 𝑛𝑛
2𝑛𝑛

hội tụ;

hội tụ

a) Với mọi 𝑘𝑘 ≥ 1 ta có:

(64𝑘𝑘 + 16)𝜋𝜋
64𝑘𝑘𝑘𝑘
− sin
�
32
32
𝜋𝜋
𝜋𝜋
= �sin � + 2𝑘𝑘𝑘𝑘� − sin 2𝑘𝑘𝑘𝑘� = �sin � = 1
2

2
Như vậy, với mọi số 0 < 𝜀𝜀 < 1 thì:
|𝑢𝑢64𝑘𝑘+16 − 𝑢𝑢64𝑘𝑘 | > 𝜀𝜀
|𝑢𝑢64𝑘𝑘+16 − 𝑢𝑢64𝑘𝑘 | = �sin

⇒ Tiêu chuẩn Cauchy không được thỏa mãn ⇒ 𝑢𝑢𝑛𝑛 phân kỳ.

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

10

Eureka Uni (facebook.com)

Free Video Playlists

1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:

/>
4. GIẢI TÍCH 2:


/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:

/>
5. TOÁN CAO CẤP NEU:
7. KINH TẾ LƯỢNG:

/> />
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />DONATE cho Eureka! Uni
* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

*Momo: 0986.960.312

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook