Eureka Uni _ Giải Tích 1 _ Ch1 P1 _ Chứng Minh Gh Dãy Số Bằng Định Nghĩa (1).Pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.96 KB, 7 trang )
EUREKA! UNI – YOUTUBE
GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh
Tài liệu tham khảo
1. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB
Đại học KTQD. ĐH KTQD.
2. Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010). Giáo trình Giải
tích 1. NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.
3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Tốn học cao cấp tập
II. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục.
Free Video Playlists
1. ĐẠI SỐ:
/>
2. GIẢI TÍCH 1:
/>
3. GIẢI TÍCH:
/>
4. GIẢI TÍCH 2:
/>
5. TỐN CAO CẤP NEU:
/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:
/>
7. KINH TẾ LƯỢNG:
/>
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />
DONATE cho Eureka! Uni
* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
*Momo: 0986.960.312
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
1
Eureka! Uni - YouTube
Eureka Uni (facebook.com)
1. Định nghĩa và kí hiệu dãy số
𝑢: ℕ∗ → ℝ
Một số kí hiệu 𝑥𝑛 , 𝑢𝑛 , {𝑢𝑛 }1∞ , {𝑢𝑛 }
𝑢𝑛 là số hạng thứ 𝑛 trong dãy.
2. Tính đơn điệu và bị chặn
Đơn điệu tăng:
𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 ⇔
𝑢𝑛+1
≥ 1,
𝑢𝑛
∀𝑛
𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 ⇔
𝑢𝑛+1
≤ 1,
𝑢𝑛
∀𝑛
Đơn điệu giảm:
Bị chặn trên:
𝑢𝑛 ≤ 𝑀,
∀𝑛
𝑢𝑛 ≥ 𝐿,
∀𝑛
Bị chặn dưới:
Bị chặn:
|𝑢𝑛 | ≤ 𝐾,
∀𝑛
3. Giới hạn dãy số và sự hội tụ/phân kỳ
3.1. Giới hạn hữu hạn
Dãy 𝑢𝑛 có giới hạn bằng 𝐿, hay 𝑢𝑛 hội tụ đến 𝐿 nếu khoảng cách
giữa 𝑢𝑛 và 𝐿 có thể thu hẹp một cách tùy ý. Tức là:
∀ 𝜀 > 0 bé tùy ý, ∃ 𝑛0 sao cho ∀ 𝑛 > 𝑛0 thì:
|𝑢𝑛 − 𝐿| < 𝜀
Kí hiệu:
lim 𝑢𝑛 = 𝐿
𝑛→+∞
Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
2
Eureka! Uni - YouTube
Eureka Uni (facebook.com)
1.2
1
0.8
𝑢𝑛 =
1
𝑛
0.6
0.4
0.2
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
0
Nếu 𝐿 = 0, ta gọi 𝑢𝑛 là một vô cùng bé (VCB).
Dãy 𝑢𝑛 không hội tụ được gọi là phân kỳ.
3.2. Giới hạn vơ hạn
𝑢𝑛 có giới hạn vơ hạn nếu |𝑢𝑛 | lớn tùy ý khi 𝑛 đủ lớn. Tức là:
∀ 𝐸 > 0 lớn tùy ý, ∃ 𝑛0 đủ lớn sao cho ∀𝑛 > 𝑛0 ta ln có:
|𝑢𝑛 | > 𝐸
Kí hiệu:
lim 𝑢𝑛 = ∞
𝑛→+∞
12000
10000
𝑢𝑛 = 𝑛 2
8000
6000
4000
2000
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
0
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
3
Eureka! Uni - YouTube
Eureka Uni (facebook.com)
𝑢𝑛 lúc này gọi là vơ cùng lớn (VCL), tất nhiên là phân kỳ.
4. Tính chất
TC1: 𝑢𝑛 nếu hội tụ thì sẽ hội tụ tới 1 giá trị 𝐿 duy nhất.
TC2: nếu lim 𝑢𝑛 = 𝑎, lim 𝑣𝑛 = 𝑏 thì:
𝑛→+∞
𝑛→+∞
lim(𝑢𝑛 ± 𝑣𝑛 ) = 𝑎 ± 𝑏
lim(𝑢𝑛 𝑣𝑛 ) = 𝑎𝑏
lim (𝑢𝑛 /𝑣𝑛 ) = 𝑎/𝑏 (𝑏 ≠ 0)
TC3: dãy hội tụ thì sẽ bị chặn.
TC4: nếu 𝑢𝑛 hội tụ đến 𝐿 > 𝑀 thì 𝑢𝑛 > 𝑀 nếu 𝑛 đủ lớn.
TC5: 𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛 thì lim 𝑢𝑛 ≥ lim 𝑣𝑛
𝑛→+∞
𝑛→+∞
TC6: Nguyên lý kẹp
Nếu 𝑣𝑛 < 𝑢𝑛 < 𝑤𝑛 và lim 𝑣𝑛 = lim 𝑣𝑛 = 𝑎 thì:
𝑛→+∞
𝑛→+∞
lim 𝑢𝑛 = 𝑎
𝑛→+∞
TC7: nếu 𝑢𝑛 đơn điệu tăng/giảm thì:
𝑢𝑛 → sup 𝑢𝑛 / inf 𝑢𝑛 nếu 𝑢𝑛 bị chặn trên/dưới
𝑛
𝑛
nếu 𝑢𝑛 không bị chặn trên/dưới
𝑢𝑛 → +∞/−∞
5. Các dạng vô định
0
,
0
∞
,
∞
∞ − ∞,
0. ∞,
1∞ ,
∞0 ,
00
6. Giới hạn 𝟏∞ cơ bản và số 𝒆
1 𝑛
𝑢𝑛 = (1 + ) → 𝑒
𝑛
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
Eureka! Uni - YouTube
4
Eureka Uni (facebook.com)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
0
u(n)=(1+1/n)^n
e
7. Chứng minh dãy không hội tụ - Tiêu chuẩn Cauchy
Tiêu chuẩn Cauchy Một dãy 𝑢𝑛 hội tụ đến số 𝐿 khi và chỉ khi ∀ 𝜀 >
0 luôn tồn tại tương ứng một số tự nhiên 𝑛0 đủ lớn sao cho ∀𝑛 >
𝑛0 và 𝑚 ∈ ℕ∗ , ta ln có:
|𝑢𝑛+𝑚 − 𝑢𝑛 | < 𝜀
Khoảng cách giữa 2 số hạng bất kỳ của dãy có thể thu hẹp một cách
tùy ý khi 𝑛 đủ lớn.
Vậy, nếu tồn tại 𝛿 > 0 và 𝑚 ∈ ℕ∗ , 𝑛 ≥ 𝑛0 sao cho:
|𝑢𝑛+𝑚 − 𝑢𝑛 | ≥ 𝛿
Thì 𝑢𝑛 phân kỳ.
Dạng bài tập
- Tính giới hạn dãy số bằng định nghĩa
- Xét sự hội tụ của dãy số: TC7 (đơn điệu, bị chặn), Cauchy
- Tính giới hạn của dãy số: tường minh (số hạng tổng quát 𝑢𝑛 ),
biểu thức truy hồi (𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛 , 𝑢𝑛−1 , … , 𝑛)
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
5
Eureka! Uni - YouTube
Eureka Uni (facebook.com)
8. Bài tập tổng hợp
Bài 1. Sử dụng định nghĩa, hãy chứng minh:
a) lim
𝑛
𝑛→+∞ 3𝑛+2
=
1
𝑛
b) lim
𝑛→+∞ (5𝑛2 +1)
3
c) lim (𝑛2 − 𝑛) = +∞
=0
d) lim (−2𝑛3 + 𝑛) = −∞
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Giải
a) Với mọi 𝜀 > 0 bất kỳ, ta có:
𝑛
1
2
2
2
1
− |=|
<
= <𝜀⇔𝑛
|
|=
3𝑛 + 2 3
3(3𝑛 + 2)
3(3𝑛 + 2) 3 (2 𝑛) 𝑛
3
1
>
𝜀
1
Theo 𝜀 > 0 ta chọn 𝑛0 = [ ]. ∀ 𝑛 > 𝑛0 ta ln có:
𝜀
𝑛
1
− |<𝜀
|
3𝑛 + 2 3
Vậy, theo định nghĩa:
𝑛
1
=
𝑛→+∞ 3𝑛 + 2
3
b) Với mọi 𝜀 > 0 bất kỳ ta có
𝑛
𝑛
𝑛
1
1
| 2
− 0| = 2
< 2= <𝜀⇔𝑛>
5𝑛 + 1
5𝑛 + 1 𝑛
𝑛
𝜀
lim
1
Theo 𝜀 > 0 bé tùy ý, ta chọn 𝑛0 = [ ]. ∀ 𝑛 > 𝑛0 ta ln có:
𝜀
|
𝑛
− 0| < 𝜀
5𝑛2 + 1
Vậy, theo định nghĩa:
𝑛
=0
𝑛→+∞ (5𝑛2 + 1)
c) Với mọi số 𝐸 > 0 bất kỳ và 𝑛 > 2, ta có:
lim
𝑛2 − 2𝑛 > 𝐸 ⇔ 𝑛 > 1 + √𝐸 + 1
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
6
Eureka! Uni - YouTube
Eureka Uni (facebook.com)
Theo 𝐸 > 0 lớn tùy ý, ta chọn 𝑛0 = [1 + √𝐸 + 1]. ∀ 𝑛 > 𝑛0 ta ln
có:
𝑛2 − 2𝑛 > 𝐸
Vậy, theo định nghĩa:
lim (𝑛2 − 2𝑛) = +∞
𝑛→+∞
d) Với mọi số 𝐸 > 0 bất kỳ ta có:
−2𝑛3 + 𝑛 < −2𝑛 + 𝑛 = −𝑛 < −𝐸 ⇔ 𝑛 > 𝐸
Theo 𝐸 > 0 lớn tùy ý, ta chọn 𝑛0 = [𝐸 ]. ∀ 𝑛 > 𝑛0 ta ln có:
−2𝑛3 + 𝑛 < −𝐸
Vậy, theo định nghĩa:
lim (−2𝑛3 + 𝑛) = −∞
𝑛→+∞
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook
